О классах Никольского Бесова на компактных симметрических пространствах ранга 1 Текст научной статьи по специальности «Математика»

Труды Петрозаводского государственного университета

Серия “Математика” Выпуск 3, 1996

УДК 517

О КЛАССАХ НИКОЛЬСКОГО — БЕСОВА НА КОМПАКТНЫХ СИММЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ РАНГА 1

С. С. Платонов

Пусть М — произвольное компактное рпманово симметрическое пространство ранга 1. В работе изучаются функциональные пространства Вр^(М) типа классических пространств Никольского — Бесова. Дается новое определение классов Вр^(М) на М через модуль непрерывности к-го порядка на М, который вводится при помощи разностей вдоль геодезических на многообразии М. Получено эквивалентное описание пространств Вр^(М) через наилучшие приближения функций сферическими полиномами, т. е. линейными комбинациями собственных функций оператора Лапласа — Бельтрами на М.

§ 1. Введение и формулировка основных результатов

В последние годы активно изучаются различные вопросы теории приближений функций и теории функциональных пространств на п-мерной сфере (см. [1-3] и приводимую там литературу). Естественным более широким классом пространств, на которых можно ставить аналогичные задачи, является множество всех компактных симметрических пространств ранга 1 (КРОСПов, по терминологии из книги [4]). Для этих пространств уже получены некоторые результаты (см. [5-11]), но остается еще много задач. В настоящей работе

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект 95-01-01391.

© С. С. Платонов, 1996

на произвольном КРОСПе М вводятся функциональные пространства Вр д(М) типа классических пространств Никольского — Бесова. Естественное определение пространств Никольского — Бесова зависит от модуля непрерывности, а так как на КРОСПах существуют различные определения модулей непрерывности, то возможны и различные определения этих пространств. В настоящей работе применяется модуль непрерывности из работы [9], в котором используется переход от многообразия М к многообразию единичных касательных векторов пространства М. Основными результатами работы является получение эквивалентного описания пространств Вр^(М) через наилучшие приближения функций сферическими полиномами на М и построение различных нормировок в этих пространствах. Из полученного описания, в частности, следует, что введенные классы Вр д(М) совпадают с классами Никольского - Бесова, введенными в

[10] при помощи других модулей непрерывности.

Хорошо известна полная классификация всех КРОСПов . Их всего четыре серии (индекс п всюду означает размерность многообразия): сферы Б71 (п = 1,2,3,...), вещественные, комплексные и ква-тернионные проективные пространства (РП(И) (п = 2, 3,4....), РП(С) (п = 4,6,8,...), РП(Н) (п = 8,12,16,...)) и одно особое пространство — эллиптическая плоскость Кэли Р16(Сау). КРОСП М всегда является римановым многообразием. Пусть А — оператор Лапласа — Бельтрами на М. Спектр оператора А является дискретным, действительным и неположительным. Упорядочим его по убыванию (0 = Ао > А1 > А2 > ...) и обозначим через Нк собственное подпространство (всегда конечномерное) оператора А, отвечающее собственному значению А&. Пусть Тт(М) = 7/о + ^1 + .. . + 7/ш. Функции из Тт(М) будем называть сферическими полиномами на М степени т (при М = Бп они совпадают с обычными сферическими полиномами).

Для любого множества X с мерой ¿ц через Ьр(Х,с1/1) будем обозначать, как обычно, банахово пространство (БП), состоящее из измеримых комплекснозначных функций /(ж) на X с конечной нормой

Если X — компактное топологическое пространство, то пусть Ь00(Х) =

С(Х) — пространство непрерывных на М функций с нормой

ll/lloo = ||/||с = тах |/(ж)|.

æ£ А

В частности, если М — КРОСП, то возникают банаховы пространства LP(M) = Lp(M,dx) и L00(M) = С(М), где dx — элемент рима-новой меры на М.

Наилучшим приближением функции f(x) G Lp(M) сферическими полиномами степени m в метрике Lp называется число

Em(f)p= inf ||/-Ф||р.

Для х G М пусть ТХМ — множество касательных векторов к многообразию М в точке ж, S(х) — множество единичных касательных векторов (единичная сфера) в точке х. Обозначим через U группу всех изометрий КРОСПа М.

Пусть В — многообразие единичных касательных векторов к многообразию М. Точки многообразия В имеют вид (ж,£), где х G М, £ G S(х). Группа U естественным образом действует на В, если положить и(х,£) = (их, и*£), где и* — индуцированное отображение касательных векторов. Это действие транзитивно (т. е. М изотропно, см. [12, гл.1, §4] и [13, гл.IX, §5]), поэтому на В существует единственная, с точностью до умножения на число, [/-инвариантная мера dv(x,^) (см., например, [12, гл.1, теор.1.9]). Пусть LP(B) = Lp(B,dv), 1 < р < оо, и L00(B) = С {В). Естественным образом LP(M) вкладывается в Lp(B), если для f(x) G Lp(M) положить /(ж,£) = f(x). Нормируем меру dv на В так, чтобы выполнялось условие

í dx = í dv. (1.1)

J м Jb

При введенной нормировке для любой функции f(x) G С(М)

í f(x)dx= í f(x) dv. (1.2)

J m Jb

Так как C(M) всюду плотно в LP(M), то отсюда легко получить, что \\f\\Lp{M) = \\f\\bAB) V G LP{M). (1.3)

Следовательно, вложение LP(M) С LP(B) изометрическое. В дальнейшем через \\f\\p будет обозначаться норма в пространстве LP(M)

или LP(B) в зависимости от того, в каком из этих пространств содержится функция /.

Для (х,£) Е В пусть 7(ж,£;£) — геодезическая на М (£ — параметр), удовлетворяющая условиям 7(ж,£;0) = х и |г_0 = £•

Для любой функции F(x,£) Е LP(B) пусть

= F{j{x,&t), ^7(x,£;t)). (1.4)

Нетрудно показать (см. [9]), что отображение

F I—у F^, t Е R,

задает однопараметрическую группу унитарных операторов в LP(B), т. е.

(_pty = Ft+s Vi,seR; (1.5)

\П = \П VFELP{B). (1.6)

Определим к-ю разность функции F с шагом t формулой

к

A ktF(x,0 = ^~^)к~^{Р3\х,0,

3=0

где CJk — биномиальные коэффициенты. Модуль непрерывности порядка к функции F Е LP(B) определим формулой

MF,6)P= sup ||А(-F||p.

0<t<S

В частности, можно брать и сUk(f,S) при / Е Lp{M).

Будем говорить, что функция F Е LP(B) дифференцируема в LP(B), если для некоторой функции G(x,£) Е LP(B)

\\-(Ft — F) — G\\p —У 0 при t —> 0.

Функция G называется производной от F и обозначается, как обычно, G = F'. Функция F дифференцируема r-раз в LP(B), если F Е LP(B) и существуют производные Ff, F",... F^ Е Lp(B), где F(fc) = (i^-1)) . В частности, можно брать r-ю производную /для

функции f(x) Є Ьр(М), отметим ТОЛЬКО, ЧТО /(Г) — это уже функция на В.

Известно (см. [13, гл. IX,§5]), что на любом КРОСПе М все геодезические замкнуты и имеют одинаковую длину 2Ь. Риманова метрика на М определена с точностью до умножения на положительное число. Для удобства нормируем риманову метрику так, чтобы Ь = тт.

Определение 1. Пусть г > 0; 1 < р, д < оо; числа киї — целые неотрицательные, удовлетворяющие условию к > г — I > 0. Совокупность функций / Є ЬР(М), для которых конечно выражение

назовем пространством Никольского — Бесова ВрЧ(М) = Врд. В частном случае при д = оо пространство В^ ^ будем таксисе обозначать Нр(М) = Нр.

Легко видеть, что норма

превращает Вр д в банахово пространство.

Главным результатом работы является следующая теорема, дающая описание пространства Вгр через наилучшие приближения.

Теорема 1. Для того чтобы функция / из ЬР(М) принадлежала пространству Вр Я, необходимо и достаточно, чтобы была конечна величина

где а — произвольное целое число большее 1 (можно считать, например, что а = 2). При этом выражение

, 1 < д < оо, (1.7)

(1.8)

(1.9)

ОО

(1.10)

3=0

Ьр,оо(Я = ¡зир азг Еаі{ї), д = оо,

3=0,1,2,...

(1.11)

11/Ир+ *&,(/)

является нормой в Вр , эквивалентной норме (1-9).

Доказательство теоремы 1 будет следовать из результатов §3-4 о различных эквивалентных нормировках в пространствах Н£ и ВрЧ. В §2 доказываются вспомогательные результаты.

Замечание 1. Из теоремы 1 следует, что определение пространства Вр не зависит от выбора чисел к и /, удовлетворяющих условию к > г — I > 0, и при различных к, I нормы (1.9) эквивалентны.

Замечание 2. Из теоремы 1 следует, что пространства ВрЧ(М) совпадают с пространствами Никольского — Бесова из работы [10] с точностью до эквивалентности норм.

Замечание 3. Для случая М = Бп приведенное определение пространств Вг и формулировка теоремы 1 (без доказательства) фактически даны П. И. Лизоркиным в [14], так как легко видеть (с учетом формулы (2.3) настоящей работы), что введенный в [14] модуль непрерывности рс<;&(/, ¿)р с точностью до множителя совпадает с модулем непрерывности с<;&(/, ¿)Р-

Оценка сверху наилучшего приближения функции через ее модуль непрерывности дается следующей теоремой Джексоновского типа.

ТЕОРЕМА 2. Пусть функция /(ж) Е Ьр(М) и (1-раз дифференцируема в ЬР(В). Тогда

§ 2. Вспомогательные результаты

тп = 1,2,...,

где с > 0 — некоторая постоянная, не зависящая от / и т.

< См. [9, теор. 2]. >

Лемма 1. (свойства модуля непрерывности)

Для любой функции ^ Е Ьр(В) справедливы неравенства

и к (-Р, 6)р < и к (Я1, а)р при 6 < А,

сик(Р, 1$)Р < (I + I)*5 Шк(Р, 6)р,

(2.1)

(2.2)

где I > 0 — произвольное число.

< См. [9, лемма 2]. >

Для доказательства обратных теорем теории приближений используются неравенства типа Бернштейна, которые и будут получены далее (см. леммы 3, 5, 6).

ЛЕММА 2. Пусть Ф(х) Е Тт• Для любых (х,£) Е В функция tp(t) = Ф(7(ж, £; £)) является тригонометрическим полиномом степени т.

< Следует из леммы 3.1 в [11]. >

Как и раньше, пусть S(x) — единичная сфера в касательном пространстве ТХМ. Пусть dcrx(£) — элемент объема сферы S(x), a a — полный объем этой сферы.

Из свойств инвариантных мер на однородных многообразиях (см. [12, гл.1, §1, предл. 1.13]) следует, что для любой функции F(x,£) Е L\{B) справедлива формула

где А > 0 — некоторая постоянная. Если в (2.3) подставить ^ = 1 и воспользоваться условием нормировки (1.1), то получим, что А — о. Для (ж, £) Е 1?, £ Е II и & Е Z+ = {0,1,2,...} положим

Заметим, что функция ^(ж,£) = о<Э|/(ж) совпадает с к-й производной /^(ж,0 от Функции f(x) в пространстве ЬР(В). Кроме того,

Лемма 3. Пусть Ф(х) Е Vm- Тогда для любых к, I Е выполняется неравенство

< По лемме 2 Ф(7(ж,£;£)) — тригонометрический полином степени ш, поэтому можно воспользоваться классическим неравенством Бернштейна

J( J F{x,£)dax{£))dx = A J F(x,£) dv(x,£), (2.3)

М S(x)

В

slk

td%f(x) = ^f(l(x,£;s))

(2.4)

td\f{x) = f{k) (7(21, £;i); ■

(2.5)

(2.6)

С учетом (2.5) заметим, что

1^ф(7(*,С;*))1<Цф(,)11оо,

откуда и следует (2.6). >

Для любой функции F(x,£) на В определим ”усредненную” функцию Fo(æ,£) формулой

ро(х,0 = (2.7)

Введем обозначение

1(F) := [ F(x,Ç)dv(x,Ç). (2.8)

J в

Лемма 4. Если F(x,£) — непрерывная функция на В, то

1(F) = I(Fq). (2.9)

< См. [11, лемма 3.3]. >

ЛЕММА 5. Пусть Ф(х) G Vm• Тогда для любых t G R, k,l G Z+, 1 < p < oo справедливо неравенство

||^+гФ(Ж)||р <mfe||$«||p. (2.10)

< При p = оо неравенство сразу следует из леммы 3. Пусть р < оо, тогда

||4+гФ(ж)||£ = [ \tdï+l$(x)\rdv(x,0-J в

Пусть

^(*,0 := |4+'Ф(х)Г = ¿))Г-

Очевидно, что

d dk+l F(7(x,$;s),^7(x,£;s)) = \-j^$(7(x,Ç;t + s))\P.

Пользуясь 27г-периодичностью функции Ф(7(ж,£;£)) по £, получим

1 [2ж\ 2?г Уо

к+1 1 <Ик+1

Ф(7(х,£;Щр М.

Так как </?(£) = Ф(7(ж,£;£)) — тригонометрический полином степени ш, то из обычного неравенства Бернштейна в метрике Ь* (см. [15, §2.5]) следует, что

Ро(х,0 <

27Г

[ \0_

/о М1

Применяя лемму 4, получим

ОД = ВД <

777/

2тг

рк ( ^1

I Iг5,Г'Л) =

27Г

I фм^‘))Г)Л =

ш

/*27г

27Г

[ "||Ф«М11^ = ™р*1|Ф(г>11£,

«/О

откуда и следует (2.10). >

Следствие При Фе?т, к

||Ф«||р<т*||Ф||р. (2.11)

< Достаточно в неравенстве (2.10) взять £ = О, I = 0. >

Лемма 6. Если Ф(ж) Е то для любых 1 < р < оо, £ > 0, к, I Е справедливо неравенство

||Д*Ф(0М11Р < (гШ)к ||Ф«М11р- (2-12)

< Для любой достаточно гладкой функции Г(х,£) на В разность Д^-Р(ж,£) можно представить в виде

'?Р(х,£) = I ■■■! ^Ф(7(ж,^;т))

с1и ... dtk.

В частности, с учетом (2.5)

^1\х,0 = I*... I* ^{1)Ых,^,т))

йи • • • —

Г —1\-\-

= [ ... [ tl+...+thdk+l${x)dt1...dtk.

J о J о

Пользуясь леммой 5, получаем, что

||д?ф(,)(*,0||р = f • ■■ j\t1+...+tkdk+l^)\\pdh ...dh<

<tkmk\\$(l)\\p. >

§ 3. Эквивалентные нормировки пространств Н£

Пусть г > 0, 1 < р < оо, к и I — неотрицательные целые числа, удовлетворяющие условию к > г — I > 0. Будем говорить, что функция f(x) принадлежит пространству j = 1,2,3,4,5, если / Е LP(M) и конечна полунорма JAp(/), где

1hrp{f)=K(f):= sup S-^LUk(fil),S)p

0<S<n

(тг здесь можно заменить любым положительным числом);

2hrp(f) :=sup<r(p-,W/(,\5)p;

(5>0

3^р(Л := sup mr Em(f)p;

m£ Z_)_

4hp(f) '■= sup asr Eas(f)p {a > 0, целое); seZ+

5^p(/) := inf ( sup aelQa.||p),

sgZ_|_

где нижняя грань берется по всем представлениям / в виде суммы сходящегося в LP(M) ряда по сферическим полиномам

оо

f(x)=^2Qa>(x), Qa‘{x)&Va‘-

s=О

Пространства JHp являются банаховыми пространствами относительно норм

11/11«; :=11/11Р + ^(/)- (3-1)

Теорема 3. Пространства JHj = 1,...5, совпадают и их нормы

(3.1) эквивалентны (т. е. банаховы пространства эквивалентны).

Теорема 3 будет доказана ниже. Из эквивалентности БП гНр и АНр следует теорема 1 для случая q = оо, так как Н£ = В^ . Общая схема доказательства теоремы 3 соответствует схеме доказательств аналогичных теорем в [15] для евклидова пространства.

Будем далее для краткости писать Щ = Ej^(f) = Ejsr(f)p,

II/H = ||/||р и т. д. Через с, С1С2,... будем обозначать положительные постоянные в оценках, вообще говоря, разные в разных местах, зависящие от несущественных параметров, таких как р, q, г, I, к,.... Выражение Ei <—>• Е2 будет обозначать, что БП Е\ вложено в БП -É/2-

Доказательство теоремы 3.

1°. Эквивалентность пространств 3Н и 4Н устанавливается совсем просто. С одной стороны, 4h(f) < 3h(f). С другой стороны, для m G Z+ подберем число s G Z+ так, чтобы as < m < as+1. Тогда

mrEm(f) < arasrEas (/) < ar4/i(/).

Следовательно, 3h(f) < c4h(f), где с = ar.

2°. Вложение 2H <^1H очевидно. Докажем, что XH <—> 4Н.

Пусть / Е 1Н’, тогда при 0 < Ô < 7Г

ик(1{1\б)<МЛ$г-1- (3.2)

Из теоремы 2 следует, что

EmU) < cm~lWk{f(l\ —)■ (3.3)

m

Тогда из (3.2) и (3.3)

Ea‘{f) < Т~) < -^ïMf) \_r) =Cl

asL as asL as" r)

Следовательно,

4h(f) < cMf),

откуда следует вложение 1H <—>• 4Н.

3°. Докажем, что 4Н <—> ЪН. Пусть / G 4Н. Обозначим через ga-сферический полином степени as такой, что

II/- 0а-II <2 Eas (/),

и положим

<2а° = 9а°, Яа° = 9а* ~ 9а‘~' при в > 1.

Тогда в метрике Ьр(М)

ОО

/ = £<?««,

5 = 0

так как Еаз (/) —>• 0 при 5 —>• оо.

Заметим, что

||дво||< ||/|| + 2Еао(Л< зц/11,

1КМ1 < №«■ -/11 + 11/-5«-1 II <4Яв.-1(/), я>1.

Считая, что Еав(/) = 0 при $ = —1, получим, что при любом 5 Е Z+

ЗЦ/11 +4а‘гВв.-1(/). (3.4)

Из (3.4) следует неравенство

5М/)<с(||/|| + 4МЛ),

а из него следует вложение 4Н <—> ЪН.

4°. Докажем теперь вложение ЪН <—> 2Н. Пусть / Е 5Н, £ > О,

тогда / можно представить в виде суммы сходящегося в Ьр ряда

оо

/ = £<?»•,

где <Эа* е Та‘ И

овг||0«*И<бМ/)+е- (3-5)

Из неравенства (2.11) следует, что

||д«|| < (а’)1 а-” (5Щ) +е)= (5Л(/) + е) . (3.6)

Так как г — I > 0, то из (3.6) видно, что ряд ^ (£$ сходится в ЬР(В),

следовательно,

оо

/(0 = £<$ ехР(В).

5 = 0

Далее

оо

д*/(,) = ЁА*д19.

5 = 0

При £ > 1, пользуясь (3.6) и очевидным неравенством

||А?*11<2‘||*г (3.7)

получаем

^.НГ11 ^ 2к(5нл+е) £а_8(г_0 ^ с1 (5/г(я+е) • (3-8)

5 = 0

Пусть 0 < £ < 1. Подберем N Е Z+ так, чтобы

а-(ЛГ+1) < 4 < а-^_

Тогда

АГ оо

||Д^(,)||<£||Д?Л + £ ||А^1')|| = /1+72. (3.9)

5 = 0 в = АГ+1

Оценим отдельно слагаемые 1\ и 1^ в (3.9). При оценке 1\ воспользуемся леммой 6:

АГ АГ

/1 < < ^аЛа-‘(г-') (5М/) +е) =

5=0 в=0

л, „(ЛЧ-1)(1+*-г)

= (5М/) + е) Ё < ** (6Л(Я + е) _ <

5 = 0

< С21к (5Л(/) + е) г(,+к"г) = с2Г-' (5Л(/) + е) . (3.10)

Для оценки /2 воспользуемся (3.7)

оо оо

ь<2к ]Г ||<з1'2|| <2/г (5/1(/)+е) £

в=АГ+1 в=АГ+1

< Сз (5Л.(/) + е) а-^+1Н,-г) < с3 е~1 (5/г(/) + е) . (3.11)

Из оценок (3.8), (3.10), (3.11) получаем, что

0||д^/(0ц < С4 (5Д(/) +е). (3.12)

Так как ¿иг произвольные, то из (3.12) следует, что

2М/) < с45МЯ,

откуда следует вложение ЪН <—> 2 Н.

Окончательно получена цепочка вложений

2Н 4Я 2 Я,

что и завершает доказательство теоремы 3.

§ 4. Эквивалентные нормировки пространств

Пусть г>0, 1<р<оо, 1 < д < оо, к,1 е Z+, к > г — I > 0. Будем говорить, что функция /(ж) принадлежит пространству ^ = 1,2, 3,4, если / Е ЬР(М) и конечна полунорма где

4,„<я :=»;„(/) = (£ ,У <»)

( 7Г здесь можно заменить любым положительным числом);

(оо

х;«вг,^«(/)р

5 = 0

(ОО

£«*г,1К?«*Н2

5 = 0

где нижняя грань берется по всем представлениям / в виде сходящегося в Ьр(М) ряда из сферических полиномов

оо

/(ж) = £ Фа* (ж), <2а* е Ра* •

5 = 0

I (а > 1, целое );

Пространства 3Вр являются банаховыми пространствами относительно норм

Теорема 4. Пространства ^В^ , ] = 1, 2, 3,4, совпадают и их нормы

(4.1) эквивалентны (т. е. БП ^Вр д эквивалентны).

Отметим, что из эквивалентности пространств 1В7р д и 3Вр (1 следует теорема 1 для случая д < оо. Как и в §3, будем использовать краткие обозначения В = ^В^я, ||/|| = ||/||р и т. д.

Доказательство теоремы 4.

1°. Вложение 2В <—> ХВ очевидно. Докажем, что 1В <—> 3В. Пусть / Е ХВ. Тогда

Пользуясь монотонностью модуля непрерывности (см. лемму 1) и теоремой 2 получим

Пользуясь свойствами модуля непрерывности из леммы 1, заметим, что

(4.1)

7г/а-

>С1 аг«в£&(/),

где с\ >0 — не зависящая от / и 5 постоянная. Из (4.2) и (4.3) следует, что

(4.3)

ОО

(4.4)

(4.5)

7г/2

а из (4.5) и (4.6) получим оценку

Е9ао(Л<с5 (МЛ)4- (4.7)

Окончательно, складывая неравенства (4.4) и (4.7), получаем оценку

(3Ь(ЛУ<С6 {МЛ)9,

из которой следует вложение 1В <—> 3В.

2°. Докажем, что 3В <—> 4Б. Пусть / Е 3В. Используя обозначения и неравенства из пункта з° доказательства теоремы 3, получим

||<?ао(/)||9< (ЗЦ/11)«,

а8ГЧЯ*Ш\ч<*9аЯГ9К--Ш «>!•

Тогда

/ оо \1/я

1Ъ(Л < ( 3« Е9а0 (/) + Е 4« Е1_г (/) \ <

<«1 (11/11+ (Еа8Г9^(/))1/9) ^н/н^в,

5 = 0

откуда и следует вложение 3В <—> 4В.

3°. Докажем вложение 4В <—>• 2В. Пусть / Е 45, е > 0, тогда / можно представить в виде суммы ( ^ во всех суммах пробегает Z+)

/ = Е

причем

(£а*вг1К?««Н9)1/д <4НЛ + е. (4.8)

Проверим, что ряд ^ (^1 сходится в Ьр(В). Для этого заметим, что

||ф1,.)||<0в,||Фа-||=0-в(Г-')0вР||д«-||

(использовано (2.11)). Воспользовавшись неравенством Гельдера, получим

)(9н <Г п-8(г~1)пзг

£||<Эа‘11 < £а_8(г_0а8Г НФИ! -

< с1 (Е °в,г ||ф»* II9)1/4 ^С1 (4&(я+£) •

Следовательно, ряд ^2 (¡а* СХОДИТСЯ В Ьр{В) и

/(,) = ЕФ«*ем^)-

Отметим также, что из (4.10) и (4.9) следует, что

11/(011<с1 (4ь(/) + е).

Используя (4.11) и очевидное неравенство

0*(/(,),й) <2*||/('>||,

получим, что

<

¿1+(r-l)q

< С2 {4b(f) + е) .

Для любого натурального N

N оо

А?/(,) = Еа?<$+ J2 a

s=0 5 = ЛГ+1

АГ оо

l|Atfe/Wll <ifeEaS(fe+0ll^ll + 2fe Е °8'1№«'

s=0 s=AT+l

Тогда

Mf{l\a-N)= sup ||Atfc/Wll<

0 <t<a~N N oo

<a-NkJ2as{k+,)\\Q*’W+2k E °8'Ill'll-

s=0 s=AT+l

Имеем, делая замену <5 = a~u,

4 dS =

(4.9)

(4.10)

(4.11)

(4.12)

= In a J a«(r“Ou ^f(i)} a-«j du =

oo JV+1

£ J a«(r-,)uw* (/('),a"u) d«<

= In a

N=0

N

oo

<lna£>« (/(г),а-^) a<W <

a

N=0

<03X1+04X2, (4-13)

где

її = E£=o«i(r-‘“fc)JV (Е?=0«‘(‘+,)ІКМі)в,

І2 = Е^=0«ї(Г-‘) (EZN+lWQa‘\\)9 ■

Для выражений Xi и X2 в книге [15] (см. пункт 5.6, формулы (17) — (19) ) получены оценки

11 <C5E^o«r<,sll^||9, (4-14)

12 <C6E^o«r<,sll^||9- (4-15)

Окончательно, из (4.12), (4.14) и (4.15) следует, что

Г°° / \ 00

/ (f(l\s) d8<c7y^asrq\\Qas\\\

Jo 4 ' s=0

а отсюда

2b(f)<cs4b(f),

что доказывает вложение 2В <—> 4В.

В результате получена цепочка вложений

2В ^ хв ^ Зв ^ 4 Б ^2в,

что и завершает доказательство теоремы 4.

Rezume

Let М be a compact symmetric space of rank 1. We have defined the Nikolskii — Besov type function classes Brp 0(M) and we have obtained a conctructive description of this classes in in terms of the best approximation by the spherical polynomials on M.

Литература

[1] Никольский С. М., Лизоркин П. И. Приближение сферическими полиномами// Тр. МИАН. 1984. Т.166. С.186-200.

[2] Никольский С. М., Лизоркин П. И. Аппроксимация функций на сфере/ / Известия АН СССР. Сер. матем. 1987. Т.51. N3. С.635-651.

[3] Рустамов X. П. О приближении функций на сфере // Известия РАН. Сер. матем. 1993. Т.57. N5. С.127-148.

[4] Бессе А. Многообразия с замкнутыми геодезическими. М.:Мир, 1981.

[5] Тихомиров В. М. Теория приближений. // Соврем, пробл. матем. Фунд. направления. 1987. Т. 14.

[6] Камзолов А. И. Об интерполяционной формуле Рисса и неравенстве Бернштейна для функций на однородных пространствах// Мат. заметки. Т.15. N6. С.967-978.

[7] Ragozin D. L. Polinomial approximation on compact manifolds and homogeneous spaces// Trans. Amer. Math. Soc. 1971. V.150. P.41-53.

[8] Платонов С. С. О приближении на компактных симметрических пространствах ранга 1 //Доклады РАН. 1995. Т.342. N4. С.455-457.

[9] Платонов С. С. О теоремах Джексоновского типа на компактных симметрических пространствах ранга 1 // Доклады РАН. 1996 (в печати).

[10] Платонов С. С. Об одном подходе к теории пространств типа Никольского — Бесова на однородных многообразиях //Фундаментальная и прикладная математика (в печати).

[11] Платонов С. С. Приближение функций на компактных симметрических пространствах ранга 1 // Матем. сборник (в печати).

[12] Хелгасон С. Группы и геометрический анализ. М.: Мир, 1987.

[13] Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. М.: Мир, 1964.

[14] Лизоркин П. И. О приближении функций на сфере а // Доклады РАН. 1993. Т.331. N5. С.555-558.

[15] Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.:Наука, 1977.