CC BY
61
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _____________________________________2010, том 53, №3_________________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.95
Д.С.Сафаров
ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
Курган-Тюбинский государственный университет им. Носира Хусрава
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан Л.Г.Михайловым 05.02.2009 г.)
В статье предложен метод нахождения двоякопериодических решений для эллиптических систем уравнений второго порядка.
Ключевые слова: уравнение - эллиптические системы - двоякопериодические решения - формула -функция - задача.
На комплексной плоскости С рассмотрим эллиптическую систему второго порядка, записанную в комплексной форме [1]
ІМ = ^ + а(г ^ + ь(г ^ + с(г V = / (г), (1)
где г = X + Іу, = и + ІЗ, 2м- = + Му, 2wz = 'Шх - Му, Aw = 4wzZ - оператор Лапласа.
Будем искать двоякопериодические решения системы (1) с основными периодами
Н-,
_2_
h, h2, Jm— Ф 0, то есть решения, удовлетворяющие условию
W (2 + тД + Ш2Н2 ) = W (2), 2 е С, Щ, т2 — целые числа. (2)
Множество точек Г = |т1 ^ + т2И2; т1, т2 — целые числа| образуют решетку периодов, разбивающую всю плоскость С на параллелограммы периодов [2]. Параллелограмм
0 = | + 12Н2; 0 < 1Х < 1,0 < 72 <1 |
называется основным параллелограммом периодов.
*
Вслед за [3], обозначим через С, Ьр, Жр — классы двоякопериодических, с основными пе-
Н
риодами Н, Н2, Jm— ^ 0, на С функций, принадлежащих соответственно
Н1
Сп (о), Ьр (о), Ж (о), где О — основной параллелограмм периодов, П > 1, I > 1, р > 1. То-
Адрес для корреспонденции: Сафаров Джумабой Сафарович. 734140, Республика Таджикистан, г. Курган-Тюбе, ул. Айни, 67, Курган-Тюбинский государственный университет. E-mail: [email protected]
lSl
*
гда по теореме вложения ж 1 с є і—1+а, є і-1+‘ — класс двоякопериодических непрерывно диффе-
^ ___________________________р — 2 1 1
ренцируемых по Гельдеру функций с показателем а = , до порядка і — 1 включительно
р
р > 2.
Теперь, в предположении, что а, Ь, С, / Є Ьр, р > 2, будем искать решения системы (1) в
*
классе Жр , р > 2. Для одного эллиптического уравнения высшего порядка эта задача ранее исследовалась функциональным методом в [4] и доказана фредгольмость задачи. Для эллиптических систем первого порядка это задача исследована нами в [3], [6] и доказана фредгольмовость задачи. Та*
ким же путем, как в [3], будем исследовать задачи (1), (2) в классе Жр , р > 2.
*
1. Сначала находим в классе Жр , р > 2, решение уравнения Пуассона
^ = р(г), РЄ Ьр, р> 2 (3)
*
Теорема 1. Для разрешимости уравнения Пуассона в классе Жр , р > 2 при РЄ ґ*р , необходимо и достаточно, чтобы
Л р(г )ёО = 0. (4)
о
Тогда все его решения даются формулой
w(г) = Є + А(р)г + В(р)г + — Ц р(г) 1п[а(т — г)а(т — г)] ёО , (5)
о
где С - произвольная постоянная; р(2) - функция Вейерштрасса, построенная на периодах К К А (р) и в (р) - линейные функционалы вида
А(р) = р(т)ггсЮ + р(т)тСО,
О О - (6)
В(р) = ^JJ р(т)тсСО + Р]] р(т)тсСО,
а = Б—1 ^ — р = Б—(\щ — ^X 7 = —2^'Б—, Б = 2^|К|2/К, Л\, ^2 — циклически постоянные.
О
О
Действительно, в силу свойства функций <7(2), [2] ядро подынтегрального выражения в (5), фу:
нк-
ция £0(т, 2; т, 2) = 1п[ст(т — 2)а(т — 2)] имеет следующие свойства
(?0 )2 =С(т — 2), (^0 )2 = ,(т — 2), т^ 2, (7)
gо(т, 2 + Н;г, 2 + Н)= gо(т, 2;т, 2)— Лт — 2 —-
Л
т — 2--
2 ,
(8)
Если ре Ь р, р > 2, то функция
Петр = А2 + В2 + — Ц р(т)1п[ст(т — 2)ст(т — 2)] ёО
допускает непрерывные по Гельдеру производные по 2 и 2 , которые вычисляются по формулам
(пар)1 = а(р) ——Ц р(т)С (т — 2 )ёО = а(р) + Тр
К о
(ПаР)2 = Вр) — — Ц Р(т)С(т — 2)ёо = В(р) +
К'о
В [6] показано, что (г,р)_=р(2), (г,р)=р(2), Т,р,Т,ре Са(о),а = —--------------- и
ГС(ТС): (ре Ь*, Црёо = 0^ Ж, р > 2 .
Поэтому функция Пар имеет также обобщенные производные второго порядка, которые выражаются по формулам
(Пар)22 = (Пр^ = Р( 2Х
(П^Р)22 = ^Р = — — // Р(тМГ — 2)ё° (ПаР)й = 8СР = — — Р(т)Р(т —
К о К о
сингулярные интегралы понимаются в смысле главного значения по Коши и
^М,):Ьр ^Ьр, р > 1.
Если ]Урёо = 0 и А(р), В(р) - определены по формуле (6), то из свойств (7), (8) ядра
о
£0 (т, 2; т, 2)] следует, что функция Пар - двоякопериодическая, причем
^ р___________2
Пр е С*+а, а =----------. Поэтому Пр - интегральный оператор со свойством
р
Д : (ре ь;, ДрСП = 0|^ Ж р, р > 2 .
Следовательно, при выполнении условия (4) теоремы, функция Пар -дает частное решение
*
уравнения (3) из класса Жр , р > 2, а общее его решение имеет вид
Л2)= ^ (2)+ ПаР ,
где W0 (2) е С]+0 — произвольная гармоническая функция. Такая гармоническая функция по теореме Лиувилля является постоянной, то есть W0 (2) = с, с — постоянная и формула (5) доказана.
*
2. Теперь решение уравнения (3) из класса Ж' будем искать в виде
W = С0 +ПaP, (9)
где с0 — некоторая постоянная, р е Ьр, р > 2, Я рСо = 0, р - искомая функция.
о
Внося в уравнение (1) приведенные выше выражения, для искомой функции w(2) и ее производных получим для р следующее интегральное уравнение
р — Пр = —с0с + I, (10)
где
Пр = —а( 2) А(р)—Ь(2)в(р)—а( 2)Т,р—в(2)Т(р—с(2)Пар.
2
Решение (1) в классе Ж „ , р > 2 эквивалентно уравнению (10) в следующем смысле. Если
w(2)— решение (1) из класса Жр , р > 2, то р = ~№22 е Ьр, ]УрСо = 0 является решением (10)
о
при некоторой постоянной с0 .
*
Обратно, если р(2) решение (10) в Ьр (о) и Ц рСо = 0 , то формула (9) дает все реше-
о
*
ния (1) из класса Жр при любом с0 .
Интегральный оператор П рассмотрим в классе Ьр (о), р > 2. Все слагаемые в правой части Пр являются вполне непрерывными операторами в Ь (о), р > 2. [1], [5]. Поэтому
П : Ьр (о) ^ Ьр (о) и является вполне непрерывным оператором. Следовательно, к уравнению (10) можно применить альтернативы Фредьголма. Условие разрешимости уравнения (10) имеет вид
Я(с0с—1 ро=о,
о
где р — произвольное решение союзного однородного уравнения
р — П * р = 0. (11)
Пусть п > 0 — число линейно независимых решений однородного уравнения (10). Если п = 0, то однородное уравнение имеет только нулевое решение. Отсюда следует, что существует
обратный оператор (^П)-'■ и при любой / е Ьр (о) и постоянной с0 уравнение (10) имеет единственное решение
р = (1 — П) 1 (/ — с0 с) .
Тогда условие разрешимости уравнения (1) имеет вид
II (I — П)—1 /со = с0(I — П)—1 ссШ .
Если II (I — П )—1 ссо ^ 0, тогда уравнение (1) всегда разрешимо и притом имеет единст-
о
венное решение при любой / е Ьр, р > 2. Однородное уравнение имеет только нулевое решение.
Если II (I — П )—1 сdО = 0, то уравнение (1) разрешимо только при выполнении условия
о
II (I — П )—1 сdО = 0,
о
а однородное уравнение (1) имеет только одно решение.
*
Таким образом, при п = 0 размерность ядра и коядра задачи (1), (2) в классе Жр , р > 2, совпадают.
о
В случае n > 0, повторяя аналогичные рассуждения, как в [1], легко доказывается, что размерности ядра и коядра задачи (1), (2) совпадают.
Таким образом, имеет место
*
Теорема 2. Уравнение (1) в классе Wp, p > 2, имеет решение для любой f е Lp, p > 2, тогда и только тогда, когда однородное уравнение (1) имеет только нулевое решение. В этом слу-
*
чае для всякого f е Lp, p > 2, уравнение (1) имеет единственное решение в Wp, p > 2, которое принадлежит также классу Cl+a, a = —-----.
Р
*
2
Теорема 3. Пусть однородное уравнение (1) имеет в W— , p > 2 ненулевое решение. Тогда
число его линейно независимых решений равно числу условий разрешимости, которым подчинена правая часть неоднородного уравнения (1).
Замечание. Почти дословно повторяя аналогичные рассуждения, можно доказать фредголь-мовость поставленной задачи для общего уравнения
W- + a (z Vz + b (zw + a2 (zК + b2 (zК + a(zV + b(z w = f (z),
где ax, bx, &2,b2,a, b, f е Lp, p > 2. Только надо учесть, что здесь линейная независимость решений понимается над полем вещественных чисел.
ЛИТЕРАТУРА
1. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. - М., 1959, 659 с.
2. Ахиезер И.И. Элементы теории эллиптических функций. - М.: Наука, 1970, 304 с.
3. Сафаров Д.С. - Дифференциальные уравнения, 1981, т. XVII, №8, с. 1468-1477.
4. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. - М.: Мир, 1966, 351 с.
5. Виноградов В.С. - Дифференциальные уравнения, 1971, т.7, №7, с. 1226-1234.
6. Сафаров Д.С. - Дифференциальные уравнения, 1991, т. 27, №4, с. 656-665.
Ч,.С.Сафаров
Х,АЛХ,ОИ ДУДАВРДОШТАИ СИСТЕМАИ ЭЛЛИПТИКИИ
ТАРТИБИ ДУЮМ
Донишго^и давлатии Кургонтеппа ба номи Носири Хусрав
Дар макола методи ёфтани х,алх,ои дудаврдоштаи системаи муодилах,ои типи эллиптикии тартиби дуюм нишон дода шудааст
Калима^ои калиди: муодила - эллптики системаи - уалуои дудаврадошта - функсия - масъала.
D.S.Safarov
ON DOUBLE PERIODIC SOLUTIONS OF THE ELLIPTIC SYSTEMS OF THE
SECOND ORDER
Nosir Chusrav Kurgan-Tyube State University A method of finding the double periodical solutions of the elliptic systems of the second order is proposed in the paper.
Key words: equation -elliptic systems - double periodical solutions - function - problem.
