О регуляризации нелинейных операторных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

О РЕГУЛЯРИЗАЦИИ НЕЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ *

А.В. Боков, В.П. Танана

В работе дано обобщение метода регуляризации и конечномерных аппроксимаций регуляризованных решений на более широкий класс операторных уравнений, чем это было сделано ранее в [1].

Ключевые слова: слабая полузамкнутпостпъ, метод регуляризации.

1. Основные определения

Пусть Н - сепарабельное гильбертово пространство, А - оператор с областью определения В ( А) С II п множеством значений ЩА) С Я.

Определение 1 (см, [1]), Оператор А будем называть слабо заСЛ л і СЛ /і

мкнутым, если из того, что ип —У и, а Аип —У / следует, что й Є В(А) и Ай = / .

Определение 2 (см,[2]), Оператор А будем называть слабо по-

СЛ л і СЛ /і

лузамкнутым, если из того, что ип —У и, а Аип —У / следует, что существует элемент и Є В (А) такой, что Ай = / и Ит ||ип|| > р||.

п^-оО

Определение 3 (см, [3]), Оператор А будем называть слабо-сильно замкнутым, если из того, что ип й, а Аип —У / следует, что й Є В(А) и Ай = /.

Определение 4 (см, [4]), Будем говорить, что последовательность множеств {Мп} из метрического пространства X [3-сходится к множеству М0 С X, если

Р(Мп, М0) —у 0 при п —У оо,

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант Л*4 01-01-00300).

где /3(Мп,М0) = вир^р(х, М0) : х Є М„|, и обозначать

мпЛм0.

Определение 5 (см, [5]), Многозначное отображение ц>, действующее из метрического пространства X в метрическое пространство ¥, будем называть Н-полунепрерывным сверху, если для любого х Є X множество (р(х) не пусто и замкнуто, а условие хп —У х

влечёт (р(хп) -^—У ср(х) .

Из определений 1, 2 и 3 следует, что слабо замкнутый оператор является слабо полузамкнутым и слабо-сильно замкнутым.

Покажем, что в обратную сторону утверждение не верно, то есть приведём пример слабо полузамкнутого и слабо-сильно замкнутого оператора А, не являющегося слабо замкнутым.

Пусть Н = Ь2[0,1], а

A[u(t)] = u2(t),

(1)

где и(і) > 0 почти всюду, а и(і) и А[и(і)] Є Ь2[0,1].

Оператор А, определяемый формулой (1) не является слабо замкнутым. Действительно, рассмотрим функциональную последовательность {ип}, такую, что для любого п

un(t)

2г 2г + 1

2, — < t <-------------------------.

’ On — On

2г + 1 2г + 2

0, —г— < t < —-—,

(2)

где і = 0,1, 2,

in—1

1.

Так как последовательность {un(t) — 1} ортонормирована в

пространстве Ь2[0,1], то ип—У 1, а Ли,, —у что оператор А не является слабо замкнутым.

2, откуда и следует,

Теперь покажем, что оператор А, определённый формулой (1), слабо полузамкнут и слабо-сильно замкнут.

Лемма 1. Пусть {ип} С 1*2[0,1], ип^) -4- и(£) почти всюду на [0,1] м ип й в Ь2[0,1]. Тогда и(£) = й почти всюду.

Доказательство. Предположим противное, то есть и Ф й в Ь2[ 0,1]. Тогда найдётся измеримое множество С} С [0,1] такое, что ц,{0) ф 0 и для любого t Е Q и(£) Ф й(£).

Так как последовательность {и „ }• сходится почти всюду к элементу и на множестве С}, то по теореме Егорова (см. [6], с.269) найдётся множество (^1 С такое, что > ц{0)/2 и последо-

вательность {ип} сходится к элементу и равномерно на множестве <51- Обозначим через ип и и сужения функций ип и и с отрезка [0,1] на множество (^1. Тогда последовательность {йп} сильно сходится к функции и в метрике пространства Ь2(кооператор Б, отображающий пространство Ь2[0,1] на ^2(^1) и определяемый формулой

Би^) = й(£), t е (^1,

будет линейным непрерывным, а следовательно, слабо непрерывным.

Таким образом, последовательность {йп}, ип = 8ип будет слабо сходиться к элементу >'//.

Так как сильно сходящаяся последовательность является одновременно и слабо сходящейся, то

_ СЛ _

ип у и при п —>■ СХЗ

и для любого t Е Ql

й(£) Ф Бй,

что противоречит единственности слабого предела. □

Лемма 2. Оператор А, определяемый формулой (1), слабо-сильно замкнут.

Доказательство. Пусть для любого номера п ип(£) >0 почти всюду, ип й, а и^ —>• / в Ь2[0,1]. Тогда (см. [6], с.263) найдётся подпоследовательность {иПк} такая, что

(^) “*■ /(^) почти всюду. (3)

Из (3) следует существование йе 1*2 [0,1], для которой

ипк(I) —У й(£) почти всюду, (4)

откуда на основании леммы 1 получаем й(£) = й(£) почти всюду. Таким образом, й е О ( А) и Ай = /, □

Лемма 3. Оператор А, определяемый формулой (1), слабо полузамкнут.

Доказательство. Пусть для любого п ип(£) > 0 почти всюду, ип е

Ь2[0,1], ^е12[0,1].

Предположим, что

ип —У й, (5)

< ^ /■ (6)

Тогда из (6) следует, что

і

un(t) d>lH —У / f(t) (7)

где f(t) >0 почти всюду. Из (7) следует, что

і м2 и-м2 |^я|| ^ 11^11 )

_ ]_ /2

где u(t) = [f(t)} , и оператор А слабо полузамкнут, □

Теперь приведём пример слабо полузамкнутого оператора, не являющегося слабо-сильно замкнутым.

Рассмотрим оператор Ai, заданный равенством

Ai[u(t)] = u2(t), (8)

где u(t) Є Ь2[0,1], Ai[u(f)] Є L2[0,1].

Доказательство слабой полузамкнутостп оператора . 11 проводится аналогично доказательству, приведенному в лемме 3,

Покажем, что оператор Ai, определяемый формулой (8), не является слабо-сильно замкнутым. Для этого рассмотрим последовательность {un{t) — 1}, в которой un{t) оопределено формулой (2), Из ортонормированности последовательности {un(t) — 1} будет следовать, что

un(t) ^1^0, (9)

а из условия (2), что для любого t выполнено [un(t) — l]2 = 1, Таким образом,

Ai[un(t) — і] —У 1, (10)

Так как для u(t) = 0 Ai[u(t)] =0^1, то из (9) и (10) следует,

что оператор . 1| не является слабо-сильно замкнутым.

Теперь приведём пример слабо-сильно замкнутого оператора, не являющегося слабо полузамкнутым. Пусть . 12 - оператор, действующий из Ь2[0,1] в Ь2[0,1], задан формулой

,42М<)] = и3(<),

(П)

где и(ї) Є Ь2[0,1], Аі[и(і)\ Є Ь2[0,1] и и(ї) > 0 почти всюду. Доказательство слабо-сильной сходимости оператора проводится аналогично доказательству, приведенному в лемме 2,

Покажем, что оператор А2, определяемый равенством (11), не является слабо замкнутым.

Рассмотрим последовательность (|м„(^)}, если ип(і) задана формулой (2), Тогда для любого номера п

1

-Ur

1

(12)

Ао

Ввиду инъективности оператора А2, (11), существует единственный элемент

^ 2' (13)

определенного формулой

такой, что

А2 [%(£)]

Из (12) и (14) следует

ІІІІ1

п—юС

-иг

< ІКІІ ^2'

Таким образом, оператор А2 не является слабо полузамкнутым.

2. Постановка задачи и метод регуляризации

Рассмотрим операторное уравнение

Аи = /, (15)

где и е -О(А), / е Я,

Предположим, что при / = /о оно разрешимо, но точное значение правой части /0 уравнения (15) нам не известно. Вместо /о даны приближённое значение и уровень погрешности 6 > 0 такие, что II/а - /о|| < 6.

Требуется по исходным данным {/$, 6} построить приближённое решение щ, близкое к точному решению М0 = {й0 : Ащ = /0} уравнения (15) при / = /0,

Метод регуляризации, следуя [7], заключается в сведении поставленной задачи к вариационной:

тГ|||Ам — /^||2 + а||м||2 : и е В(А)^, (16)

где а > 0,

Теорема 1. Если оператор А слабо полузамкнут, то вариационная задача (16) разрешима.

Доказательство. Рассмотрим минимизирующую последовательность {ип} такую, что {и,п} С 0{А) и

I\Аип — /^||2 + а||м„||2 —У тГ|||Ам — /^||2 + а||м||2 : и Є О(А)|. (17)

Из соотношения (17) следует ограниченность последовательностей {ип}, {Аип}, {Аип^}'$}. Так как пространство Н гильбертово, то соответствующие последовательности слабо компактны.

Без ограничения общности можем считать, что

ип ^ й, (18)

Аип ^ /, (19)

Аип-/6 ^ /-/*. (20)

Из слабой иолузамкнутости оператора А и соотношений (18) и (19) следует существование элемента и £ /)(.!) такого, что Ли = / и

р|| < Шп ||ип||. (21)

ГС—ЮО

По свойству нормы слабого предела из (20) следует, что

\\Ай-/в\\< Ит \\Аип - /г||. (22)

ГС—ЮО

Из (21) и (22) следует, что

I\Аи — /^||2 + ск11й112 < Ит 11|Аип — /^||2 + а||м„||2 I,

ГС—ЮО I )

то есть элемент и является решением вариационной задачи (16), Теорема доказана, □

В дальнейшем множество решений задачи (16) будем обозначать через Л /'' и называть приближённым решением уравнения (15), полученным методом регуляризации.

Теорема 2. Пусть оператор А слабо полузамкнут и слабо-сильно

зам,кнут. Тогда множество Л решений вариационной задачи (16)

замкнуто.

Доказательство. Пусть {ип} С Л/'' и ип —У й. Тогда по определению множества Л /'' для любого п

\Аиг

/$\\2 + о:||м„||2 = тГ|||Ам — /$\\2 + а||м||2 : и е О(А)|, (23)

Из соотношения (23) следует ограниченность последовательности {Аип — /г}, а поскольку пространство Н гильбертово, то и её слабая компактность. Без ограничения общности будем считать, что

Аип ^ / при п —У оо, (24)

Так как оператор А слабо полузамкнут, то из (24) следует суще-

ствование элемента и такого, что

Ай = ] (25)

и

РІІ < Пт |К||. (26)

ГС—»-0О

Из (23), (25) и (26) следует, что

II/- ЛИ > Пт \\Aun-fsl (27)

гс—»-оО

а из (24) по свойству нормы слабого предела, что

||/-/*||< ІІШ \\Аип ~ /*||- (28)

гс—юО

Из соотношений (27) и (28) следует, что

II/ — /<5ІІ = Ііт \\Аип-/в\\, (29)

ГС—)-00

а из (24) и (29), что

Аип —У /, (30)

Из соотношения (30) и слабо-сильной замкнутости оператора А

следует, что и (г 1)(Л) и

Ай = /, (31)

а из (23), (30), (31) и того, что ип —У й, имеем

\\Ай — /$\\2 + а||й||2 = тГ|||Аи — /$\\2 + а||и||2 : и Є В(А)^, что н доказывает замкнутость множества Л /''. □

Обозначим через Ра многозначное отображение, которое каждому элементу / (г II ставит в соответствие множество М решений вариационной задачи (16) при = /,

Теорема 3. Пусть оператор А слабо полузамкнут и слабо-сильно зам,кнут. Тогда, отображение Ра является Н-полунепрерывным сверху.

Доказательство. Тот факт, что для любого элемента / Є Н множество Ра(1) не пусто и замкнуто, доказан в теоремах 1 и 2,

Проверим /3-непрерывность, когда из условия /„ —у / следует

А /1! ^ ) .\ Iп

Предположим противное, что найдутся число <1 > 0 н последовательность {йп}, йп Є М ’ такие, что для любого п

р(йп, Ма) > а. (32)

--СИ

Пусть й Є М . Тогда для любого п справедливо соотношение

I\Аип - /„||2 + а\\йп\\2 < ||Аи - /„||2 + а\\й\\2. (33)

Из того, что /„ —У /, следует

||/4м — /„11 ск11г/,11 —У ||/4м — /|| ск11г*11 , (34)

Из соотношений (13) и (14) получаем

\\Аи — /„||2 + ск11й112 > Пт I \\Аип — /„||2 + а||м„||2 і. (35)

П^-ОС I )

Из (35) следует слабая компактность последовательностей {и„ }•. {Аип^, {Аип /п}-

Без ограничения общности можем считать, что

йп й, (36)

Айп ^ /, (37)

Айп-/п-^/~/. (38)

Так как оператор А слабо полузамкнут, то из соотношений (36) и (37) следует существование элемента й такого, что

Ай = ] (39)

||й|| < Ит ||и„||. (40)

гс—юо

Тогда из (38) и (39) по свойству нормы слабого предела будет следовать, что

\\Ай — /|| < Пт \\Айп - /„||, (41)

П—*0О

а из (40) и (41)

\\Ай ^ Д2 + а\\й\\2 < Ит 11|Айп — /„||2 + а||ц„||2|. (42)

ГС—»-0О

Так как и е Л/". то из (35) и (42) следует, что

I\Айп — /„||2 + а||м„||2 —У ||Ай — /||2 + а||й||2, (43)

а из (39 - 41) и (43), что

\\Аип — /„|| ->• ||/ -/||. (44)

Таким образом, из (38) и (44) следует, что

Айп /■ (45)

Учитывая слабо-сильную замкнутость оператора А и соотно-

шения (36) и (45), получим, что й £ О(А), а

Ай = /, (46)

Из (36) по свойству нормы слабого предела

||й|| < Ит ||й„||, (47)

ГС—ЮО

а из (39), (41) и (46)

\\Ай — /|| < Нт ||Лй„ -/п||. (48)

П—*0О

Таким образом, из (47) и (48) имеем, что

\\Ай — /„||2 + а||й||2 < Нт{||Лйп - /„||2 + а||й„||2|, (49)

П—*0О

а из того, что и е Л/*'. из (35) и (49) получаем

||у4.Ил — /п|| -Ь с^||^п|| —^ ||-4й — /|| -|- а||й|| , (^0)

Из (47), (48) п (50) следует, что

||м„|| —У ||й||, (^1)

а из (36) п (51), что

ип —У й. (52)

Так как из (15) п (30) вытекает

и Е Л/".

то соотношение (52) противоречит (32), и противоречие доказывает теорему, □

Теорема 4. Пусть оператор А слабо полузамкнут и слабо-сильно замкнут. Тогда, если параметр регуляризации а связать с уровнем

погрешности исходных данных 8 таким образом,, что а(8) —У 0,

82/а{8) —У 0 при 8 ^ 0, то имеет место /3-сходимость приближённых решений , полученных методом регуляризации, к

множеству'точных решений М0 уравнения (15).

Доказательство. Предположим противное. Пусть числа 8п образуют бесконечно малую последовательность: 8п —У 0 при п —У оо.

Тогда найдутся число <1 > 0 и последовательность {и „ }• такие, что для любого п

йп е М£6п),

дп —У 0 при п —У оо, и для любого п

р(йп,Мо) > ё,. (53)

Пусть щ е М0. Тогда для любого п выполняется соотношение

\\Аип ^ и,Г + а(5п)\\ипГ < \\Ащ^игГ + а(5п)\\щГ. (54)

Так как Ащ = /0, а ||/о — Дг || < 6п, то из (54) следует, что для

любых п справедливы неравенства

||ип||2 < ||йо||2 + 52/а(5„) (55)

и

\\Айп ~ Д,||2 < ^ + а(5„)р0||2. (56)

На основании (56) заключаем, что

Аип —У /о при п —У оо, (57)

а неравенство (55) влечёт ограниченность последовательности {йп}. Без ограничения общности можем считать, что

ип й. (58)

Из (55) получаем

ро|| > Нт р„||. (59)

й—г-оо

Тогда (57), (58) и (59) дают

р(йп, М0) —у 0 при п —У оо, что противоречит соотношению (53), □

3. Аппроксимация регуляризованных решений

Определение 6. Последовательность операторов {Ап} будем называть А-полной, если для любого элемента и Е 13(А) найдётся, последовательность {и,п} та,кая, что при всяком, значении п ип Е О(А), ип —У и, а, Апип —У Аи при п —У оо (см,. [8]).

Определение 7. Пару А, {Ап} будем называть слабо полузамкнутой, если из того, что последовательность {и,п} ограничена, а Апип / следует, что существует элемент й Е О (А) такой, что Ай = / и р|| < Шп ||ип|| (см,. [2]).

Определение 8. Пару А, {Ап} будем называть слабо-сильно замкнутой, если из того, что ип й, а Апип —У / следует, что й Е -О(А) и Ай = / (см,. [2]).

Рассмотрим вариационную задачу

inf| Апи — + а||м||2 : и Е D(An) J, (60)

где а > 0,

Если предположить слабую полузамкнутоеть операторов А и Ап, то вариационные задачи (15) и (60) будут разрешимы. Обозначим решение задачи (60) через Л/"'".

Теорема 5. Пусть —У fg, последовательность операторов {Ап} является, A-полной, а, для, любой подпоследовательности, {АПк} пара, А, {АПк} слабо полузамкнута и слабо-сильно зам,кнута. Тогда, имеет место /3-сходимость аппроксимаций Mg,n к регуляризован-ному решению Mg.

Доказательство. Предположим противное, что найдутся число а > 0 и подпоследовательность {//„, }•. и Е Mg'Uk такие, что для любого к

p{unklMf)>d. (61)

Так как последовательность операторов {АПк} является А-полной, то для всякого элемента й Е Л /'' найдётся последовательность {///,. }•.

щ Є 0{АПк) такая, что

ик У и,

(62)

• і/і,- И/, ^ Аи.

Из (62) и (63) следует, что

Апкик /(5

(Пк)

+ о:||%||2 —У ||Аи — /^Ц2 + а||и|

Учитывая, что и,,. £ М^'Пк, получим

Апкипк /<

(«/г)

(Пк)

Таким образом, из (64) и (65) следует, что

ІІІІ1

Й—5-00

АПкиПк /.

(«/г)

(63)

(64)

(65)

+ а||м„41|21 < ||Аи - /г||2 + а||м||2. (66)

{АпкиПк} и

Из (66) следует слабая компактность последовательностей {иПк},

Без ограничения общности можем ечи-

иПк и, (67)

/

(68)

(пк) СЛ

(69)

Так как пара А, }• слабо полузамкнута, то на основании (67) и (68) получим, что / е Д(А) и существует элемент й такой, что

Ай = /

(70)

Иш ||иПк || > ||й|

й—5-00

Из (69) и свойства нормы слабого предела следует, что

|/ ~ /б\\ < Мш Апкипк-/6

й—5-00

(Пк)

Из (70 - 72) вытекает

Иш

Й—5-0О

А-пкипк Так как и Е М“, то

(Пк)

\\Ай — /г||2 + а||й||2 > ||Аи — /$\\2 + а||м||2. Из соотношений (73) и (74) следует, что

Иш

Й—5-00

АПкиПк /

(Пк)

Из (66) и (75) следует, что || Ай — /$\\2 + а||й

2 = Иш

Й—5-00

Ап—

ЛПкиПк

О: М.

Пк I

Учитывая соотношения (70 - 72) и (76), получим, что

е(пк)

АПкиПк /<5 Из (69), (70) и (77) следует, что

Апк^Пк /■

->• ||Ай - /г|

(71)

(72)

+ а||м„4||21 > \\Ай ^ /$\\2 + а\\й\\2. (73)

(74)

+ а\\ипк Ц2 } ^ 11— /^||2 + ск||гл||2. (75)

(76)

(77)

(78)

Так как пара А, {АПк} слабо-сильно замкнута, то на основании (67) и (78) получим, что

и Е Б (А)

(79)

Ай = /, (80)

Из (67- 69), (79) и (80) по свойству нормы слабого предела имеем,

что

\Au-fs||2 + а||й||2 < Иш| Апкип1.-/.

к^-оо

е(пк)

О: и.

пк I

'} (81)

|й|| < Шп \\и.

г-оо

Так как в силу и Е Л /" выполняется

пк I

(82)

(83)

\\Ай — /в\\2 + а||й||2 > ||Аи — /<5||2 + а||м||2, то из (66), (81) и (83) имеем

и Е Л/,;' (84)

\\Ай — /в\\2 + а||й||2 = Ит <

й—г-оо I

Из (82) и (85) следует, что

Апк ипк

(пк)

Пк I

!}. (85)

\ипк || У ||и|

а из (67) и (86) следует, что

(86)

(87)

Соотношения (84) и (87) противоречат (61), что и доказывает теорему, □

Список литературы

1. Морозов В.А. О решении методом регуляризации некорректно поставленных задан с нелинейным неограниченным оператором // Дифференц. уравнения. 1970. Т.6, № 8. С. 1453-1458.

2. Танана В.П. Об аппроксимации регуляризованного решения нелинейного уравнения // Сиб. мат. журн. 1997. Т.38, № 2. С. 417-423.

3. Танана В.П. О решении операторных уравнений первого рода с многозначными операторам,и и их приложения // Изв. вузов. Математика. 1977. № 7. С. 87-93.

4. Иванов В.К. О некорректно поставленных задачах // Мат. сб. 1963. Т.61, № 2. С. 211-223.

5. Власов Л.П. Аппроксимационные свойства, множеств в линейных нормированных пространствах // УМН. 1973. Т.28, вып.6. С. 2-66.

6. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа М.: Наука, 1972.

7. Тихонов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач, // ДАН СССР. 1963. Т.153, № 1. С. 49-52.

8. Васин В.В. Дискретная сходим,ост,ъ и конечномерная аппроксимация, регуляризующих алгоритмов // Журн. вычислит, математики и мат. физики. 1972. Т.12, № 2. С. 492-497.