Конечноразностная аппроксимация метода регуляризации А. Н. Тихонова n-го порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.948

Вычислительная математика

DOI: 10.14529/cmse150108

КОНЕЧНОРАЗНОСТНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ МЕТОДА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ А.Н. ТИХОНОВА п-ГО ПОРЯДКА

В.П. Танана, С.И. Бельков

Статья является естественным продолжением работы А.Н. Тихонова, в которой впервые была сформулирована идея конечномерного приближения регуляризующей задачи, однако условия, накладываемые на операторы являются трудно проверяемыми. В настоящей работе предложено другое условие, которое легче использовать на практике и с его помощью произведено доказательство теоремы о сходимости конечноразностных аппроксимаций метода регуляризации Тихонова к точному решению регуляризованной задачи. Применение предложенного метода конечноразностных приближений продемонстрировано на примере интегрального уравнения Фредгольма первого рода.

Ключевые слова: обратная задача, регуляризация, конечно-разностная аппроксимация, некорректная задача, интегральное уравнение.

Введение

Многие задачи, имеющие прикладное значение (такие как геологоразведка или определение температур внутри ракетных двигателей), являются некорректно поставленными и требуют использования аппарата регуляризации для их решения. Настоящая статья является естественным продолжением работы [1]. Дело в том, что в [1] для доказательства сходимости конечномерных аппроксимация использовано условие слабой замкнутости пары Л, {Лк}, где Л — оператор исходной задачи, а Лк — операторы аппроксимирующих задач. Это условие, впервые предложенное в [2] и являющееся наиболее общим при исследовании вопросов сходимости конечномерных аппроксимаций, трудно проверяемо. Поэтому в настоящей работе предложено другое условие и с его помощью доказана теорема о сходимости конечноразностных аппроксимация метода регуляризации Тихонова п-го порядка, которая была сформулирована в работе [3], но не доказана.

Статья состоит из трех частей. В первой части вводятся ограничения на рассматриваемые объекты, приводится формулировка решаемой задачи и ее регуляризация сведением к вариационной задаче. Во второй части работы производится построение последовательных конечномерных приближений регуляризованной задачи и доказательство соответствующих теорем сходимости. Замена бесконечномерных регуляриязующих вариационных задач конечномерными аналогами позволяет построить последовательность численных приближенных решений, которая сходится к регуляризованному решению. В третьей части рассматривается пример построения конечноразностной аппроксимации метода регуляризации А.Н. Тихонова п-го порядка для оператора Фредгольма.

1. Постановка задачи и метод регуляризации

Пусть Н — сепарабельное гильбертово пространство, Л — линейный замкнутый оператор с областью определения D (Л), всюду плотной в Н и областью значения R (Л) из Н , Т — линейный замкнутый оператор с областью определения D (Т) , всюду плотной в Н и множеством значений R (Т) из Н .

Предположим, что существует число c > 0 такое, что для любого u е D (T) имеет место соотношение

\\Tu\\ > c||u||. (1)

Лемма 1. Пусть n — некоторое натуральное число, большее единицы. Тогда оператор Tn будет замкнут.

Доказательство. Предположим, что {uk} с D (T)

щ (2)

и

Tnuk ^ ~fn . (3)

Тогда из условий (1), (3) следует, что Tn_1uk ^ fn_1.

Продолжая рассуждения аналогичным образом, приходим к тому, что

Tuk ^ f i (4)

Так как оператор T замкнут, то из соотношений (2) и (4) следует, что u е D (T) и f 1 = Tu. Продолжая этот процесс, окончательно получим, что u е D (Tn) и fn = Tnu .

Тем самым лемма доказана.

Рассмотрим операторное уравнение

Au = f, u е D(A), f е H . (5)

Предположим, что при f = f0 существует точное решение u0 уравнения (5) и u0 е D (Tn) , но вместо f0 нам известны f S е H и уровень погрешности S > 0 такие, что

f _f0|| ^ s .

Требуется по исходной информации (f,S) найти приближенное решение uS, сходящееся к точному. Метод регуляризации (см. [3]) поставленной задачи заключается в сведении ее к вариационной

inf j||Au _ fS||2 + « |T"u|f : u е D (A) n D (Tn )} , (6)

где а > 0 .

Вариационная задача (6) разрешима единственным образом (см. [4], стр. 73). Обозначим решение вариационной задачи (6) через ua и будем называть его приближенным решением уравнения (1), полученным методом регуляризации, или регуляризованным решением.

2. Конечномерная аппроксимация метода регуляризации

Пусть |Hk} — возрастающая последовательность конечномерных подпространств пространства H, Ак и Тк — линейные ограниченные операторы, отображающие пространство Hk в H и Hk соответственно.

Конечномерная аппроксимация метода регуляризации заключается в замене вариационной задачи (6) ее конечномерным аналогом

inf {|\Aku _ fkk\|2 + а \\Tknu\|2: u е Hk} . (7)

Аппроксимирующая задача (7) так же, как и (6), разрешима единственным образом. Решение этой задачи в дальнейшем будем обозначать через и" {к). Главным вопросом, возникающим при этом, является вопрос о сходимости конечномерных аппроксимаций и" {к) к регуляризованному решению и" при к — да .

Для ответа на поставленный вопрос введем ряд вспомогательных определений. Пусть В, S, Вк, Бк — линейные замкнутые операторы с областями определения D {В), D {Б), D {Вк), D {Бк) , всюду плотными в Н и областями значений из Н . Определение 1. Последовательности операторов |Вк} и {Бк} будем называть В и Б

полными одновременно, если D (B)n D (S) = H и для любого u е D (B)n D (S) найдется последовательность juk}, uk е D (Bk )n D (Sk) такая, что uk — u, Bkuk — Bu и Skuk — Su (см. [4], стр. 113).

Определение 2. Будем говорить, что пара |Bk}, |Sk} удовлетворяет условию дополнительности, если существует у Ф 0 такое, что Vuk е D (Bk) n D (Sk) ||BA |f + ||Skuk |f > у2 ||ufc 1|2.

Определение 3. Пару B, |Bk} будем называть слабо замкнутой, если из того, что uk —-—> u, а Bkuk —-—> f следует, что u е D (B) и f = Bu (см. [4], стр. 113). Теорема 1. Пусть f£ — f , а пара {Ak}, {TkK} удовлетворяет условию дополнительности. Тогда, если последовательности |Ak} и |TkK} являются A и Tn полными одновременно, а последовательности |Ak '} и |(Tk") | — A' и (T") полными одновременно, то

имеет место сходимость конечномерных аппроксимаций uas (k) к регуляризованному решению uas при k — да . Доказательство. См. [4], стр. 114.

Обозначим через B' оператор, сопряженный с B, а через B'k оператор, сопряженный с Bk, через G обозначим множество такое, что G с D (B') и всюду плотно в D (B') относительно B -нормы, где

IA = IHIH+1 lB g H (8)

Лемма 2. Если для любого к имеет место G с D{В'к) и для любого д е G выполнено В'кд — В' д , то пара В, |Вк} слабо замкнута.

Доказательство. Пусть дана последовательность {ик }с Н такая, что для любого к имеет место ик е D {Вк) и

ик —и (9)

и

Вкик ——- 7 (10)

Тогда для любого д е G справедливо соотношение

{д, Ви)-{д, 7) (11)

или

(В'кд, пк ) —(В'д, «) = (д, вП) (12)

Из соотношений (11) и (12) следует, что для любого д е G

( д, 7 ) = ( д, ВП ) (13)

Так как множество С всюду плотно в Н, то из (13) следует, что и е D (В) и

ВП = 7.

Тем самым лемма доказана. Лемма 3. Пусть для любого к область значений R (Вк) оператора Вк содержится в его

области определения D (Вк). Тогда, если пара В, {Вк} слабо замкнута и существует

у Ф 0 такое, что для любых к и и е D (Вк) выполняется ||Вкп|^ > у2 ||п||2, то для любого

натурального п пара Вп, {ВП} слабо замкнута.

Доказательство. Будем доказывать лемму по индукции.

При п = 1 справедливость леммы следует из ее предположений.

Допустим, что лемма справедлива для всех п от 1 до т -1 и докажем справедливость ее утверждений при п = т .

Пусть дана последовательность {ик} такая, что для любого к ик е D (Вт ) ,

ик —П (14)

и

Вттик ——- 7. (15)

Тогда из условий леммы и соотношения (15) следует ограниченность последовательности {Вкт-1ик }, а, следовательно, и ее слабая компактность, то есть без ограничения

общности можем считать, что

Вкт1и, ——— ф. (16)

Из предположения индукции, (14) и (16) следует, что и е D (Вт-1) и

Вт-1и = ф, (17)

а из предположений леммы, (15) и (16) следует, что ф е D (В) и

7 = Вф. (18)

Из (17) и (18) следует утверждение леммы, то есть, что и е D (Вт ) и 7 = Вти. Тем самым лемма доказана.

Пусть С с D (А')п D (Т') и при этом всюду плотно в D (А ') и D (Т') относительно А'-нормы и Т'-нормы соответственно. Тогда справедлива теорема.

Теорема 2. Пусть 7/ — 7 , а последовательности {Ак} и {Ткп } являются А и Тп полными одновременно. Тогда если для любого д е С выполнено А'кд — А' д и Ткд — Т'д , то имеет место сходимость конечноразностных аппроксимаций и" (к) к регуляризован-ному решению и" при к — да .

Доказательство. Эта теорема следует из теоремы 1 и лемм 1, 2, 3.

3. Конечноразностная аппроксимация метода

регуляризации Тихонова п-го порядка при решении интегрального уравнения

Пусть Н = Ь, [0,1], а

1

Аи = | К (а, t) и (а) <к, 0 < t < 1, (19)

0

где К е С [0,1; 0,1], и е Ь2 [0,1], Аи е Ь2 [0,1].

Рассмотрим разбиение отрезка [0,1] на 2к равных частей точками

0 = а0 < ах < а2 < ... < а2к = 1, где для любого i, i = 1,2,..., 2к а. - а., = \ .

2 2к

Обозначим через А. полуинтервал деления А. = [а.-1, а.), а через ик подпространство L2 [0,1], состоящее из кусочно-постоянных функций, то есть

ик ={и (а) : и (а ) = щ, а е А., г = 1,2,... ,2к}. (20)

Пусть Рк оператор метрического проектирования пространства L2 [0,1] на ик. Оператор Рк самосопряжен, то есть

р; = р, (21)

где Рк — оператор, сопряженный к Рк, и для любого и е L2 [0,1]

Рки — и при к — да . (22)

Следуя [4], стр. 119

1 1

Аки = | Кк (а, t) и (а) <1а = - £ Кщ , (23)

Г\К

0 2 .=1

где и е ик, определенному (20) , а Кк (а, t) = К (;2г^ при а е А. и t е А; ; К = К (±-Д

К ^2к ;2к J.

Если рассмотреть расширение Ак оператора Ак с ик на все пространство L2 [0,1], то следуя [4]

||Ак - А — 0 при к — да . (24)

Пусть оператор Т определен формулой

Ти ^) = | [и ^)] , (25)

где D (Т) = {и ^) : и ^), и' (t) е L2 [0,1], и (0) = 0}.

Оператор Т — линейный замкнутый с областью определения D (Т), всюду плотной в 4 [0,1].

Оператор Т , сопряженный Т , будет иметь вид

{г)-1 [д{г)],

(26)

где D {Т') = {д {г) : д {г), д' {г)е [0,1], д {1) = 0}.

Кроме того, легко проверить, что для любого и е D{Т) оператор Т удовлетворяет соотношению

\\Ти\\ > ||и|| . (27)

На пространстве ик, определенном формулой (20), определим оператор Тк следующим образом

'0, г е Д1

Тки {г ) =

и {г)- и {г - 2-к)

г е Д1

(28)

где D {Тк) = {и {г) : и {г) е Пк, и {г) = 0, г е [0,1]} .

Из (28) следует, что D {Тк) является подпространством ик, следовательно, и L2 [0,1], кроме того оператор Тк непрерывен на D {Тк) и область значений R {Тк) оператора Тк содержится в D {Тк) , а из соотношения (28) легко следует, что для любого и е D {Тк)

|Тки|| > Ы\. (29)

Для любого к сопряженный оператор Тк будет иметь вид

Т' = Тр к -'-к1 к 1

(30)

где Рк оператор метрического проектирования L2 [0,1] на ик, а Тк определен формулой

[0, г е Д2к

Тд {г ) =

д {г)- д {г + 2-к)

, г

(31)

где д е ик.

В качестве множества С , использованного в лемме 2, возьмем следующее множество:

G = {д {г) : д {г) е С [0,1], д {г) = агг + Ъ, г е Дг, д{г) = 0, г еД1 и Д2к, i = 1,2,...,2к, к = 1,2,...} '

Тогда множество С содержится в области определения D {Т') оператора Т'. Определение 4. Определим срезающую функцию % {г) :

(32)

к

2

к

2

&(г ) =

1, г е

7 7

- 8;1 --8

4 4

2 Г г - 5 8

8 I 4

г е

5 8; — 8 '

44

- 2 Г, -1 + 5 8

8 I 4

0, г е[0;1] \

г е

1 - - 8;1 - 5 8

44

5 8; 1 - 5 8

44

Ее обобщенная производная обладает свойством (см. [5], стр. 119):

&' (г ) = (&) '(г)

| & (V) dv

< - Уг е[0;1], УЛ е 8

о;4

(33)

Лемма 4. Множество G содержится в области определения D (Т') оператора Т', определенного (26) и всюду плотно в D (Т' ) относительно Т'-нормы.

Доказательство. Из (26) и (32) следует, что множество С с D (Т' ). Докажем, что оно всюду плотно в нем относительно Т '-нормы.

Рассмотрим множество D = {Л (г) : Л (г) е С00 [0;1], Л (0) = Л (1) = о} .

Будем доказывать, что D всюду плотно в D (Т') .

Возьмем произвольную функцию Л (г)е Н (0;1) и срезающую функцию & (г) со свойством

& '(г )< - Уг е [0; 1]

Согласно теореме о дифференцировании обобщенной производной (см. [5], стр. 118) функция Л8 (г) = Л (г)& (г) имеет обобщенную производную

Л8 '(г ) = Л' (г) & (г) + Л (г )& '(г) . Кроме того, ясно, что Л8 (г) финитна на [0;1] и Л8 (г) е Н0 (0;1) . Убедимся, что Ш8 (г)- Л (г) , ; — 0 при 8 — 0. Зададим произвольное

число £ > 0 . Тогда 3 80 > 0 : У 8, 0 < 8 < 80,

1

р8 (г )- Л (г ^ ,2 (0;Д)=/ ^ (г )| 2 (1 - & (г ))2 ^ <

0

28 1 < | \н (г)|2 dг + | \н (г)|2 dг < £2

0 1-28

в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега. Далее, из формулы Ньютона-Лейбница с учетом условия Л (0) = Л (1) = 0 имеем

Л (г) = }л'&) d& = } л'&) d&.

0 1-г

Отсюда помощью неравенства Коши-Буняковского получим:

г

22 Л (г)| < г|\н'&)| d&

0

1

22 Л (г )| <(1 - г )|\н' &)| d& У г е[0;1].

г-V <л

С учетом свойств выбранной срезающей функции, формулы для р3'(г), абсолютной непрерывности интеграла Лебега и последних неравенств будем иметь

р3 (г) -h (г л (о,}=11 р ' (г) -h' (г) ь (г) -h (г) ь' (г)

dt

<

1 р' (г )|2 (1 - ь (г ))2 dt +и р (г )|2 ь '(г)

ч 0 '2 3

1

М А

У V 0 1

1

2 ^ 2 dг

У

| к ' (г)|2 (1 - ь (г))2 л + | к ' (г)|2 (1 - ь (г))2 dг

1

0

2

+1 | г и(ь)|2 ¿АС2 dг + | (1 - г)||р '(ь)|2 ¿ь

1-23 1-3

+

<5

1-23

^ С 2 ^

32 ^

<

< £ +

с| 21 '(ь)|2 + 2 1 '(ь)|2 ¿ь

1

< 2£

V3, 0 <3 < 30.

Таким образом, получаем оценку р3 (г) - h (г)||н1 < 3£ V3, 0 <3 < 30.

Зафиксируем одно из таких значений 3 и возьмем среднюю функцию (р3 )р (г). Тогда при р — 0 в силу свойств средних функций (см. [5], стр. 113, 117) получим

||(р3 )р (г)- р3 (г)||(0.д)

— 0,

(р3 ) 'р (г)- р'3 (г) = (р3 ) 'р (г)- Р'3 (г)

,2 (0.1)

— 0,

поэтому

Цр )р (г) - р3 (г)||н (0;1) < £ Vh, 0 < р < р < 3. — 0.

Таким образом, (г) - р (г)||н1

Т.к. G всюду плотно в D, т.е. С = D , а D всюду плотно в D (Т') , т.е. D = D (Т') , то С = D (Т' ) и тем самым лемма доказана.

Лемма 5. Пусть пара Т', {Т } определена формулами (26), (30) и (31), а множество С — формулой (32). Тогда для любого д е С имеет место соотношение

Тд — т д.

Доказательство. Пусть д0 е С . Тогда найдется номер к такой, что

50 (г) = а°г + 6°, г еА,, г = 1,2,...,2к

(34)

Из (34) следует, что

Т50 (г) = -а,0, г е А,, г = 1,2,...,2\ (35)

Теперь возьмем произвольный интервал А^ = -1, г^ ) и разобьем его на 2т равных

частей. Обозначим точки деления при этом следующим образом

4

г,0-1 = г0 < г1 < г2 < . < г2"-1 < г2™ = г,„

а полуинтервалы через А^ , где А^ = -1, г3), ] = 1,2,. ,2т и гз - гз-1 = 2 Из (34) следует, что

= +т)

2

2

1-2

,2

Г 2

р(t )=|< ■ ^+^ t}. (36)

Из (30), (31) и (36) следует, что

T0 +т9о (t) = ~al, t еЛ \ (^ ^ V ). (37)

Пусть a0 = max {a°| : i = 1,2, ..., 2*° j, тогда

-2

T- T0+mg°\\ < (38)

Из соотношений (38) следует, что T^+mg0 — T'g° при m — да. Лемма 6. Пусть пара T, {Tkj определена формулами (25) и (28), а n — произвольное натуральное число. Тогда последовательность операторов {Tkn j является Tn -полной.

Доказательство. Будем доказывать лемму по индукции.

Пусть n = 1 и u° — произвольный элемент из D (T). Тогда, обозначив элемент Tu° через vJ, построим последовательность {v^} следующим образом:

< = рЛ,

где P — оператор метрического проектирования пространства L2 [0,1] на Uk, v\ е Uk, а подпространство Uk определено формулой (20).

Из (22) следует, что v^ — v^.

Тогда по произвольно взятому s > 0 можно указать номер k° такой, что

II 1 111 8

к - М < 4.

Теперь выберем число т0 такое, что функция г^ (г) , определенная следующим образом

1

(t ) =

будет удовлетворять соотношению

0, 0 < t < .

' 9*0 +m0

2 , . (39)

v1 (t), t

k0 \ f 1 2*0 +m0

l№ - v1 II < s. (40)

Из определения г1 слеДУет гк0 е ико +т0 .

Обозначим через й^ элемент, равный Г-1^ , который будет непрерывен и кусочно линеен, то есть

йко + Ь : г еД,, г = 1,2,... ,2* +т° } . (41)

Из (27) и (40) будет следовать, что

- uJ <

2

II s

U0 - uJ| <-. (42)

v

Теперь каждый из полуинтервалов А, = [г,-1, гi) разобьем на 2Р равных частей, где р — некоторое натуральное число. При этом точки деления обозначим следующим образом:

г,-1 = г0 < г1 < г2 < . < г2Р = г, ,

а соответствующие интервалы через А,3 , где А,3 = А, = |гз-1, гз), з = 1,2,. ,2р и

гз - гз-1 = 1

3 3-1 2к« +™0 +р

По функции —^ (г), определенной формулой (41), построим функцию + +р (г) следующим образом

Ч+т0+р (г) = —+т0+р (г) = й! (3): г ,, =1,2,. ^+т% з =и...,2Р}. (43)

Из определения оператора Тк (см. (28) ) и (39), (43) следует, что

йк) +ш0 + р (г ) е ик0 +ш0 + р ° D (тк, +ш0 + р ) и

Тк0 +т0 + р-к0 +т0 +р = Ьк0 . (44)

Так как функция —1 (г), определенная формулой (41), непрерывна, то из (43) следует, что

Uk„ + т0 + р

— ика при р — да . Таким образом, найдется номер р0 такой, что для любого р > р0

и - -1II £

\\\ +т0 + р \\\ < 2 .

Тем самым для п = 1 лемма доказана.

Предположим, что лемма справедлива для п < I -1 такой, что и докажем ее для п = I.

Из предположения индукции следует, что для произвольного элемента и0 е D (Т1) найдется последовательность {ьк} такая, что для любого к ьк е D (Тк-1) и

ьк — Т-0 (45)

и

Т1-Ч — Т-0 (46)

Из (45) и (46) следует, что по произвольно взятому £ > 0 найдется номер к0 такой, что при > 0

II II £

Ь0 - Т-0\\ < 2 (47)

£

1Т-Ь - ТЧ|| < -. (48)

Обозначим через иг функцию, равную Т^ь^ , которая будет непрерывной и кусоч-

к0 к0

но-линейной, то есть

ика (г) = {а,г + Ъ, : г еА,, , = 1,2,. ,2к0 }. (49)

и

Из (27) и (47) будет следовать, что

С \ит - ип < —. II кп п|| 2

(5П)

Как и в начале доказательства каждый полуинтервал Аг разобьем на 2Р равных частей и вновь полученные полуинтервалы обозначим через А^ , а затем в как в (42) определим кусочно-постоянную функцию

\+р (*) = +р (/) = \ (£) : t е , г = 1,2,.„,2\ 3 — 1,2,.„,2Р} .

(51)

Из (28) и (51) будет следовать, что икп+р (г) е D|+р) и

ТТ инп+р — , ^.

кп +р

кп + р "

Так как функция и^+р (г) непрерывна на отрезке [П,1], то следую (51)

икп+р — и^ при р — да .

Из (53) следует, что найдется рп такой, что для любого р > рп

е

< —. 2

(52)

(53)

(54)

Из (47), (48), (52) и (54) следует утверждение леммы.

Следуя (6) метод регуляризации п-го порядка приближенного решения интегрального уравнения первого рода заключается в сведении последнего к вариационной задаче

и

21 йг + а\ ~йпи (г )"

Л п йгп

йг :

>)

и, и' '' е Ь2 [П, 1], и (П) — П, и' (П) — П,., и(п-1) (П) — П

(55)

Вариационная задача (55) разрешима единственным образом. Решение этой задачи обозначим через и" ^).

Конечноразностная аппроксимация вариационной задачи (54) заключается в сведении последней к ее конечноразностному аналогу

1 2'

1 2' 2 3—1

+ а ||т;и|| : и е D (тп )|

(56)

где Р/ (г) —/ : г е А3, г — 1,2,. ,2'} , и е ик, и ^) — {иг : s е Аг, г — 1,2,. ,2'} . Вариационная задача (56) имеет единственное решение иа8 такое, что иа8 (к) — иа8 при к — да .

Заключение

В статье рассмотрен метод построения последовательности конечномерных задач, решения которых последовательно сходятся к регуляризованному решению исходной некорректно поставленной задачи. Конечная размерность построенных задач позволяет решать их при помощи компьютера. Существенным отличием от фундаментальной ра-

2

боты [1] является замена условий слабой замкнутости пары операторов исходной и аппроксимирующих задач на требование А и Тп одновременной полноты последовательностей {Ак} и {Ткп}, приближающих оператор исходной задачи и оператор стабилизатора соответственно. Выполнимость данных условий проверить значительно легче.

В дальнейшем полученные результаты могут быть применены при решении некорректных задач, возникающих в различных отраслях науки и техники.

Литература

1. Танана, В.П. Конечномерная аппроксимация метода регуляризации / В.П. Танана / / Изв. вузов. Математика. — 1986. — № 6. — С. 65-69.

2. Васин, В.В. Дискретная сходимость и конечномерная аппроксимация регуляризую-щих алгоритмов / В.В. Васин // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1979. — Т. 19, вып. 1, — С. 11-21.

3. Тихонов, А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач. — Доклады АН СССР — 1963 — СТ.153, №1, С. 49-52.

4. Танана, В.П. Методы решения операторных уравнений / В.П. Танана — М.: Наука, 1981. — 158 с.

5. Осипов, Ю.С. Основы метода динамической регуляризации / Ю.С. Осипов, Ф.П. Васильев, М.М. Потапов — Изд-во МГУ, 1999. — 237 с.

Танана Виталий Павлович, д.ф.-м.н., профессор, зав. кафедрой вычислительной математики, Южно-Уральский государственный университет (Челябинск, Российская Федерация), tananavp@susu.ac.ru.

Бельков Сергей Игоревич, ассистент кафедры прикладной математики, ЮжноУральский государственный университет (Челябинск, Российская Федерация), sergey_belkov@mail.ru.

Поступила в редакцию 1 января 2015 г.

Bulletin of the South Ural State University Series "Computational Mathematics and Software Engineering"

2015, vol. 4, no. 1, pp. 86-98

DOI: 10.14529/cmse150108

THE FINITE DIFFERENCE APPROXIMATION FOR THE TIKHONOV REGULARIZATION METHOD OF THE N-TH ORDER

V.P. Tanana, South Ural State University (Chelyabinsk, Russian Federation)

tananavp@susu.ac.ru,

S.I. Belkov, South Ural State University (Chelyabinsk, Russian Federation)

sergey_belkov@mail.ru

This article is a natural extension of the work by A.N. Tikhonov, where the idea of a finite-dimensional approximation of the regularization problem was first formulated. However, the conditions, offered for operators, are difficult to verify. In the present work we offer other conditions, which are easier to use in practice, and use it to prove the theorem of convergence of the finite-dimensional approximation for the Tikhonov regularization method. Application of the described method is demonstrated by the example with the Fredholm equation of the first kind.

Keywords: inverse problem, regularization, finite difference approximation, ill-posed problem, integral equation.

References

1. Tanana V.P. Finite-dimensional approximation of the regularization method / / Soviet Math. (Iz. VUZ.). 1986. Vol. 30, No. 7. P. 89-94.

2. Vasin V.V. .Discrete convergence and finite-dimensional approximation of regularizing algorithms // U.S.S.R. Comput. Math. Math. Phys. 1979. Vol. 19, No. 1. P. 8-19.

3. Tikhonov A.N. O regulyarizatsii nekorrektno postavlennih zadach [About regularization of ill-posed problems]. Doklad AN SSSR [Reports of Academy of Sciences USSR]. 1963. Vol. 153, No. 1. P. 49-52.

4. Tanana V.P. Metody resheniya operatornih uravneniy [Methods for solving the operator equations]. Moscow, «Science», 1981. 158 p.

5. Osipov Y.S., Vasiliev F.P., Potapov M.M. Osnovy metoda dinamicheskoj regulyarizatsii [Bases of the Dynamical Regularization Method]. Moscow, Publishing of the Moscow State University, 1999. 237 p.

Received January 1, 2015.