Научная статья на тему 'Георгию Георгиевичу Магарил-Ильяеву 60 лет'

Георгию Георгиевичу Магарил-Ильяеву 60 лет Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
56
3
Поделиться
Область наук

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Арутюнов А. В., Буслаев А. П., Галеев Э. М., Гольдман М. Л., Демидович В. Б.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Текст научной работы на тему «Георгию Георгиевичу Магарил-Ильяеву 60 лет»

Владикавказский математи ческий журнал Апрель июнь, 2004, Том 6, Выпуск 2

ГЕОРГИЮ ГЕОРГИЕВИЧУ МАГАРИЛ-ИЛЬЯЕВУ 60 ЛЕТ

В этом году исполнилось 60 лот нашему другу Георгию Георгиевичу Магарил-Ильяеву. Пользуясь случаем, мы хотим сказать несколько гаов о нем, как о математике и человеке. В ранние годы математика не была в числе ого интересов, он поступил в Московский институт нефтехимической и газовой промышленности и, окончив ого, стал работать в научно-исследовательском институте. Осознав необхо-

димость дополнительных знаний по математи-ко, он стал посещать лекции в Московском уни-ворситето (многие из которых читали выдающиеся математики) и семинар В. М. Тихомирова но теории приближений и экстремальным задачам. И лекции, и участие в работе семинара оказали сильное воздействие на Георгия Георгиевича. В 1970 году он поступил на вечернее отделение мех-мата МГУ, окончил ого с отличие и с тех нор математика стала ого основной профессией. В настоящее время Г. Г. Магарил-Ильяев профессор кафедры высшей математики Московского государственного института радиотехники, электроники и автоматики и но совместительству профессор кафедры общих проблем управления Московского университета и заведующий отделом выпуклого анализа Института прикладной математики и информатики Владикавказского научного центра РАН. Он активно работающий математик, им опубликовано более 90 научных работ, среди которых две монографии.

Научные интересы Георгия Георгиевича связаны с функциональным анализом, теорией приближений и теорией экстремальных задач. Расскажем здесь о нескольких направлений ого творчества.

1. Вложение функциональных классов. Общая задача о вложении классов дифференцируемых функций на М" может быть описана так: про обобщенную функцию ж(-) на М" известно, что она имеет набор гладкостей {(аг = (а'|,... .сх'и).р' = (р\.... -р',,))}^, т. е. а'-ая производная принадлежит пространству 1у(М"), 1 ^ г ^ N. Спрашивается, как описать совокупность всех гладкостей, которыми обладает функция ж(-)? Г. Г. Магарил-Ильяев для случая, когда 1 < р1к < оо но набору {(«'.р')},-^ построил полиэдр в М2", точки которого и только они являются точками гладкости функции х(-). Этот результат обобщает ряд известных утверждений о вложении классов гладких функций на М".

2. Неравенства для производных колмогоровского типа. Эта тематика, берущая начало от исследований Э. Ландау, Г. Харди, Д. Литтлвуда, Г. Пойа, А. Н. Колмогорова и др., имеет разнообразные приложения в анализе. Г. Г. Магарил-Ильяеву принадлежит заметная доля среди точно решенных задач о подобных неравенствах. Особенностью ого подхода явилось использование общих методов теории экстремума и теории двойственности в выпуклом анализе. В работе, совместной с А. П. Буслаевым и В. М. Тихомировым,

2-62

Георгию Георгиевичу Магарил-Ильяеву 60 лет

доказана весьма нестандартная теорема существования решения в задаче о неравенствах для производных колмогоровского типа.

Эти два круга вопросов легли в основу кандидатской диссертации Г. Г. Магарил-Ильяева, защищенной в 1980 году под руководством В. М. Тихомирова.

В основе докторской диссертации была разработка нового направления в теории аппроксимации, которое можно озаглавить так:

3. Наилучшие приближения некомпактных классов функций. Развивая идеи К. Шеннона и А. Н. Колмогорова о средней е-энтропии (на единицу времени) для стохастических и детерминированных процессов на прямой, Г. Г. Магарил-Ильяев ввел понятия средней размерности пространства и оператора среднего ранга, что позволило ему определить средний поперечник по Колмогорову и средний линейный поперечник — аналоги n-поперечника по Колмогорову и линейного n-поперечника. В итоге была построена теория средних поперечников функциональных классов, где возможно количественное сравнение приближения некомпактных классов различными бесконечномерными подпространствами. В ряде важных случаев были найдены точные значения средних поперечников и описаны экстремальные подпространства и операторы.

В последние годы Г. Г. Магарил-Ильяев уделяет значительное внимание теме

4. Оптимальное восстановление линейных функционалов и операторов. Концепция оптимального восстановления охватывает, в принципе, всю проблематику теории приближений. Задачи оптимального восстановления линейных функционалов и операторов оказываются тесно связанными с задачами о наилучшем приближении индивидуальных элементов и классов функций фиксированными средствами или методами аппроксимации, с задачами о неравенствах для производных и т. п. Г. Г. Магарил-Ильяев в достаточно общей ситуации получил принципиальный результат о том, что оптимальный метод восстановления линейного функционала является множителем Лагранжа для некоторой выпуклой задачи, для которой задача оптимального восстановления является двойственной.

На основе общих принципов теории экстремума и выпуклой двойственности Г. Г. Магарил-Ильяев и К. Ю. Осипенко получили в последние годы ряд точных результатов о восстановлении линейных функционалов и операторов на различных классах гладких и аналитических функций. Найдены, в частности, явные выражения для оптимальных методов восстановления функций и их производных в различных метриках по неполной и неточной информации о спектре функции. Эти результаты имеют важное прикладное значение (указаны, например, точные границы на спектр, знание которого за пределами этих границ не приводит к уменьшению погрешности). Получены новые точные неравенства для производных колмогоровского типа, где норма промежуточной производной оценивается через норму преобразования Фурье функции и норму старшей производной.

5. Экстремальные задачи и выпуклый анализ. На протяжении примерно последних двадцати лет Георгием Георгиевичем совместно с В. М. Тихомировым иродумывались многие задачи теории приближений (критерии элементов наилучших приближение, неравенства для производных полиномов и гладких функций, восстановление функционалов и операторов и т. д.) с точки зрения общих принципов теории экстремума и выпуклого анализа. Как определенный итог этих исследований были написаны книги: Г. Г. Магарил-Ильяев, В. М. Тихомиров «Выпуклый анализ и его приложения». Москва, УРСС, вышедшая двумя изданиями (2000 и 2003 гг.) и G. G. Magaril-Il'yaev, V. M. Tikhomirov «Convex Analysis: Theory and Applications». Translations of Math. Monographs, vol. 222, AMS, Providence, RI, 2003.

Георгию Георгиевичу Магарил-Ильяеву 60 лет

2-63

В заключение скажем несколько слов о личных качествах Георгия Георгиевича. Все, кто с ним общался, знают, что он общителен, остроумен и доброжелателен. Научные и человеческие контакты с ним отличаются особой атмосферой, сочетающей серьезность обсуждения с шуткой. Порой напряженные моменты споров и дискуссий он умело может разрядить, рассказав веселую историю или анекдот. Георгий Георгиевич с большой самоотдачей и добротой относится к своим коллегам, ученикам и студентам. Мы хотим пожелать ему творческих успехов, здоровья и благополучия.

А. В. Арутюнов, А. П. Буслаев, Э. М. Галеев, М. Л. Гольдман, В. Б. Демидович, А. Г. Кусраев, Кутателадзе С.С., К. Ю. Осипенко, В. М. Тихомиров.