О порядках приближения классов гладких функций в пространствах Лебега со смешанной нормой Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Том 148, кн. 2 Физико-математические пауки 2006

УДК 517.518

О ПОРЯДКАХ ПРИБЛИЖЕНИЯ КЛАССОВ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ В ПРОСТРАНСТВАХ ЛЕБЕГА СО СМЕШАННОЙ НОРМОЙ

Г.А. Акишев

Аннотация

В статье изучен порядок приближения классов Бесова тригонометрическими полиномами с гармониками из ступенчатого гиперболического «креста» в пространствах Лебега со смешанной нормой.

Пусть Ж = (ж1?...,жт) € Ет, 1т = [0, 2п)т, т € N. Через Ьр(1т) обозна-

чим пространство измеримых по Лебегу, имеющих 2п-период по каждой переменной функций /(ж), для которых

< +го.

II/Ур = |- 2п / - 2п [ |/(Ж)|Р1 ЙЖ1 Р2/Р1 Рт /Рт- 1 dжm 1/Р

«/ 10 -) 0

где р = (р1, . . , р т ) 1 < р$ < 3 = 1. • ..,т 2]

множество всех функций / (Е Ьр(1т) таких, что

2п

J / (ж) сЬ= 0, = 1,т.

Будем говорить, что числовая последовательность |ап}пеХт принадлежит 1р, если

1ап}

п£Хт Щр

о

Е

пт —

Е Ы

П1 — — о

Р2/Р1

Рт/Рт-П 1/р-

< + ГО.

где р = (рь . . .,Рт) , 1 < Рз < +оо , 2 = 1, . .., т.

Пусть даны векторы г = (/’1,..., гп), р = (р... ,рт), в = {в\,..., вт), причем 1 < в$ ,р$ < +го, г$ > 0, 3 = 1,..., т. Рассмотрим класс О.В. Бесова

ТЭГ

р,в

/€%(/“) :

I Вг -

р,в

||р +

2^ тл\\р}

1тг

Здесь и в дальнейшем

$г(/,ж) = Оп(/)е*

{П1Х)

г£р(з)

т

ос

где (у,ж) = ^ у-ж,-, р(в) = {к = (кь...,Аг) е Zг : 2^' 1 < |к-| < 2^', 3 =

5 = 1

= 1,..., т}, ап(/) - коэффициенты Фурье функции / е Ь1(/т) по кратной тригонометрической системе {ег‘'”’^}пе2т .

Пусть дан вектор 7 = (71,..., 7г), 7, > 0, 3 = 1,..., т. Положим

Я1 = и Р(*)> Т(«) = < *(*) = Е

,7

Обозначим через £п7)(/)р наилучшее приближение функции / е Ь)5(/т) полиномами из множества Т(ФП)> положим

^(Щ,в)-= 8ир ^Аг

9

В исследовании порядка приближения классов функций многих переменных важное значение имеет способ выбора гармоиик приближающих полиномов.

Впервые способ приближения классов функций многих переменных тригонометрическими полиномами с гармониками из гиперболических «крестов» предложил К.И. Бабенко [3]. Впоследствии приближения различных классов гладких функций в пространствах Лебега с изотропной нормой этим методом исследованы С.А. Теляковским [4]. Б.С. Митягиным [5]. Я.С. Бугровым [6]. Н.С. Никольской [7]. Э.М. Галеевым [8. 9]. В.Н. Темляковым [10, 11], Б.С. Кашиным, В.Н. Темляковым [12], Динь Зунгом [13], Н.Н. Пустовойтовым [14], А.С. Ромашоком [15, 16].

Цель настоящей статьи изучение порядка приближения классов Бесова в пространствах Лебега со смешанной нормой.

Сначала приведем некоторые обозначения и вспомогательные утверждения. Положим

У г(п, 7) = {в = (в1, ...,8т) е zm : (8, 7) > п},

1 т

7) ={в=(в1,..., вт) е zm: ^2 в,7, > п 7- > о}

-=1 г+1

т

У2Г(п, 7) = {в = (81, ...,«г) е ZГ : 81, . . . , 81 > 0, £ 8- 7- > п}.

-=г+1

Через С(р, ^, г, у) обозначим положительные величины, зависящие от указанных в скобках параметров, вообще говоря, различные в разных формулах.

Запись А (у) х В (у) означат, что существуют положительные С1, С2 такие, что С1 • А (у) < В (у) < С2 • А (у).

Лемма 1 (см. [17]). Пусть даны целое неотрицательное число I < V < т и вектор 7 = (71+1, ..., 7т), 1 = 7г+1 = • • • =^7^ < 7^+1 < • • • < 7т ; пусть, далее, а £ (0, +оо), ву £ [1, +оо), j = 1+ 1, • • •, т, 9 = (#г+ъ • • •, вт). Тогда имеет .место соотношение

2 1/е3

х 2-”“п■’=г+2 .

%

Лемма 2 (см. [18]). Пусть даны целое неотрицательное число 7 = (т1+1,..., тГ), (1 < т- < +го), 3 = I + 1,..., т, и хк(п)(7) - характеристическая функция множества к(п) = { 7 = ( 81,...,8 г) е ZГ : ( 7,7) = п}. Тогда имеет место соотношение

Г 2-а{5,7> 1

1 )зеУ™ 1 (7 ,п)

вЕк(п)

Е 1/т3

,з=г+2

Теперь изложим основные результаты статьи.

Теорема 1. Пусть 7 = (д1,...,дг^ 1 < д- < то, 3 = 1,..., т, в =

= ш1п{д1,..., дг, 2} Тогда для любой функции / е Ьд(/г) имеет место неравенство

1/е

< с(д,т)^ £ Ц4(/)||

Доказательство. Если 2 < д- < +то, 3 = 1,..., т, то в = 2. В этом случае теорема доказана в [17].

Далее неоднократно будем пользоваться следующим результатом О.В. Бесова

[19] о том , что если / е Ьд(/г), 1 < д- < то, 3 = 1,..., т, то

Е !*-(/> ■

1/2

Пусть 1 < д- < 2, 3 = 1,..., т,. Тогда в = д-0 = ш1п{д1,..., дг}. Так как д1/2 < 1 и д-0/д1 ^ 1, то в силу неравенства Иенсена (см. [1, с. 125]) имеем

" 2; ( ^ 91/2 92/91 2п 92 /91

/ Е ^-(/>ж)|2 о угег™ у ЙЖ1 Е / 1^-(/,Ж)|91 ^Ж1 /ЄЖ+ 0

<

2п

92/д3'о

1/2 ( \ 1/9І0

£ і«/.оі2 ]Г над •,Ж2)у9іо

ч -2

почти для всех ж2 = (ж2,..., жг). В силу этого неравенства по свойству нормы имеем

/ \ 1/2 / \ 1/9з'0

(1)

где д2 = (д2,..., дг). Так как д-/д-0 ^ 1, 3 = 1,..., т, то по свойству нормы из (1) получим

1/9'о

Е над он?0 . (2)

Е №(/> ■

1/2

Пусть теперь в = ш1п{д1,..., дг, 2} = д-0 = 2, то есть д-0 < 2 и некоторые > 2-

Если д1 < 2, то два раза применяя неравенство Иенсена, имеем

"2 п / N 91/2 1/91 /* 2 п* 1/91

/ Е ^-(/>ж)|2 0 \в«+ ) ЙЖ1 Е / 1^-(/,Ж)|91 ^Ж1

<

Чзо /91

Е / і*-(/

1 ^Жі

1/9і,

2

п

Тогда учитывая то, что ^0 ^ #2, по свойству нормы имеем

1/92

91 /2

Е !*-(/>

2п

2п

91/2 \ 92/91

ЙЖ1 I ЙЖ2

уо ^вєг+

<

<

2П /

[ [ Е Н^-(/’ •,Ж2)

о \вЄ^т

92/9іо

І9і0

ЙЖ2

1/92

1/ 9іо

<

Е над •,Жз)н991,

92)

почти для всех ж3 = (ж3,...,жг). Далее продолжая этот процесс, по свойству нормы имеем (так как д-0 ^ д-, 3 = 3, 4,..., т)

Е іад

1/2

Е

ад)

9І0 ^ 1/9І0

(3)

+

Таким образом, теорема доказана в случае ^1 < 2, в < 2.

Пусть в = ^'0 < 2, но #1 > 2 и к0 Є {1,..., і0} - первый помер, для которого дко ^ 2, то есть ^ > 2, для і = 1, 2,..., к0 — 1. Тогда по свойству нормы имеем

Е !ад> •),Жко|2

в

1/2

^ Е

90 '•зЄ2

^я(/, •, Жко

+

2 1/2

9о

где жко = (жко,..., жг), до = (д1,..., дко — 1). Используя это неравенство и два раза применяя неравенство Иенсена (см. [1, с. 125]), с учетом соотношений д^0/2 < 1, 9-0/дко ^ 1 будем иметь

Е ^-(/ •,Жко + 1

в

1/2

(9о,9Ьо)

^я(/, •, Жйо + 1/

1/9ко

<

<

Е

(9о,9к0) ^-(/, ■, Жко + 1 )

9іо 'І 1/ 9^о (9о,9к0 ) -

почти для всех жко + 1 = (жко + 1,..., жг). Отсюда по свойству нормы получим (т. к. 9-о < д-, 3 = ко + 1,... ,т)

Е і^-(/,

в

1/2

<

Е

в

9зо 'І 1/9іо (9о,9ко )

<

(9ко + ь--->9т)

^ Е

vsєz;

ад, ■

9іО 1/ 93'

(4)

+

в случае д1 > 2, в = 9-о < 2. Из неравенств (2)-(4) в силу теоремы О.В. Бесова

[18] получим утверждение теоремы. □

Теперь теорему 1 применим для оценки порядка приближения функциональных классов.

2

2

Теорема 2. Пусть д = (д1,...,дг), 1 < д- < +то, в = шт{д1,..., дг, 2}, 7 = (г1,...,Гт), 0 < Г1 = ••• = г^ < г^+1 < ••• < Гт, 7- = г-/г1, 3 = 1,...,т.

Тогда имеют .место соотношения

2. ЕЦВ^)Ч < С(д,9,т,г) ■ 2^ ■ п*='+'

Е (1/в-1/е3)

если

< в, і' = 1,...,/.

> в, і = / + 1,. . ., т.

Доказательство. Пусть 0- ^ в, 3 = 1,..., т. Применяя теорему 1 к функции / — 6;К/) € Ьд(1т) и используя неравенство Иенсена. получим

1/в

£,!(/),-< ||/-5;Т(Л||_<с(</,«)• <| ]Г ||<ы/)1||> <

, 1/в

с(</,«)•<! £ ^нмян^у3

(в",7)

<

<

< С (д,т) • 2-пГ1

2<^ ||<М/)||*}

Следовательно.

Е1ЩГв)^С(д,т.)-2-пг\

Для оценки снизу величины Е2(В1_д)д рассмотрим функцию

Л(Ж) = П2

-в0(гз + 1-1/9з)

Е ^’х) = бёо(/,х),

кер(зо)

где во = (в1!,..., .4), (в-, 7) =0.

Так как /о непрерывна, то /о е Ьд(/г). Учитывая соотношение 23-1

Е

&=2£

получим

2<^ 1М/(о))||^

2в(1-1/р), 1 < р < +то,

||4о(/0)|и2<-^> <С%т),

(5)

то есть Со/о € ^д - Так как (во, 7} = п, то (/о, ж) = 0. Поэтому, учитывая (5), будем иметь

Следовательно,

/0 — ^(/0)11- = НЛП- > С(#,т) • 2-пГ1.

Е?Ж-в)^С(д,т,)-2-^.

Этим первый пункт доказан.

е

р

9

Пусть 0- < в, 3 = 1,..., I и 0- > в, 3 = I + 1,..., т. Тогда, применяя теорему 1 к функции / - 5',1(/) € Ьд(Гг), получим

-й'ЛЛЦ^С^т)

1/в

Е н<м/)н£

1/в'

С (д, т){^(п) + ^(п)}. (6)

Так как 0- < в, 3 = 1,..., I и г- > 0, то при фиксированных 81+1,..., 8г

Е 11<»(/)111«{Е

«г = 1

( / / \ ел ^2/^1

* со /1

\

ег/ег-1

в/0!

V V

Е П2^г" п^(/)1^

«1=1 V-=1

П28зГзпад)||,

где вг = (вь . . . , в;), 6»г = (0Ь . . . , 6>;). Поэтому

1/в

1/в

^н = <1 Е нмян?

яе!'2т(7,п)

Е Е «МЛ»:

,8т_геУ3т \ч,п)чег1

<

Е

м-ге^з"1 г(7.и)

П2в,г,н<ш)Н*

. -= 1

<

1/в

,

где У3т (7, ??.) = < вт_г = (вг+ь ..., вт) £ г™ : ^ 8Лз > ”7 •

I -=г+1 )

Так как в < 0-, 3 = I + 1,..., т, то, применяя неравенство Гельдера с показателями т- = 0-/в, т- = т-/(т- — 1), 3 = I + 1,. . ., т, получим

Е

,ЕГ™-1{ъп)

П2в,г,н<ш)Н*

. -=1

<

SlEZl,

в

<

п

,-=* + !

,г—г ЕГ3т (у,п)

П28зт-(/)11,

,

о

в

&

в

—а о Го

''

X

X

в

где ет-г = (ег+i,..., ет), е, = вт,, j = l + 1,..., m. Пользуясь леммой lea = ri, 0, = е, , будем иметь

2-

^=г + 1 ' 8т_гЄїзт-‘(7,п)

Из неравенств (7) (9) следует, что

Е i/^j

< C(m,r,0) • 2-nrl n j=l+2

(9)

г?...

E (i/e-i/0j) J2(n) < C(0,q,m,r)2-nrl nj=l+2

П2Я,т-(/)іі*

s(^ZV_

(10)

где

1 = 1Л-Л = 1-1.

/5 \ 6^' у /3 в2

Теперь оценим ^(п). Так как г- > 0 и 0- < в, 3 = 1,...,/, то в силу неравенства Иенсеиа имеем

1/в

Ып) = { ]г имя и?

s£F1m(7,n)

Е Е

в / і Xе

Ё sjYj <n Е sj Yj >n- E sj Yj

j=l j=l + l j=l + l

Ц 2 ' П2в,’Г,‘ ІІ^(/)ІІ,

U=1 / \j=1

1/в

1/в

E I 2 I E I n2Sjrj n^(/)ih

E sj Yj <n kj=l+l

siEZ\^_ \j 1

<

1/в

<*

E sj Yj <n k j=l + l

E sj rj j=l+l

П28зт-(яіі? , j=i

siEZ\

.

Так как в < 0-, 3 = 1 + 1,..., т, то, применяя неравенство Гельдера с показателями т- = 0-/в, т- = т-/(т- — 1), 3 = 1 + 1,. . ., т, из (11) получим

х {Х<7„ (sm —i)ls

1<г

,

где ап = sm-i = (si+1,..., sm) Є Z™ 1 : sj^j < n > , x<j„ характеристиче-

l _ *=l+l J ;

ская функция множества an , и є„г_; = (ег+ъ • • •, ет), = /?т-, 3 = І + 1, • • •,}п-

-l

m

в

в

m

X

sGZm

в

В силу леммы 2 {Х<7„(*т-г)Ьт_ге2?

Е 1Д, ^ С(д, 0, т, 1)п ^-г+1

= С(д, 0, т, 1)п з-г+1

Е (1/в—1/0з)

Поэтому из неравенства (12) получим оценку

Е (1/в—1/0,) 71(п) < С(д,0,т,1)2—ПГ1 п,=г+1

П28зт-(/)11,

(13)

Теперь из неравенств (6). (10). (13) будем иметь

Е2(Лч < / - 5',Т(/) _ < С(д, 0, т, г) ■ 2~пг' ■ п*=‘+'

Е (1/в—1/0,)

для любой функции / (Е Вг_-^, 0^ < /3, 3 = 1,..., т, и 0^ ^ /3, j = I + 1, ..., т. Таким образом,

Е (1/в—1/0,-)

где 0-,- < /3, 3 = 1,...,/, и 0-,- > /3, 3 = л-1,..., т. Теорема доказана. □

Теорема 3. Пусть 1 < р- < д- < +то, г- > 1/р- — 1 /д-, 1 < 0- < то, г =

= (г1,г2), 7- = г-/г1, 3 = 1, 2. Тогда справедливо неравенство

ЕЩ^^С(Р,д,в,г)2-пап'3,

1 1 1 1

где а = тт{/’1 -|------, го -|-----} и

д1 Р1 д2 Р2

в=

1 1

42 02

если

0- <д- 3 = 1,2;

% < 3 = 1, 2, »’1 + -------------- ^ го + --------------

д1 Р1 д2 Р2

01 < 42 <02 п н--------------^ >’2 н------------------;

д1 Р1 д2 Р2

?’1 + -----------------— = го + --------------------------, в] > 3 = 1, 2;

д1 Р1 д2 Р2

01 < 9ь 02 > 92-

До казательство. М.К. Потаповым [20] доказано, что если / е Ь)5(/2), 1 < < Р- < д- < +то, 3 = 1, 2, то

С(р,д) { Е 28292(1/р2-1/92) «2 = 1

'9

.81 = 1

92/91

1/92

0

о

Так как г- > 1/р- — 1/д-, 3 = 1, 2, то из приведенного утверждения следует, ¥(/2). Пусть / € теорему М.К. Потапова, имеем

что В?_- С Lq(I2). Пусть / € Вт_-. Тогда, применяя к функции / — S%(f) G Lq(12)

'2

Е 2a^1'n-1M\\6s(f)\\*'

.'1 >n-'2

+ Е2

'2^n

'292(1/^2-1/92)

2Sl

_'i >0

9l(l/Pl-l/9l)

92 /9i

ІМ/Ш

2/91Ї 1/92

.

Если 0- ^ д-, 3 = 1, 2, то применяя неравенство Пепсепа и учитывая то, что г- > > 1/р- — 1/д-, получим

ii(n) = 2s2

92(l/P2-l/92 )

'2

< J 2'2Є2(1/ P2 l / 92)

'2^n

E 2Sl9l(1/pi-1/9l)||^(/)||^

,'i >n-'2

E 2si0i(1M^1/9i)u^(/)ii^

Sl>n-S2

92/9l

1/92

<

<

< 2-n(ri + l/9i-1/pi ) ) 2'2r202 • 2'202(г1 + 1/91-1/Pi-Г2 + 1/Р2-1/92)

'2^n

E ^чмяні1

.'1 >n-'2

02/0l

1/02

.

Если ?■! + — -— < Г9 + — - —. TO 28202(Гі + 1/9і-1/рі-Г2+1/Р2-1/92) ^ і. Ec-

qi pi q2 p2

ли же ?’i + — — — > ro + — — —. то 2S202(-ri+1/9l~1/pl~r2+1/p2~1/92') ^

qi pi q2 p2

< 2n02(ri+l/9l-l/pi-r2+l/p2-l/92^ дая s2 < n. Поэтому из (1Б) получим

(16)

где а = пип ^ /’1 И------, го -\------1 , 0л <г: j = 1,2,.... Аналогичными

?1 Р1 ?2 Р2 )

рассуждениями можно убедиться в том, что

I2(n) = 2S2

92(l/P2-l/92 )

2

Sl >о

Sl9l(l/Fl-l/9l)||dV(/)||9l

92/9l

1/92

<

< 2-na I E 2'2 '2 = 1

Г 2 02

E2siri01 імяні1

_si = i

02/0l

1/02

(17)

X

c

c

для 0- ^ д-, 3 = 1, 2. Теперь из неравенств (14), (16) и (17) получится оценка

Щ(Лп<С{р,д,г)- 2-

(18)

для функции / £ В1_- в случае <г: д^, j = 1,2. где а = тт ^ ?’1 Н------------,

?1 Р1

г2

1 1

д2 ро

Пусть д- < 0-, 3 = 1, 2. Тогда, применяя неравенство Гельдера т- = 0-/д-,

т7' = т-/(т- — 1), П0ЛУ"

П2в,г,н^(/)н? , -=1

2

X

в

х < Е2

в2^П

82(1/Р2 —1/92 —Г2)92 т2

2Я2(1/Р1—1/91 —г1)91

81 >П —82

2

92 т2 /(91т1)

1/(92 т2)

<

(я

1 / ( 9 2 т2 )

^ ' 2я2(Г1 + 1/91 —1/Р1 —Г2 —1/92 + 1/^2)92т2 ^ • 2—п(г1 + 1/91 —1/Р1) (]^

в2

1 1 1 1

Если ?’1 -|--------------= го Н----------------, то

д1 Р1 д2 Р2

1/(92 т2)

/3(п) < ^ Е 282(г1 + 1/91 -1/р1 -Г2-1/92+1/р2)92т2 I, ^ С(р,д,г)п1/(92т2). (20)

^ 82 <П

1 1 1 1

Если же ?’1 -|----------------ф го Л---------------, то

д1 Р1 д2 Р2

/з(п) < С(р,д,г)2-п(г1 + 1/91 -1/р1—Г2-1/92+1/р2)+, где у+ = тах{у, 0}. Из неравенств (19)—(21) следует, что

/1(п) < С(р, д, г, 0)2-пв

в случае д7- < 0о, 3 = 1, 2, где а = 1шп < /’1 -|---, го Н-------;• и

I д1 Р1 д2 Р2,

1 1 1 1 1 1

----—, если ?’1 -|----------= го Н---------,

в = I д2 02 д1 Р1 д2 Р2'

(21)

X

Далее, снова применяя неравенство Гельдера с показателями Tj = 0j /qj, Tj Tj/Tj — 1, имеем

І2 (n) < C(p,q,r, 0)2-

П2Я,г,н^(/)іії

(23)

І І І І

a = nun < ?ч H-------,r2 H--------> .

qi pi q2 P2 .

Теперь в силу неравенств (22). (23) из (14) для функции / Є BI_-g получим

E2(fh^C(p,q,r,)2-nan^

в случае ^ < 0^, 3 = 1, 2, где а, в определены аналогично, как и в неравенстве (22).'

Пусть ^ ді, 02 > #2- Тогда, применяя к сумме по индексу в і неравенство Иенсена, по в2 _ неравенство Гель дера с 02/^2 = Т2 > 1 и учитывая соотношение

(20), будем иметь

Il(n) < C(p, q, r, 0)

П^ііадіїї

2-nane,

(24)

где а, в определены так же, как и в неравенстве (22). Далее, учитывая неравенства г,- >---------, j = 1,2, имеем

р- д-

І2 < C(p, q, r, 0)

П28зГзім/)іір , j=l

(25)

где a = min < ?’i H-------, m H--------1, 0i ^ qi, 0o > qo. В силу неравенств

I qi Pi q2 P2 J

(24), (25) из (14) следует

E2(fk^C(p,q,r,)2-nan^

в случае 0i ^ qi, 02 > q2 для функции / Є Вгде числа a, /3 определены в

(22). Этим теорема доказана.

□

Отметим, что в случае р1 = • • • = рт, 01 = • • • = 0т точные порядки приближения класса Бесова установлены в работах А.С. Ромашока [15, 16]. Аналогичная задача в пространствах Лоренца с анизотропной метрикой ранее изучена в [17, 18].

в

в

2

—na

2

Summary

G.A. Akishev. On degree of approximation function classes in t.lie space Lebesgue with anisotropic norm.

There is the anisotropic space Lebesgue of periodic function in the paper. In the paper is obtained the estimate degree of approximation O.V. Besov’s classes in anisotropic space Lebesgue by trigonometric polynomials with harmonics in hyperbolic crosses.

Литература

1. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения.

М., 1977. 456 с.

2. Аманов Т.Н. Пространства дифференцируемых функций с доминирующей смешанной производной. Алма-ата, 1976. 224 с.

3. Бабенко К,И, О приближении одного класса периодических функций многих переменных тригонометрическими многочленами // Докл. АН СССР. 1960. Т. 132.

5. С. 982 985.

4. Теляковский С.А. Некоторые оценки для тригонометрических рядов с квазнвыпук-лыми коэффициентами // Матем. сб. 1964. Т. 63. С. 426 444.

5. Митягин B.C. Приближение функций в пространствах Lp и C на торе // Матем. сб. 1962. Т. 58, Л» 3. С. 397 414.

6. Бугров Я.С. Приближение классов функций с доминирующей смешанной производной // Матем. сб. 1964. Т. 64. С. 410 418.

7. Никольская H.G. Приближение дифференцируемых функций многих переменных суммами Фурье в метрике Lp // Сиб. матем. журн. - 1974. - Т. 15, № 2. - С. 395-412.

8. Галеев Э.М. Приближение суммами Фурье классов функций с несколькими ограниченными производными // Матем. заметки. 1978. Т. 23, Л'! 2. С. 197 212.

9. Галеев Э.М. Поперечники по Колмогорову классов периодических функций многих переменных Wp и Hp в пространстве Lq // Изв. АН СССР. Сер. Матем. - 1985. -Т. 49, Л» 5. С. 916 934.

10. Темляков В.Н. Приближение периодических функций нескольких переменных с ограниченной смешанной разностью // Матем. сб. 1980. Т. 113, Л'! 1. С. 65 80.

11. Темляков В.Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной // Тр. МИАН СССР. 1986. Т. 178. С. 3 112.

12. Ка,шин Б.С., Темляков В.Н. Об одной норме и аппроксимациоппых характеристиках классов функций многих переменных // Метрическая теория функций и смежные вопросы анализа. М., 1999. С. 69 99.

13. Динь Зунг Приближение функций многих переменных па торе тригонометрическими полиномами // Матем. сб. 1986. Т. 131, Л'! 2. С. 251 271.

14. Пустовойтов Н.Н. Приближение многомерных функций с заданной мажорантой смешанных модулей непрерывности // Матем. заметки. 1999. Т. 65. С. 107 117.

15. Романюк А.С. Приближение классов Бесова периодических функций многих пере-

Lq

16. Романюк А.С. Приближение классов периодических функций многих переменных //

Матем. заметки. 2002. Т. 71, 1. С. 109 121.

17. Акишев Г. Оценка порядка приближения классов Бесова тригонометрическими полиномами // Вестп. Карагапд. уп-та. Сер. Математика. 2004. Л'! 3. С. 9 16.

18. Акишев Г. О приближении функциональных классов в пространствах со смешанной нормой // Матем. журп. 2005. Т. 5. С. 5 15.

19. Бесов О.В. Теорема Лнтльвуда-Пэли для смешанной нормой // Тр. МИАН СССР. 1984. Т. 170. С. 31 36.

20. Потапов М.К. Теоремы вложения смешанной метрике // Тр. МИАН СССР. 1980.

Т. 156. С. 143 156.

Поступила в редакцию 05.06.06

Акишев Габдолла Акишевич кандидат физико-математических паук, доцепт математического факультета Карагандинского государственного университета им. Е.А. Букетова, Республика Казахстан.

Е-шаП: akishevQkargu.krg.kz