Об оптимальности метода невязки Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОБ ОПТИМАЛЬНОСТИ МЕТОДА НЕВЯЗКИ *

В.П. Танана, Н.М. Япарова

Светлой памяти Валентина Константиновича Ива,нова посвящается

В статье исследуется оптимальность по порядку метода невязки при решении операторных уравнений в гильбертовых пространствах.

Ключевые слова: операторные уравнения, метод невязки, модуль непрерывности, оптимальность.

1. Введение

В работе исследована скорость сходимости метода невязки, сформулированного и обоснованного с использованием компактного вложения в [1] и безкомпактного вложения (или нулевого порядка) в [2].

Показано, что при решении уравнения

Аи = /; «,/бЯ, (1)

где А - инъективный линейный ограниченный оператор, отображающий гильбертово пространство Н в Н, и при условии, что точное решение щ уравнения (1) при / = /о принадлежит классу равномерной регуляризации Мг = /;>>',.• = {г '■ V е //. ||т;|| < г}, а

{В*В)1!2 =д([А*Ар) и

1

д(а) ~1п 9-, д > О,

о

где А*, В* - операторы, сопряженные с А и В, а а Е Бр(\/А* А), метод невязки нулевого порядка оказывается оптимальным по порядку на классе Мг.

* Работа поддержана грантом РФФИ Л*4 01-01-00300.

2. Постановка задачи

Рассмотрим операторное уравнение (1) и предположим, что при / = /о существует точное решение По уравнения (1), но вместо /о известны некоторое приближение /^еЯи уровень погрешности 6 > О такие, ЧТО ||/г — /о II <5. Требуется по 6) построить приближенное решение и$ уравнения (1) наиболее близкое к точному,

3. Метод невязки

Метод невязки, следуя [1; 2], заключается в сведении задачи приближенного решения уравнения (1) к вариационной задаче

1пГ{||гг||2 : и (г //. \\Аи — || < Ь51^2}, Ъ> 1, (2)

В работе [2] доказано существование и единственность решения задачи (2), которое обозначим через и$, а в [3] — что при выполнении условия

ш\ > ь8х>2 (з)

+ А* и, (4)

где а(5) - положительный параметр, удовлетворяющий уравнению

\\(А*А + а(8)Е)~1А*/6 - /6\\ = Ь81'2. (5)

Далее алгоритм, который ставит в соответствие исходным данным (/ь^) решение и$ вариационной задачи (2), обозначим через Т$ и определим формулой

~ Г щ при \\fsW >

~ \ о при ||/гII <6^,

где и$ - решение вариационной задачи (2),

4. Оценка погрешности алгоритма Т$

Пусть В - линейный ограниченный оператор, отображающий пространство II г, //. а Мг = ВБГ - класс равномерной регуляризации для уравнения (1).

Следуя работе [4], методом решения поставленной задачи будем называть любое отображение Т с областью определения П(Т) = Н и множеством значений П(Т) С Н, а его количественную характеристику точности А (Г) на классе Мг определим формулой

Метод Тор1 будем называть оптимальным на классе решений Мг,

если

где Дор< = тГ{ Д(7) : Т е / (II. //)}■. а / (II. II) - множество всех методов [4].

Метод Т назовем оптимальным по порядку на классе Мг, если существует величина 1\ такая, что

где Д(Т) определено формулой (7).

Для оценки погрешности Дор< оптимального метода используют модуль непрерывности г) обратного оператора А-1 на классе Мг. введенный и исследованный в работах [5; 6, с. 114]:

и>1(т,г) = вир{11г*1 — и21| : щ,и2 £ Мг, \\Ащ — Ащ|| < т}.

Для вычислений и>1 (т, г) в [5] использован модуль непрерывности ш(т, г) в нуле:

Сформулируем некоторые известные свойства функции 00 (т, г).

Д(Т) = 8ир{||м0 ^ т/г|| : и0емг, Ц/г- Аи0\\ < 5}. (7)

И0,/«

Д(Г) < кАор1,

оо(т,г) = эир{||гг|| : и е Мг, ||Аи|| < т}

(8)

и установлено, что

и;1 (г, г) = оо(т, 2г).

Лемма 1 (см, [7, с, 12]), Пусть к > 1. Тогда выполняется неравенство

и>(кт, кг) < ки>(т).

Лемма 2 (см, [6, с, 145]), Функция и (т, г) непрерывна по т иг, она не 'убывает по т, г и строго возрастает при условии, что т < || АВ||г.

Лемма 3 (см, [ 4 ]), Для, величины Дор< справедлива, оценка

А-Ор1 ^ ^ (^) 'Г) ■

Далее, обозначив через Аг и Вг операторы А*А и В*В, предположим, что спектр Бр(А1) оператора А\ совпадает с отрезком [о, ||-4||2], а И\'~ = <1(Л\'2} и существуют положительные числа </. /•_> и /;! такие, что для о е [о, ||А||]

/7 /7

Мп”?-<#)<1з1п”?- (10)

а а

где о > ЦАЦ.

Обозначив модуль непрерывности, определяемый формулой (8) для оператора Сд, через и>я(т, г) и используя результаты [6, с, 147-148], можем записать, что

п аг , „йг _.

г 1п — < ш (т, г) — ( 2 ) г —■ (П)

Из (9) и (11) следует, что

12г 1п"« ^ < ш(т, г) < 2/3 ^ г 1п"« у. (12)

Рассмотрим элемент и®, определяемый формулой

< = (А*А + аЕ)-1А*/6, а > 0, (13)

Тогда приближенное решение определяемое формулами (4) и (5), может быть представлено как

щ = Щ,

где а = а(5) удовлетворяет уравнению (5),

Оценим уклонение и® от точного решения щ уравнения (1) на классе Л/,.. Для этого рассмотрим следующие величины:

Ai(a) = sup{||uo — В,аАио\\ : щ е Мг}

(14)

UQ

и ||Да||, где Ra = (А*А + аЕу1А*. Следуя [8, с, 133],

I Rn

la-1'2.

(15)

Лемма 4. Пусть а > 1. Тогда существуют числа U и > 0 такие, что при достаточно малых значениях а

k\n-q- < АЛ а) < hr\n-q~. а а

Доказательство. Из формул (12), (13) и (14) следует, что

г l2 sup

<те[о,||.4||

а

а + а2

< Г I3 sup

<г£[о,||А||

Рассматривая значение

а

а + а2

(J *

и учитывая формулу (16), получаем, что

1 п

А1(а)>/2г—

а + о% о*

При значениях а таких, что а < ч 2. из (17) следует, что

1п-я “

ш 1 1

> — кГ9-,

(16)

(17)

(18)

а + а2 2а

а

1

а из (18) и (19) при а < — получим, что

о2

А-1{а) >^-г кГ9—, (20)

2 а

кГ9 —

Из непрерывности функции-------------на отрезке [о, ||А||] имеем су-

“ а + а2 "

ществовапие значения а = а(а), при котором достигается наибольшее

значение этой функции, т,е,

1п_<г 1^4 -(7 ( (У,) 0-

вир -----------Цг. (21)

а + [а(а)]2 афт1]а + а2'

Предположим, что а{а)/\/а —>• 0 при а —>• 0, тогда

а(а) = 7(а)а1/’2, (22)

где 7(0:) —>• 0 при а —>• 0,

1п-9 “

Подставляя представление (22) в функцию--------------а,. получаем су-

а + о1

ществовапие числа 1§> 0 такого, что при достаточно малых значениях а

°{а) </611п"«-. (23)

а+[а(а)]2 "а а

Пусть теперь в формуле (22)

7(а) —>• оо при а —>• 0, (24)

Тогда существует число I- такое, что при достаточно малых значени-

ях а

1п-9 I

< 17 о, ^ ■ (25)

а+[а(а)]2 у2(а)а

Из (24) и (25) следует, что

In-9

а

ё(а) /1 , 1 , п . п

— In 4------У и при о —у 0.

а + [<7(а:)]2 /а а

что противоречит формулам (19), (21) и доказывает лемму. □

Так как щ е Мг, то

||Ug — и0\\ < Ai(a) + 11Ra115, (26)

где v,g определено формулой (13), a Ai(a) формулой (Ц).

Из леммы 4 и формул (15), (16) следует, что из того, что щ G Мг

1 1

| Щ - щ

uss - щ\\ < krln 4 - +-VS. (28)

“ »■ 11 < /5г1іГ9- + -а-1/26. (27)

а 2

При а = 6 из (27) следует, что

1 1

5 + 2

Существует значение 5о > 0 такое, что при 5 < 5о из (28) следует, что

||и| - Ко|| < ^5 + ^г1п-9 (29)

Если о и г > 1, то из (29) следует существование < бо такого, что при 6 <

||и| -ио|| < 29^5 + ^г1п_9у, (30)

а из формул (12), (30) и леммы 3 следует оптимальность по порядку метода К$, определяемого формулой

Пд = (А*А + 5Е)-1А*. (31)

Сформулируем этот факт в виде теоремы.

Теорема 1. Пусть метод Щ определен формулой (31), параметры г и а > 1, а 8 < 8\. Тогда метод R$ оптимален по порядку на классе Мг.

Пусть

ад = 5.

Перейдем к оценке невязки — fs || приближенного решения

= Ra(s)fs с параметром а(5), определяемым формулой (32), и

5 < 1.

1И<(<5) -fs\\<8+ \\ARa{s)f0 - /о|| + \\ARa{s)f0 - ARa(s)fs\\. (32) Лемма 5. Для, любого значения а > 0 выполняется соотношение

\\ARafo - ARafsW < S.

Доказательство. Так как

\\ARafo - ARafsW < 1И(^1 + аЕ)-1А*\\8, (33)

где . 11 = А*А, то из леммы 1, сформулированной в [1, с, 39],

ЩАг + аЕ)-1А*\\ = ЦА^ + аЕ)-1\\. (34)

Используя соотношения (33), (34) и то, что

2

|| Ai + (AiaEyl\\ = sup —---------< 1,

<те[о,||.4||] О" ОС

получаем утверждение леммы, □

Лемма 6. Пусть а > 1, а, щ е Мг. Тогда, существует число 1ц > О такое, что при достаточно малых значениях а

\\ARafo - /о|| < kry/aln~q

а

Доказательство. Так как /0 = Av,q, а щ = Bvо, где ||wo|| < г, то

\\ARafo ^ fa\\ = a\\A(Ai + аЕ) lBvо11, (35)

а на основании (9)

\\A(Ai + aE)^lBv0\\ = sup \\A(Ai + aE)^lC4(lAv0)||, (36)

IMI<r

Из (35) и (36) следует, что

WARafo - /о|| < ЫзгЩАг + aE)-lC% (37)

___ а

где на основании (11) С4 = g(\fA[).j a д(а) = In-9 —,

о

Таким образом, из леммы 1, сформулированной в [7, с, 39] следует, что

\\ARafo - /о|| < ahr\\A\^2(Ai + aE)-lCq\\. (38)

Так как

a\n~q-

\\Al^{Al + aE)-lCq\\= sup -------------f, (39)

<те[о,||.4||] Oi (J

то, рассмотрев значение a* = \/a, определяемое формулой (17), полу-

a* In-9 —

K/2(A! + aE)-lCq\\ > ------------(40)

a + a i

2

а из (40) — что при а < 1/а

1

1гГ9-

|И;/2(А! + аЕ)-1Сч\\ > —(41)

Ау'а

а\п-я-

Из непрерывности функции------------на отрезке Го, ||А||] следует суще-

“ а + а2 " "

ствование значения аг = <71 (а), на котором достигается наибольшее

значение этой функции, т.е.

^1(а)1п~9=-^т а1п~я-

Л ) - ■ (42)

а + [аi(a)}2 <хе[о,||.4||] а + а2

Предположим, что <71(а)/\/а —У 0 при а —>• О, тогда

,71 (а) = у1(а)а1/2, (43)

где 71 (а) —У 0 при а —У О,

(т1п“«-

Подставляя представление (43) в функцию --------получаем

а + а2

существование числа Ц > 0 такого, что при достаточно малых значениях а

а 1

0^0)1^—- 71(а)1п"9-

; </т V “■ <44>

а + [<71{а)\2 у'а

Из (43) и (44) следует, что

^1(а)1п^^— /ы-ч-

------=—, ,10 -^ —У 0 при а —У О,

а + ^а)]2 / 2^ Р ’

что противоречит (41) и (42),

Пусть теперь в формуле (43)

71 (а) —У оо при а —У 0, (45)

Тогда существует число /н такое, что при достаточно малых значениях а

о1(а)1п1п-«-

аПа) / , а

а + [а1(а)]2 ъ(а)\/а

Из (45) и (46) следует, что

< 18 . в (46)

о 1(а)1п 9 —

а Л а) 1 1

1 — ш 4-----------у и при п —у 0.

а + [о 1(а)]2 /2а а

что противоречит (41), (42) и доказывает лемму, □

Лемма 7. Пусть а > 1, щ е Мг, а а(5) определено формулой (32). Тогда при достаточно малых значениях 5

|ИДад/о-/о|| < уД.

Доказательство. Из (32) и леммы 6 следует, что

г- 1

1ИДад/о-/о|| </6г^1п-9-. (47)

Так как

1

1п 4 - —У 0 при £ —>• О,

о

то существует значение 5а > 0 такое, что для любого 5 < 5а

(48)

Из формул (47) и (48) следует утверждение леммы. □

Таким образом, из формулы (33) и лемм 5, 7 при 5 < 1 следует,

что

\\Аи?6) -М\<3^6. (49)

В формуле (5) положим 6 = 3.

Лемма 8. Пусть множество значений К(А) и В,(А*) операторов А и А* всюду плотны в Н, а элемент Щ определен формулой (13). Тогда невязка \\Aug — /^||2 строго возрастает по а.

Доказательство. Из леммы 1, приведенной в [9], следует, что при выполнении условий на оператор А существует полярное разложение

А = ЯА{/2, (50)

где (} - унитарный оператор, а А\ = А*А.

Так как С} — унитарный оператор, то для него справедлива формула

д* =

в которой С}* - оператор, сопряженный С}, а - обратный ему.

Подставив в невязку \\Аи$ — /з\\2 представление (50), получим,

что

|\Ау% - /зГ = а2|р! + аЕ)~1уб\\\ (51)

где Уз = Я^/з-

Тогда, используя спектральное представление величины ||(Ах + о/-.') |2. получаем, что

1ИН / \ 2

\\Aug - /з\\2 = ! ( ) <1^Еау6,у^, (52)

О ^ '

где {Еа, а (Е [о, ||А||]} - разложение единицы, порожденное оператором А1/1.

Так как производная функции [ ---------- I при о Ф 0 положи-

\ а + а2 I

тельна, то из формулы (52) следует строгое возрастание по а невязки

\\м-м\- □

Лемма 9. Пусть значения параметров а(5) и а(5) определены формулами (5) и (32). Тогда справедливо соотношение

а(5) < а(5).

Доказательство. Так как из (5) и (49) следует, что \\Ащ^ ^/з\\2 = 96, а — /з||2 < 95, то из леммы 8 следует, что а(5) < а(5). □

Лемма 10. Пусть щ Е Мг, а Ц/^Ц > Зу/6. Тогда существует число 1$ > 0 такое, что

11%(<5) - ио|| < ки(6,г).

Доказательство. Обозначим через элемент Д«(г)/о- Тогда

||А^№ - Ам“№||2 < 62\\А(А1 + а(ё)Е)-1А*\\2. (53)

Из леммы, сформулированной в [7, с, 39], следует, что

+ а(5)Е)-1А*\\ = ЦА^Аг + а(5)Е)-1\\, (54)

|^4х(-Ь а(5)Е || ^ вир

<г£[о,||Л||

а

а(6) + а2

< 1.

(55)

Из (53 - 55) следует, что

^Аи“(<5)|| <5.

Из того, что

Ащ(6) - /гЦ < 3^5

следует, что

-4“о('4 - ЛИ ..........................4^,

(56)

а из (56) — что

\Аи^ — Ащ || <

(57)

Обозначив через элемент В 1щ^\ оценим его норму. Для этого, используя формулу (10), запишем, что

\М\ / у \ 2

иЛ2 /11 [ I о 1 А Е^о^о

а + а2

о

Из (58) следует, что

а из (9), (57) и (59) — что

IV II < гг’ ‘2

(58)

(59)

.. ( 5\/б, <

(60)

И:! (15) и (26) следует, что

и

(61)

На основании леммы 9 и формулы (61) получим, что

(62)

Из формул (60), (12) и лемм 1, 2 вытекает, что для достаточно малых значений 6

Теорема 2. Метод Т§ оптимален по порядку на классе Мг.

Доказательство следует из лемм 3, 10 и формулы (12), Случай,

Список литературы

1. Иванов В.К. О приближенном решении операторных уравнений первого рода // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1966. Т. 6, № 6. С. 1089-1094.

2. Васин В.В., Танана В.П. Приближенное решение операторных уравнений первого рода // Мат. зап. Урал, ун-та. 1968. Т. 6, № 2. С. 27-37.

3. Васин В.В. О связи некоторых вариационных методов приближенного решения некорректных задач // Мат. заметки. 1970. Т. 7, № 3. С. 265-

4. Танана В.П. О классификации некорректно поставленных задач и оптимальных методах их решения // Изв. вузов. Математика. 1977. № 11. С. 106-112.

5. Иванов В.К., Королюк Т.И. Об оценке погрешности при решении некорректных задач // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1969.

(63)

а из (62) и (63) — что

(64)

Формулы (12) и (63) доказывают данную лемму.

□

272.

Т. 9, № 1. С. 30-41.

6. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978.

7. Танана В.П. Методы решения операторных уравнений. М.: Наука, 1981.

8. Танана В.П., Рекант М.А., Янченко С.И. Оптимизация методов решения операторных уравнений // Свердловск: Изд-во Урал, ун-та, 1987.

9. Менихес Л.Д., Танана В.П. Конечномерная аппроксимация в методе М.М. Лаврентьева // Сиб. журн. вычисл. математики. 1998. Т. 1, № 1. С. 59-66.

Челябинский государственный университет Южно-Уральский государственный университет