ОБ ОЦЕНКАХ ПОРЯДКА НАИЛУЧШИХ M-ЧЛЕННЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ В АНИЗОТРОПНОМ ПРОСТРАНСТВЕ ЛОРЕНЦА - ЗИГМУНДА Текст научной статьи по специальности «Математика»

Научный отдел

МАТЕМАТИКА

Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2023. Т. 23, вып. 2. С. 142-156 Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics, 2023, vol. 23, iss. 2, pp. 142-156 mmi.sgu.ru

https://doi.org/10.18500/1816-9791-2023-23-2-142-156 EDN: YKNUUN

Научная статья УДК 517.51

Об оценках порядка наилучших М-членных приближений функций многих переменных в анизотропном пространстве Лоренца - Зигмунда

Г. Акишев

Казахстанский филиал Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова, Казахстан, 100008, г. Астана, ул. Кажыму-кана, д. 11

Акишев Габдолла, доктор физико-математических наук, профессор кафедры математики и информатики, [email protected], https: //orcid.org/0000-0002-8336-6192, AuthorlD: 194028

Аннотация. В статье рассматриваются анизотропное пространство Лоренца - Караматы периодических функций многих переменных и класс Никольского - Бесова в этом пространстве Установлены точные по порядку оценки наилучших М-членных тригонометрических приближений функций из класса Никольского - Бесова по норме другого пространства Лоренца -Зигмунда.

Ключевые слова: пространство Лоренца - Зигмунда, класс Никольского - Бесова, М-членное приближение Благодарности: Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки Республики Казахстан (проект AP 08855579).

Для цитирования: Акишев Г. Об оценках порядка наилучших М-членных приближений функций многих переменных в анизотропном пространстве Лоренца - Зигмунда // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2023. Т. 23, вып. 2 С. 142-156. https://doi.org/10.18500/1816-9791-2023-23-2-142-156, EDN: YKNUUN

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0)

Article

On estimates of the order of the best M-term approximations of functions of several variables in the anisotropic Lorentz - Zygmund space

G. Akishev

Kazakhstan Branch of Lomonosov Moscow State University, 11 Kazhymukan St., Astana 100008, Kazakhstan

Gabdolla Akishev, [email protected], https://orcid.org/0000-0002-8336-6192, AuthorlD: 194028

Abstract. The article considers the anisotropic Lorentz - Karamata space of periodic functions of several variables and the Nikol'skii - Besov class in this space. The order-sharp estimates are established for the best M-term trigonometric approximations of functions from the Nikol'skii-Besov class in the norm of another Lorentz - Zygmund space.

Keywords: Lorentz - Zygmund space, Nikol'skii - Besov class, M-term approximation Acknowledgements: This work was supported by the Ministry of Education and Science of the Republic of Kazakhstan (project AP 08855579).

For citation: Akishev G. On estimates of the order of the best M-term approximations of functions of several variables in the anisotropic Lorentz - Zygmund space. Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics, 2023, vol. 23, iss. 2, pp. 142-156 (in Russian). https://doi.org/10.18500/1816-9791-2023-23-2-142-156, EDN: YKNUUN This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY 4.0)

Введение

Пусть N, Z, R — множества натуральных, целых и вещественных чисел соответственно; Z+ = N U {0}; Rm — m-мерное евклидово пространство точек х = (х1,..., хт) с вещественными координатами; Im = {х е Rm; 0 ^ Xj < 1; j = 1,..., т} = [0, l)m — m-мерный куб; Z™ — декартово произведение из т множеств Z+.

Пусть даны числа р,т е (1, то), а е R = (-то, +то). Пространством Лоренца -Зигмунда LPjT(log L)a(T) называется множество всех измеримых по Лебегу и 2п периодических функций f, для которых (см., например, [1])

1 , 11 (/* (*))т (1 + I log2 i|)aT t'-1 dtj < +то,

p,a,r

"0

где /*(£) — невозрастающая перестановка функции |/х е [0,1), Т = [0,).

Пространство Лоренца - Зигмунда иногда обозначается как (Т). Будем пользоваться именно этим обозначением.

Отметим, что для а = 0 пространство ЬР:а^т(Т) совпадает с пространством Лоренца Ьр^т(Т), 1 <р,т < то, которое состоит из всех функций / таких, что (см., например, [2, гл. 1, п. 3])

1/т

р,т

f * (t)t i-1 dt ) < TO.

*

Пусть р = (Р! ,...рт), Т = (п ,...тт), а = («1 ,...ат) и , £ (1, то), £ М, 2 = 1,...,т. Через Ьр}Д-¥ (Тт) обозначим анизотропное пространство Лоренца -Зигмунда — всех измеримых по Лебегу функций т переменных /, имеющих период по каждой переменной и для которых конечна величина

р,а,Т := II • • • II/ Ь ' 11р1 ,«1 ,Т1 ' ' ' \\prn,ат,Тт =

i1

l

_

(/(il ,...,tm ))

П

/ m П

м=1

(1 +1 log2t,|)яt

, Г t? ^

T1

dt1

dt

i

Tm

где /*1>->*™(11,... ,ьт) — невозрастающая перестановка функции |/(2пх)1 по каждой переменной х^ £ [0,1) при фиксированных остальных переменных (см. [3,4]).

Для щ = 0, 2 = 1,...,т пространство Ьр,«-(Тт) является анизотропным пространством Лоренца и обозначается Ьр-(Тт), а его норма ||/= ||/||р- (см. [3]).

Если щ = 0 и р^ = т^ = р, ^ = то Ьрр«^(Тт) = Ьр(Тт) — известное

пространство Лебега с нормой

1/р

р

|/(2й?)1* dx

, 1 ^ р < О.

Введем следующие обозначения: Ьр«- (Тт) — множество всех функций / £ (Тт) таких, что

j f (х) dxj = 0 V j = 1,...,

m;

o>n(f ) — коэффициенты Фурье функции f G L1 (Tm) по системе };

6^(f,x) := ^ a* (f ,

nep(s)

m _

где (y,x) = £ y3 x3, p(s) := {k = (къ ...,km ) G Zm : [2e*-1 ] < \kô1 < 2e', j = ,

з=1

[a] — целая часть числа a и Sj = 0,1,...

В теории функций хорошо известно В — пространство Никольского - Бесова в пространстве Лебега Lp(Tm), 1 ^ р < o и его различные обобщения [5-7].

В данной статье рассматривается аналог класса Никольского - Бесова в анизотропном пространстве Лоренца - Зигмунда:

В := \f G L*,я?(Tm): \\f \\~ +

{m

n

3=1

2S'r' \\b(f )\\~

}

sezm

^ 1

h

где p = (P1, . . . , Pm ), a = («1, . . ), T = (n, . . . ,Tm), 6 = (^1, . . .,6m ), Г = (n, . . .,Tm ), 1 < pj, Tj < oo, 0 < 9j ^ +ж, 0 < fj < +ж, aj G R, j = 1,..., m, норма Iq числовых последовательностей {a^} имеет вид

em/ет-Л 1/0m

||K}

râGZH \ls

E f-Y E КГ1)

nm ez \ \ni gz /

/Qi

T

T

m —1

1

0

Наилучшим М-членным тригонометрическим приближением функции / е (Тш) называется величина [8]

м _

II/Ь,^^ ,

3=1

где {№}— система векторов к1 = (к{) с целочисленными координатами, Ьп — действительные или комплексные числа.

Положим

ем ,в ЩлтЫ :

sup ем (/ ^Д^ (2)

f es r (1)_ в

J p,a,t(1) ,e

где д = (^ ,...,дт), Р = (& ,...,£го), т« = (т® ) и 1 < д3 ,т)г) < то, г = 1, 2,

^ е М, з = 1,...,т.

Оценкам порядка наилучших М-членных тригонометрических приближений функций из классов Соболева , Никольского - Бесова В, Лизоркина - Трибеля в пространстве Ьд(Тш) к настоящему времени посвящено большое количество исследований Р. С. Исмагилова, Э. С. Белинского [9], Ю. Маковоза, В. Е. Майорова, Р. Девора, В. Н. Темлякова [10-12], А. С. Романюка [13], М. Хансена и У. Зикеля, С. А. Стасюка, Д. Б. Базарханова [14,15] (более подробно см. библиографию в [8]).

Оценки наилучших М-членных приближений функций класса Никольского -Бесова в пространствах Лоренца и Лебега с анизотропными нормами исследованы в [16,17].

Основная цель статьи — найти точный порядок величины ем(£-

р,а

,Г (1) ,в В\ 3^(2) •

Через С(р,д,у,...) обозначим положительные величины, которые зависят от указанных параметров и отличаются для разных формул. Запись А(у) х В (у) означает, что существуют положительные числа С1, С2 такие, что С1 А(у) ^ В (у) ^ С2 А(у ). Для краткости записи вместо В ^ С1А или В ^ С2А часто будем писать В ^ А или В ^ А соответственно. Запись log у означает логарифм с основанием 2 от числа У> 0.

1. Вспомогательные утверждения

В данном разделе приведем несколько лемм, необходимых для доказательства основных результатов статьи.

Лемма 1 ([18]). Пусть 7' = (7I), 7 = (71 ), 0 = (01,...,9т) и

0 < l'j ^ lj, 0 < 0j < то, j = 1,... ,т и a G (0, то). Тогда справедливо следующее неравенство:

{

2-"<*.7> JJ(s. + 1) 3=1

}

seY т (ntf)

< 2-na5njeA j&A\{ji} J, n G N,

h

где 5 = min{ 'Ц, : j = 1,..., m}, A = {j : 'Ц = 5, j = 1,..., m}, j1 = minjj : j G А} и

Ъ' Ъ'

числа Xj G R удовлетворяют условиям

min

£

3EA\{j'}

+

11

£ + *

jeA\{ji}

> 0, j' = max{j G A}.

3

Лемма 2. Пусть к, > 0, 0 < 9. < то, X. е М, ] = 1,... ,т и = у,'т),

7 = (71, • • •, 7,), = 7. = 1 для 3 е А и у. < у. для ] $ А. Тогда

^ . = 1 > <5 )<П

Т. Аз + Е <С 2пкпзеА } 3, пе N

при условии

шт

Е ^ + Е I., V + ^

Доказательство. Рассмотрим множество

> 0.

= {5 = (зЬ ...,3,) $ ^ : (в,^) <П} = У Ш1,

=1

где иц = {5 = (зь..., вт) е Zт : I — 1 ^ (§, у ) < I}, щ П иок = 0, к = I.

Пусть и Хш1 — характеристические функции множеств и ^ соответ-

ственно. Тогда

п

® = Е сю.

=1

Поэтому согласно свойству нормы имеем

^Ц(5. + 1)А,|

{п т Л

= .=1

<

<

Е

=1

=1

,(5)}

(1)

Обозначим 5 = 2у' — 7. Тогда 5. = у. = 1, ^ е А и 6. > у. для у е {1,..., т} \ А. Поэтому

^ 2

21 к

{

2-к<5 * ^ ( 5. + 1) (а)

=1

. (2)

Теперь, пользуясь леммой 1 из неравенств (1) и (2), получим утверждение леммы. □

Замечание 1. В случае в1 = ... = 9т = в и А = {1,... и} лемма 2 ранее доказана в [10, лемма Г].

2. Основные результаты

Теорема. Пусть р=(р1,..., р,), Ч = ( 41Ят), а = («1 3 = (/1

-(1) = (Т1(1),..., т, ), т(2) = (г|2),..., т, ), в = (01вт) и 1 < р. < 2 < ъ <

1 < т(2) ^ в. ^ то, 1 < т(1} < +то, а. е М, 0 ^/3. < то, -1 — 1 < г. < -, ] = 1

(1)

т

и г30 + ¿Т — -- =шЧг. + ^ — -1 :э = 1,...,т},А = : г3 + ± — -1 = г.0 + — -1,

Рзо

Но Рзо

j = га}, ji = min{j £ А} и - r^ < - rJ0) ±, j £ А Тогда справедлива оценка 0 0

ем (5Т--(1)^В)^ (2

(2)

<

<м

'(rjo + 4io 4>) Uov-ju р

(log М )

ч Е -ч) (log М

для натурального числа М > М0 > 1 при условиях:

а) 2 < r(2) ^ 01 ^ то и

min

{ £ (ft - <*) + Е (Ч - Л,

in{ Е (Р,-Ч) + Е (2-Й•

(з eA\{j'} j еА\{п } v "

(2)

- Т3) '- ' + ф - J-, > > 0

}]- '- --'+1 - ¿ > >0;

(3)

(4)

б) для 1 < т!- ' ^ ^ 2 при условии (3), где ]' = шах^' е А} и а+ = шах{а, 0}. Доказательство. Пусть / е ^В. Для произвольного натурального числа

М найдется натуральное число п такое, что М х 2Пп][А|-1. Приближающий полином Р(Ом,х) будем искать в виде

Р(ÜM,х)= ^(f>w)+ Е Р>*)>

(s,7 ' )<п ' )<ап

(5)

г, + -1 -3 я: р:

гДе i = (7i, • • •, Ím), Í3 = lj = 1 для J £ Л и 1 < i3 < , j £ A, 7j = — + Л___,

Tj0 + «jo Pj0

J = 1,...,га.

Полиномы P(Ц^будут построены для каждого блока Sj(f,x) согласно [9, лемма 2.3], а число а > 1 выбрано в процессе построения.

Предположим, что искомый полином построен. Тогда в силу равенства (5) и свойства нормы получим

II/ - Р(^М)||*,^(2) <

Е (W) - р(sv))

n^(s,jf )<ап

= Ji (j) + h (J).

+

qj),r(2)

_E ып

(s,jf )^an

T¡Ar (2)

(6)

Так как полином ^ (1,х) — Р,х)) — непрерывная функция, то она при-

п^г/' }<ап

надлежит пространству Ьдо (Тш), д0 = шах{д1,..., дт} и

ч

*

*

Ji(f) <

Е (ш) - р))

)<ап

(7)

до

Так как е (2, +то), ] = 1,...,га, то е (2, +то). Поэтому согласно теореме Литтлвуда - Пэли в пространстве Лебега (см. [5, гл. I, п. 1.5.2]) и [9, лемма 2.3]

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер.: Математика. Механика. Информатика. 2023. Т. 23, вып. 2 оценку (7) продолжим в следующем виде:

1/2

1/2

ш « ( Е и ^(Л — р(^

п^<И у' )<ап

Т

« ( Е ^П2Ч ИШ)!

)<ап .=1

(8)

Оценим ,]2(/). Пользуясь [19, теорема 3], получим

■Л(/) «

Щ 2 '<) (я

=1

( 5. + 1)Рз-аз щ ли

Р,а,т(1)

}

-¿ЕУ™ (ап,у')

С МЛ, (9)

(2)

где Ут(ап,у') = {5 е Zm : (5) ^ ап}.

(2)

Оценим /3(/). Пусть 1 < г. < ^ ^ то, 3 = 1,..., т. Тогда, применяя неравенство

д' 11

Гельдера с показателями г]. = > 1, — + -V = 1, j = 1,... ,т и леммой 1 при

Тз 3 3

X. — а., ] = 1,..., т, будем иметь

мл «

{■т

=1 .=1

2,,гз и ы т;,^(1)

}

-ёеУ™ (ап,у')

X

к

X

|2-<5КГ1+5!-]=[(*. + 1)рз"аз|

8&т(апу')

<

1т

« 2-аЧГ1+5!-¡т) (п + 1)

Е (Рз-аз)+ Е -(2у-

(-г

(10)

для любой функции / е ^Ра-(1) дВ, где е = (е 1,..., е,) , е. = т. 'г]'., 3 = 1,...,т при условии

шт

( £ (3. —«.)+ £ (¿0 — 1) ,

^еАШ'} еА\{лЛТл 3 /

V — 7Т I , 3— а.' + -(2) — 7Т" > > 0.

(11)

Теперь из неравенств (9), (10) следует, что

Л (/) « 2

-ап( п+51 - ) (

Е (Рз-аз)+ Е

\п + 1)

з=1

з=2\ -

(12)

_ (2) для любой функции / е , при условии (11) для 1 < Т. < 0. ^ то,

3 = 1,...,т.

р'а'Т(1) V у ЛЛ— - - ..

В силу условия 0 ^ 3. < то, з = 1,... ,т справедливо неравенство

ЦШ)1|2 «иь(/)И*Д2.

Так как 1 < р. < 2, 3 = 1,... ,т, то из [19, теоремы 2] следует, что

т « ( -Л

и^(/)И2Д2 « П2 зи-*)(5. + 1)рз-аз Ц^(/)ЦР__(1) .=1

(13)

(14)

для 3., а. е М, 1 < т(1) < то, 3 = 1,..., т.

*

Из неравенств (13) и (14) следует, что

(/)||2 <<П 2

3 = 1

- 2)

- 2 + 1)*- ||Ь(/)|

*

р,а,т(1)

для 0 ^ ^ < то и щ е М, 1 < т^ < то, з = 1,...,т. Используя неравенство (15) из (8), получим

1/2

*а) < ( Е я-1!! 233р>& + 1)("5)2(ишЖд,,«)2

}<ап 3=1

(15)

(16)

если 0 ^ ^ < то и 1 < г-2) < то, а^ е М, 1 < г(1) < то, з = 1,..., т. Пусть ^ — 1 < г^ < -1, 1 < г(2) < ^ то, з = 1,..., т. Положим

Рз Яз

Рз

N. =

2П 2

+1

где координаты вектора 7 = (71.. ) удовлетворяют соотношениям ^ = ^^ для 3 е А и 1 < ^^ < ^ для з е А- По [10, лемма Г] нетрудно убедиться, что

Е < 2Ппи-1 < М.

п^^' }<ап

Теперь, подставив значения чисел Щ из (16), получим

Зха) < [2-п2аЧ^-Г1) ^ 2-(?!-Г1) ^ х

п^*/' }<ап

т 2 2 1/2 хп2^& + ^^)2 (иш)и;,^ 1)) } . (17)

3=1

Так как ( — — гЛ — < ( —— г^ —, А, то

\Рз 3) Ъо \Рзо ^у ^ ^

1 — г, г, + -1 — ±

< \ Т = ъ 3/А.

-Л__г ■ Г ■ -I__1___—

По 'К 'К + 9» 1>х,

1- Г,

V ' з

Поэтому выберем числа ^ и ^ так, чтобы -< ^ < ^ < ^^, 3 е А. Тогда

рю Гз°

2Ч4" П 2^ < 2(^-Г")^ П 2е'2Г^

3=1 3=1

Следовательно,

^ 2-(4-г»)^ п+1)^(^(1))2 <

}<ап ]=1

<

<8,У )

Е 2.- - ^

п^<в,у' )<ап .=1

т П

.=1

П( «. + 1)(Рз-аз'МП 2"иЬ( Яир,^(1)

)

(18)

Если 2 < 0. ^ +то, ] = 1,...,т, то, применяя неравенство Гельдера ^ = Ц-, ^ = , .7 = 1,...,^ к сумме в правой части (18), будем иметь

1 __ т 2

£ 2-(-зТ(,. + 1)(рз-аз(иЗШЦгаМ») «

' )<ап

.=1

<

{2<^ и к т-а,*)}_ 7,„ ^+ 1)(рз-аз >4

<в,у' )<ап

. (19)

V

Далее, по лемме 2 при 0. = г]. и X. = 3. — а., ] = 1,..., т будем иметь

{

>( -о)

ГК^' +

.=1

з)2

I,

у' )<ап

*п( -Т-Г1) а

« 2'Ч-Г"'1;" (п + 1) з^А

2 Е (Рз -аз)+ Е

з€А\{з1} '3

(20)

при условии

Ш1П (2 £ (3. — а.)+ £ ^, 2(3.' — ау) + 4 | > 0.

[ .еА\{.'} зeА\{зl} )

Теперь из неравенств (19) и (20) следует, что

(4 )

«2

при условии

Е 2

п^<в,у' )<ап

Ч4"-ГЪ) а

'{э,^ т

зеА

]=[(5. + 1)(Рз-аз)2 (и^(/)ир-_(1^ «

{2^ и«яи;,^а)}5

.=1

2 Е (Рз -аз)+ Е

зеА\{з1} чз

зЕ7™

(21)

Ш1П

(2 £ (3. — а.)+ £ 1, 2(3.' — а.') + ^г 1 >

[ .еА\{.'} 3GА\{зl} )

Далее, из неравенств (17) и (21) получим

Ч 4-2Ч 4-гз°)а

2 Е (Рз-аз)+ Е

зеА

зеА\{з1}

Л(/) « 2-п2

для любой функции / е Й-;__(1) дВ при условии

Ш1П (2 £ (3. — а.)+ £ ^, 2(3.' — "?) + ^Г 1 > 0,

[ .еА\{} .еА^} ь )

если 0 ^ 3. < то и 1 < т.(2) < то, а. е М, 1 < г.(1) < то, ^ = 1,..., т.

1 \ 1/2 г)

(22)

2

1

в

В оценке 32(/) число а выбрано в следующем виде:

а =2 Ъо ^ I 2 т(2) п

з еА\{п } \ тз

Тогда

^ ( 2 г(2) )

А\{31 }\ Т3 /

^ ( 1 — Д2))

А\{31 }\ Т3 /

Следовательно,

па = — Озо Е Ц — -щ) 1о^ п■

з еА\{з1 }\ тз )

-па(пп+^ )+ Е Г —(2)- 1Л )

-п-ж Л. ^^ Ц1 (г!о+Д- - г1-) £ -Д)! £(&-Ч)+ Е (Д) - ^тт)

(2-п1а1-1)-^ (г*+4 - 4) + -1- ¿о) >( х

Е (Рз-ч)+ Е -

х(п + 1У€А Д"; V. (23)

Поэтому из неравенства (12) получим

32(/) < (2^-)-^(г*+4-4) +^-^^{,1 >(1-ф) х

Е (Рз -аз)+ Е (^2) -Л

х (п + 1)^А Д "Д V =

/ м. 1 ч- % (Чо + ^-^ 1 (> -РГ") ^о Е I1-Д)) Е(&-а,-)+ Е (1-

= (2ПП|Л| ) М уо ) пК } ^А\{зг Д т)>) п^А 3€А\{31 Д Э) (24)

при условии (11) для 1 < г?(2) < в^ ^ то, у = 1,..., т. Далее

2"Ч Р^Д = 2" "К Р^о п4^ Р^о^ 2 - .

Поэтому из неравенства (22) следует, что

п-2о (Л--г, \ -Чзо{ Р--Гзо) Е - "(2)) „ Е (Рз-Ч)+ Е (1 -Д (/) < 2 2 ^о 30) п ^ ^=Д "У; 2-2 п^А Д ^ =

= с (2^-1)-^^+^-Р^) -1-3*) х

Е (Рз-ч)+ Е (1-117)

хп^'еА Д ^ (25)

для любой функции / е при условиях 2 <0^ < то, 1 < г(2) ^ ^ то и (4),

0 ^ ^ < то и 1 < т(2) < то, а3 е М, 1 <т(1) < то, ; = 1,...,т. Теперь из неравенств (6), (24), (25) следует, что

и — р ("м )|;Дт (2) <

<

(2пп|А|-1)-'К 'зо + - Гз0 - ^1}(1--р)пз!А

(Рз-аз)+ Е (1-втт)

з€А\{з1 Л з/

(26)

для любой функции / е ^Р__(1)^В, в случае -- — 1 < г. < -з, 2 < 9. ^ то, 1 < г.7(2) ^ % ^ то, ^ = 1,... ,т при условиях (3) и (4), если 0 ^ 3. < то и а. е М, 1 < г.(1) < то, ^ = 1,..., т. Поэтому из оценки (26) следует, что

ем

(1) ¿В)

В\ « (2пп>А-1) ^ (Гз0 + '1 4>)

(2)

X

хп

зо

£ -(2)) Е(Рз-аз)+ Е (1-вг)

; зеА\{л }\ -з /пз^А зеА\{лЛ з/

в случае 1 < р. < 2 < д. < то, 1 — ^ < г. < 1, 1 < т(2) ^ 9. ^ то, 2 < 9. ^ то,

0 ^ 3. < то, а. е М, 1 < т.1 < то, ] = 1,... ,т при условиях (3) и (4).

Рассмотрим случай 1 ^ 9. ^ 2. Через е. обозначим множество всех е.. е 7+, для которых (51,..., е..,..., 5 т) е Ут(п, ап,у') при всех фиксированных вк, к = 3 и Рк = е1 х ... х ек, положим

°к(f, п)-дк

и«Лир,_,а)}г

8 к еРк

вк

где 5 к = (51,..., 5 к), тк = (91,..., 9к). Рассмотрим числа

^ =

Г (г'о- ^) 2"П1 а I-1'30 -

т-1

X

X

(2<^ и ^ ( /)и; (1^П°кк+1 (/,«)«к

к=1

+ 1,

(27)

где [у] — целая часть числа у > 0. Тогда, учитывая, что г.0 — -- < 0, будем иметь

£ ^ ^пт + 2

п^{ё,у' )<ап

"("зо - 4)

2"па-1х

х Е 2

п^<в ,у' )<ап

-{а

т- 1

~'*>) (2^и^/)и;^Г Пскк+^'к(/."к <

< пт + 2яп|а|-1

{2<5?) и *( я^«} ^

к=1

< 2пп|А|-1 < М.

(28)

к

Подставляя значения чисел Щ из (27) в (16), будем иметь

•Л (/) « 2

У'2 ( Е И

/ ,у' )<ап

\р_'т (1)

"" >Гп1А~1\ I > • Щ%(/)ира т

)<

т-1 т 2 \ 1/2

АТТ О^з'-з^. 1 1 Л (Рз-аз )2

)2-в 1 2<* К 4 - 'зо)

хГК "вк+1 (/,«кП 2"з-з («. + 1)

к=1

=1

.

X

(29)

Далее, применяя неравенство Гельдера при = 9^ (2 — 9^) > 1, 1/^- + 1/г^ = 1, 3 = 1,... ,т, из (29) получим

Ч г» - Д 2" „I-

X

{

{2(5 Л шт ^ Д

-°Ч )2 I )

Л (/) < ( 2Пп^^ ^

ХУ-(п,па„') (^^-^

X

к

П(5* +1

1/2

V

(30)

где (п,па,7у')(«) — характеристическая функция множества Ут(п,па,^'), г]' = = М ^..^т).

Так как Д = ^ = 1, 3 е А и Д < ^, 3 е А, то согласно лемме 2 при 9^ = щ,

7 = 1,... и к = —— г*п > 0 имеем

и ' ' Рзо 30

^ О=1 ^

<

2

Е (&-а,-)2+ Е Д

еА

У€А\{У1} ч3

при условии

(31)

Ш1П

Е (Р) — ч)2 + Е 1' (р* — ')2 + ^) > 0

Ч] Ч]

зеА\Ц'}

зеА\{,п }

Теперь из неравенств (30), (31), учитывая определение числа а, получим

Д(/) < ^Т50"2^1 = С (2Пп^-1)'^

1

Е (Рз-а,')2+ Е Д)

еА

1')

1/2

(2"п^Ы)"^ + ^"Д „(^"^}(

X

Е (&-оч)+ Е 1-

хп

(1-*)

(32)

для любой функции / е 5Г'__(1) -ев, в случае 1 < г(2) ^ % ^ 2, ^ — ± < г^ < ±, 0 ^ ру < то, Оу е М, у = 1,... при условии

11

ш1П

( Е & — )+ £ (1 — .

Д — ^ ^'— ' + 1 — %

> 0. (33)

Теперь из неравенств (6), (24) и (32) следует, что

2-в

т

2

+

+

V

2

(> - qjo £ I1-"!)) )+ £ i1-sr)

XnV jeA\{ji Д "У J njeA j€A\{ji Л

в случае 1 < т(2) ^ Oj ^ 2, ^ - 1 < rj < 1, 0 ^ fy < то, aj G R, j = 1,..., m при условии (3).

Отметим, что из условия (3) следует (33). □

Замечание 2. В случае aj = = 0 и pj = rj(1) = р, qj = rj2) = q, Oj = 0 для j = 1,... ,m из доказанной теоремы следуют ранее известные результаты В. Н. Темля-кова [10, теорема 2.2, с. 92] и А. С. Романюка [13, теорема 2.1]. Случай aj = = 0, j = 1,... ,m доказан в [16].

Оценки ем [s^__(1) ^^ _ (2) в случае 1 < pj < qj ^ 2, j = 1,... ,m следуют из

теоремы в [20]. В случае aj = = 0 для j = 1,...,m точность оценки доказана в [16], а для aj, fa = 0, j = 1,... ,m она будет опубликована позже. Оценка величины е м (SI--(i) )q_jT(2) в случае 1 ^ % ^ rj2), j = 1,...,m будет изучена в будущем.

Список литературы

1. Bennett C., Sharpley R. Interpolation of Operators. Orlando : Academic Press, 1988. 469 p.

2. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. Москва : Мир, 1974. 333 с.

3. Blozinski A. P. Multivariate rearrangements and Banach function spaces with mixed norms // Transactions of the American Mathematical Society. 1981. Vol. 263, № 1. P. 149-167. https://doi.org/10.1090/S0002-9947-1981-0590417-X

4. Kolyada V. I. On embedding theorems // Nonlinear Analysis, Function spaces and Applic. Praha : Institute of Mathematics of the Academy of Sciences of the Czech Republic, 2007. P. 35-94. URL: http://dml.cz/dmlcz/702492 (дата обращения: 20.02.2022).

5. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. Москва : Наука, 1977. 456 с.

6. Аманов Т. И. Пространства дифференцируемых функций с доминирующей смешанной производной. Алма-Ата : Наука, 1976. 224 с.

7. Лизоркин П. И., Никольский С. М. Пространства функций смешанной гладкости с декомпозиционной точки зрения // Труды Математического института имени В. А. Стек-лова. 1989. Т. 187. С. 143-161.

8. DUng D., Temlyakov V. N., Ullrich T. Hyperbolic Cross Approximation. Basel ; Berlin : Springer, 2018. 229 p. (Advanced Courses in Mathematics. CRM Barcelona).

9. Белинский Э. С. Приближение «плавающей» системой экспонент на классах периодических функций с ограниченной смешанной производной // Исследования по теории функций многих вещественных переменных / отв. ред. Ю. А. Брудный. Ярославль : Ярославский гос. ун-т, 1988. С. 16-33.

10. Темляков В. Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной // Труды Математического института имени В. А. Стеклова. 1986. Т. 178. С. 3-113.

11. Темляков В. Н. Конструктивные разреженные тригонометрические приближения и другие задачи для функций смешанной гладкости // Математический сборник. 2015. Т. 206, вып. 11. С. 131-160. https://doi.org/10.4213/sm8466

12. Temlyakov V. N. Constructive sparse trigonometric approximation for functions with small mixed smoothness // Constructive Approximation. 2017. Vol. 45, iss. 3. P. 467-495. https://doi.org/10.1007/s00365-016-9345-3

13. Романюк А. С. Наилучшие М-членные тригонометрические приближения классов Бесова периодических функций многих переменных // Известия РАН. Серия математическая. 2003. Т. 67, № 2. С. 61-100. https://doi.org/10.4213/im427

14. Bazarkhanov D. B., Temlyakov V. N. Nonlinear tensor product approximation of functions // Journal of Complexity. 2015. Vol. 31, iss. 6. P. 867-884. https://doi.org/10.1016/j-.jco.2015. 06.005

15. Базарханов Д. Б. Нелинейные тригонометрические приближения классов функций многих переменных // Труды Математического института имени В. А. Стеклова. 2016. Т. 293. С. 8-42. https://doi.org/10.1134/S0371968516020023, EDN: WEMXBH

16. Акишев Г. А. О точности оценок наилучшего М-членного приближения класса Бесова // Сибирские электронные математические известия. 2010. Т. 7. С. 255-274.

17. Акишев Г. О порядках М-членного приближения классов в пространстве Лоренца // Математический журнал. Алматы. 2011. Т. 11, № 1. С. 5-29.

18. Akishev G. On exact estimates of the order of approximation of functions of several variables in the anisotropic Lorentz - Zygmund space. arXiv: 2106.07188v2 [mathCA] 14 Jun 2021. 20 p.

19. Akishev G. Estimates of the order of approximation of functions of several variables in the generalized Lorentz space. arXiv: 2105.14810v1 [mathCA] 31 May 2021. 18 p.

20. Акишев Г. Об оценках порядка наилучших М-членных приближений функций многих переменных в анизотропном пространстве Лоренца - Караматы // Современные проблемы теории функций и их приложения : материалы 21-й междунар. Саратовской зимней школы (Саратов, 31 января-4 февраля 2022 г.). Саратов : Саратовский университет [Издание], 2022. Вып. 21. С. 13-16. EDN: XCSQXT

References

1. Bennett C., Sharpley R. Interpolation of Operators. Orlando, Academic Press, 1988. 469 p.

2. Stein E. M., Weiss G. Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces. Princeton, Princeton University Press, 1971. 312 p. (Russ. ed.: Moscow, Mir, 1974. 333 p.).

3. Blozinski A. P. Multivariate rearrangements and Banach function spaces with mixed norms. Transactions of the American Mathematical Society, 1981, vol. 263, no. 1, pp. 149-167. https://doi.org/10.1090/S0002-9947-1981-0590417-X

4. Kolyada V. I. On embedding theorems. In: Nonlinear Analysis, Function spaces and Applic. Praha, Institute of Mathematics of the Academy of Sciences of the Czech Republic, 2007, pp. 35-94. Available at: http://dml.cz/dmlcz/702492 (accessed February 20, 2022).

5. Nikol'skii S. M. Priblizhenie funktsii mnogikh peremennykh i teoremy vlozheniia [Approximation of Functions of Several Variables and Embedding Theorems]. Moscow, Nauka, 1977. 456 p. (in Russian).

6. Amanov T. I. Prostranstva differentsiruemykh funktsiy s dominiruyushchey smeshannoy proizvodnoy [Spaces of Differentiable Functions with a Dominant Mixed Derivative]. Alma-Ata, Nauka, 1976. 224 p. (in Russian).

7. Lizorkin P. I., Nikol'skii S. M. Spaces of functions of mixed smoothness from the decomposition point of view. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 1990, vol. 187, pp. 163-184.

8. Dung D., Temlyakov V. N., Ullrich T. Hyperbolic Cross Approximation. Advanced Courses in Mathematics. CRM Barcelona. Basel, Berlin, Springer, 2018. 229 p.

9. Belinskii E. S. Approximation by a "floating" system of exponentials on the classes of smooth periodic functions with bounded mixed derivative. In: Brudnyi Yu. A. (ed.) Research on the Theory of Functions of Many Real Variables. Yaroslavl, Yaroslavl State University Publ., 1988, pp. 16-33 (in Russian).

10. Temlyakov V. N. Approximations of functions with bounded mixed derivative. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 1989, vol. 178, pp. 1-121.

11. Temlyakov V. N. Constructive sparse trigonometric approximation and other problems for functions with mixed smoothness. Sbornik: Mathematics, 2015, vol. 206, iss. 11, pp. 1628-1656. https://doi.org/10.1070/SM2015v206n11ABEH004507

12. Temlyakov V. N. Constructive sparse trigonometric approximation for functions with

small mixed smoothness. Constructive Approximation, 2017, vol. 45, iss. 3, pp. 467-495. https://doi.org/10.1007/s00365-016-9345-3

13. Romanyuk A. S. Best M-term trigonometric approximations of Besov classes of periodic functions of several variables. Izvestiya: Mathematics, 2003, vol. 67, iss. 2, pp. 265-302. https://doi.org/10.1070/IM2003v067n02ABEH000427

14. Bazarkhanov D. B., Temlyakov V. N. Nonlinear tensor product approximation of functions. Journal of Complexity, 2015, vol. 31, iss. 6, pp. 867-884. https://doi.org/10.1016/j.jco. 2015.06.005

15. Bazarkhanov D. B. Nonlinear trigonometric approximations of multivariate function classes. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2016, vol. 293, pp. 2-36. https: //doi.org/10.1134/S0081543816040027

16. Akishev G. A. On the exact estimations of the best M-terms approximation of the Besov class. Siberian Electronic Mathematical Reports, 2010, vol. 7, pp. 255-274 (in Russian).

17. Akishev G. On the order of the M-term approximation classes in Lorentz spaces. Matematical Journal. Almaty, 2011, vol. 11, iss. 1, pp. 5-29 (in Russian).

18. Akishev G. On exact estimates of the order of approximation of functions of several variables in the anisotropic Lorentz - Zygmund space. arXiv: 2106.07188v2 [mathCA] 14 Jun 2021. 20 p.

19. Akishev G. Estimates of the order of approximation of functions of several variables in the generalized Lorentz space. arXiv: 2105.14810v1 [mathCA] 31 May 2021. 18 p.

20. Akishev G. On estimates of the order of the best M-term approximations of functions of several variables in the anisotropic Lorentz - Karamata space. Contemporary Problems of Function Theory and Their Applications: Materials of the 21st International Saratov (Saratov, January 31 - February 4, 2022). Saratov, Saratov State University Publ., 2022, iss. 21, pp. 13-16 (in Russian). EDN: XCSQXT

Поступила в редакцию / Received 24.02.2022

Принята к публикации / Accepted 01.11.2022

Опубликована / Published 31.05.2023