Об оптимальности метода установления Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОБ ОПТИМАЛЬНОСТИ МЕТОДА УСТАНОВЛЕНИЯ *

В.П. Танана, Е.В. Худышкина

Доказывается оптимальность по порядку метода установления для решения операторных уравнений первого рода с линейным вполне непрерывным оператором. Параметр регуляризации выбирается по невязке.

1. Введение

Пусть Н— сепарабельное гильбертово пространство, А— линейный вполне непрерывный оператор, отображающий Н в Н такой, что Л(А) = II. Н(А*) = Н и ЦАЦ > 1 . Рассмотрим операторное уравнение первого рода

Предположим, что при / = /о существует точное решение щеН уравнения (1), но /о неизвестно.Задано его приближение Н и уровень погрешности 8 > 0 такие, что Ц/г — /о|| <5- Требуется построить приближенное решение и$ уравнения (1) такое, что и$ —>• щ при £ —>• 0. Применим к обеим частям уравнения (1) оператор А* и будем рассматривать уравнение

где обозначим А* А = А]_.

2. Метод установления.

Метод установления [5] заключается в сведении задачи нахождения приближенного решения уравнения (2) к задаче Коши для уравнения

Ли = /; и,,/’(II.

(1)

А*Аи = А* и,

(2)

— + Л* Ли — .1 *,/’). и|<=0 — 0. т

* Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант Л*4 01-01-00300).

Так как для оператора А\ выполнены все условия теоремы Гильберта-ТТТмидта [3], то существует полная ортонормированная система {е„} собственных векторов оператора Ai, соответствующих собственным значениям Х2п. Решение уравнения (3) может быть представлено в виде

ОО

u(t) = - е_А"*)е„, (4)

п=1 п

где сп = (A*fg,en), Из (4) видно, что V/0 = Аи$ u(t) —>• и$ при t —>•

оо, Таким образом, задача (3) порождает регуляризующее семейство

операторов {Rt : t > 0}, Параметр регуляризации t будем выбирать по принципу невязки [1], то есть из условия

\\Aus(t)-fs\\2 = 9\\A\\2S2, (5)

где us(t) = Rtfs-

Лемма 1. При условии ||/,51| > 3||А||5 существует единственное значение t = Щ, удовлетворяющее принципу невязки (5).

Доказательство. Рассмотрим функцию \\Au$(t) — f$\\2 = (p(t). Имеем Rt = Ж А*. Для оператора А существует полярное разложение [4]

А = QB,

где В = А1^2. Здесь Q - унитарный оператор, i.e. Q* = Q 1. Таким образом,

Aus(t) - fs = QBRtA*fs -fs = QHIuHQ - fs = = Q(B2RtQ-lfs - Q-lfs) = QiAjkfs - fs), где fg = Q_1fs- Откуда <p{t) = ||QiAjitfs - fs)\\2 = \\AiRtfs - fs\\2 =

oo oo

= < ^T,fn = ІІЛІІ2 = Wfsf < oo,

71 = 1 71= 1

л 2^2 где fn = (fg, en). Так как для любого п функция еГ2Хпі fn непрерывна

по t и W > 0

e-^fn2 < їй",

а ряд

ОО

ХЖ = н/*н2

п=1

сходится, то по признаку Вейерштрасса ряд

ОО

= X/' (6)

П= 1

сходится равномерно на [0,оо) и непрерывна при £е[0, оо). Продифференцируем почленно ряд (6), Тогда ряд из производных

ОО

-2 ^ А *е-2А-‘/„2

п=1

состоит из непрерывных слагаемых и сходится равномерно на [0, оо). Поэтому

ОО

¥>'(*) = -2 Е Л»^2А5‘/„2 < 0, (7)

п= 1

значит у>(£) - строго убывающая непрерывная функция. Из равномерной сходимости ряда (6) следует, что —>• 0 при t -4- оо и у>(£) —>• \\fs\l2 при £—>•(). Таким образом, решение уравнения (5) существует и единственно, □

3. Оценка погрешности метода установления

Рассмотрим множество Мг = А^2БГ, где р > О, Бг = {г : ||т;|| < г}. Методом решения [6] поставленной задачи будем называть любое отображение Т с областью определения П(Т) = Н и областью значений />’(’/') С II. а количественную характеристику А (Г) его точности определим формулой

Д(Т) = вир{||гл0 - ТII : и0еМг, ||/г - Аи0|| < 6}.

Определение 1. Метод Гор< будем называть оптимальным на классе Л/,.. если Д(Тор<) = Дор4, где Дор< = тГ{Д(Т) : 1(1(11. //)}•. о Т(Н, Н)—множество всех методов.

Определение 2. Метод Т назовем оптимальным по порядку на классе Л /,.. если существует величина I та,кая, что АТ < 1Аорг.

Для оценки величины Дор< будем использовать модуль непрерывности [2] в нуле обратного оператора

и>(т,г) = эир{||гг|| : и< Л/,.. ||Аи|| < т].

Данная функция является непрерывной. Она не убывает по т, г при

условии т < \\АВ\\г, и Ук > 1 выполяется неравенство ш(кт,кг) <

ки>(т,г). Кроме того, Аор1 > ш(6,г).

Оценим погрешность А(Кщ) метода установления Кщ, определяемого формулами (4),(5). Пусть £ > 0, а щ(£) = тогда при

условии, что щеМг

1М^) - щ\\ < Аг(*) + АгС*, 5), (8)

где

Д^) = вир{11г*о — ЩАщ\\ : щеМг}, (9)

А2Ц,6) = ||Д*||5. (10)

Оценим величины Дг(^) и Дг(£, 6).

Лемма 2. При сформулированных выше условиях на операторы, А и В4 справедлива оценка

\т < ща\\.

Доказательство. Из (4) следует, что

оо 2 00

I/»% I2 = -р^ д'; (1 - е-А«4)2 : < 1И1ГК

п=1 п п=1

а при t > 0

зир{ -т-г- (1 — е~*) : X > 0} < t,

К

то

М<ф4||. (п)

□

Лемма 3. При сформулированных выше условиях на операторы А и Rt и класс равномерной регуляризации Мг справедлива оценка

Ai(t) < г(—)р/2Гр/2. (12)

Доказательство. Из формул (4) и (9) получим

оо

RtAu0 - щ = RtA*Ащ - щ = КгАр/2+1у0 - A{/2v0 = - ^ Д'>- Х; /''/*< /*•

П= 1

где vn = (v$,en). Так как

ТР !УЛ

sup — = (-)Р,

х>0 е е

то

д?(*> =

71= 1

откуда и следует утверждение леммы, □

Пусть t выбрано из условия Дх(£) = А2^,5), то есть

ад ^ <13’

Для метода установления Лцв) справедлива оценка погрешности

Д(%„) < Щ\\А\\6 + т(^у1г[Щ}~г1г,

откуда с учётом (13) следует существование величины 12 > 0 такой, что

А(Пщ) < 12г^+*5^+2.

Так как в нашем случае

и)(6, г) = гр+2(5р+2 , (14)

то метод установления Ящ с параметром 1(5) оптимален по порядку на классе Мг и

А(Нт) ~ш(5,г).

Оценим невязку ||Аи$^(6)) — /г|| приближенного решения

щ(Цё)) =

Для этого заметим, что

1И^(5)) - 1в\\ <6+\\АЕшф - /о|| + \\АНт/0 - АНт/6\|. (15)

Лемма 4. Если 1,(6) определено формулой (13), то

\\АЩ{6ф - АЩ{6ф\\ < 8.

Доказательство. Имеем

АПт/0 - АПти = ЛЛад(/„ - /5) = 6АПт7 =

= &с1внтвсг4 = бдвщт/, где 7 = 11711 < 1. / = Я~Ч- Тогда

тятМП? = <>11 Е(1 - ^Л5‘)/»е„||2 = - е-л-‘)2Й

^2 > П ?

п=1 п=1

где /„ = (/, еп). Таким образом, так как 1 - е А» < 1 и ||/|| < 1, то \\АКщ/0 — АПщ/з\\ < 6, что и доказывает утверждение леммы. □

Лемма 5. Если и0еМг, а 1,(6) определено формулой (13), то

\\АНт/0^М\<5\\А\\.

Доказательство. Имеем

АП{($) /о — /о = ащ^а*/0-/о = двятвд-1двА^%^двА^^й

\б'у

__ р+3 р+1

Я(Щд)АI2 Щ^А12 По),

где /о = .Ь/о = . 1.1/|';2/о. В = Ар/2. Откуда

^(НщА^ ^)0-А12 va)\\2 = \\^?^(1-еГх^пеп-^\рп+1?)пе "2

п=1 п п=1

P+l,v+1 1

71 = 1

так как

жр+1 р+1 +i

sup —— = (---------)р+ .

х>0 6 в

Таким образом, \\АПщ/0 — /0|| < r(p^±)E^~ir~г1. Подставив в это выражение t(S), определённое формулой (13), получим утверждение леммы, □

Из условия ЦАЦ > 1, формулы (15) и лемм 4 и 5 следует, что

||Aus(t(6)) - fs|| < 3||А||5. (16)

Лемма 6. Пусть значения параметров i(8) и t(6) определены формулами (5) и (13) соответственно, а Ц/^Ц > 3||А||5. Тогда i(5) < t(6).

Доказательство. Пусть u§(i) = Rtfs, a \\Au$(t) — f$\\2 = (p(t), Выше показано, что

ОО

?/(<) = -2^л2е-2Л.!.‘/2(г) <о,

п= 1

Vi > 0, значит функция ip(t) строго убывает. Так как из формул (5) и (16) следует, что <p(i(6)) < <p(t(6)) = 9||А||252, то t(S) < i(S), что и доказывает лемму, □

Лемма 7. Пусть и0еМг, а Ц/^Ц > 3||А||5. Тогда существует число h > 0 такое, что

||ий(*(5)) - м0|| < г).

Доказательство. Обозначим и$([(5)) = Rt(g)fo = Rt(6)A*fo- Тогда

00 r°

uQ(t(S)) = ^2 -|(1 - e_A«*w)e„,

n=l n

где c° = (A*f0,en). Так как ЦАиД^б)) — fg|| = 3||A||5, a ||Aus(i(S)) - Auom)\\2 = \\ARmfs - ARmf01|2 = 52|ИДад/||2 =

= S2\\QBRmBQ-lfY = бЦКщАгД2 = S2^( 1 - е~хЩ2% < S2,

П = 1

то, используя формулу (16), получим

IIAu0(i(S)) - fs\\ < 4ЦАЦ5,

откуда

\\Auo(t(5)) — Ащ\\ < 5||A||5, (17)

Обозначим v0(i(S)) = A^p^2u0(i(S)). Тогда, используя /0 = AA^2vо, получим

|Ы^))Ц2 = \\A-p/2Rmf0\\2 = II A-p/2R-mBQ-lQBAp/2v0\\2 =

OO

= \\Ri(s)AiVo\\2 = Jj-1 ” < Л

n= 1

где r„ = (>o. ( „). так как Vn |l^e_A«*^ | < 1, a ||wo|| < г. Таким образом,

ытп <r. (is)

Из (7) и (18) имеем

||uo(t(5)) — м0|| < w(5||A||5, 2r),

Из формулы (8) и леммы 6 получаем

||^(t(5)) — uo(t(5))|| < t(5)||A||5 < f(5)||A||5,

Тогда точность рассматриваемого метода характеризуется величиной

Д(Дад) = ||м#(5)) - м0|| < (||^||^(^~) + 5||А||)ш(5,г).

□

Теорема 1. Метод установления R^g) с параметром регуляризации i(S), выбранным по невязке, оптимален по порядку на классе решений Л /,.. а его точность характеризуется величиной

A(Rt(6)) < (1И11Р+2 2е )

Список литературы

1. Иванов В.К. О приближенном решении операторных уравнений первого рода // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1966. Т.6, № 6. С. 1089-1094.'

2. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и её приложения. М.: Наука, 1978.

3. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука,1972.

4. Менихес Л.Д., Танана В.П. Конечномерная аппроксимация в методе М.М. Лаврентьева // Сиб. журн. вычисл. математики. 1998. Т. 1, № 1. С. 59-66.

5. Морозов В.А. О регуляризующих семействах операторов //Вычисл. методы и программирование. М.: Изд-во МГУ, 1967. С. 63-93.

6. Танана В.П. О классификации некорректно поставленных задач и оптимальных методах их решения // Изв. вузов. Математика. 1977. № 11. С. 106-112.