CC BY
33
Математика
УДК 517.51
Неравенство разных метрик в анизотропных пространствах Лоренца
К. А. Бекмаганбетов, Е. Д. Нурсултанов
Кафедра математического анализа Казахский филиал МГУ им. М.В.Ломоносова ул. Мунайтпасова, 7, 010010 Астана,, Республика Казахстан
В статье доказано неравенство разных метрик для тригонометрических полиномов со спектром из гиперболического креста в анизотропных пространствах Лоренца.
Ключевые слова: пространства Лоренца, неравенство разных метрик.
1. Введение
Пусть N = (N1,..., Мп), где £ N для всех 3 = 1,... ,п и
Тъ(х)= £ ске2™(к'х) |к|^
п
— тригонометрический полином порядка N (к, х) = Е к^х^.
3 = 1
При 1 < р = (р!,...,рп) < q = (д!,...,дп) < то и а = (а.1,...,ап), где а^ £ К для всех ] = 1,... ,п, справедливы неравенства
гр{а)
1N
< П ^ , (1)
^ ,=1
< с П -1/ч) 1Мьр , (2)
3 = 1
здесь Т^\х) = Е каСке2™(к'х), ка = Д к™', к = тах{1, |*|>.
(а)(,у\ —
| к| ^ N 3 = 1
Неравенства (1) и (2) называются соответственно неравенствами Бернштейна и Никольского для тригонометрических полиномов со спектром из прямоугольников [1]. Эти неравенства являются фундаментальным аппаратом исследования в теории приближения и теории вложения, для классов пространств Никольского и Бесова (Н и В — классы).
В случае пространств с доминирующей смешанной производной (БН и Б В — классы) аналогичную роль играют неравенства для тригонометрических полиномов со спектром из гиперболических крестов.
Пусть N £ N 7 = (71,...,7п), где ^^ > 0 для всех 3 = 1,... ,п. Множество
{п
к =(к1,..., кп) : к, £ Ъ,з = 1,...,п, П < N называется гиперболическим крестом порядка N, соответствующим 7.
Статья поступила в редакцию 21 марта 2009 г.
Пусть Тг(^7)(х) = Е Ске2т(к'х) — тригонометрический полином со спек-кег(м,7)
тром из гиперболического креста и а = (а\,..., ап), а^ е К для всех ] = 1,..., п, обозначим
т(?1г.. л(х)= ^ ^
-г(м,7)
каСке2
кег(м,7)
В работе В.Н. Темлякова [2] для полиномов со спектром из гиперболического креста приведено неравенство Бернштейна-Никольского в пространствах Лебега.
Пусть 1 < ж, а = а1 = ... = а^ < а^+1 < ... < ап, а + 1/р > 0,
1 = 71 = ... = 7^ < 7^+1 ^ ... ^ 7п таковы, что а^ = а^^ для ] = V + 1,..., п. Тогда справедливы неравенства
т
(а)
г(м,7)
< (а+1/р) (1п(^ + 1))(1-1/р)(--1) ЦТ!
г(^,7Л1 Ь
(3)
т
(а)
г( N,7)
(а+1/Р-1/^) ||Тг(^,7)|ь , (а > 0).
(4)
В данной работе мы изучаем неравенство Бернштейна-Никольского для тригонометрических полиномов со спектром из гиперболического креста в анизотропных пространствах Лоренца Ьрч* [3,4]. Это позволило нам в достаточной степени раскрыть природу оценки, а именно выяснить её зависимость от сильных и слабых параметров пространств относительно каждой переменной.
ь
оо
ь
г
2. Основные результаты
Пусть /(х) = /(ж1,... , жп) — измеримая функция, заданная на [0,1]п. Через /*(1) = у*1'...'*™(£ 1,..., ¿п) обозначим функцию, полученную применением к первой невозрастающей перестановки, последовательно по переменным ж1,...,жп, при фиксированных остальных переменных.
Пусть мультииндексы р = (р1,... ,рп), q = (д 1,..., (?п) удовлетворяют условиям, если 0 < pj < ж, то 0 < qj ^ ж, если же р^ = ж, то и qj = ж для ] = 1,..., п, и * = {^1,..., — произвольная перестановка множества {1,..., п}. Анизотропным пространством Лоренца Ьрч* называется множество функций, для которых
( 1
|... (/|*1М... *п/Рп г1'...'*™ (* 1,..., и
Я32 /И
1/
1
1
<.
Здесь выражение ^/01( С( при д = ж понимается как зир^С^).
Нами доказаны следующие теоремы.
Теорема 1. Пусть 1 < р = (р 1,..., _рп) < ж, 1 < q = ( q 1,..., (?п) < ж, * ..., ^п} — некоторая перестановка множества {1,..., п},
С = тах{(+ )/Ь'1 : г = 1,..., п},
В = {г : + )/7;1 = г = 1..., п},го = тт{г : г е В}.
Тогда справедливы неравенства: при > 0
Т
(а)
г( N,7)
е 1/ 4-1/ 4
УТг(М'7)Уьрч* ,
(5)
ьра*
о
ь
оо
при ( = 0
при ( < 0
Тт
(а)
Т(МП)
£ 1/ ч'и
< С (\п(К + 1))*в ||Гг(^)7)|ьр
т( а)
1Г( Му1)
< суТр(м,7)|Ьр
(6)
(7)
Замечание 1. Теорема 1 обобщает и дополняет соответствующий результат работы [5].
Теорема 2. Пусть 1 < р = (р1,...,рп)< г = (г1,...,гп) < то, 1 < q = (д1,...,дп), d = (й1,...,йп) < то, 1/ву = (1/^ — 1/д^)+, з = 1,...,п, * = {]1,... , ]п} — некоторая перестановка множества {1,..., п},
С = тах{(ап + 1/Ро, — 1/гл)/Ъ, : « = 1,...,n},
в = {г : + 1/Рог — 1/г-ог)/Цг = С,г = 1,...,n}, го = тш{г : г £ В}.
Тогда справедливы неравенства: при ( > 0
т( а)
1Г( N,4)
< СМ< (\п(К + 1))^в НТг^)^
(8)
при ( = 0
при ( < 0
ТТ
(а)
Г(N,7)
Е 1/ вц
< С (\п(К + 1))^в ||Тг(^7)||Ьр
т( а)
1Г( N,4)
< с ЦТг( N,4) УЬрЧ*
(9)
(10)
Неравенства (5)-(12) в отличие от неравенств (3), (4) позволяют увидеть какие параметры пространств за что отвечают. Так, в неравенстве (8), в отличие от неравенства (4), возникает логарифмическая компонента, связанная со слабыми параметрами пространств, а именно с теми из них, которые соответствуют max{(ají + — : г = 1,... ,п}. Из неравенств (5), (8) также видно, что
оценки зависят от параметра * = {]1,... ,]п} тем, что из Е 1/0-'оí или Е вы-
1ев
1ев
читается соответствующая компонента 1 /((^ или 1 /0, которая впервые встречается при интегрировании в норме пространства Ьрч*.
3. Вспомогательные утверждения
Лемма 1. Пусть 0 = (01,..., ), 7 = (^1,...,^п), q = (д1,...,дп), где £ К, > 0, д^ > 0 для всех ] = 1,...,п, V > 0 и М £ N
Амг, (Р,", q)
( [ Ж ]
17„ \
Е...
К„=0
[ ] / е ЪК
Ч1 \ Ч2/Ч1 \
1 /ч„
Е
К1=0
2*=
(М — 71^1 — ... — чпкпу
ь
оо
ь
ь
га*
*
ь
а*
Ь
га*
Пусть ( = max (Д,/7, : j = 1,..., п}, В = (г : Д»/7» = С, ^ = 1,..., п} и г0 min (г : г £ В}, тогда,
J2 l/9i-l/9io 2 CMMieB При £ > о
(Д,*л q) ~ <
м м^
при С = 0 при С < 0
(11)
Доказательство следует из следующих асимптотических соотношений м í 2'зм при Д> 0
^2'3fc (М -fc)1
fc=0
М^+1 при Д = 0 М^ при Д < 0
Лемма 2 (см. [6]). Пусть 1 < р = (р 1,...,рп)< г = (г 1,...,гп) < ж, 1 + 1/г = 1/р + 1/8, 1 < q = (91,..., 9п), й = ( ¿1,..., ¿п) < ж, 1/0 = (1/ё - 1/q)+, * = ...,_?'п} — некоторая, перестановка множества {1,..., п}. Тогда справедливо неравенство
Н/*зНьг^ ||/Ньр,* ||<?|кв*.
Пусть -ж < а = (а1,...,ап) < ж, 0 < q = (<?1,..., <?п), Р = (Р1, ...,Рп) < ж. Для функций / е Ьр([0,1)п) обозначим через
Дв(/, х) = £ ак(/)е2-<к'х\
кер(з)
где {йк( /)}кеж ™ — коэффициенты Фурье функции / по кратной тригонометрической системе, р(8) = {к = (й1,..., йп) е 2п : [З-3^ 1 ] < < 2^ ,г = 1,..., п}.
Анизотропным пространством Бесова В£ч ([0,1)п) [7] называется множество функций / из Ьр([0,1)п) для которых конечна норма
врч ([о,1)")
2(a,s)||As (/)||
bp([0,1)")
где || ■ || г — норма дискретного пространства Лебега ¿ч*.
Сформулируем в виде леммы частный случай теоремы 4 из [7].
Лемма 3. Пусть 1 < р = (р 1,...,рп) < г = (г 1,...,гп) < ж, 0 < q = ( q 1,..., (?п) < ж и а = р — 1, * = (^ь ..., ^п) — некоторая перестановка множества (1, . . . , п), тогда
В£ч ([0,1)п) ^^([0,1)п) ^В--^ ([0,1)п).
Пусть к = ( &1,..., &п), 8 = (в1,..., вп) и 7 = (71,... ,7п), где ^ е 2, е N и 71 > 0 для всех ] = 1,..., п. Ступенчатым крестом называется множество
да, 7)= у Р(8).
(8,7)<М
Лемма 4. Пусть 1 < р = (р 1,..., рп) < ж, 0 < q =( q 1,..., (?п) < ж, * = ( 1, . . . , п) — некоторая перестановка множества (1, . . . , п),
а = (а1,...,ап) е Кп, 7 = (71,...,7п) > 0 и Тогда справедливо
(а) Q(M,7)
__^ ja (k,x)
keQ(M,7)
(а)
Q(M,7)
~ Лм,7 а + -7, 0, q* brq*([0,1]™) ,7 V r
(« + Г , 0, q*).
l q*
Доказательство. Последовательность {к а} — монотонна по каждому индексу, и согласно теореме Харди-Литтлвуда, получим
А (П( а) А \иЯ(м,7)
Ьр([0,1)„)
е +£ Ь
(12)
Согласно лемме 3 и (12) имеем
и.
(а)
Я(мп)
ЬгЧ* ([0,1]")
< С1
и.
(а)
Я(М,-у)
в;4 ([0,1)")
= Сл
Е...
1 Л,
«2 \ ЧП «1 \
в"=0
Е
\
23=
Ьр([0,1)„)
/ [ 7М ] £ •
\
/г.
/ГМ-7232-...-7" 1 / ™
Г[--Ч Е (£ - ^+
Е
31 =0
2*=
Ч1
Е ■
з„=0
/ Г М-72^2 - ...-7„ "I / ™
У И ЕК + 7Т )3
ЧЧ «1 \
Е
23=1
Аналогично, согласно лемме 3 и (12), имеем
= Ам (« + 1, 0, q*) . (13)
и.
(а)
Я(МП)
ЬгЧ* ([0,1]")
и.
(а)
Я(М,-у)
Вр;ч ([0,1)")
= С-1
[М] ¡[М-72'2-...-7"'"] / ^ -
«2 \ ЧП «1 \
...
в"=0
Е
\
23=
Ьр([0,1)")
{ [ 7М ] £ ...
\
М
ПМ/ £(^-х
Е
31 =0
23'=
Ч-1- -1-+а,+ 4-)з,
1
«1 ^ /
1
Е ■
3"=0
/ Г М-72^2 - ...-7" ] / ™
у Ч ЕК+7Т)3
« 2
Чл «1 \
Е
23=1
Объединяя (13) и (14), получаем
= АМ (« + 1, 0, q*) . (14)
и.
(а)
Я(М,-у)
ЬгЧ* ([0,1]")
Ам (а + Г, 0, q*)
Лемма доказана.
□
1
М
ПаЯ
1
М
1
1
4. Доказательство основных результатов
Доказательство (теоремы 1). Пусть 2м 1 < N < 2м, тогда ф(М, 7) наименьший ступенчатый крест, покрывающий гиперболический крест ^N,7).
Полином Т](<(^7)(х) представим в виде свёртки полинома Тг(^,7) (х) с ядром
(х) = £ (к'х).
Согласно неравенству Гельдера и леммы 4 получаем
Тт
(а)
Г( W,7)
= ess sup
ь~([0,1)") xe[0,i)™
< 11тг
1
У ^(W,7)(y)^M,)7(х - y)dy
<
и
(а)
М,7
V4'* ([0,1)")
W ([0,1)")
([0,1)-)
~ + р1, 0, ||Тр(^,7) |
Далее доказательство следует из леммы 1. Теорема доказана.
Доказательство (теоремы 2). По аналогии с предыдущим доказательством и согласно лемм 2 и 4 получаем
□
т (а) Jr(W,7)
Lrd* ([0,1)")
1
У ^r(w,7)(y)^M,)7(х - y)dy
<
F^oO^* ([0,1)")
и
(а)
М,7
Lrd* ([0,1)")
r^j
Ьвв* ([0,1)")
Лм,7 (а + 1, 0, 0*) ||Гг(^,7)|
= Лм,7 (а + p - 1, 0, 0*) ||Tr(jv,7) I
!bp4* ([0,1)") 1 1
bpq* ([0,1)")
Далее доказательство следует из леммы 1. Теорема доказана. □
Замечание 2. Точность по порядку неравенств из теорем 1 и 2 не сложно проверить на полиномах вида (х), путём подбора мультииндекса т = (п,..., т„). Отметим также, что неравенства (7) и (12) можно получить как следствия тео-
рем вложения Wp^q* ^ L^ при а > 1/p и Wp работы [7].
pq*
Lrd* при а > 1/p — 1/r из
r^j
а
Литература
1. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. — М.: Наука, 1969.
2. Темляков В. Н. Приближение функции с ограниченной смешанной производной // Труды МИ АН СССР. — 1986. — Т. 178. — С. 1-112.
3. Blozinsky A. P. Multivariate rearrangements and banach function spaces with mixed norms // Trans. Amer. Math. Soc. — 1981. — Pp. 149-167.
4. Нурсултанов Е. Д. О коэффициентах кратных рядов Фурье из Lp-пространств // Известия РАН. Серия математическая. — 2000. — Т. 64, № 1. — С. 95-122.
5. Нурсултанов Е. Д. Неравенство разных метрик С.М. Никольского и свойства последовательности норм сумм Фурье функций из пространства Лоренца // Труды МИ РАН. — 2006. — Т. 255. — С. 1-18.
6. Nursultanov E, Tikhonov S. Convolution inequalities in Lorentz spaces // Centre de Reserca Matematica, Preprints, Barselona. — 2008. — Vol. 802. — Pp. 1-31.
7. Нурсултанов Е. Д. Интерполяционные теоремы для анизотропных функциональных пространств и их приложения // Доклады РАН. — 2004. — Т. 394, № 1. — С. 16-19.
UDC 517.51
Nonequivalence of Different Metrics in Unisotropic Lorentz
Spaces
K. A. Bekmaganbetov, E. D. Nursultanov
Mathematical Analysis Department Kazakh branch of Lomonosov MSU Munaitpasova, 7, 010010 Astana, Republic of Kazakhstan
The nonequivalence of different metrics for trigonometric polynomials with the spectrum from hyperbolic cross for unisotropic Lorentz spaces is proved.
Key words and phrases: Lorentz space, nonequivalence of different metrics.
