CC BY
1
ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 15. № 1 (2023). С. 3-21.
УДК 517.51
ОБ ОЦЕНКАХ ПОРЯДКА НАИЛУЧШИХ М-ЧЛЕННЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ В АНИЗОТРОПНОМ ПРОСТРАНСТВЕ ЛОРЕНЦА-КАРАМАТЫ
Г.А. АКИШЕВ
Аннотация. В статье рассматривается известный класс слабо колеблющихся функций и по этим функциям определяется анизотропное пространство Лоренца-Караматы 2-^-иериодических функций многих переменных. Частными случаями этих пространств, являются анизотропные пространства Лоренца-Зигмунда и Лоренца. В анизотропном пространстве Лоренца-Караматы определен аналог класса Никольского-Бесова. Основной целью статьи является нахождение точных порядков наилучших М-членных тригонометрических приближений функций из класса Никольского-Бесова по норме другого анизотропного пространства Лоренца-Караматы. В статье установлены точные по порядку двусторонние оценки наилучших М-членных тригонометрических приближений функций из класса Никольского-Бесова в анизотропном пространстве Лоренца-Караматы в разных метриках. Для доказательства оценки сверху наилучших М-членных приближений, использована идея метода жадных алгоритмов предложенного В.Н. Темляковым, с модификацией для анизотропного пространства Лоренца-Караматы.
Ключевые слова: пространство Лоренца-Караматы, класс Никольского-Бесова, М-членное приближение.
Mathematics Subject Classification: 41А10, 41А25, 42А05
1. Введение
Пусть N, Z, R — множества натуральных, целых, вещественных чисел соответственно и Z+ = N и{0}, Rm — m-мерное евклидово пространство точек х = (х\,... ,хт) с вещественными координатами; Im = {х g Rm; 0 ^ Xj < 1; j = 1,... , m} = [0, l)m — m-мерный куб.
Напомним определения невозрастающей перестановки функции.
Определение 1.1. Пусть f — измеримая по Лебегу функция одной переменной на [0,1). Функция распределения, для, \f \ определяется, как мера Лебега (см., например, [1, с. 8ф
Vf (у):= »{х G [0,1) : \/(ж)| > у}, 0 ^ у< ж.
Две неотрицательные измеримые функции / и g называются равноизмеримыми, если их функции распределения равны (см., например, [1, с. 82]).
Определение 1.2. Невозрастающей перестановкой функции f одной переменной называется, невозрастающая на, [0,1) функция f *(t) равноизмеримая с функцией \f (ж)| (см,., например, [1, с. 83]).
G.A. Akishev On estimates of the order of best m-term approximations of multivariate
functions in anisotropic lorentz-karamata spaces.
© Акишев Г.А. 2023.
Исследование выполнено в рамках гранта МОП РК, Проект АР 08855579.
Поступила 31 ноября 2021 г.
Невозрастающая перестановка f * функции f одной переменной на [0,1) определяется по формуле (см., например, [1, с, 83])
f *(t) := inf{у> 0: N (у) ^ t}, t Е [0,1).
Теперь напомним определение невозраетающей перестановки функции т переменных.
Определение 1.3 (см, [2]-[4]). Пусть f (xi,... ,хт) — измеримая по Лебегу функция т переменных на 1т = [0,1)т. Невозраетающей перестановкой функции \f (ж1,... ,хт)\, по первой переменной понимается функция f*х(ti,х2,... ,хт), равноизмеримая на 1т, невозрастающая по ti и такая, что функции \ f (ж1,... ,хт)\ и f*х(ti,x2,... ,хт) равноиз -меримы как функции одной переменной для почти, всех фиксированных Х2, ... , ^т •
Аналогичным образом рассматривая невозрастающую перестановку функции f *х (ti,x2,..., хт) то перемен ной х2, при фиксированных ti ,х3,..., хт определяется функция f *х *2 (ti, t2, х3,..., хт) равноизмеримая с функцией \f (ж1,... ,хт)\. Продолжая этот процесс определяется невозрастающая перестановка f *1*2-*т(ti,t2,... ,tm) равноизмеримая с функцией \f (жь... ,хт)\.
Определение 1.4 (см., например, [5]). Функция (p(t) называется, почти возрастающей на [1, го), если существует такое постоянное число С, что <~p(ti) ^ Cip(t2) для, 1 ^ ti <t2 < го.
Функция (p(t) называется, почти убывающей на [1, го), если существует такое постоянное число С, что tp(ti) ^ C<p(t2) для 1 ^ ti < t2 < го.
Определение 1.5. Положительная и измеримая по Лебегу функция b(t) называется, слабо меняющейся (slowly varying) на [1, +го) в смысле К ароматы, если для, любого £ > 0 функция t£b(t) почти возрастает на, [1, го) и функция t-£b(t) почти убывает на [1, го) (см, [6], [7];.
Множество таких функций обозначается SV[1, го). Для заданной слабо меняющейся функции v на [1, го), положим У(t) = v(1/t) для t Е (0,1],
Пусть даны числа р,г Е (1, го) и функция v Е SV[1, го). Пространством Лоренца-Караматы Lp,v,T (T) называется множество мех измеримых по Лебегу 2п периодических функций f для которых (см., например, [6, с, 112])
Ру,т := {*(1))тУт(^5Т < +го
где f *(£) — невозрастающая перестановка функции Ц(27пс)|, х Е [0,1) Т = [0, 2ж).
Известно, что Ьру,т(Т) является симметричным пространством (см., например, [6, с. 114]).
Отметим, что при У(¿) = 1 пространство Лоренца-Караматы Ьру,т (Тт) совпадает с известным пространством Лоренца, обозначаемым символом Ьр,т (Тт), 1 < р, т < го (см. [8, с. 228]) с
(1 I(/*(Сг5-1<й) < го,
р,т
\р
4 0 7 для 1 < р < го, 1 ^ т < +го.
Пусть даны функции Е БУ[1, го), для ] = 1,..., га и положим У^(¿) = (1Д), для г Е (0,1], ] = 1,...,т и V (г) = (VI (г),...,Ут(г)), р = (р ъ... рт), Т = (ть... тт), числа р^, т^ Е (1, го). Анизотропное пространство Лоренца-Караматы (Тт), состоит из всех измеримых по Лебегу функций га переменных f имеющих период 2п по каждой переменной и для которых величина (см. [2])
РУ,Т : II ... ' ' Ир1 , >Т1 . . . ^Рт,, тт
if1 г
0
/ гп 1___Т1
(п ^ & W- т')
(/(tl,...,tm))4 WVj(tj)t
J0
dt1
dtr,
конечна, где f ..., гт) - невозраетающая перестановка функции Ц(2га) | по каж-
дой переменной х^ € [0,1] при фиксированных остальных переменных.
Через Ь*_ у _(Тт) обозначим множество всех функций f € у _(Тт) таких, что
J / (х) ¿х^ = 0, 2 = 1,... ,ш. 0
Для р = (рх,...,рт) через 1р обозначается пространство последовательноетей действительных чисел с нормой
raGZ™
+ II ip(Z?)
! ю ю _ Р2 _ рт Л Рт
£ [...[£ кг]P1...]Pm-1
пт=0 пг =0 J
< + ТО,
для 1 ^ pj < +то, j = 1, 2, ...,т и
\{а-п}
'га}1 l^(lf)
sup lanl
для pj = то, j = 1,...,т
Введем обозначения: On(f) — коэффициенты Фурье функции f е L\(Tm) по кратной
т
тригонометрической системе {ег(*п5g(f,x) = &n(f)ег(;п'х\ где {у,х) = yjXj,
nep(s) j=i
p(s) = {к = (кг, ...,km) е : [2^-1] ^ | < 2^', j = 1, ..,m) ,
[у] — целая часть действительно го числа у и Sj е Z+.
Рассмотрим функциональный класс Никольского-Бесова
^Б Н f е L* v-(Tm): II/+
Р, V, т *
Р, V, т
|{П2""\w ^v,}^ L« О
3=1
где в = (Ох, ...,вт), г = (гх, ...,гт), 1 ^ вз < +то, 0 < г^ < +то, з = 1, ...,т.
В случае У^(¿) = 1 и т) = р^ = р, 3 = 1,... ,т класс Б^у_В совпадает с известным классом Никольского-Бесова в пространстве Лебега Ьр(Тт), 1 ^ р < то (см, [9]-[11]). Пусть дан вектор 7 = (^х,..., ), ^^ > 0 3 = 1,... ,т. Положим
= р(8), тт = Щх) = £ Ъ-кег^},
кед
рУ^ — наилучшее приближение функции f € (Тт) полиномами из множества
тт.'' ''
Положим
E™)(Srp,v(i),T(1),вВ)Я,У(1),Т(1) : =
suP E{^)(f (1)
iesr_(1) (1 в
т7(4)/
где q = (qi,...,qm), V (4(t) = (V®(t),... ,V™(t)), t е (0,1], r
r(i),
q,V(1), т (1)'
(Гх ,... , тт )
(г)
и 1 < qj, т^ < то 2 =1, 2 3 = 1, ...,ш.
Пусть X — нормированное прострапство 2^-периодических функций многих переменных, Для функции f € X наилучшим М-членным тригонометрическим приближением
1
1
m
1
+
называется величина (см, [12]
е м(f)x =jnf f~V]bje k3, bj j=1
M
i{kJ,x)
f
где {k3}1f=1 ~ система векторов k3 = (k{,...,k3m) с целочисленными координатами, bj — действительные или комплексные числа. Если F — некоторый функциональный класс в пространстве X, то положим ем (F)х = sup^еРем (f)x.
Оценкам порядка величины ем( F)у в пространстве Y = Lq(Tm) для классов Соболева F = Никольского-Бесова F = Sp0B, Лизоркина-Трибеля посвящены исследования P.C. Исмагилова [12], Э.С. Белинского [13] [15], Ю. Маковоза [16], В.Е. Майорова [17], Р. Девора [18], В.Н. Темлякова [19]—[21], A.C. Романюка [22], М. Хансена и У. Зикеля [23], С. А. Стасюка [24], Д.Б. Базарханова [25] [26] и других авторов. По этой тематике, более подробную библиографическую ссылку можно найти в обзорной статье [27].
Оценки наилучших М-членных приближений функций класса Никольского-Бесова в пространствах Лоренца и Лебега с анизотропными нормами исследованы в [28] [34].
М
рических приближений классов периодических функций многих переменных смешанной гладкости были разработаны В.Н. Темляковым [19]—[21] и были использованы другими авторами (например, [22], [24]—[26], [28] [32], а также см. библиографию в [27]). В предлагаемой статье для доказательства основного результата (теорема 3.1), использованы идея метода В.Н. Темлякова, с модификацией для анизотропных пространств Лоренца-Караматы,
Статья состоит из двух разделов. В первом разделе даны некоторые вспомогательные результаты необходимые для доказательства основных результатов. Во втором разделе сформулированы и доказаны основные результаты статьи. Отметим, что в случае
vj 1\t) = vj2)(t) = l, te (0,1]
и pj = т^^ = p, qj = Tj22 = q, 9j = 9 для j = 1, ...,m и r1 = ... = rv < rv+1 ^ ... ^ rm теорема 3.1 совпадает с ранее известными результатами В.Н. Темлякова [19, теорема 2.2, с. 92] и A.C. Романюка [22, теорема 3.1] для пространств Лебега и в общем случае обобщает их на анизотропные пространства Лоренца-Караматы,
Через С(p,q,y,..) обозначим положительные величины зависящие от указанных в скоб-
М
лучшего М-членного приближения. Запись Ап х Bn означает, что существуют положительные числа С1, С2 такие, что С1Ап ^ Bn ^ С2Ап для п e N. Также для краткости записи вместо неравенств Bn ^ С1Ап ми Bn ^ С2Ап, часто будем использовать B ^ А B А
2. Вспомогательные утверждения
В этом параграфе определен один класс функций и даны несколько вспомогательных утверждений.
Через SVL[1, го) обозначим множество всех положительных, измеримых по Лебегу на [1, го) функций v(t), для которых функция (log 2t)-ev(t) почти убывает и функция (log 2t)£v(t) почти возрастает на [1, го) для любого числа е > 0.
Ясно, что SVL[1, го) С SV[1, го).
Пример 1. Функция v(t) = (1 + log(1 + logt))" G SVL[1, го), a E R.
Здесь и далее logt означает логарифм с основанием 2 от числa t > 0.
Теорема 2.1 (см, [35]). Пусть р = (р1,...,рт), д (2) .., т^), г = (Г\, ..., гт), в = (в1,
(Я 1,..., Ят), Т(1) = (Г1(1),..., ТЦ)), , вт) и 1 < т((), Т(2) < + го, у(\1/г), г е (0,1], з = 1,...,т,
т(2) = (т-
1 < Pj < я. < +го и функции е вУ[1, го),
ттЮ,
У (Ч(г) = (у}г)(г),...,ут;)(г)),1 = 1,2.
(о,
Если f е Ь
рУ
(1) т(1)
(Тт) и величина
!т
п
j=1
( 1 1 )У(2)(2-Зз)
з(-Г - У ) У (2_I
у}() (2-ъ)
IIЩу (1),, (1)
}
е ¿т(2) :
«еж™
то f е Ь*_(2) _(2) (Тт) и имеет м,есто неравенство
ЧУ
(2) т(2)
^ С
!т
п
j=1
..( 1 1 )У(2) (2-аз)
'з(-Г - <з) _
у(() (2-ъ)
II Ш)Н
(1) г (1)
РУ ,Т
}
«ей"
г(2)
Теорема 2.2 (см, [37]). Пусть р = (р -,... ,рт), Я = (Я1,..., Ят), т(1) = (т^,..., Тт), -(2) = (42\..., Т™), 7 = (71,...,7т^ 7 = (71 ,...,1т),Г=(ПТт), в = (в^..., вт)
« 0 < в. < го, 1 < т(1),т(2) < +го, 1 < р. < qj < +го, г. > — - —, 7.
1
Рз И' 11
т и г7п + — — — = шт{г, + — — —
/п аз„ Рзп j аз пз
Гз + 1 - -1
з -з Рз
гзп + — - — зп -зп -зп
Яз
Рз
1,
,т},
1 ^ Ъ ^ Э ....... ,зп _
А = {] : ^т = 1, j = 1,...,т}, з1 = шт{^' е А} и функции е вУ [1, го),
У(г)(1) = г е (0,1], з = 1,...,т, = (У^), ...,1^&)), г = 1, 2.
(2) ^(.2) Если, 1 ^ тУ( ) < в. ^ +го и функции ^у е вУЬ[1, го^ = 1, ...,т, то
)(в^(1) т-В)
п V рУ (1),г (1) ,в )
-п(г^ +
зп <зп Рз
у(2)(2-п) Е ^^ -1)
\7 ^ ^ ^ д\ г Т(2) °з
(2) =(2)
яУ \Т
Г1у(1)(2-")
_из'еА\{з'1> Тз
для п е N таких, что п > п0.
(2)
2. Если 1 ^ в. ^ г,(2) < 3 = 1,...,т, то справедливо соотношение
Е$) (
(1) ,г(1) :вВ) -щу (2)
•С
м+<
^^О ) д У/2) (2-™)
.е^у/ 1)(2-га)
(2)
е случаях е вУЬ[1, го^ з = 1,...,^ А \ {]•{}
°3
Гк *<2) (*)
почти возрастает,
а
Ь е почти убывает на [1, го), е > 0, з = 1, ...,т и множество А \ {з1} = 0,
для, п е N таких, что п > п0, где п0 некоторое положительное число большее 1.
Следующее утверждение будет использовано в доказательстве оценок снизу М-членного приближения функций класса Никольского-Бесова в теореме 3.1.
Теорема 2.3. Пусть функции V. е вУ [1, го), У.(¿) = V.(1Д), Ь е (0,1], 1 < т/< +го 1 < р. < X. < го 3 = 1, ...,т. Если f е Ь*_у_(Тт), то справедливо неравенство
(X
*у,Т »^ £ —1
ос т
2вз--з (2-°з))
п
л—1 /—1
п
Т2 Т1
1 Тт.
в
1 1
2
2
Т.
т1
Эта теорема доказывается также, как теорема 4 в [33] и теорема 4 в [37] Рассмотрим множества
Ут(^,п) = {в Е И? : (5,7) ^ п} и кт(п,^) = {ё Е И? : (в,^) = п], п Е N.
Лемма 2.1. Пусть даны функции У^(¿)
(1/1), I Е (0,1], з
1,... ,т
«7 = (11,...,1т) 1 = (71,... ,1ш), 0 = (0Ь... ,ет), 0 ^ 7^ 1 ^ ву ^ то 3 = 1,...,т
и а Е (0, то), 8 = шт{Щ- : ] = 1,..., га} А = = 1,..., га : Щ- = ^ = шт{^' : ] Е А].
Ъ' Ъ'
Тогда справедливо неравенство
{
2-«<* , 7> Д )
^ = 1 ^ т(га ,7')
!
^ С 2
—па&
ЦУ3 (2-га/Ъ )п>
Е ^
зеА
в случаях:
если, 1 ^ в2 < то и функции Е БУ[1, то} , з = 1,... ,га;
или, если, вз = то 3 = 1,... ,га и функции Е БУ [1, то} з = 1,... ,га и множество
а \ш = 0;
или, если, вз = то 3 = 1,... ,га и функции (¿) почти возрасталот, а í (¿) почти убывают на, [1, то), для е > 0 3 = 1,..., га и множество А \ {}} = 0.
Доказательство. В случае 1 ^ в^ < то и функции Е БУ[1, то) з = 1,... ,га эта лемма фактически доказана в [37],
Рассмотрим случай вj = то 3 = 1,... ,га. Оценим величину
1п := 8пр 2-»<^> Д У,).
веУт(п,^)
3 = 1
(2.1)
Пусть га = 2. Множество У2(п,у ) можно представить в следующем виде
п
У2(п,7 ) = {5 = (51, 52) Е Z+ : 0 ^ 52 <—,81 >
12
п - 5272
т1
}
п
и {5 = (51,52) Е Z+ : 52 ^ — ,51 ^ 0].
+ 72
По условию леммы функция у2 Е БУ [1, то) Значит функция £ почти убывает
на [1, то) для е > 0. Поэтому
2-«<*,7> Д у. (2-^) = Д Уз (2^')
3 = 1
3 = 1
-га21 а -«272 (^т - "1 )а
5 2 72
< С2 и 2
^2
У2(Г2 )^1(2 и )
(2.2)
^ га-«272
для ^ -
71
Пусть ^т — Ч- > 0. Выберем чиело ц Е ^0, ^^г — ^г^ Так как функция у1(Ь)111 почти возрастает па [1, то) для ц > 0 а V2(¿)£-£ почти убывает па [1, то) для е > 0,
в
и
0 < п — 82^2 ^ п для 0 ^ ^ < п/'у'2, то из неравенства (2,2) получим, что
2
2-«й,7> Д у.(2-^) ^С2-'°т1"2-пг>2(п~3212)^ =1
"-8272 ' ((72_ 71 ) п)
х ^(2 )2 5272((-Г2 ,1)а \(2-2) (2.3)
-п^Га ^ -32Ъ((Ч - Ч)а-л)
^С2 ^ 2-га?2пг>гл(2^ )2 2 ^2 71 щ(252)
Л- - Л-
^С2 ^1(2т ) = С2 У1(2 71)
-■^2 72
для 0 ^ 5о < и ^
72 71
Пусть ^ — ^т < 0, Тогда выбирая число п € (0, — (^т — -т)а) аналогично (2.3) можно
72 71 72 71 4
доказать, что
2 -УП П
,__ч т—г -пл2а - -7-
2-«<*, > Д у. (2-яз) ^ С2 ^2 У2 (2 ^2) (2.4)
=1
-^12
для 0 ^ 82 < и ^
72 71
Пусть ^г — Ч- = 0. Тогда из (2.2) имеем
72 71
-п^+а -
2-«<*,7>Д Уз (2-^') ^ С2 «2(282)г^(2 ъ ) (2.5)
=1
/
для 0 ^ в2 < ^ и в1 ^ п ?72. Так как функции ] = 1, 2 почти возрастают, то
72 71
-т- 'П
Ь2(232 ) ^ СЬ2(2^2 ), 0 ^ 52 < —
72
и
/
" — 272
^1(2 ) ^ (2^1), 0 <-^ ^ —.
71 71
Поэтому из (2.5) следует, что
/__\ —г- га ^ га ^ у
2-а(<37>Д Уз(2-^) ^ С2 ^1(2^1 )^2 ( 2 72 ) = С2 '«1 У1(2 т )^(272) (2.6) =1
/
для 0 ^ 82 < И 51 ^ га-^272 в СЛУЧае 72 — 71 = 0.
72 71 " 72 71
Пусть 51 ^ 0 и 82 ^ Тогда в силу того, что фупкция ^(¿)£-£ почти убывает на [1, то)
72
для £ > 0 получим
2
2-«(«,7> Д у.(2-31) = 2-«171«^1(251 )2-3212аь2(232) =1 1 2
га 71 ^ п га 72 ^ п
— га—— и —— —га—— и --—
^ С2 ^ ы (1)^2(272 ) = С2 ^2 ^1(1)^2(2 ^2). Теперь, из неравенств (2.1), (2.3) и (2.7) следует, что
г -га- "7" -га- -га- "Г"
1га ^ ^ 2 и У1(2 ) + 2 ^2 у2(2 ^2 И ^ С2 У1(2 ), (2.8)
если Ц — ^т > 0.
72 71
Если Щ- — Щ- < 0, то из неравенств (2,1), (2,4) и (2,7) следует, что
In ^ С2 i2 V2(2 ъ ). (2.9)
Если Щ- — Щ- = 0, то из неравенств (2,1), (2,6) и (2,7)
г -n^1a - ^ - ^ -n'Jfa - ^ ч
In 2 и Vi(2 и )V2(2 ) + 2 V2(2 ^2 )|
(2.10)
^ С2 i! V2 (2 i2) V1(2 i1)
для почти возрастающей на [1, го) функции V., j = 1, 2.
Этим утверждение леммы доказано для т = 2, в случае в. = го 3 = 1, 2. Далее, применяя метод математической индукции и неравенства (2.8) (2.10) утверждение можно доказать для т > 2. □
Лемма 2.2. (см. [30, лемма Ц). Пусть г = (т1,..., тт), 1 ^ т. < +го, м ] = 1,...,т. Тогда справедливо соотношение
Е ^
х nj=2 1, п е N.
i-
{Хя(п) -^ея(п)
Здесь и далее, Хк(п)($) характеристическая функция множества
к(п) = {в = ( 51,..., вт) е %т : (в,7) = п}.
3. Основной результат В этом параграфе докажем основной результат статьи.
Теорема 3.1. Пусть р = (р 1,..., рт), с[ = (..., дт), т(1) = (т^1,... ,Тт),
Т(2) = (т{2),..., Т™), 7 = (Ъ,...,7т), 7 = (71,..., 7т),Г=(г1,..., Гт),ё=(в1,..., вт)
г . + Л___к
и 0 < в. < го, 1 < т™, т^ < +го, 1 < р. < д. ^ 2, г. > ± — 7/ = /Д-А
зп -зп Рз
ii
ЧЮ 10
j = 1,...,т и rjo + -1 - -1 = min{Tj + ± - ^ : j = l,...,m}, A = [j : Ц = 1, j = l,...,m},
4j0 Pjo L J 4i Pi
ji = min [j е A} и функции vf е SV [1, го), V(i) (t) = vf)(1/t), t е (0,1], j = 1,...,m,
V ®(t) = (v()(t),...,v£)(t)),i=1, 2
1. Если 1 < rf2 < 9j ^ +го и функци и vf2 / vf1 е SVL[1, го), j е A, mo
em (S¥-W m-B)_^2) -(2) хМ-(ri0+Í0-4) П V3(l{M-1)
MV p,V(1),T(1),e Jq,V(),T(2) 1JL V(1)(M-1)
x (logM)m-1)(ri0+4-4)(logM)i A^f ).
2. Если 1 ^ Qj = в ^ т(2) = т(2) < +го, j = 1, ...,m, mo
eM(S¥-(i) (1)_B) V(2) (2) xM-^+-)П V(\(M-1)
^ p,V(1),r(1),0 >q,^ ),r(2) A J- v( (M-1)
x (logM) 0 4i0 p30 -(2) H ,
в случаях -фу Е вУЬ[1, то), ] Е А и А \ {]{} = 0 или £ £ почти убывает для £ > 0
V(2)(í) 3 3 и (1) почти возрастает на [1, то) для ] Е А и множество А \ {]{} = 0, для, М Е N
'таких, что М > М0, где М0 некоторое положительное число большее 1.
5р,У (1),г (1) ,ё'
Доказательство. Пусть f Е Sr__(Г) -В. Положим
1 • / О. 1 1 • 1 1 Г] + * — * ■ ^
Г30 +---= шт{г, +---: ] = 1,...,га} и =--г, ] = 1,...,га.
Ъо Рю Ъ Рз Оо + —
Выберем числа ^ > 0 так, чтобы ^ ^ ] = 1, ...,га и введем обозначения
<у-
А = {] : — = 1 з = 1, ...,гa}, 31 = шт0' Е А}.
ъ
Отметим, что ^ = ^^ = 1, да я ] Е А Для числа М Е N существует натурально е число п такое, что М х 2гап^А'-1, где |А| — количество элементов множества А. Тогда в силу определения величины ем (/)- у(2) -(2) и теоремы 2,2 имеем
вМ ) q ,V (2),r (2) ^ )(/\,v(2),r(2)
+ ^- ^(2-") ^ д£ „ г( ^ - -j) ^ ^ 2 H T/(1U_*
-- Fj(1)(2-")
_nieA\{ji} >(2) -j
(2) v(2)
в случае rj ^ dj ^ то J = 1,..., те. Так как функ ции -^у Е SVL[1, то) j = 1,...,га
j
и ^Or ^ 0 при t ^ +то, то
Vj2)(^") «Г(2") ^(2") ,, „"+1,«,. „„+1,-
= ^ = ^(log2 + Hlog2 + )
"
v(2) (2"'nlAl-!) < (>°g(2"+I»|A|-I))'(I°g2"+1)-
-- (п + 1 + log nlA-1)£(п + 1)- < --
(3.2)
V(2)((2"v) a|-1 ))-1 К(2) (M-1) Vj(1)((2"^lA-1 )-1) Vj(1) (M-1)
В силу того, что М х 2"n'A-1 имеем п х log М и
ii
n(rj0 + <4 . Е (-(2у- -j) n(rj0+<4 р^) -Л. +_1---L) (|A|-1)frin + -1---L)
2 njtA\{ji} Tj j =2 и V j0 + gj'o pjJ n 1 4 j0 + gj'o pj'n^
E ( (2) --1 ) —(r- ___^
X ^jsA\{ji} ^ ^ V j0 + 4j0 Pj0
X (log M)
для n > no, где no некоторое положительное число большее 1
(2)) r-- P10) (3-3)
(|A|-1Krj0+^-Р-)^ Е. ;(2у-^)
j
Теперь из неравенств (3.1)—(3.2) и соотношения (3.3) следует, что
>-(2)гл ж-1\ (М1- + V (1-1
е М ( /) (2)^(2) «М ^ + -зп Д П ( ) (logМ) ^ -зп ^ з^\{з1>Тз() з
(2)
для М > М0 > 1, в случае т( ) < 9. « го 3 = 1, ...,т. Этим в первом пункте оценка сверху доказана.
(2) — Рассмотрим второй случай 1 « 9. = 9 < у) = т < го, = 1,..., т и вместо _( В
и ||/|^(2^(2) будем писать и В и ¡Я*-^) (2). Для функции / е В по-
,т(2) Р,У ,т(1)," яУ ,т(2) Р,У ,т(1),У
строим приближающий полипом Р(ПМ,х), который дает требуемую оценку приближения.
п
М х 2гап|А|-1
и по = [п + (|А| — 1) к^п], Полином Р(ПМ,х) будем строить в виде
Р (Пм ,х) = Я(х) + С}(х), где К(х) = 6з(/,х), а <5(х) будет построен в дальнейшем. Для натурального числа
)<п
5 = I Е и^(/)!;^1),,(1))в ^(«,7 )<1+1 и обозначим
+1,
т I
2пп)А1-12-1~8вг
где [а] — целая часть числа а. Нетрудно убедиться, что количество гармоник К, которые
образуют полином Р(ПМ,х), не превышает по порядку М. По свойству нормы
*
Ш—Р (пм )||^ (2),Т(2) « I— £ ш) _ (2) (2)
яУ(2) ,Т(2) , п
)<пп (0.4)
+ ЦК* — Иду(2),т (2) = Jl +
. = го
= 1,...,т и учитывая 0 < 7. « 7^ для ^ = 1,... ,т имеем
,1 «с | Е П2<*-*><" (»,ш«;,,,,,»)
1
(2)
т _(2)1 Т
£ П 2взГзТ(2) (IIь ( ЛЩу(1),,(1))
(я,у')^пп /—1
* - П ^^
(ё,^ )>пп /—1 У (2 Зз)
1
(2)
Т (•'■ ■
1
«^ ЕЙ2'з-• 014т*^)' Г * ??р 2-(Гзп-^)(5Лп
«ей" /—1 I (5,7')^п0 1 (2 з
Т(2)
« С2-гао(- + £ - £ ) П ^^ « С2-га('» + -4) П ^^
Иу(1)(2-гао) 11у(1)(2-п)
зеА vj зеА vj
для любой функции / Е в-у(1) _(1) вВ, в случае 1 « 9 « г(2) < то.
V
(2)
Теперь учитывая определение числа щ и то, что функции -4ц-почти возрастают
па [1, то) ] = 1,...,, га отсюда получим
л << (2га„1 -1)-"*+£) П ^1)<(2га"'*-11> (3.5)
для любой функции / Е (1) _(1) ^В, в случ ае 1 « 9 « г(2) < то.
Для оценки воспользуемся рассуждениями применнеными в [19, с, 93], Каждому натуральному числу I, п «I < п0 сопоставим сумму
£ Ш,х). (3-6)
г« в,^' >< 1+1
Пусть аг(/, I), г= 1, 2,...,гп1, обозначают числа
-(2) /о-б
Ч ) У
Чрз <4 3 = 1 г 3
переставленные в убывающем порядке, для которых блоки 6з( $ ,х) входят в сумму (3,6), Сумму таким образом полученных «блоков» /,х) то всем I Е [п, щ) обозначим ($(х). Через V/ обозначим множество тех векторов в удовлетворяющих условию п « (в,7у> < п0
для которых «блоки» /,х) то топал и <5(х).
(2) V •
Так как функции -т^т для ] = 1,... ,га удовлетворяют условиям леммы 2,1, то учитывая, что ^^ = 1 для ] Е А будем иметь
2( , № + <Уо ) И -- >> 2 ( № + <г?о ) И --
з=1 з ^ зеА з
для удовлетворяющих неравенству (1,7у'> ^ I . Теперь пользуясь этим неравенством
" ' ^+<т -1 '
и учитывая, что 0 < ^^ « ^3 = ^ + <1 для = 1,... ,га будем иметь
Уо р'о
(1___1) у (2)(2-^)
П2*'("-<1) »^Щу <1.
>3 ^ 13 г + -№ <7п Р
& = ( Е (||Ш)»*^(1),Х(1))
1 в
\ 'Х(1)
^«(за ><1+1
V- 2Й,1>(г,0+-^)* (^ У}1)(2-'-) V
Е 2 "0 "0 (Пж^)
.^')<1+1 \з=1 (2 ' /
^«(«,7 ><1+1
х (ЙРЗ»^Ктч)*) ЬОТ^'П^
х ( ? (п(^-<-)^ ».а)»;,^) 1г
^«(«,7' ><1+1 \:)=1 3 у ' )
1(гзп + -^) ТГ У11)(2-1) У(2)(2-)
с2
П
/еА у/
т I
!>к (л1)
к—1
2
Яг зп+- ^ )тгУ(1)(2-1).
-зп Рп П1,1)
/еА (2
для г = 1, 2, ...,гп,1. Таким образом
(2)
си, о « г12-('зп+*-4) п У^
/еА у/
для г = 1, 2, ..,тг.
Далее пользуясь теоремой 2,1, предыдущим неравенством, определением чисел §1, тг получим
,2 = || £ &ж(/)
дУ (2), т(2)
<
(т
п
, 1
8- ()У(2) (2-8з)
2 -з -з ) ^-1 || ¿,(/)||
(1) з
У(1) (2-^)
рУ (1), т(1)
)
г(2л тт
пп
с ЕЕс121 (^ О
I 1—п
}
<
!пп £
1—п
->(гю+-ь-)г(2) /тг У.22 (2-1) V(2)
Ц! У(1)(2-|)
/ел (2
<зп Рзп '
у>Е.г" )
« (2nп|A|-1)т(2) 1
!пп 1—п
-1г (2) гзп + ^ - -1 + -
( У(2)(2-1) \Т(2) Ь(12)
Таким образом ,2 « (2
1 1
,пп|А|-1^т (2) е
!пп 1—п
-1Т (2)(гзп+4- -зп-1+Т^ ^ д
У}2)(2-1) г(2)
У (1)(2-0 /ел (2
\ г(2) _ 1 )
1
т (2)
в случае 1 « 9 « т(2) < го.
Далее, рассмотрим два случая
а) Оо ^ — 1+ I — А;
б) ----к < г1о < -1---L + 1 —
> Р]0 дз0 .о Р]0 д^ в т(2)
Введем обозначение
!
^ -М2)(гз0 + ^ - - 1 + )
Х " «зп Рзп е 1 т(2) >
2
1
<3 ЦЗ Г
(3.7)
В случае а) по определению § и учитывая, что функции ^ ^ £ £ почти убывают
на [1, го) для е > 0 3 = 1,... ,т имеем
,3 « 2
-п(гзп +--1---1--1 +--1т
V зп <зп Рзп т(2)
+^(2) (2-га) 1е\ У(1)(2-™)
е
т (2)
%у(1),т (1),еБ
для любой функции f е Б'Чу(1) _(1) вВ. Следовательно, из неравенства (3,7) получим
32 « 2
-п(гзп +—1---1--1 +—^ )
^ зп -т -т е т(2) '
п
У12)(2 п) ,(|А|-1)(т(2т-1)
/еА
У(1)(2-п)
п
(3.8)
е
*
1
1
для любой функции / Е б-х(1) _(1) дВ в случае г^ ^ -1--^ + 1 — 9 < т(2).
Рассмотрим случай б). По определению и выбору чисел ио и в силу того, что
г^ + -¡1---1--1 + -^щ < 0, а функции (1) Ь£ почти возрастают на [1, то) для е > 0,
= 1, . . . , га
J3 « 2 -л>
1
, ,1 1 1 , 1 \ V(2)(2-гао ) Г по г(2)
3«2-гаЧ+-^-1+п \(2 ч ^^
}еА V}1 (2-п° ц /
]€А уз (2 ) к 1=г, 1 1 1 + 1 ^ V(2) (2-га°) е
+^ТТ ^ (2_'II
(3.9)
« 2 г^ + <.о р.о 1 + т д ^ (2_) II ЛК(2)
ДЛЯ любой функции f Е в^у(1) х(1) дВ.
Так как п0 = [п + (|А| — 1)^п], то 2гао « 2гаи'-1 < 2п°+1. Поэтому, из оценки (3.9) получим
А «(2га„| *-1)-с+* - 4 -1+А) п У *-1)-1}
для любой функции / Е (1) _(1) дВ, в случ ае -1---— < г^ < —---— + 1 — -^щ, 9 < т(2).
(1),Т(1),д- 1 - —- Рад д^
Следовательно, учитывая, что М х 2пп^-1 из (3.7) получим
32 «С(Т'п)А\-1) ^+<ю -юД
^ - ^ )тт^(2)((2гап1-1)-1)
^(1)((2гап1 А\-1)-1)
дж-(^о+^-^ Т! У(2)(М-1)
М 0 «№ РЮ -
^(1)(М-1)
(3.10)
для любой функции / Е 8-,у(1) _(1) дВ, в случае б), 9 « г(2).
Таким образом, из оценок (3.7), (3.8) и (3.10) заключаем , что
/2 « СМ-(г'°+4-4)(1о^А1 -1 М)(гл+4-4+1 -^+ П ^(1)(М-1) (3.11)
для любой функции / Е Б--у (1) _(1) вВ, в случ ае 1 « 9 « г(2) < то и -1--^ < г^.
Теперь в силу оценок (3.5) и (3.11) из неравенства (3.4) получим
— Р(Пм)»*,у(2),т(2) « м-(г*+4-4)(1о^А1-1 М)(г-+4-4+1 -)+ П ^(2)(М-1)
^^(М-1)
для любой функции / Е 5'-ух(1) г(1) в^ ' 1 « ® « т(2) < то -1--^ < Оо- Напомним, что
у+ = шах{0, у}. Этим оценки сверху доказаны.
Теперь докажем оценки снизу. Для числа М Е N выберем натуральное число п такое, что М х 2ппт-1 ж 2ппт-1 > 4М. Рассмотрим функцию
- ^ ^ ™ (ч+1--г)
(х,7>=га^=1 уз (2 7) Йер(Х)
Пользуясь соотношением (см, [33]
kep(s)
0i{k,x)
рУ С1) ,т
Д 2ч(1-£^(1)(2-'з),
3=1
для 1 < р., т/ < +го, = 1,..., т и леммой 2,2 получим {2(^ )| Ь( Щу (1),, (1)}
( s,r )=п
-Т 1 2-' в.
X
2<s,r) Д
m 2-Sj(гз+1-ij)
= V7(1) (2-^)
kep(s)
^í{k,x)
p,V(1) ,r(1)/ (J,¥)=п
- Y 1
в
<n 3=2 j ||{1}{5,г)=п|гв ^Ca.
Таким образом, /о е а)_(^В.
Пусть ПМ множество из М т—мерных векторов {к ,...,к } с целочисленными координатами, Для каждого вектора 8 для которого (в, 7) = п рассмотрим множества ПМ П р(И). Тогда в силу выбора числа п множество Б векторов в таких, что (в ,7) = п и |ПМ П р(з)1 < 11р(з)|, будет содержать то крайней мере половину всех в таких, что (з,7) = п и следовательно |51 х пт-1.
Пусть Т (х) обозначает произвольный тригонометрический полином с номерами гармоник из ПМ, Тогда то теореме 2,3 при = X. = 2, ] = 1, ...,т будем иметь
f0 - Т Ц,у (2) (2) >
>
Ím
п
3 = 1
!т
п
3 = 1
(1 )V¡2)(2-Sj) ||&,(f0 -Т)||.
2*(1 Ч)V¡2)(2-Sj) ||fa -Т)||.
( s,j)=n
вея
f (2)
> п
3 = 2 j
п
3=2 3
Ím
п
=1
Í
2 Sj (2 ij )VJ(2)(2-Sj )Д
m 2-s3 (гЗ+1-h) m
i\ Vl1)(2-j) fJ
-(r„+^- ib,7) mv}2) (2->j)
=1
r(2)( o-Si
J__
¡ÍV^V-'3)
m ^
j П 2 n
3 = 1 J
ses
lf (2)
П
1
f (2)
= Cn- S2¡j 2-n(rj„+4-4)
чЗ„ f3„
ÍA V¡22(2-s-') 1
ses
f (2)
(3.12)
Нетрудно убедиться, что если V. е БУЬ[1, го), ] = 1,...,т, то 1/ь. е БУЬ[1, го), = 1, ... , т
{fiví (2-s3 )}
{s,y)=n
m 1 v^ 1
П1 2-< '
,=1 v^)(n + 1»j="j •
(3.13)
*
в
2
2
f(2)
f
где т = (т1,..., О, ± + Л = 1, 1 < ъ < то 3 = 1,...,га-
Применяя неравенство Гёльдера I -1^ +—щг = 1,
V тз тз
V(2)(г)
полагая У^(¿) = Ь Е (0,1) = 1, ...,га имеем
1, ... , га
у(1)(*Г
I = !> <
хе 5
(ш у(2)(2-3,)| г™ ^(1)(2-") 1
1Му.(1)(2-*) I I М^(2)(2-,)
(з=1 уз ^ ^^е^ , ^=1 ^ ^
т (2)
У(1) (2-5?)
Г" ) 1
т (2)
™ у;(1)(2-^) Н У(2)(2-^)
V (2)'
т (2)'
? (2)'
= И(1)(2-^)
!т
п
.7=1
«ей
т (2)
Так как | х пт 1, то отсюда получим
п
-1 < с (П + 1)й'?>'ТТ V2-*
/Л ^) \
«ей
V (2)
Следовательно
(п + 1)
Е ^ ^ У(2)(2-га)
Г! у(1)(2-п)
3
Д1)/ О-га
Поэтому из неравенства (3,12) получим
<
Г™ У,(2\2-ч) 1
«е 5
т (2)
/о — Т »;,у (2),, (2) » 2
-х-,0+-^) А У}2)(2-п)г
0 «го ^о Ц -гт,-г (п
" к(1)(2-га)
,5/ тР - ^ )
для любого полинома Т(х) с номерами гармоник из Пм, Следовательно
е м (Ду (1) ,Г(1) ^(^(2) » 2
-(-+ «Ъ- ^)
п
У}2)(2-п)
г(1) {с,-п\
=1 у(1)(2-п)
(п
£( ^ - ^)
» м У «*> ^УД ^; (log м)
1=\у(1)(м-1)
(2)
= 1, ... , га
(т-1)( "о- -10++!,(тк -
(2)
(3.14)
Пусть т(2) < 9^ з = 1,..., га. Так как |А| < га, г^0 — -1- + ^ > 0 и функции Е то),
т-т ^,(2)(^-1,
7елуГ(м-1)
» П ^(1og2)
З/А У3 (2 )
(т-1А\)(гю - + + Е ^-¡2- ^г)
(3.15)
для натуральных чисел М ^ 2, Поэтому из неравенства (3,14) получим
е - fev, >>М
-В\ ^ >М {Г]0 + 4 4)
nv(2)(M-1) -е (-¡w-th)
-^ (log М) PJ0 9J0 }т() 3
3eAVJ(1)(M-1)
(2)
для натуральных чисел М ^ 2, в случае т() < Bj, j = 1, ...,m
i i
P)0 ¡30
v(2)
Е SVL[1, го), j = 1,..., m и IAI ^ m имеем (см, (3,13))
Пусть В < т(2) < го и rj0 ^ — — — + 1 — Тогда учитывая, что функции
у!2)(М-1)п_ я„^(-oo-4+4) +,!(^-$
ПЛт-- (log М)
\llv(1)(M-1)
^(М-1) )(A-1){rm - 4+q)-+- Ь)
¿¿v^ (М-1)
(3.16)
для натуральных чисел М ^ 2,
Теперь из неравенств (3,14) и (3,16) следует, что
(sv--и.в) ,, >М0+^)п(logм)(|A|-1)("o-t+it+А-1)
V P,V(),т(1),е J-,v(2),т(2) аа—(1)(м-1)
для натуральных чисел М ^ 2 в случае В < т(2) < го и rj0 ^ ^--+ 1 — -^щ.
Пусть В < т(2) < гои —---— < г70 < —---— + 1--ш. Рассмотрим функцию
pio ¡30 Pio ¡io ОТ()
т 2-*°°(ч+1-±)
№) = П W^f Е
г{к, х)
kep(s°)
где = (s 0,..., s °m), s 0 = Sj если j Е A и s° = 0 если j Е A. Нетрудно убедиться, что
^тп -j
функция f 1 Е (1) _(1) ОВ
р,'
Пусть ПМ множество из М т-мерных векторов {к(1,..., к(М^} с целочисленными координатами, Существует е такой, что |р(з°)| х М и |р(з°)| ^ 2М, Тогда
|р(3°) П П| «
Пусть Т (х) обозначает произвольный тригонометрический полипом с номерами гармоник из ПМ, Тогда по теореме 2,3 при = X. = 2, ] = 1, ...,т будем иметь
т
— Тli;,k(2),*2) > П 2Si(2)v<2)(2-'3) II^(fo — Т)||s j=1
т т Г)-8,0) (Г3 +1-^)
С П 2S°(1 - * )V<2)(2-'0) П (I Р(^)1 — М )1/2
V(1)(2-so)
j=1 j=
т s° (Г.+1 - X )Vj>2)(2-s3) -,r.+1 - )rrv(2)(M-1) ^П 2 (r)+i) ;o) ^—/ >M (r) qo ;з ^ ^-1
= Vj (2-so) ГеА-(1)(М-1)
□
0
Следствие 3.1. Пусть числа ^,р^, т?(1),т]2), г^ Е Ж, ] = 1,... ,га удовлетворяют условиям теоремы 3.1 и функции
= (1 + 1ogí)íЬ■ (1 +1og(1 + 1og¿))ь^,
v?\t) = (1 + logi)aj (1 +log(1 + logi))Cj, aj, bj, Cj G R, с, > bj, j = 1,...,m.
(2)
i. Если 1 < у' < 9j ^ то , j = 1,..., m, mo
_ —(r- + —___— ) 1—r / \ C? —
eм (1)-W-eB)^^ xM—( J0+ — ) Д (1 +log(1 + logM))
jeA
x (logM)(|A|—1L)(rj0+4—4'(logMyÄ—'.
2. Если 1 ^ 0 ^ r( 2 ' < +то, mo
ем (Sjy(1),,(1),öB)_,^(2)_(2) xM— —4) П(1 + log(1 +logM))Cj —b>
jeA
x (logM) 0 ^0 pJ0 ^(2) 0 .
Доказательство. Известно (см., например, [6]), что функции
^•L'(i) = (1+logi)^' (1 + log(1+logi))^, v(L\t) = (1+logi)^' (1 + log(1+logi))c', принадлежат классу G SV[1, то) для j = 1, ...,т и их отношение
üf (t)/v(L (t) = (1 + log(1 + logi))c^ —
V(2)(t)
возрастает, a —t £ почти убывает на [1, то) , е > 0 j = 1, ...,т. Поэтому утверждения следствия верны согласно теореме 3,1, □
Замечание 3.1. В случае V(L(t) = Vj2\t) = 1, t G (0,1] и pj = rjL) = p, qj = rj2) = q, 9j = в для, j = 1,...,т и rL = ... = rv < rv+L ^ ... ^ rm теорем,a, 3.1 совпадает с ранее известными результатами В.Н. Темлякова [19, теорема 2,2, с, 92] и A.C. Романюка [22, теорема 3,1] для, пространств Лебега и в общем случае распространяют их на анизотропные пространства Лоренца-Караматы. Для V(L(t) = Vj2\t) = 1, t G (0,1], j = 1, ...,т и rL = ... = rv < rv+L ^ ... ^ rm теорем,ы, 3.1 совпадает с результатами [28, теорема 3] и [34, теорема 5].
Автор благодарен Рецензентам за замечания способствовавшие лучшему изложению текста статьи.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. С.Г. Крейн, Ю.И. Петунии, Е.М. Семенов. Интерполяция линейных операторов. М.: Наука. 1978.
2. А.P. Blozinski. Multivariate rearragements and Banach function spaces with mixed norm,s j j Trans. Amer. Math. Soc. 263, 146-167 (1981).
3. А.А. Яценко. Итеративные перестановки функций и пространства Лоренца, // Изв. вузов. Матем. 5, 73-77 (1998).
4. V.I. Kolvada. On embedding theorems // Nonlinear Analysis, Function spaces and Applic. Publisher: Institute of Mathematics of the Academy of Sciences of the Czech Republic, Praha, 35-94 (2007).
5. H.K. Бари, С.Б. Стечкин. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства, двух сопряженных функций j j Труды Моск. матем. общества. 5, 483-522 (1956).
6. D.E. Edmunds, W.D. Evans. Hardy operators, function spaces and embedding. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag. 2004.
7. E. Сенет. Правильно меняющиеся функции. М.: Наука. 1985.
8. И. Стейн, Г. Вейс. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир. 1974.
9. С.М. Никольский. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука. 1977.
10. П.И. Лизоркии, С.М. Никольский. Пространства функций смешанной гладкости с декомпозиционной точки зрения, // Труды математического института АН СССР. 187, 143-161 (1989).
11. Т.Н. Аманов. Пространства дифференцируемых функций с доминирующей смешанной производной. Алма-ата: Наука, 1976. 224 с.
12. P.C. Исмагилов. Поперечники множеств в линейных нормированных пространствах и приближение функций тригонометрическими многочленами // Усп. матем. наук. 29:3, 161-178 (1974).
13. Э.С. Белинский. Приближение периодических функций с «плавающей» системой экспонент, и тригонометрические поперечники //В сб. «Исследования по теории функций многих вещественных переменных», Ярославль, 10-24 (1984).
14. Э.С. Белинский. Приближение «плавающей» системой экспонент на классах гладких периодических функций // Матем. сб. 132:1, 20-27 (1987).
15. Э.С. Белинский. Приближение «плавающей» системой экспонент на классах периодических функций с ограниченной смешанной производной // В сб. «Исследования по теории функций многих вещественных переменных», Ярославль, 16-33 (1988).
16. Y. Makovoz. On trigonometric n-widths and their generalization //J- Approx. Theory. 41:4, 361-366 (1984).
17. B.E. Майоров. Тригонометрические поперечники соболевских классов в пространстве Lq Ц Мат. замет. 40:2, 161-173 (1986).
18. R.A. DeVore. Nonlinear approximation // Acta Numérica. 7, 51-150 (1998).
19. В.И. Темляков. Приближение функций с ограниченной смешанной производной // Труды математического института АН СССР. 178, 1-112 (1986).
20. В.И. Темляков. Конструктивные разреженные тригонометрические приближения и другие задачи для, функций смешанной гладкости // Матем. сб. 206:11, 131-1160 (2015).
21. V.N. Temlyakov. Constructive sparse trigonometric approximation for functions with small mixed smoothness // Constr. Approx. 45:3, 467-495 (2017).
22. A.C. Романюк. Наилучшие M-членные тригонометрические приближения классов Бесова периодических функций многих переменных // Изв. РАН, сер. мат. 67:2, 61-100 (2003).
23. М. Hansen, W. Sickel. Best m-term approximation and Lizorkin-Triebel spaces //J- Approx. Theory. 163, 923-954 (2011).
24. S.A. Stasvuk. Best m-term trigonometric approximation for the classes В1рв of functions of low smoothness 11 Ukr. Math. Jour. 62:1, 114-122 (2010). '
25. D.B. Bazarkhanov, V.N. Temlyakov. Nonlinear tensor product approximation of functions // J. Complexity. 31:6, 867-884 (2015).
26. Д.Б. Базарханов. Нелинейные тригонометрические приближения классов функций многих переменных // Труды математического института РАН. 293, 8-42 (2016).
27. Düng Dinh, V.N. Temlyakov, Т. Ullrich. Hyperbolic Cross Approximation. Advanced Courses in Mathematics. CRM Barcelona. Birkhüser/Springer, Basel/Berlin. 2018.
28. Г. Акишев. О порядках M-членного приближения классов периодических функций // Матем. жур. 6:4, 5-14 (2006).
29. Г. Акишев. О порядках М-членного приближения классов функций в пространстве Лебега, со смешанной нормой // Матем. жур. 7:1, 5-14 (2007).
30. Г. Акишев. О точности оценок наилучшего М-членного приближения класса, Бесова // Сиб. электрон, матем. изв. 7, 255-274 (2010).
31. Г. Акишев. О порядках М-членного приближения классов в пространстве Лоренца, // Матем. жур. 11:1, 5-29 (2011).
32. Г. Акишев. Тригонометрические поперечники классов Никольского-Бесова в пространстве Лебега со смешанной нормой j j Укр. мат. жур. 66:6, 723-732 (2014).
33. G. Akishev. On M-term approximations of the Nikol'skii-Besov class j j Hacet. J. Math. Stat. 45:2, 297-310 (2016).
34. G. Akishev. Estimations of the best M-term approximations of functions in the Lorentz space with constructive methods // Bull. Karaganda Univer. Math. ser. 3, 13-26 (2017).
35. G. Akishev. Estimates of the order of approximation of functions of several variables in the generalized Lorentz space j j Preprint: arXiv: 2105.14810vl (2021).
36. G. Akishev. On exact estimates of the order of approximation of functions of several variables in the anisotropic Lorentz-Zygmund space j j Preprint: arXiv: 2106.07188v2 (2021).
37. G. Akishev. On estimates of the order of approximation of functions of several variables in the anisotropic Lorentz - Karamata space j j Preprint: arXiv: 2106.1276v2 (2021).
Габдолла Акишевич Акишев,
Казахстанский филиал
Московского государственного университета
имени М. В. Ломоносова,
ул. Кажымукана, 11,
100008, г. Астана, Казахстан
Институт математики и математического моделирования,
ул. Пушкина, 125,
050010, г. Алматы, Казахстан
E-mail: akishev_g@mail.ru
