Гармонический анализ Данкля и некоторые задачи теории приближений функций. II Текст научной статьи по специальности «Математика»

Труды Петрозаводского государственного университета

Серия “Математика” Выпуск 13, 2006

УДК

Е. С. Белкина

ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДАНКЛЯ И НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЙ ФУНКЦИЙ. II

Данная статья представляет собой продолжение статьи [1], опубликованной в настоящем сборнике. На основе обобщенного сдвига Данкля определяются аналоги функциональных пространств Никольского и Бесова. Получено описание этих пространств в терминах наилучших приближений целыми функциями экспоненциального типа.

§ 1. Формулировка основных результатов

В [1] рассматривались задачи теории приближений функций из гильбертова пространства Ьэ,а целыми функциями из класса Ти. На основе обобщенного сдвига Данкля в [1] определен модуль непрерывности ^к(/, 5)2,а и доказан аналог прямой теоремы Джексона об оценке наилучшего приближения функции через ее модуль непрерывности. Продолжая изучение задач теории приближений функций в пространстве ^2,а, в настоящей работе на основе обобщенного сдвига Данкля определяются аналоги функциональных пространств Никольского и Бесова. Основными результатами статьи являются теоремы, дающие описание этих пространств в терминах наилучших приближений функциями из класса !и.

Мы будем использовать основные определения и обозначения из

[1]. В частности, Б — дифференциально-разностный оператор Данкля, || • ||2,а — норма в гильбертовом пространстве Ь2,а, Тн — оператор обобщенного сдвига Данкля, Д/(х) = (I — Тн)к/(х) — конечная разность порядка к с шагом Н > 0, Еи(/)2,а — наилучшее приближение функции / € Ь2,а функциями из Ти.

Пусть г > 0 — действительное число, к и в — произвольные неотрицательные целые числа, удовлетворяющие условию к > г — в > 0.

© Е. С. Белкина, 2006

Через Н' а обозначим множество всех функций / € ^2,а, для которых Б/, Б2/,..., Бя/ € Ь2,а и для некоторого числа Af > 0 справедливо неравенство

^к(Б/,5)2,а < А1 5Т-°, 5> 0. (1.1)

Для / € Щ,а определим полунорму Н2,а(/):

ит (Б/, 5) 2,а п ^

Н2,а(/):=вир--------5Т——^. (1.2)

ё>0

Множество НТ а является банаховым пространством с нормой

II/ 1к,а := У/||т,а + НГ2,а (/).

В следующей теореме дается описание пространства НТ а через наилучшие приближения функциями из , в частности, из нее следует, что пространства НТ а не зависят от чисел к и в. Через с\, ст,... будем обозначать не зависящие от / постоянные, которые могут зависеть от к, г, в, а.

Теорема 1.1. Если / € НТ а, то при V > 1 справедливо неравенство

Нт (/)

Е(/)т ,а < С1 . (1.3)

V т

Обратно, если / € Ь2,а и при V > 1

А

Е (/)2,а < -Т , (1.4)

V''

где А — не зависящая от V (но зависящая от /) постоянная, то / € НТ а и

У/ущ,а < с2(|/у2,а + А). (1.5)

Пусть 1 < ц < то, г > 0, к и в — неотрицательные целые числа, такие, что к > г — в > 0. Аналогично [2] скажем, что функция / принад-

лежит классу Никольского — Бесова В' q а, если /, Б/,..., Б/ € Ь2,а и конечна полунорма

(шк(Ба/,5)2,а)ч ^1/<г

-----------;-1-----— I при Ц < ТО,

Ьт (/ )^ \./о д(т-°)ч 5)

) < ^к(Б8/,5)т,«

виР ------------- при ц = то.

й>о т °

5т-,

ЭО

Класс ВТ q a является банаховым пространством относительно нормы

II/ 1к_ := ||/1|2 ,а + ,q , а(/). (1.6)

Отметим, что ВТ ,то ,а = Н2, а-

Теорема 1.2. Пусть а > 1 — произвольное число (можно, например, взять а = 2). Для того чтобы функция / G ^2,а принадлежала классу ВТ q а, необходимо и достаточно, чтобы была конечна полунорма

/ то \ 1/q

,r m a”rq(Ean (/)2,а)Ч при q< ТО

b2, q , а(/) := ^ \n=0 /

sup anrEan (/)2,а при q = то,

n£Z+

где Z+ = {0,1, 2,...}. При этом норма (1.6) в ВТ q а эквивалентна норме

||/II 2, а + b2 , q , а (/).

Доказательства теорем 1.1 и 1.2 являются основной целью работы. Основным средством для доказательств этих теорем являются преобразования Данкля. Определение и основные свойства преобразований Данкля приведены в [1, §2]. В §2 настоящей статьи доказываются вспомогательные неравенства типа Бернштейна, а в §3 мы докажем теоремы 1.1 и 1.2 и, кроме того, получим некоторые эквивалентные нормировки пространств ВТ q а.

§ 2. Неравенства типа Бернштейна

Для доказательства обратных теорем теории приближений используются неравенства типа Бернштейна.

Лемма 2.1. Для любой функции / G IV справедливо неравенство

||D/1|2 ,а < V||/1|2 ,а. (2.1)

Доказательство. Используя лемму 3.3 из [1] и равенство Парсеваля (см. формулу (2.3) в [1]), получим

V

l|D/112,а = aJ И2 l/WIIA!2^1 dA < V

откуда следует неравенство (2.1). □

Лемма 2.2. При Ф(х) € и Н > 0 справедливо неравенство

||Д£ф(*)||2,а < 2^Н)к||ФН2,а- (2.2)

Доказательство. Используя леммы 2.5 и 3.4 из [1] и равенство Пар-севаля, получаем

||ДлФ||2,а = ||Ф - ТлФ|2,а = А1/2||Ф - Т*Ф|2,а =

= А1/2||(1 - ва(АН))Ф (А) || 2,а < 2А1/2|АН||Ф ||2,а < 2И|Ф||2,а.

При этом было учтено, что Ф(А) = 0 при |А| > V. Аналогично проверяется, что

||Д£Ф||2,а < 2к^Н)к |Ф|2,а.

Лемма доказана. □

§ 3. Доказательство основных теорем

Пространства Н-а и В-д а определены в §1. В теоремах 1.1 и 1.2 приводятся описания этих пространств через наилучшие приближения функциями из .

Доказательство теоремы 1.1. Если / € Н- а, то

^(Б-/,^2 , а < Н2 , а(/) (Г--

и из теоремы 1.2 из [1] следует, что

Е (/) ^ ^ (Б8/, 1^)2,а^ Н2,а (/)

Е(/)2,а < С1---------------- < С1--------.

Vя V-

Для доказательства обратного неравенства используется обычная методика, идущая от С. Н. Бернштейна (см. [2]). Пусть выполняется неравенство (1.4). Выберем последовательность функций 0п € 12^ (п = 0,1, 2,...) так, чтобы

II/ - 0п || 2 , а < А 2-”- .

Пусть = -00 и <^п = 0п - "0п-1 при п > 1. Тогда

/ = Е ^п, (3.1)

п=0

ряд сходится в ^2 а и Є І2п. Оценим сверху нормы слагаемых в (3.1):

11^0 ІІ2, а = ||^0ІІ2 , а < ||^0 — / |І2, а + ||/|І2, а < ||/ІІ2 , а + А! (3.2)

1Ыка < II/ - 112 ,а + ||/ - ^п-і|І2,а < А(2-ПГ + 2-(п-1)г) =

= А(1 + 2Г )2-пг. (3.3)

Из неравенств (3.2) и (3.3) следует, что

1Ыка < сз2-пг (||/||2,а + А), П = 0, 1, 2,.... (3.4)

Пусть I — одно из чисел 1, 2,..., в. Из леммы 2.1 получаем, что

РЧіка < (2”)( |ЫЬ,а. (3.5)

Из (3.4), (3.5) и того, что г — I > 0, следует, что в ^2,а сходится ряд

Е^п,

п=0

а так как оператор Б замкнутый, то

Б/ = £ Б^п € ^2,а.

п=0

В частности, функция д = Бя/ принадлежит пространству ^2,а. Пусть Фп := Бя^>п, тогда

9 = £ фп Є Ї2П , ||Фп|І2,а < 2П(г3-я) (|/II 2,а + А). (3.6)

п=0

Возьмем произвольное число Н > 0. Из непрерывности разностного к К

оператора ДК следует, что

Дк9 = Е ДКфп.

п=0

Подберем неотрицательное целое число N так, чтобы

2-№ < Н < 2-(№-1) (3.7)

(если Н > 1, то в (3.7) оставляем только левое неравенство). Тогда

N — 1 ОО

Д£д = Е Л£Фп + Е Д£Фп (3.8)

(при N = 0 в (3.8) остается только второе слагаемое). Оценим слагаемые в (3.8). При п < N - 1, используя неравенства (2.2), (3.6) и (3.7), получим

|ДФп||2,а < 2к (2ПН)к |Фп|2,а < С4 (| / ||2,а + А) 2п(- + к—-)2 —(Х— 1)к . Тогда, используя (3.7),

II \ ' \ к ж || ^ С4(|/ ||2,а + А) X—^ 0(- + к—-)п

II 2_, ДЬФп|12,а < -----2к(\ —1)--- 2^ 2 =

^ п || 2,а <

С4(|/|2,а + А) 2(- + к—-)\ - 1

2к(\ —1)

п=0 п=0

<

2к(\ —1) 2(я+к—-) 1

< С5 (||/1| 2,а + А)Н-—-. (3.9)

Проверим, что при п > N выполняется неравенство

||ДлФп||2,а < 22к || Фп | 2,а . (3.10)

Используя неравенство ЦТ/||2,а < 2\/2 ||/||2,а < 3 ||/||2,а (см. неравенство (2.14) в [1]), получим

||ДлФп||2,а = |ТЛФп - Фп|2,а < ||ТЛФп||2,а + ||Фп||2,а < 4 ||Фп||2,а,

откуда вытекает неравенство (3.10).

Тогда

ОО

|ЕД£Фп1|2,а < 22кСз(|/112,а + А^2—

п=\ п=\

■)_\(- — я)/1 о(^— -)\_ 1

= 22кС4(|/1|2,а + А) 2—\(-—-)(1 - 2(-—-)) —1 <

< Сб(|/1| 2,а + А) Н- —-. (3.11)

Из (3.9) и (3.11) следует, что

||Д£д||2,а < С7 Н- —-(|/1| 2,а + А),

откуда

^ М)2,а < С7(||/У2,а + А)6Г-8, 6> 0,

и

^,а(/) < С7(У/У2,а + А).

В результате получаем, что / € Н а и выполняется неравенство (1.5).

Из теоремы 1.1 следует, что пространство Н а состоит из тех и только

тех функций / € Ь2,а, для которых Л-2 а(/) < то. При этом норма в Н2 а эквивалентна норме

В частности, при различных к, в таких, что к > г — в > 0, пространства Н а совпадают и их нормы эквивалентны.

В следующей теореме будут получены различные эквивалентные нормировки пространств д а, в частности, из нее будет следовать теорема 1.2. Как и раньше, пусть г > 0, а > 1 — действительные числа, к и в — произвольные неотрицательные целые числа, удовлетворяющие условию к > г — в > 0. Будем говорить, что функция /(ж) принадлежит пространству 3В2 а, .7 = 1, 2, 3,4, если / € ^ ,а и конечна полунорма 3 62 q а(/), где:

1&2 , q , а(/) := 62 , q , а(/) (полунорма 62 , q , а (/) определена в §1);

Пусть

^2,а(/) := виР V2 Е(/Ь,.

а

при д < то,

вир 6 (г 8) ^(Б8/, 6)2,а при д = то;

0<б<а

'аз (/)2,а при д = то;

при д < то,

:=

1/9

Ы ( Е а^Г9 \\Qai |12,а ) при д < ТО,

и = 0

тП sup \Qaj-||2,а при д = то,

У«+ /

нижняя грань берется по всем представлениям / в виде сходящегося в ^2,а ряда из функций с ограниченным спектром

/ (х) = Е Qaj ^ Q“j (*) 6 !“3 .

5 = 0

Пространства 5В2 д а являются банаховыми пространствами (БП) относительно норм

/:= У/\2,а + 5Ь2,,,а(/). (3.12)

Теорема 3.1. Пространства 0В2 да, .7 = 1, 2, 3,4, совпадают и их нормы (3.12) эквивалентны (т. е. банаховые пространства 0В2 9 а эквивалентны) .

Отметим, что из эквивалентности БП 1В^ 9 а и 3В2 9 а следует теорема 1.2. Для краткости будем использовать обозначения 0В :=

0В2, 9 , а 0Ь := 0Ь2 ,9 , а (/) := (/)2,9 , а у/\| := у/|Ь ,а и т. д. Выра-

жение VI ч V2 будет обозначать, что БП VI вложено в БП ^. Доказательство теоремы 3.1. Общая схема доказательства соответствует схеме доказательства аналогичных теорем в [2] для обычных модулей непрерывности. Будем всюду предполагать, что д < то. Более простой случай д = то может быть рассмотрен аналогично.

1°. Вложение 1В ч 2В очевидно.

2° Докажем, что 2В ч 3В. Пусть / 6 2В, тогда

Г а

(26(/))9 = МЯЯ/, £))9 ^-2)9-1 ^ =

0

^ ра1-^

= Е/ (^(£8/^))9 ^-2)9-1 ^. (3.13)

0 = 0 ^а -

Пользуясь монотонностью модуля непрерывности (/, £) по £ и

теоремой 1.2 из [1], получим, что

,■ а1-3'

/ (ш*(£/,£))9 ^8-2)9-1 ^ >

•/ а-3

> (^(£/,а-°))9 (а1-0)(8-2)9-1 (а1-0 - а-0) > С1 а°29 (Ез (/))9 ,(3.14)

где постоянная С1 не зависит от / и у. Из (3.13) и (3.14) следует, что

(2Ь(/))9 > С1 (36(/))9 ,

откуда вытекают неравенство 36(/) < С2 26(/) и вложение 2В ч 3В.

3°. Докажем, что 3В ч 4В. Пусть / 6 3В. Для каждого у 6 Z+ возьмем функцию $аз 6 1аз, удовлетворяющую условию

II/ - 9а3 II < 2 Еаз (/).

Пусть

Qа0 ^а0, Qaj ^а3 ^а3-1 при У > 1.

Тогда

О

/ = Е Qa3 ,

0 = 0

ряд сходится в ^2,а, так как Еаз (/) ч 0 при у что.

Заметим, что

1Юа0 || < У/II + II/ - 30||<||/II +2 Еа0 (/) < 3||/1|,

11 а 3 II < ЦЯаз - / Ц + ||/ - 0аз-1 I < 4 Еаз-1 (/), у > 1.

Используя эти неравенства, получим, что

оо оо

(4Ь(/))9 < Е а092 11аз Г < 39 II/II9 + Е 49 а092 (Ез-1 (/))9 ,

0=0 0=1

откуда следует, что

1/9 N

4 Ь(/) < сз ( II/ II + (Е а029 (Еаз (/))?) = С3 ||/||зв.

а _ (Еаз (/ /9

Ч0=0

Из последнего неравенства и вытекает вложение 3В ч 4В.

4°. Докажем, что 4В ч 1 В. Пусть / 6 4В, е > 0, тогда / можно представить в виде суммы (у во всех суммах пробегает Z+)

/ = ^з , Q аз 6 Таз',

причем

(Е а092 11аз I9)1/9 < 4Ь(/) + е. (3.15)

Проверим, что ряд у: сходится в ^2,а. Для этого заметим, что

||£^аз Ц < а^^з I = а-(2-8)0а02 ЦQaЗ I

(использовано неравенство типа Бернштейна из леммы 2.1). Воспользовавшись неравенством Гельдера, получим

-(2-я)0

Еіі^аз || < Е а-(2-Я)Іа"'2 II <

< С4 (£ О7'29 ІЮаз |9)1/9 < С4 (46(/)+ є) , (3.16)

следовательно, ряд У~] ^я<Заз сходится в ^2,а. Из замкнутости опера-

тора Б вытекает, что

Б/ = £ Бя^аз є ^2,а. (3.17)

Отметим также, что из (3.16) и (3.17) следует, что

||Б/1| < С4 (46(/)+ є) . (3.18)

Заметим, что имеет место очевидное неравенство

^(Б/, £) < 22к ||Б/||. (3.19)

Используя (3.18) и (3.19) получим, что

(^(Б8/, £))9 £-(2-5)9-1 ^ <

^-(2-я)9-1 ^ < С5 (46(/) + є) . (3.20)

Для любого натурального N можно написать равенство

N о

Д£(^/)= Е Д£(^аз )+ Е Д£(^аз ).

0=0 ^ = N+1

Используя неравенства типа Бернштейна из лемм 2.1 и 2.2, получим, что

N оо

|Д*(Яв/ )Ц< Н*£ а0(*+8)1Юаз Ц +22* £ а0 Ц Q

0=0 +1

Тогда

ш*(£/,а-Л )= вир ||Д£(Яв/ )Ц<

0<Ь<а-^

N о

< а-™ Е а0(*+8)1Юаз Ц +22* Е а°8 1№„

0=0 +1

Делая замену 6 = а “, имеем 1

J (ш*(£/,6))9 6-(2-я)9-1 й6 =

0

со

= 1паI (ш*(£я/,а-“))9 а9(2-я)“ йи =

0

о ЛГ+1

1п а Е / а9(2-я)“ (ш*(£я/,а-“))9 йи <

лг_п ^

где

^ ^ I а^ ' (ш*(^ / а

N=0 N о

< 1па Е (ш*(Д/,а^))9 а^2-8^^ <

N = 0

< С6 Л + С7 ^2, (3.21)

N

Л = > а9(2-5-*^ V а0(*+5) ||0а

N=0 ^0=0

Ж / Ж

Л = £ а^-3^ £ а^ уда3|

N=0 '^•=N+1

Для выражений Л и Л в книге [2] (см. [2], пункт 5.6, формулы (17) - (19) ) получены оценки

Л < cs£ ajrqIIQaj ||q, (3.22)

j=0

Ж

Л < C9 £ ajrq||Qa, ||q. (3.23)

j=0

Окончательно из (3.20), (3.21), (3.22) и (3.23) следует, что

Ж

j (wfc(Ds/, J))q J-(r-s)9-1 d<5 < cio (4b(/) + e)9 ,

0

а отсюда

1b(/) < cio4b(/),

что доказывает вложение 4B ч 1B.

В результате получена цепочка вложений

1В ч 2В ч 3B ч 4В ч 1B,

что и завершает доказательство теоремы 3.1.

Resume

Using generalized translations of Dunkl we define Nikolskii — Besov type function spaces and obtain their description in terms of the best approximations.

Список литературы

[1] Белкина Е. С. Гармонический анализ Данкля и некоторые задачи теории приближений функций. I / Е. С. Белкина // Труды ПетрГУ. Сер. матем. 2006. Вып. 13. С. 3-25.

[2] Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения / С. М. Никольский. М.: Наука, 1977.