О вложении и приближении пересечения множеств и функциональных классов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Октябрь-декабрь, 2004, Том 6, Выпуск 4

УДК 517.5

О ВЛОЖЕНИИ И ПРИБЛИЖЕНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ МНОЖЕСТВ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ КЛАССОВ1

Э. М. Галеев

Владимиру Михайловичу Тихомирову с любовью

Дается кратки обзор идей и результатов, связанных с задачей В. М. Тихомирова о приближении классов функций с несколькими ограниченными производными.

В 1975 году Владимир Михайлович Тихомиров на своем спецсеминаре по теории приближений2 в МГУ предложил для решения следующую задачу о приближении классов функций с несколькими ограниченными производными. Пусть про функцию известно, не только, как обычно, что ее какая-то г-я производная в метрике Ьр ограничена (||ж(г)(■)^ в), а известна ограниченность ее нескольких производных в различных метриках, т. е. ||ж(г'{ ^ вг, 2 = 1,... Иными словами, найти приближение пере-

V

m

сечения классов функций WP = П Wr'i в метрике пространства Lq. В качестве функци-

г=1

ональных классов можно рассматривать, например, классы периодических функций.

Задача о нахождении оценки сверху приближения пересечения может быть решена путем вложения класса Wr в класс Wq и дальнейшего приближения этого класса уже в согласованной метрике Lq. Задача о вложении может быть представлена в виде экстремальной задачи:

^ sup; ||x(rt)(-)||Lt < вг, i = 1,...,m.

Поставленная задача была решена автором в 1975 г. и доложена на семинаре В. М. Тихомирова вначале для классов периодических функций одной переменной, а затем для классов периодических функций нескольких переменных с дробными производными и смешанными нормами [1]. Для формулировки полученного результата дадим определения функциональных классов и дробных производных.

Пусть Т = (— п, п]а — ^-мерный тор, реализованный в виде произведения й полуинтервалов (—п, п]. Через Ьр = Ьр(Тй), р = (р1,... ,ра), 1 < рз < то, ] = 1,..., й, обозначим

© 2004 Галеев Э. М.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты №02-01-39012 ГФЕН, №02-01-00386).

2Участниками семинара по теории приближений, кроме автора заметки, были в то время студенты и аспиранты В. М. Тихомирова: А. П. Буслаев, Динь Зунг, А. И. Камзолов, Г. Г. Магарил-Ильяев, С. В. Пухов, М. И. Стесин.

пространство функций х(¡) = х(^,..., ¡а) измеримых на Та, периодических по каждой переменной с периодом 2п таких, что конечна величина

= 2П X

^ |х(()|" ¿¡1

Р2/Р

Ра/Ра-

1/ра

(На

Свойства пространств со смешанной нормой на Табыли описаны в вышедшей в 1975 г. монографии О. В. Бесова, В. П. Ильина, С. М. Никольского [2].

Функцию х(-) € Ьр(Та) можно разложить в ряд Фурье

x(¡) = хк

k€Zd

где суммирование ведется по всем к = (&1,..., к а) € — (-мерной целочисленной ре-а

шетки, (k,¡) = ^

¿=1

Для упрощения формулировок будем рассматривать функции с нулевыми средними по всем аргументам, т. е. функции, коэффициенты Фурье которых хк, имеющие хотя бы один нулевой индекс к, равны нулю:

хф = ^ хкет\

◦,

к£Жг

о

где := {к = (к1,..., ка) € 1а : к, =0, ^ = 1,..., (}.

Для такой функции и вектора г = (г1,..., г^) € введем операцию дробного дифференцирования по формуле

х(г)С0 = ^2 хк(^к)ге^(к'*>,

◦, k€Zd

где (гк)г = (гк1)Г1 ... (гка)га, (гк)г = |к|ге(г/2)пг^пк (для скаляров к и г).

Для векторов р, г € 1 < р < то, ^ = 1,...,(, и описанных выше функций с нулевыми средними по всем аргументам введем следующий класс функций:

Ш(Т) = (х(-) : ||х(-)||^ := Ух(г)(-)Уьр < 1}.

При формулировке вложений функциональных классов важным является множество О = {еопу {(1 ),И), г = 1,...,т} + (V, 0) - (А, А) : V, А € М+}.

Следующая теорема дает необходимые и достаточные условия вложения для пересечения классов функций.

_ т . _

Теорема 1. Пусть Ш = П , 7, д € 1 < д < то. Тогда Ш СС тогда и

¿=1 р

только тогда, когда (1/д,7) € О.

Оценка сверху в этой теореме следует из мультипликативных неравенств. Первые неравенства подобного типа были получены О. В. Бесовым. Расширение этих неравенств дает достаточность условий вложения. Для доказательства необходимости условий вложения строится специальная функция х^) = ](¡) — Ом(¡)), являющаяся неко-

_ N .

торой разностью ядер Дирихле, принадлежащая классу ШрГ. Здесь Ом(¡) = ^ еъЫ —

|к|=1

ядро Дирихле. Такая разность ядер Дирихле в дальнейшем использовалась для доказательства необходимости условий вложения и оценок снизу приближения как на Td, так и на Rd в работах автора, Г. Г. Магарил-Ильяева, Динь Зунга и др.

Множество G для скалярных норм видимо впервые появилось в работе Н. С. Ба-хвалова (1963 г.) [3], где для классов функций близких к Hp доказывается, что условие (1/p, r) £ int G, является достаточным для подобного вложения пересечения.

В работе Г. Г. Магарил-Ильяева 1979 г. [4] доказывается теорема о вложениях для функций на Rd, аналогичная теореме 1. Поскольку для вложения классов на Rd нет вложения по направлению (1, 0), то множество G в этом случае определяется без конуса по этому направлению: G = {conv{( p- ), гг), i = 1,..., m} —(А, А) : А £ R+}. В совместной работе Г. Г. Магарил-Ильяева и В. М. Тихомирова (1984 г.) [5] теорема 1 обобщается на Rd х Tm.

Используя полученную теорему 1 о вложении можно перейти к следующему шагу и найти порядки приближения пересечения классов периодических функций с несколькими ограниченными производными оператором Фурье Sn. Для приближения пересечения классов периодических функций нескольких переменных строится оператор Фурье, зависящий от рассматриваемого класса и метрики, в которой считается приближение.

Приближение класса функций W оператором S в линейном нормированном пространстве X оценивается величиной

d(W, S, X) = sup \\x — Sx\\x. xex

Сформулируем и докажем теорему о приближении класса Wp в пространстве Lq суммами Фурье для векторных норм.

о d

Каждому вектору s = (si,..., Sd) £ Nd сопоставим множество □ С Z по следующему правилу:

О

yd . nSj — 1

□ s = {k £ Zd : 2Sj—1 < |kj| < 2Sj, j = 1,...,d}.

Тогда

x(t) = ^ Xkег^ = ^ 5sx(i),

◦ d seNd

kezd

где = ^ ХкДля множества А = |гг, г = 1,...,^} С введем оператор

кеПв

Фурье БЛ, действующий на функцию х(-) = ^ ^х(-) по формуле: 5Ах(-) = ^ ^х(-),

seNd seSA

И-

где = Р| , = {в £ N : (к, ¿) ^ Оператор Фурье Б' сопоставляет функции тел

х(-) гармоники из ступенчатого гиперболического креста. Оператор Фурье БЛ сопоставляет функции х(-) гармоники из пересечения ступенчатых гиперболических крестов.

При приближении пересечения классов периодических функций многих переменных важным этапом является нахождение числа точек в логарифмически полиэдральном множестве, например, числа гармоник в операторе Фурье .'Л. Эта задача была решена Динь Зунгом в 1983 г. [6].

о

Теорема Ш. Пусть А = {гг, г = 1,..., V}, еопу А П Ж+ = 0, Б = {в £ М+ : (в, г) ^ 1,г £ А}. Тогда

где M — решение, а l — размерность аффинной оболочки множества решений задачи: (s, 1) ^ sup; s € S.

Для приближения класса WP оператором Фурье имеет место следующая теорема.

Теорема 2. Пусть W^ = f| W£, 7, q € Rd, 1 < q < то, G = {conv {(i),r]), i =

i=1

1,... ,m} + (v, 0) - (A, A) : v, A € M+}, Gq = {7 € Rd : (1/q,Y) € G}. Тогда множество крайних точек Г = {71,... } множества Gq конечно, и

d(W£, Sr ,Lq) х 2-м при max 7] > 0,

о ^

а если

convrp = 0, то число гармоник в операторе Фурье Sn = S^ при ц•}2^M = N имеет порядок N и

d(W|, Sn, Lq) х (N-1 log1 N)1/M,

где M — решение, а l — размерность аффинной оболочки множества решений задачи: (s, 1) ^ sup; s € S = {s € : (s, 7) < 1 (V 7 € Г)}.

Оценка сверху в этой теореме следует из вложения W^ СС Wq по теореме 1, приближения класса W<7 в пространстве Lq оператором Фурье S^ и подсчета числа гармоник в логарифмически полиэдральном множестве по теореме D1 Динь Зунга. Для доказательства оценки снизу используется специальная функция, являющаяся некоторой разностью ядер Дирихле, принадлежащая классу WP и не приближающаяся оператором Фурье S^.

Отметим также работу Б. С. Митягина [7], в которой были найдены приближение и порядки колмогоровских поперечников изотропных и анизотропных классов периодиче-

- d i

ских функций многих переменных Wp = П Wp в согласованной метрике пространства

i=1

Lp, где Г = (0, 0,..., 0, Г], 0,..., 0). Правильное приближение в этом случае дает оператор Фурье с гармониками из прямоугольных параллелипипедов и доказательство в отличие от теоремы 2 легко сводится к одномерному случаю. Аналогично и приближения этих классов в несогласованных метриках считаются путем сведения к одномерному случаю. Сформулируем

и теорему о порядках поперечников по Колмогорову класса Wpj периодических функций одной переменной в пространстве Lq.

_ m .

Теорема 3 (см. [8]). Пусть Wp = f| W£, G = {conv {(^), Г), i = 1,..., m} + (v, 0) -(A, A) : v, A ^ 0}, 7(e) = sup {7 : (£,7) G G}. Тогда

dN (WP, Lq)

'N-7(1/q), 7(1/q) > 0, 1 < q < 2, N-7(1/2), 7(1/2) > 1/2, 2 < q < то.

Задача же о вычислении порядков поперечников по Колмогорову классов периодических функций многих переменных Ш- в пространстве пока решена не для всех случаев р и д.

Некоторые вопросы вложения и приближения пересечения функциональных классов сводятся путем дискретизации к вложению и приближению пересечения дискретных множеств. Дискретизации могут проводиться разными способами. Одним из наиболее естественных является дискретизация с помощью теоремы Марцинкевича — Зигмунда.

Теорема Марцинкевича — Зигмунда о дискретизации. Между пространством тригонометрических полиномов вида x(t) = ^ и пространством R2<s,1> устанав-

keOs

ливается изоморфизм путем сопоставления функции ж(-) вектора

x = {xm(rj)}G R2<M>, xm(i) = ^ Xkei{k't), m = (±1,..., ±1) G Rd,

sign ki=mi l = 1,...,d

Tj = (n22-s1 j,..., n22-sd jd), ji = 1,..., 2Si-1, i = 1,..., d,

при этом для функций x(-), y(^) G lin {ei^k,t), k G Ds} и числа p G R выполняются соотношения:

l|xC-)MLp - 2-(s'1/p) ||x|U,i>, 1 <p< то,

'p

и

2(s'1/p)MxM'2<s,i> <l|x(-)||Lp, 1 < p < то,

'p

<x(0,y(0) = 2-(x'y).

Сформулированная теорема доказывается аналогично теореме Марцинкевича — Зигмунда для функций одной переменной, см. в монографию А. Зигмунда [9, Т. 2, стр.46].

С помощью этой теоремы вложения и приближение пересечения функциональных классов сводятся к вложению и приближению пересечения дискретных множеств.

Для чисел г С Ж и 0 < р ^ то в пространстве Ж" введем множество Бр := Бр(Жп) : = {ж = (ж1,..., жп) € Ж" : ||ж||гп ^ п-г}. Как обычно, обозначим

п \ 1/Р

\жк\р при 0 < р < то,

к=1 )

x in = lp

max |xk| при p = то.

k=1,...,n

Для множества К из Ж2, К С Ж+ х Ж, будем рассматривать множество Б (К) = Р| Бр, являющееся пересечением конечномерных множеств Бр и ^(К) = еопу К +

(i/p,r)eK

cone {(-1,0), (1, -1)}.

Для вложения конечномерных множеств B(K) имеет место следующая теорема вложения.

Теорема 4 (см. [10]). Пусть K С Ж+ х Ж — подмножество из Ж2, 0 < q < то, Y е Ж, (1/q, Y) е Q(K). Тогда B(K) С BY.

Используя вложение пересечения конечномерных множеств B(K), оценки сверху поперечников dra(Bp™, l") и оценки снизу поперечников множеств V^™, найденные Е. Д. Глу-скиным, находятся поперечники пересечения конечномерных множеств.

Теорема 5 (см. [8]). Пусть K С [0, 1] х Ж — компакт из Ж2, B(K) = f| Bp(Ж2п),

(i/p,r)eK

(£) = max r. Тогда (i,r)eQ(K)

2n in-(1/q), 1 ^ q ^ 2,

dn(B(K) ^ n-(i/2) + i/,-i/2, 2 ^ q ^ то.

Еще одним направлением развития вопроса В. М. Тихомирова о приближении и вложении пересечения функциональных классов является вопрос о нахождении порядков норм производной ядер Дирихле с гармониками из ступенчатых гиперболических крестов. Порядки производных ядер Дирихле (с гармониками из ступенчатых гиперболических крестов в скалярной и векторной нормах) и Фавара (и с гармониками вне этих крестов) определены в работах автора и В. Н. Темлякова. Для ядер с гармониками из пересечения логарифмически полиэдральных множеств нормы производных в скалярной метрике были подсчитаны Динь Зунгом [10].

Теорема D2. Пусть 1 < p < ж, S С R+ — полиэдральное множество с непустой внутренностью, K — его рецессивный конус, а £ Rd. Тогда D^SS принадлежит Lp для любого ß > 0 тогда и только тогда, когда ß = а + (1 — p) £ int K0. Если ß £ int K0, то

HDgllp x ßP2ßM,

где M — решение, а l — размерность аффинной оболочки множества решений задачи: (s, ß) ^ sup; s £ S.

Литература

1. Галеев Э. М. Приближение суммами Фурье классов функций с несколькими ограниченными производными // Мат. заметки.—1978.—T. 23, № 2.—C. 197-211.

2. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения.—М.: Наука, 1975.—480 с.

3. Бахвалов Н. С. Теоремы вложения для классов функций с несколькими ограниченными производными // Вестник МГУ. Сер. матем., механ.—1963, № 3.—C. 7-16.

4. Магарил-Ильяев Г. Г. Задача с промежуточной производной // Мат. заметки.—1979.—T. 25, № 1.— C. 81-96.

5. Магарил-Ильяев Г. Г., Тихомиров В. М. О некоторых вопросах гармонического анализа на Tn х Tn // В сб.: Некоторые вопросы современного анализа.—М.: Изд-во МГУ, 1984.— C. 57-82.

6. Динь Зунг. Асимптотики объема и числа целых точек в одном множестве и их применения в теории приближения // Reseach Report. Ханой, 1980.—№ 5. C. 1-22.

7. Митягин Б. С. Приближение функций в пространствах Lp и на торе // Мат. сб.—1962.—T. 58, № 4.—C. 397-414.

8. Галеев Э. М. Approximation of periodic functions of one and several variables // Constructive Theory of Functions' 87.—Sofia, 1988.—P. 138-144.

9. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. I, II.—М.: Мир, 1965.—615, 537 с.

10. Галеев Э. М. Приближение суммами Фурье классов функций с несколькими ограниченными производными // Мат. заметки.—Ш^^ 29, № 5.—C. 749-760.

11. Динь Зунг. Приближение классов гладких функций многих переменных // Тр. семинара им. И. Г. Петровского.—1984.—№ 10.—C. 207-226.

Статья поступила 5 ноября 2004 г-

Галеев Эльфат МихАлович, д. Ф.-м.н. г. Москва, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова E-mail: [email protected]