CC BY
24
Владикавказский математический журнал 2011, Том 13, Выпуск 2, С. 3-14
УДК 517.5
ПОПЕРЕЧНИКИ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ КЛАССОВ И КОНЕЧНОМЕРНЫХ МНОЖЕСТВ1
Э. М. Галеев
Посвящается 75-летию со дня рождения профессора В. М. Тихомирова
В работе2 дается краткий обзор по колмогоровским и линейным поперечникам классов Соболева, Гельдера — Никольского, Бесова периодических функций одной и нескольких переменных, а также конечномерных множеств. Приводятся теоремы о порядках поперечников, полученные в работах автора, Темлякова и др.
Ключевые слова: приближение, колмогоровские поперечники, линейные поперечники, классы периодических функций одной и нескольких переменных, вложение функциональных классов, вложение конечномерных множеств.
1. Предварительные сведения
1.1. Вложения функциональных классов. Для вектора р £ (0 < р < ж)
символ | будет рассматриваться как вектор ..., Условимся равенства и неравенства для векторов понимать как покоординатные. Функции ) и ) будем называть функциями одного порядка и писать а х Ь, если существует константа N0 такая, что при N > N0 С1а^) ^ Ь^) ^ С2а^) (С1 ,С2 > 0). Аналогично определяются порядковые неравенства а ^ Ь и а ^ Ь. Вложение А (<= В означает, что существует константа С > 0 такая, что А (<= СВ. Аналогично определяется вложение А ^ В.
Пусть Т = (—п, п]Л — ^-мерный тор, реализованный в виде произведения ё полуинтервалов (—п, п]. Через Ьр = Ьр(Та), р = (р1,...,ра), 0 < р^ ^ ж, ] = 1,...,ё, обозначим пространство функций ж(£) = ж(£1,... , измеримых на периодических по каждой переменной с периодом 2п таких, что конечна величина:
1
г
т т
( 1 С\ /1 Г \Р2/Р1 -\PdfPd-l }
ж(-)1иР = |-у \тр1<1ь) ...
pd/pd-l 1 /pd
(1 [ \1/р
Здесь для скаляра р = оо выражение — / \у{Щр сИ понимается как существенный
\2п )
максимум функции |у(£)|. Если 1 ^ р^ ^ ж, ] = 1,... то || ■ \\ьр будет удовлетворять
© 2011 Галеев Э. М.
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 08-01-00450-а, а также гранта Поддержки ведущей научной школы РФ НШ-3233.2008.1.
2 Доклад был прочитан на конференции, посвященной 75-летию профессора Владимира Михайловича Тихомирова, в ноябре 2009 г.
аксиомам нормы. Свойства пространств со смешанной нормой на Rd и Td описаны в монографии О. В. Бесова, В. П. Ильина, С. М. Никольского [1].
Функцию x(-) £ Lp(Td) при 1 ^ p ^ то можно разложить в ряд Фурье
x(t) ~ жкei(M>, kezd
где суммирование ведется по всем k = (к\,..., kd) £ Zd — d-мерной целочисленной решетке, (k,t) = d=i kiti, а коэффициенты Фурье Хк определяются по формуле
Жк = / X^e~l{k,t) dt
T d
Ряд Фурье сходится к функции x(-) в метрике пространства Lp при 1 < p < то. Для упрощения формулировок будем рассматривать функции с нулевыми средними по всем аргументам, т. е. функции, коэффициенты Фурье которых Хк, имеющие хотя бы один нулевой индекс kj, равны нулю: x(t) = ^kg^d xkei(k,t>, где Zd : = {к = (к1, ..., kd) £ Zd : kj = 0, j = 1,...,d}.
Для такой функции и вектора r = (r1,..., rd) £ Rd введем операцию дробного дифференцирования по формуле
x(r) (t) = ^ xk(ik)rei(kt>,
kezd
где (ik)r = (ik1 )ri ... (ikd)rd, (ik)r = |k|re(i/2)nrsignk (для скаляров k и r). Каждому вектору s = (si,..., Sd) £ Nd сопоставим множество □ по следующему правилу:
□ s = {k £ Zd : 2sj-1 < |kj | < 2sj, j = 1,...,d}.
Тогда функцию x(-) можно представлять суммой гармоник ei(kr> с коэффициентами xk и суммой по блокам $sx(-):
x(t) = ^ xkei(k't> = ^ 5sx(t),
k€Zd seNd
где ^x(t):= £kens xkei(k,t>.
Для векторов p, r £ Rd, 1 ^ p ^ то, числа 0 £ R, 0 <0 ^ то, и описанных выше функций с нулевыми средними по всем аргументам введем классы функций: Wpr(Td) = {x(-) : ||x||Wjr := ||x(r)||Lp ^ 1} — классы Соболева,
Hp(Td) = x(-) : ||x||Hr := sup ||^sx(r)||Lp ^ 1 f — классы Гельдера — Никольского,
I P s6Nd J
в;>9(Td) = |Ж(.) : ||Ж||Вгв := (£s6Nd \\6sxW\\eLpy < l} - классы Бесова.
При в = то имеем Bp^(Td) = Hp(Td).
1.2. Вложение конечномерных множеств. Для чисел r £ R и 0 < p ^ то в про-
j .= Bj(™n)
Как обычно, обозначим
странстве Rn введем множество B^ := B^(Rn) := {ж = (xi,... , xn) £ Rn : ||x||/n ^ n r}.
Ж /n =
I Nip
n
E Ж N , о <p< то, fe=i /
max |xk|, p = то.
fc=1,...,n
Для множества К из Ж2, К С Ж+ х Ж, будем рассматривать множество В (К) = П(! г)е к^р, являющееся пересечением конечномерных множеств Вр, и
Я(К) = еопуК + еопе {(-1,0), (1,-1)}.
Имеет место следующая теорема вложения конечномерных множеств.
Теорема 1 (Галеев [7]). Пусть К С Ж+ х Ж, 0 < д ^ ж, 7 £ Ж, (1/9,7) £ Я (К). Тогда В(К) С В1.
1.3. Вложения функциональных классов. Теорема 2 (Галеев [6]). Пусть = П(1>г)еп
П= с (°> = 1,...,т|,
С = {сопу 0 + (V, 0) - (А, А) : А, V £ Ж+}, 7,9 £ 1 < д < ж. Тогда Ш< Шд (Тй) в том и только в том случае, если (1/д,7) £ С.
2. Колмогоровские поперечники
В этом разделе определяются колмогоровские и линейные поперечники классов периодических функций одной и многих переменных (Td), Hp (Td), W^(T1). Во многих случаях вычисление поперечников классов функций сводится к задаче вычисления поперечников конечномерных множеств. Далее мы пользуемся оценками поперечников конечномерных множеств в тех случаях, когда они уже известны. В ряде случаев, когда эти оценки являлись неизвестными, решается задача их вычисления. Приводятся оценки поперечников классов функций многих переменных при малых гладкостях.
Колмогоров А. Н. [27] ввел следующую характеристику приближения центрально-симметричного множества W С X из линейного нормированного пространства X:
dn(W,X) = inf sup inf \\x — y\\,
Ln xgW
где {Ln} — совокупность всех n-мерных подпространств в X.
2.1. Поперечники конечномерных множеств. В этом пункте будет приведен ряд теорем о поперечниках по Колмогорову конечномерных множеств.
Напомним, что через V™ мы обозначаем множество, являющееся выпуклой оболочкой в Rm точек, у которых k любых координат равны ±1, остальные — нули.
Теорема 3 (Глускин [18, 20]). Пусть l^n^f, 1 ^ k ^ m. Тогда
rm im\ i„\
тт г)П,т г ]П,т
Через Врд обозначим единичныи шар нормированного пространства 1рд с нормой
( т (
x\\cr = ( Е( Е Ixk Г] 1 < p,q < x е Rn
V „_i V he- д / /
s=i vfceA
&
где Д5 = {А £ N : (в - 1)п < & < вп}, 5 = 1,... ,т. Тогда 5"'' = ^Т х ... х У",
у", = V" х... х V".
Теорема 4 (Галеев [11]). Пусть 1 ^ р ^ то, 2 ^ д < то. Тогда существует константа С, зависящая только от д, и такая, что при п ^ СтА
Теорема 5 (Пич [35], Стесин [37]). Пусть 1 ^ д ^ р ^то, п < т. Тогда
Теорема 6 (Кашин [26], Глускин [19]). Пусть /3 := ~ / ~ |), п < га. Тогда
М
тт|1, т 1 п 2 ^р<д<оо,
'р ^д ) \ ( 1_1 Г 1 _1 _Ч Ч
тах т' г>, тт < 1,т'п~2 л/1 — ^ > ?,
Используя вложение пересечения конечномерных множеств В (К), оценки сверху поперечников ^(В™,/™) и оценки снизу поперечников множеств у^, найдем поперечники пересечения конечномерных множеств.
Теорема 7. Пусть К С [0,1] х Ж — компакт из Ж2, Q = сопуК + сопе{(-1, 0), (1, -1)}, ВД = ПО = тах(^)б(3г. Тоща
^(в (К ),12Т)
п 1 ^ ^ 2,
2 „
п , 2 ^ д ^ то.
При вычислении поперечников функциональных классов оценки сверху и снизу часто сводятся к оценкам поперечников конечномерных множеств. Так, например, в работе [14] при нахождении порядка поперечника по Колмогорову ^(Нр(ТЙ),Т?) класса периодических функций многих переменных Нр (Тй) в пространстве при 1 < р ^ д ^ 2 оценка снизу сводится к оценке снизу поперечника а^ , ¿2 ? ) конечномерного множества В""',™ в смешанной норме с помощью теоремы Литтльвуда — Пэли, неравенства Тем-лякова и теоремы Марцинкевича — Зигмунда о дискретизации. И далее вычисляется порядок этого поперечника, т. е. доказывается следующая теорема.
Теорема 8 (Галеев [14]). Пусть 1 < д < то, N < яр. Тогда
7 / г,п,т 7п,т\ —
Изложенное в работе [14] доказательство оценки снизу (оценки сверху здесь при всех значениях величины д тривиальны) без изменений проходит и для случая д = то. При выступлении на семинаре Б. С. Кашина мною была предложена задача для случая д = 1, решение которой требовало новых идей, которые могли бы быть в дальнейшем также использованы при нахождении порядков линейных поперечников классов Гельдера — Никольского и классов Бесова. А. Д. Изааку, используя вероятностные методы, удалось получить следующую нетривиальную оценку.
Теорема 9 (Изаак [23]). Пусть N < Тогда
Vloglog m n,m m—;-< dNiB^J
log m
n,m 7n,m oo >"2,1
) < m.
tt „ -rr 7 /ттп,т 1n)m\ TrU,m
Найдем порядок поперечника по Колмогорову ам(Vk ^ , lp',q ) множества Vk ^ , являющегося обобщением множества B'm, в смешанной норме для p = 2, 1 < q ^ ж и 1 < p ^ min {q, 2}, 1 < q ^ ж. Множества V'm появляются, например, при дискретизации задач об оценке снизу поперечников пересечения классов Гельдера — Никольского периодических функций многих переменных Hp (Td).
Для оценки поперечников конечномерных множеств в смешанной норме будем использовать два следующих факта.
Теорема 10 (Галеев [14]). Пусть 0 < q < ж, pi € Rn, i = 1,..., m. Тогда
4e N:
1/2
<
1
о m £
£i=±1 i=1
q \ 1/q
^ B
1/2
при некоторых положительных константах A и B, зависящих от q и не зависящих от m, n и векторов pi.
Теорема является обобщением известного неравенства Хинчина для векторных величин pi.
Лемма 1 (Галеев [15]). Пусть T = {t = (Jmi ts : ts С As, cardts = k, s = 1,... , m}, 0 ^ xi ^ 1, i = 1,..., mn^тП xi ^ n, 0 < q < ж. Тогда
I
m£(E
|T |
teT
iet
q\ 1/q
< Ck,
где константа С зависит от д и не зависит от к, п, т и набора х^.
Используя выписанные усреднения и теорему двойственности (см. Н. П. Корнейчук [28, с. 34] о расстоянии от точки до подпространства, доказывается следующая теорема. Теорема 11 (Галеев [15]). Пусть Тогда
n,m n,m
1 1 k^rni,
если p = 2 или 1 < p ^ min {q, 2}.
2.2. Поперечники классов функций одной переменной. В этом пункте формулируется теорема о порядке поперечника по Колмогорову dn (Wp ,Lq) и определяется порядок dN(W^,Lq). А также улучшаются оценки поперечников для критического показателя работы Е. Д. Куланина [29].
Теорема 12. Имеет место оценка
dN (wr (T1),Lq)
N-r, 1 < q < p < ж, r> 0,
N-r+1/p-1/2, 1 <p ^ 2 ^ q ^ ж, r> N~r, 2^p^q<oo, r > l[pZl,q
r > - - -,
p q
1
P'
_IL
1-2/q
При р = д = 2 точные значения получены А. Н. Колмогоровым [27]; для р = 1, д = 2 и р = д = ж порядок найден С. Б. Стечкиным [38]; при р = д = ж точные
m
x
значения определены В. М. Тихомировым [43]; при 1 ^ p = q < то порядки найдены С. Б. Бабаджановым и В. М. Тихомировым [2]; 1 ^ q ^ p ^ то — Ю. И. Маковозом [33]; 1= p<q ^ 2 — М. З. Соломяком и В. М. Тихомировым [36]; 1 ^ p ^ q ^ 2 — Р. С. Исмагиловым [24, 25], p = 1, q> 2 — Е. Д. Глускиным [17], в остальных случаях при 1 ^ p ^ q ^ то, q ^ 2 — Б. С. Кашиным [26].
Используя вложение пересечения классов W ^(T1), оценки сверху поперечников для dw(Wp(T1),Lq), дискретизацию и оценки снизу поперечников пересечения конечномерных шаров, найдем поперечники пересечения функциональных классов.
Теорема 13. Пусть И^Т1) = f|(i>r)eiî Wp П = {(?>г*) С (0, 1) х Ж : i = 1,...,m}, G = conv ^ + cone {(-1, —1), (1, 0)}, y(£) = sup(^,r)6G r. Тогда
о 1 iiV"7^, 7(i)>0,
d>N(W (T ), Lq) X < (è)'
Приведем теорему, уточняющую для критического показателя оценки поперечников работы Е. Д. Куланина [29].
Теорема 14 (о поперечнике по Колмогорову класса Соболева при критических гладкостях [13]). Имеют место соотношения:
а) при 2 < р < q < то, г = - ±)/(l - f)
N~r < dN(W;,Lq) < N~r(logN)r+ï~v-
б) при l<p^2<q<oo, r = ^
^dN{Wrp,Lq) <A^(logA0i
В работе Куланина степени логарифма равны соответственно г + 1 и |.
2.3. Поперечники классов функций многих переменных. Исследования поперечников классов периодических функций многих переменных начаты К. И. Бабен-ко [3] и продолжены в работах Б. С. Митягина [34], С. А. Теляковского, Я. С. Бугрова, Н. С. Никольской, Э. М. Галеева, Динь Зунга, В. Н. Темлякова и др.
Выпишем некоторые формулы для оценок сверху колмогоровских поперечников функциональных классов. Для этого нам понадобится следующая лемма, которая легко выводится из определения колмогоровского поперечника, теоремы Литтльвуда — Пэли и теоремы о дискретизации.
Лемма 2 (Галеев [16]). Пусть s G Nd, Ts := lin {ei(fc,t) : k G □,}, Ns G Z+, Ns < 2(s,1), r G Rd, 1 < p, q < то. Тогда существует линейное подпространство LNs С T размерности Ns и оператор PNs : Ts — L Ns такой, что
\\ôsX-PNJsX\\bq «dWs (<'1},/f1}) 2^-r+ï-\)\\ôsx^\\Lv.
Возьмем оператор Pw : Lq — Lw, действующий на функцию x = ^sgNd ^x по формуле Pwx = X]sgNd Pwsx, где Pws и Lws — соответственно операторы и подпространства
Lw = иseNd Lw.
Обозначим для краткости записи q* := min {q, 2}, а:= г — ^ + К Тогда
fsup 2<*,-а>dN(Bf ' 11 ,lf ' ,
s€Nd V '
dN (ВГ л ,Lq ) <<
О < q*
s€Nd V V 7 7
- J__i
г» \ q* e
В частности, для классов H^ = B^ ^ при 1 < p < ж имеем
1
*\ —
dN (H ,Lq) « (£ (2<-а> dN^B2<s ■ 11 ,i;<- 1})y 9.
¡6Nd
Поскольку W(Td)^Brpp** (Td) (p** := max{p, 2}), а О = p** < q* ^ p < 2 < q, то
dN (Wpr ,Lq ) < <
sup Bf'11 ,lf ■ ,
* **
/ / \ \ q P E (2
s6Nd
p < 2 < q, p ^ 2 ^ q.
Выпишем формулы для оценок снизу колмогоровских поперечников функциональных классов. Пусть S G Nd, K = (JsgS ns, T = lin {e*^ : k G K}, r G Rd, 0 < ri = ... = n+i < n+2 ^ ... ^ rd. Возьмем S = {s = (s1,..., s1+1, 1,..., 1) G Nd : (s, 1) = m}. Тогда | S| x m1 и
dN{B;te,Lq) »
Если воспользоваться другими неравенствами, то при q ^ 2 аналогично получим другую формулу для оценки снизу поперечника:
dN(B;„Lq) » dN{B^\iZ'ml)-
Поскольку W(Td)^BrPpP* (Td) (p* := min {p, 2}), то dN (W ,Lq) » 2"
2m,ml 12m,m!> p,p* ' lq,q** j
Полученными формулами будем пользоваться в дальнейшем для вычисления поперечников функциональных классов.
Замечание. Формулы справедливы не только для колмогоровских поперечников, но и для других поперечников (линейных, проекционных, ортопроекционных и т. д.).
Теорема 15 (о поперечнике по Колмогорову класса Соболева). Пусть г € Г1 = ... = п+1 < Г1+2 ^ ... ^ га, 2 < р, д < ж. Тогда
dN (W (Td),Lq )
log1 r1
N I '
log1 Г1" 1+1 p q
N /
log1 Г1- 1+1 p 2
N /
log1 Г1
N
q ^ p, ri > 0; p ^ q ^ 2, r1 ;
pq
2 ^ p < q, ri > b.
1
q p
P
Теорема 15 содержится в работах автора при 2 ^ д ^ р [5], д = р [6], д ^ р [9]; Темлякова при р < д ^ 2 [39], р < д, д ^ 2 [40].
Теорема 16 (о поперечнике по Колмогорову класса Гельдера — Никольского). Пусть г € п = ... = гг+1 < гг+2 ^ ... ^ г1 < р, д < оо, /3 := Тогда
dN (ЯГ (Td),Lq)
logb(^)-^, log! Jb^vV1"^
ri
p ^ max {q, 2}, п > 0; p^ 2, n p^2 <g, n > 2 ^ p < q, n > в-
Теорема 16 содержится в работах Темлякова при р = д ^ 2 [42], р ^ д, д ^ 2 [40, 41]; Динь Зунга при 2 ^ д ^ р [21, 22]; автора при д < 2 ^ р [9, 10]; 2 ^р^д, /3 <п ^ ± [10]; р < д < 2 [14].
2.3. Малые гладкости.
Теорема 17 (о поперечнике по Колмогорову класса Соболева при малых гладкостях). Пусть г £ М^, ^ — | < Г1 = ... = гг+1 < гг+2 ^ ... ^ г^, 1 < р, д < оо,
log 9 ДГ^ 2
W
^(rx-i+i
<< dN(WP(Td),Lq)
<
log' N N
log' N N
airi_!+I 1 p q
llri_ 1 + 1
1 p q
log2 pJV, 2 ^ p < q, n < /3,
p ^ 2 < q, n <
Теорема 18 (о поперечнике по Колмогорову класса Гельдера — Никольского при малых гладкостях). Пусть г £ М^, | — | < Г\ = ... = Г1+\ < г;+2 ^ ... ^ г а, 1 < р, q < оо,
Р := (р ~ а)/ ~~ а) • Тогда 2 ^р < д, Г\ < ¡3, или при р ^ 2 < д, г\ < ^
log 1 N
log1 N N
■С djv(-Hp(Trf), Lq) <C log2 TV
log' N N
3
Теоремы 17, 18 приводятся впервые. Более слабые (по степени log N) оценки dn сверху и снизу содержатся в работах автора [11, 12]. Еще более слабые (по степени log N) оценки dN (Wpr, ) сверху и снизу содержатся в кандидатской диссертации Е. Д. Кула-нина [30].
p
3. Линейные поперечники
В этом пункте определяются линейные поперечники классов периодических функций одной и нескольких переменных Шр (Тй) и Нр (Тй) в пространстве .
Линейный поперечник был введен В. М. Тихомировым [43]. Напомним, что линейным N-поперечником множества Ш в линейном нормированном пространстве X называется
величина А^X) = т£р 8ирж6^ \\х—Рх\\х, где инфимум берется по всем действующим в X линейным непрерывным операторам Р ранга N.
При выводе порядков линейных поперечников функциональных классов мы используем теорему двойственности Р. С. Исмагилова и оценки Е. Д. Глускина линейных поперечников конечномерных множеств.
Теорема 19 (Исмагилов [25]). Пусть ВХ, ВУ — единичные шары в банаховых пространствах X и У соответственно, (ВХ)°, (ВУ)° — поляры этих множеств. Пространство У * вложено в пространство X. Тогда
An ((BY)° ,X) = AN ((BX )°,Y).
(1)
Теорема 20 (Глускин [19]). Пусть l^p<2^g<oo, j + ^ > 1, N < m. Тогда
AN(B™,1™) x max jmi"p,min jy^l - ^ j.
Сформулируем теоремы о линейных поперечниках классов периодических функций одной и нескольких переменных.
Теорема 21. Пусть 1 < р, q < оо, г > — Тогда
An (WP (T1),Lq)
P q ' +
N
i
Ne~r+bi
q ^ 2 или 2 ^ p; - + - ^ 1, Ö > 2, r > i;
J + i><2, r>l-J.
Теорема 21 была доказана Р. С. Исмагиловым [25] при д ^ 2 или р ^ 2; В. Е. Майоровым [31, 32] при 1 <р ^ 2 ^ д и К. Хеллигом [44].
Теорема 22 (Галеев [12]). Пусть г £ Ж6*, - <Г\ = ... = гг+1 < гг+2 ^ ... ^ га, 1 < р, д < ж, ^ = Ш;(Та). Тогда
An (Wrp,Lq)
log' nV1 U l) + N ' '
log1 n\Ti~p + z
N
log^/V V1_2 + g N
q ^ 2 или 2 ^ p; - + - ^ 1, q > 2, n > -;
p ' q ^ ' ^ ' 1 n '
| + p<2, n >1-|.
Теорема 23 (Галеев [12, 16]). Пусть r € Rd, 0 < r1 = ... = r1+1 < r1+2 ^ ... ^ rd, 1 < p, q < то, Hr = Hp (Td). Тогда 1) при p ^ max {q, 2}
XN(H;,Lq) x (N~l loglN)ri logt N]
2) при q ^ p ^ 2
(X"1 log' Xf1 logt X < XN(Hrp,Lq) < (X"1 logf X)ri log? X
Г-1 1глJ ATY1
3) при p^q^ 2,
1 7 г
XN(Hrp,Lq)x (X^log'X) P Mog^X;
4) при ± + \ ^ 1, д ^ 2, п > I
I
X (ЛГЧо^ЛГ) р
5) при ± + ± < 1, р < 2, п > 1 - £
^Б^Т^/^жу1 I , г f\og1 М\Г1 з + д г
Ж « Ьд) « Ж;
1о§ 1о§ N V N ) р V N
6) при 2 ¡^р<д, П > | - |
1о§ 1о§ N V N ) р V N
Литература
1. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения.—М.: Наука, 1975.—480 с.
2. Бабаджанов С. Б., Тихомиров В. М. О поперечниках одного класса в пространствах Ьр // Изв. АН Узб. ССР. Сер. физ.-мат.-1967.-Т. 2.-С. 24-30.
3. Бабенко К. И. О приближении периодических функций многих переменных тригонометрическими многочленами // Докл. АН СССР.-1960.-Т. 132, № 2.-С. 247-250.
4. Бабенко К. И. О приближении одного класса периодических функций многих переменных тригонометрическими многочленами // Докл. АН СССР.-1960.-Т. 132, № 5.-С. 982-985.
5. Галеев Э. М. Приближение некоторых классов периодических функций многих переменных суммами Фурье в метрике Ьр // Успехи мат. наук.-1977.-Т. 32, № 4.-С. 251-252.
6. Галеев Э. М. Приближение суммами Фурье классов функций с несколькими ограниченными производными // Мат. заметки.-1978.-Т. 23, № 2.-С. 197-211.
7. Галеев Э. М. Поперечники по Колмогорову пересечения классов периодических функций и конечномерных множеств // Мат. заметки.-1981.-Т. 29, № 5.-С. 749-760.
8. Галеев Э. М. Поперечники по Колмогорову классов периодических функций многих переменных Шр и Нр в пространстве Ьч // Теория функций и приближений.—Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1986.-Ч. 2.-С. 70-72.
9. Галеев Э. М. Поперечники по Колмогорову некоторых классов периодических функций многих переменных // Конструктивная теория функций. Тр. Междунар. конф. по конструктивной теории функций.—1984.—С. 27-32.
10. Галеев Э. М. Поперечники по Колмогорову классов периодических функций многих переменных Шр и Н в пространстве Ьч // Изв. АН СССР. Сер. мат.-1985.-Т. 49.-С. 916-934.
11. Галеев Э. М. Оценка колмогоровских поперечников классов Нр периодических функций многих переменных малой гладкости//Теория функций и ее прил. Сб. тр. конф. молодых ученых.-1986.-С. 17-24.
12. Галеев Э. М. Оценки поперечников по Колмогорову классов периодических функций многих переменных малой гладкости // Вестн. МГУ. Сер. мат.-мех.-1987.-№ 1.-С. 26-30.
13. Галеев Э. М. О линейных поперечниках классов периодических функций многих переменных // Вестн. МГУ. Сер. мат.-мех.-1987.-№ 4.-С. 13-16.
14. Галеев Э. М. Поперечники по Колмогорову классов периодических функций одной и нескольких переменных // Изв. АН СССР. Сер. мат.—1990 —Т. 54, № 2.-С. 418-430.
15. Галеев Э. М. Поперечники по Колмогорову некоторых конечномерных множеств в смешанной норме // Мат. заметки.-1995.-Т. 58, № 1.-С. 32-41.
16. Галеев Э. М. Линейные поперечники классов Гельдера — Никольского периодических функций многих переменных // Мат. заметки.—1996.—Т. 59, № 2.—С. 189-199.
17. Глускин Е. Д. Об оценках норм некоторых р-абсолютно суммирующих операторов // Функциональный анализ.—1978.—Т. 12, № 2.-С. 23-31.
18. Глускин Е. Д. О некоторых конечномерных задачах теории поперечников // Вестн. ЛГУ.— 1981.—№ 13.—C. 5-10.
19. Глускин Е. Д. Нормы случайных матриц и поперечники конечномерных множеств // Мат. сб.—1983.—Т. 120.—C. 120-189.
20. Глускин Е. Д. Пересечения куба с октаэдром плохо аппроксимируются подпространствами малой размерности // Приближение функций специальными классами операторов.— Вологда: Вологодский гос. пед. ин-т, 1987.—C. 35-41.
21. Динь Зунг. О приближении периодических функций многих переменных // Успехи мат. наук.—1983.—Т. 38, № 6.—C. 111-112.
22. Динь Зунг. Приближение классов гладких функций многих переменных // Тр. семинара им. И. Г. Петровского.—1984.—№ 10.—C. 207-226.
23. Изаак А. Д. Поперечники по Колмогорову в конечномерных пространствах со смешанной нормой // Мат. заметки.—1994.—Т. 55, № 5.—C. 43-52.
24. Исмагилов Р. С. Об n-мерных поперечниках компактов в гильбертовом пространстве // Функциональный анализ и его прил.—1968.—Т. 2, № 2.—C. 32-39.
25. Исмагилов Р. С. Поперечники множеств в линейных нормированных пространствах и приближение функций тригонометрическими полиномами // Успехи мат. наук.—1974.—Т. 29, № 3.—C. 161-178.
26. Кашин Б. С. Поперечники некоторых конечномерных множеств и классов гладких функций // Изв. АН СССР. Сер. мат.—1977.—Т. 41, № 2.—С. 334-351.
27. Колмогоров А. Н. Uber die beste Annäherung von Funktionen einer gegebenen Funktionenklasse // Ann. of Math.—1936.—Vol. 37.—P. 107-110.
28. Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближения.—М.: Наука, 1976.—320 с.
29. Куланин Е. Д. Оценки поперечников класса Соболева малой гладкости // Вестн. МГУ. Сер. мат.-мех.—1983.—№ 2.—C. 24-30.
30. Куланин Е. Д. Оценки поперечников класса Соболева малой гладкости: Дис. ... канд. физ.-мат. наук.—М.: МГУ, 1985.—130 с.
31. Майоров В. Е. О линейных поперечниках соболевских классов // Докл. АН СССР.—1978.— Т. 243, № 5.—C. 1127-1130.
32. Майоров В. Е. О линейных поперечниках соболевских классов и цепочках экстремальных подпространств // Мат. сб.—1980.—Т. 113(115), № 3.—C. 437-463.
33. Маковоз Ю. И. Об одном приеме оценки снизу поперечников множеств в банаховом пространстве // Мат. сб.—1972.—Т. 87, № 1.—C. 136-142.
34. Митягин Б. С. Приближение функций в пространствах Lp и C на торе // Мат. сб.—1962.— Т. 58, № 4.—C. 397-414.
35. Pietch A. s-numbers of operators in Banach spaces // Stud. Math.—1974.—Vol. 51, № 3.— P. 201-223.
36. Соломяк М. З., Тихомиров В. М. О геометрических характеристиках вложения классов Wp в C // Изв. вузов. Cер. мат.—1967.—№ 10.—C. 76-82.
37. Стесин М. И. Александровские поперечники конечномерных множеств и классов гладких функций // Докл. АН СССР.—1975.—Т. 220, № 6.—C. 1278-1281.
38. Стечкин С. Б. О наилучших приближениях заданных классов любыми полиномами // Успехи мат. наук.—1954.—Т. 9, № 1.—C. 133-134.
39. Темляков В. Н. О приближении периодических функций нескольких переменных с ограниченной смешанной разностью // Докл. АН СССР.—1980.—Т. 253, № 3.—C. 544-548.
40. Темляков В. Н. Поперечники некоторых классов функций нескольких переменных // Докл. АН СССР.—1982.—Т. 267, № 3.—C. 314-317.
41. Темляков В. Н. Приближение периодических функций нескольких переменных тригонометрическими полиномами и поперечники некоторых классов функций // Изв. АН СССР. Cер. мат.—1985.—Т. 49, № 5.—C. 986-1030.
42. Темляков В. Н. Об оценках е-энтропии и поперечников классов функций с ограниченной смешанной производной или разностью // Докл. АН СССР.—1988.—Т. 301, № 2.—C. 288291.
43. Тихомиров В. М. Поперечники множеств в функциональных пространствах и теория наилучших приближений // Успехи мат. наук.—1960.—Т. 15, № 3.—С. 81-120.
44. Hollig K. Approximationszchalen von Sobolev // Einbettungen: Dis.—Bonn, 1979.
Статья поступила 15 сентября 2010 г.
Галеев Эльфат Михайлович Московский государственный университет, профессор кафедры Общих проблем управления РОССИЯ, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, МГУ, д. 1 E-mail: [email protected]
KOLMOGOROV AND LINEAR DIAMETERS OF FUNCTIONAL CLASSES AND FINITE DIMENSIONAL SETS
Galeev E. M.
In this paper we give a brief review of results concerning the Kolmogorov and linear diameters of Sobolev, Holder-Nikol'skii and Besov classes of periodic functions of one and several variables as well as of finite-dimensional sets. We present theorems for the order estimates of diameters obtained by the author, Temlyakov and others.
Key words: approximation, classes of periodic functions of one and several variables, Kolmogorov diameters, linear diameters, imbedding of functional classes, imbedding of finite dimensional sets.
