CC BY
27
ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 1. № 2 (2009). С. 9-16.
УДК 517.51
О ПОРЯДКАХ ПРИБЛИЖЕНИЯ КЛАССА БЕСОВА В МЕТРИКЕ АНИЗОТРОПНЫХ ПРОСТРАНСТВ ЛОРЕНЦА
К.А. БЕКМАГАНБЕТОВ
Аннотация. В работе установлена точная оценка порядка приближения класса Бесова тригонометрическими полиномами в метрике анизотропных пространствах Лоренца.
Ключевые слова: пространства Бесова, пространства Лоренца, порядок приближения, ступенчатый крест.
1. Введение
Пусть /(x) = /(х\,...,хп) — измеримая функция, заданная на [0,1]™. Через /*(t) = /*!>...>*" (£ь ... ,tn) обозначим функцию, полученную применением к первой невозрастающей перестановки, последовательно по переменным Х\,... , хп, при фиксированных остальных переменных.
Пусть мультииндексы p = (р\,... ,рп), q = (qi,... , qn) удовлетворяют условиям, если
0 < pj < то, то 0 < qj ^ то, если же pj = то, то и qj = то для j = 1,... , п. Анизотропным пространством Лоренца Lpq называется множество функций, для которых конечна
, ч Ч2,Ч1 , 1 ‘/^П dt 1 \ dtn
/ tr.
(i1.. Но11 (i/pi ..t;/r~/*1,'*■ (*1’..’*") I” to^a/,, ..^)
(1 \1/q
fQ (G(s))q^f) при q = то понимается как sups>0 G(s).
Для функций f G Lpr обозначим через
Д,(/,x) = £ ak(/)e2'•<k'x>’
kep(s)
где {ak(f )}kezn — коэффициенты Фурье функции f по кратной тригонометрической си-
стеме, р(s) = {k = (к1,... ,кп) G Zn : [2Si 1] ^ |fcj| < 2Si,г = 1
<п}, (k x) = Е"=1 kjXj.
Анизотропным пространством Бесова Bpz ([1], [2]) называется множество функций f из
Lpr, для которых конечна норма
вав
-^pr
{2(«>||Дз(/)JLpr}
pr J sez+
где 0 < а = (а]_,... ,ап) < то, 0 <9 = (91,...,9п) ^ то, || ■ ||г0 — норма дискретного пространства Лебега 1$ со смешанной метрикой.
K.A. Bekmaganbetov, About order of approximation of Besov classes in metric of anisotropic LORENTz SPACES.
© Бекмаганбетов К.А. 2009.
Поступила 8 мая 2009 г.
9
10
К.А. БЕКМАГАНБЕТОВ
Пусть 7 = (71,... ,7„), s = (s1,... , sn), где 7j > 0, Sj G Z+ для всех j = 1,... ,n и Q"b.N ) = U p( s), TQ,{1,N) = j((x) = £ bye2*'*-*
(s ,~()<N [ keQ"(7,W)
(/)bpr — наилучшее приближение функции f полиномами из TQn(ltN) в метрике Lpr, S1,N(f, x) = EkeQn(7)W) ay(f )e2*t(k,x) — частичная сумма ряда Фурье функции f.
К.И. Бабенко в работе [3] было предложено приближать функции многих переменных полиномами со спектром из гиперболических крестов. В дальнейшем вопросам приближения функций из различных классов гладких функций полиномами со спектром из гиперболических крестов были посвящены работы С.А. Теляковского [4], Б.С. Митягина [5], Я.С. Бугрова [6], Н.С. Никольской [7], Э.М. Галеева [8], В.Н. Темлякова [9], Динь Зунга [10], Н.Н. Пустовойтова [11], Б.С. Кашина и В.Н. Темлякова [12], А.С. Романюка [13], [14], Г.А. Акишева [2].
Отметим, что в работах [3]—[14] изучались вопросы теории приближений функций в метрике изотропных пространств Лебега, а в работе [2] — анизотропных пространств Лоренца, имеющих природу пространств со смешанной метрикой.
Основным результатом работы [2] является следующая теорема.
Теорема [2]. Пусть 0 < а = (а1,..., ап) < то, 1 < p = (р1,... ,pn) < q = (q1,... ,qn) < то,
1 ^ в = (в1,...,вп),г = (п,...,Тп) < то, 0 <«1 + ^ - ^ = ... = av + ^ ± <
<а»+1 + ^ - ^+7 ^ ... ^ “n + ^ - £, 7j = («j + £ - £ )/(«1 + ± - £), J = 1,...,п. Тогда для Tj ^ 9j < +то, j = 1, ... ,1 < v, 9j < Tj < +то, j = I +1,... ,n справедливо неравенство
C2-(ai+n -¥1 )N^Ej=i+2(-ч) ^
^ ЕъМ (B*Te) ^ C12-(ai+n -n)NWE"=I+-(^-,
где EltN {B^l)L = sup EltN(f )Ьф ■
i,-
WJ WBal C1 рв
Как видно, в данной теореме не совпадают по порядку нижняя и верхняя оценки. Кроме того, не естественно для анизотропных пространств выглядит условие
0 <«1 + Ti - к = ... = а- + ^ - io < а-+1 + gO+i - lO+l ^ ... ^ «п + £ - j~n, которое накладывает некоторую упорядоченность на гладкостные и метрические характеристики
пространств.
В данной работе нам удалось доказать результат, лишенный выше указанных недостатков.
Теорема 1. Пусть 0 < а = (а1,..., ап) < то, 1 < p = (р1,... ,рп) < q = (q1,... ,qn) < то,
1 ^ о = (01,... ,вп),г = (п,... ,Тп), r = (f1,... ,Гп) ^ то, aj0 + 1/qj0-1/pj0 = minj^j + 1/qj -
- 1lVj: ] = 1,...,n} и Щ„ + ± - j- > 0, ij = , 1 « ij « ij, j = 1---,n.
Тогда
Ei’,n {Bpr )Lg ~ 2-(a]°+- NE]eA4n ^ Wj - +, (1)
где A = {j : ij = jj ,j = 1,..., n], ji = min {j : j G A}, (a)+ = max(a, 0).
2. ВСПОМАГАТЕЛЪНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ
Сформулируем в виде леммы частный случай теоремы вложения из работы Е.Д. Нур-султанова [1].
О ПОРЯДКАХ ПРИБЛИЖЕНИЯ КЛАССА БЕСОВА
11
Лемма 1 ([1]). Пусть 1 ^ p = (р1}... ,рп) < q = (q1,..., qn) < то, 0 <9 = (в1}... , 9п),
r = (г\,... ,гп) ^ то и а = p — q, тогда
ВЦ ^ L40.
В дальнейшем нам понадобятся следующие множества:
У”(7, N) = Is = (Sl,... ,s„) € Z+ : £~t,sj > ^ ,
K"(7, N) = js = (si,..., s„) € Z+ : £ltSj = ^ .
Пусть b — мультииндекс (&i,... ,bn-1,bn). Далее под записью b будем понимать мультииндекс (b1}... , Ьп-1).
Лемма 2. Пусть п € N, п > 2, 0 < i = (Vi ,...,in) ^ 7 = (7i,..., 7„) < то, ft > 0 и 0 < е = (е1,..., £п) ^ то. Тогда
11/2-f3(^’s)\ ^ , ArJ| < ^2-@sn 6A\Oi> Ь
||l2 isey"(7/,w^|is(z+) ^ ^2 ^ ,
где 5 = min{ ^ : j = l,...,n], A = [j : ^ = S,j = l,...,n], ji = min [j : j € A}.
4 4
Доказательство проведем индукцией по размерности п.
Пусть п = 2. По определению множества Y2(7', N) и согласно неравенства Минковского получаем, что
11 (7/,W)|i£(Z2) ^
b£(Z+)
* \ 4
( / \%\
Е ( Е 2-Д(71 *l+72«2)ei
\S2<N/j,2 \ySi>(N-Y2S2)/Yi J J
+1 E IE 2-^(7l*l +72«2)eM j I <
\s2 >W/72 Vi >0 J J
+
^ C2\ ( E 2-^(^ (N-1'2S2)+l2S2)e2 j + ( ^ 2-^^2^2в2
у \s2<N/j2 ) \s2>N/^2
= C2 {Jl + J2} . (2)
Оценим каждое слагаемое по отдельности. Для оценки J1 воспользуемся соотношением
( NT при а < 0 ^ 2ак(N — к)Т NT+1 при а = 0 , (т > 0). (3)
к<м 2 при а > 0
. £2
j = ( 2~Р( ^(N-72s2)+12S2)£2
,*2 <N/j'2
2-^^N ( E 2-l3(%-^)i2S2£2 j ~ 2-№*N^eA2\{n} Ц (4)
S2<N/1'2 )
12
К.А. БЕКМАГАНБЕТОВ
_i_
£2
J2 = | ^ 2-,3l2S2£2 I х 2^^2N < C32-^2N,
KS2 >N/Y2 J
здесь 62 = min{^,j = 1 2}, A2 = {j : 4 = 82, j = 1, 2}, J1 = min{j : j G Л}.
4 4
Подставляя (4) и (5) в (2), убеждаемся в справедливости леммы при п = 2.
Положим, что лемма верна для п — 1 > 2, то есть справедливо неравенство
(5)
|{2-^(7’s)}
seYn 1(J,N>|| 1S(Z+--) < 04
1 < Сл2-@Sn-iNN^J'6A"-i\{ji} £.
(6)
где Sn-1 = min{ 4 ,j = 1,...,n — 1}, A„_1 = {Ш = i5„_1}, J1 = min{j : j G Л„_1}, и дока-
ч ч
жем ее для п. По определению множества Yп(/у', N) и согласно неравенства Минковского получаем, что
)_I3(J,S>\ , _ц <
|{2 (l’s) }seY»(j'.N >yZe(Zn>
i
£n
< C1 i( E t2-'*”'” У{2_"("-8)}=6^"-(У.«_У».»)У1,(г;-0I +
sn <N/y„
+
/ 2_P~tnSn
sn>N/1'n '
{2_^(7.s)}
sez"
is(zn+-i>
)
i
£n
C\ { J3 + J4} . (7)
Оценим каждое слагаемое по отдельности. Для оценки J3 воспользуемся неравенством (6) и соотношением (3), тогда получим
i
£п
,sn<N/j/n
i
£n
,sn<N/j'n
2_ft8nNjEAn\{ji} e,.
i
£n
Ksn>N/j'„
(8)
(9)
здесь 5n = min{ -f, j = 1,... ,n}, An = {j : -ф = 5n,j = 1,...,n}, jx = min{j : j G An}. 4 4
Подставляя (8) и (9) в (7), получаем, что
|{2 ^.s)}seyn(ъМ>||ie(z„> < w
<
q 2_l3SnNj6An\{ji} Ei
где 8n = min{ ^ ,j = 1,...,n}, An = {j : ^ = 8n,j = 1,...,n}, = min{j : j G An}.
4 4
Лемма доказана.
Лемма 3. Пусть п G N, п > 2, 0 < 'J = (ji,... ,/уп) < то, ft G R и 0 < е = (^,..., £п) < то. Тогда
|2_^(7.s)|
se^n(j.N)
le( Z+)
2_$nj=2 Sj.
n
n
i
i
О ПОРЯДКАХ ПРИБЛИЖЕНИЯ КЛАССА БЕСОВА
13
Доказательство проведем индукцией по размерности п. Пусть п = 2. По определению множества '^2(/у, N) имеем
£2
|{2-^’s)}seH2(7’W )|
ls( Z+)
E E 2-@£2(yi ^1+72^2)
,S2^N/^2 Si = (N-j2S2)/ji
_i_
£2
= 2-?n ( ij x 2-?nNk.
\s2^N/j2 J
Положим, что лемма верна для п — 1 > 2, то есть справедливо отношение
En-i i
j=2 17
I2 fse^-ib’N) Mzn-i) ~ 2 - ,
и докажем ее для п. По определению множества '&п('у, N) и согласно (10) получаем,
|2-^’s)}
seHn(j,N)
ls(Z" )
j 2-Pirisn |2-^E"=i ъsj|
seH"-i(7’W-jnsn)
ls(Znri)
)')
ж__ / ^n —i _i \ sn
(2-Hinsn2-P(n-insn)(N — lnSn)^ 1=2 \
i
£n
/‘Уп
i
£n
2-i3N ( Y, (N — InSn)
. $п ^N/'~fn
2-f3NN^i=2 j].
Лемма доказана.
3. Доказательство теоремы
Пусть f € BpT. Так как
As (f — S,/,N(f)) = то согласно лемме 1 и неравенству Гельдера получаем
0, s € Уп(1', N)
As(f), s € Yn(i,N) ,
— Sy,N (f )||j
E As(/)
seYn(y,N)
e
E As (J)
s£Yn(Y,N)
В
(——q)
{•2(—-q’s) ||AS(/)||bpr}
a
{2-(“+q-p-s)2(“-s) ||A,(/)|Ipi}
e c.
\2(a’s) ||As(/)L ) {
I 1 LpT) seY^(Y,N) , I
pi J seYn(Y,N)
r)-(a+ i- —
2 q p
seYn(Y,N)
e
s£Yn(Y’N)
e
1
L
в
p 1
T
(l0)
что
14
К.А. БЕКМАГАНБЕТОВ
здесь е таково, что
-(«.О + У.--)(7>s)
1 0 Утп p?n
)
seYn(y,N)
ват,
^pr }
£ \9 Т,
Далее, применяя лемму 2, получаем
1
. 2Ч“.'0 +4-pfe)N Т^'6^'1 }(в) т.)
II/ - SY,N (/)Н^9 ^ Wll^pr- ■ 2 V -0 1-0-p.0 ) N'
где А = {j : ^ ,j = 1,...,n], j1 = minjj : j E A], (a)+ = max(a, 0).
Верхняя оценка доказана.
Докажем нижнюю оценку. Пусть А = {j : = 'jj,j = 1,... ,n], j1 = min{j : j E A], В = {j : 9j < Tj, j = 1,... ,n] и В' = АПВU{j1 ]. Положим s0 = (s0,...,s°), где s° = Sj при j E В' и S0 = 0 пРи j iB', s = (sh,..., SjlB,!), 7' = (ij1,.. .,ijiB/!), где ji E B', i = 1^.^ \B'\ и j1 < ... < j\B>|. Рассмотрим функцию
f (x) = N- E.'6B'\{^} т- ^ Д2"
(У ,so)=N j=1 kep(so)
Функция f E Lpr, так как является полиномом с конечным спектром. Согласно теореме Харди-Литтлвуда
-(«. + 1- ^ )s0
Е
е
2^i(k,x)
Е
kep(s)
2^i(k,x)
П 2
j=1
(1- — )s.
( p.) .
(11)
В случае \В' \ = 1 нижняя оценка элементарным образом получается из определения функции f (x) и оценки (11). Пусть \В' \ > 1, тогда, согласно (11) и лемме 3 при 0 = 0, получаем
ват
pr
{П
п
j=1
2“j-j ||ДЯ(/)||
)
sez+
^jGB/\{jl} т.
1 n 2-(a.+1-p. )s0 1
) Д 2". ^ e2^i(k,x) | x
1 j=1 kep(s0) Lpr) soexn(y,N)
\ It
Ц S.6B/\{j1}
{ХН«(Ъ N )Ы} S0&nh,N) XhIb/l(7,w)(s)} „eHlB/!(-.,n )
x N Ej6B/\{jl} -j ■ NEj6B/\{jl} -j = C10. (12)
С другой стороны, согласно определению функции f (x), леммам 1, 3 и оценке (11), получаем
- S,,N(/)L > Сп ||/- S,,N(/)||
в
(X -1)
С
11
{п
п
j=1
(^j - ь)Sj
||Дв(/ - s,,N (/))||
Lx,
)
sez+
C11N Ej6B/\{jl}т.
x
L
pr
т
1
т
1
т
т
9
X
к
2
О ПОРЯДКАХ ПРИБЛИЖЕНИЯ КЛАССА БЕСОВА
15
X
N Е j£B'\{ji}
fvL -1) s0 -fa,+1-1) s0 \x3 q3 J 3 .2 V 3 + рз ) 1
g2^(k.x) } x
kGp(so) lXk' sGZ+ le
{n
n
=1
s0eHn(j'. n )
= N ^jeB'\{J'i} Ti
= N ^jeB/\{J’i}
{n
П
=1
}
so eHn(y. n >
2
-(a*>+4- 4) as~o)
}
s0eHn(j/. n )
{
"I ®-in +—i---i
V 30 q30 pj
-)(Y.s>
.s)
seH|B/1(1/. n )
iaj0 + V0 рю^ N ^jeB/\{ji}
= C122-N(am+^-nE^a\{^}(°) ч) +
Оценки (12), (13) дают нижнюю оценку в (1) Теорема доказана.
(13)
1
т
J
1
т
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Нурсултанов Е.Д. Интерполяционные теоремы для анизотропных функциональных пространств и их приложения // Докл. РАН. 2004. Т. 394, вып. 1. С. 16-19.
2. Акишев Г.А. Приближение функциональных классов в пространствах со смешанной нормой // Матем. сб. 2006. Т. 197, вып. 8. С. 17-40.
3. Бабенко К.И. О приближении одного класса периодических функций многих переменных тригонометрическими полиномами // Докл. АН СССР. 1960. Т. 132, вып. 5. С. 982-985.
4. Теляковский С.А. Некоторые оценки для тригонометрических рядов с квазивыпуклыми коэффициентами // Матем. сб. 1964. T. 63(105). C. 426-444.
5. Митягин Б.С. Приближение функций в пространствах Lp и С на торе // Матем. сб. 1962. T. 58(100), вып. 4. C. 397-414.
6. Бугров Я.С. Приближение класса функций с доминирующей смешанной производной // Матем. сб. 1964. T. 64(106), вып. 3. C. 410-418.
7. Никольская Н.С. Приближение дифференцируемых функций многих переменных суммами Фурье в метрике Lp // Сиб. матем. ж. 1974. T. 15. C. 395-412.
8. Галеев Э.М. Линейные поперечники классов Гельдера-Никольского периодических функций многих переменных // Матем. заметки. 1996. Т. 59, вып. 2. С. 189-199.
9. Темляков В.Н. Приближение функции с ограниченной смешанной производной // Труды МИ АН СССР. 1986. T. 178. C. 1-112.
10. Динь Зунг, Приближение функций многих переменных на торе тригонометрическими полиномами // Матем. сб. 1986. T. 131(173), вып. 2. С. 251-271.
11. Пустовойтов Н.Н. Представление и приближение периодических функций многих переменных с заданным смешанным модулем непрерывности // Anal. Math. 1994. T. 20, вып. 1. С. 35-48.
16
К.А. БЕКМАГАНБЕТОВ
12. Кашин Б.С., Темляков В.Н. Об одной норме и апроксимационных характеристиках классов функций многих переменных // Метрическая теория функций и смежные вопросы анализа. М.: Изд-во АФЦ, 1999. C. 69-99.
13. Романюк А.С. Билинейные и тригонометрические приближения классов Бесова В1рв периодических функций многих переменных // Изв. РАН. Сер. матем. 2006. T. 70, вып. 2. С. 69-98.
14. Романюк А.С. Наилучшие приближения и поперечники классов периодических функций многих переменных // Матем. сб. 2008. T. 199, вып. 2. С. 93-114.
Куаныш Абдрахманович Бекмаганбетов,
Казахстанский филиал МГУ имени М.В. Ломоносова, ул. Мунайтпасова, 5,
010010, г. Астана, Казахстан E-mail: [email protected]
