Нелинейный метод проекционной регуляризации Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 517.948

НЕЛИНЕЙНЫЙ МЕТОД ПРОЕКЦИОННОЙ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ

А.Б. Бредихина

THE NONLINEAR PROJECTION REGULARIZATION METHOD

A.B. Bredikhina

В статье рассмотрен метод проекционной регуляризации, в котором параметр регуляризации выбран из принципа невязки. Получена оценка погрешности этого метода на классе корректности Mr.

Ключевые слова: операторные уравнения, регуляризация, оптимальный метод, оценка погрешности, некорректная задача.

The projection regularization method was reduced in this article. The regularization parameter was chosen from the residual principle. We obtain an estimate the error of this method on the class of correctness Mr.

Keywords: operator equations, regularization, optimal method, error

estimate, ill-posed problem.

Введение

В настоящей статье приведено обоснование метода проекционной регуляризации [1] с параметром регуляризации, выбранным из принципа невязки, названным в дальнейшем нелинейным методом проекционной регуляризации [2]. Особенностью этого метода является то, что для получения приближенного решения он использует в качестве исходной информации лишь fs, и 5 > 0.

Далее в предположении, что точное решение операторного уравнения ио принадлежит классу корректности Mr, получена точная по порядку оценка погрешности этого метода и доказана его оптимальность по порядку на этом классе.

1. Постановка задачи и основные понятия

Пусть H- гильбертово пространство, A и B - линейные ограниченные операторы, отображающие H в H такие, что операторы A*A и BB* положительно определены, а A* и B* операторы сопряженные A и B. Предположим, что ||A-1|| = ж, Mr = BSr, где Sr = { v : v € H, ||v|| < r}, а Nr = AMr.

Рассмотрим операторное уравнение

Au = f; и € H, f € H. (1)

Определение 1. Множество Mr будем, называть классом корректности для уравнения (1), если сужение A-1 оператора A-1 на множество Nr равномерно непрерывно.

Лемма 1. Для того, чтобы Мг было классом корректности для уравнения (1) необходимо и достаточно, чтобы сужение А^1 оператора А-1 было непрерывно в нуле (см. [2]).

Предположим, что при / = /о существует решение ио € Н уравнения (1), но точное значение правой части /о нам не известно, а вместо него даны /й € Н и 5 > 0 такие, что

11/й - /о|| < 5.

Требуется, используя исходную информацию /й и 5, определить приближенное решение ий уравнения (1) и получить оценку для величины ||иг — ио||.

Определение 2. Семейство операторов { Тй : 0 <5 < 5о } будем называть методом приближенного решения уравнения (1) на множестве Мг, если для любого 5 € (0, 5о] оператор Тй непрерывно отображает Н в Н и Тй/й —► ио при 5 —► 0 равномерно на множестве Мг при условии, что ||/й — Аио|| < 5.

Из условий, наложенных на операторы А и В на основании леммы, доказанной в [3], имеют место полярные разложения этих операторов А = ^А и В = ВР, где Р и ^— унитарные операторы А = VА*А, В = VВВ*. Кроме того, предположим, что спектр б'р(А) оператора А совпадает с отрезком [0, ||А||], а

В = С(А), (2)

где С(ст) строго возрастающая, непрерывная на [0, ||А||] функция такая, что С(0) = 0.

Из полярного представления оператора А следует, что уравнение (1) можно заменить эквивалентным

Аи = д, (3)

где д = ф*/, а Q* — оператор, сопряженный

Лемма 2. Пусть Мг = В£г, а В = VВВ*. Тогда Мг = В £г.

Доказательство. Пусть ио € Мг. Тогда существует элемент го € Н такой, что ||го|| < г и

ио = Вго.

Рассмотрим элемент VI = Рго. Так как Р — унитарный оператор, то Цг^Ц < г. Используя полярное представление оператора В, получим, что ио = Вг1 и, следовательно Мг С В £г.

Если ио € В £г, то существует элемент VI € Н такой, что ио = Вг1 и ||г11 < г. Обозначим через го элемент Р-1г1. Учитывая унитарность оператора Р-1, получим, что ||го|| < г, а ввиду полярного представления оператора В, что ио = Вго. Следовательно, В Бг С Мг.

Тем самым лемма доказана. □

Предположим, что при д = до существует точное решение ио уравнения (3), которое принадлежит множеству Мг, но точное значение правой части до нам не известно, а вместо него даны некоторое приближение дй € Н и уровень погрешности 5 > 0 такие, что ||дй —до | <

5. Требуется по исходным данным Мг, дй и 5 определить приближенное решение ий

уравнения (3) и оценить уклонение ||ий — ио|| приближенного решения ий от точного ио.

2. Нелинейный метод проекционной регуляризации

В методе проекционной регуляризации [1] используется регуляризующее семейство операторов { Ра : 0 < а < ||А|| }, действующих из Н в Н и определяемых формулой

Г 1|А|| 1

Рад = ~(Шад, а € (0, ||А||], (4)

.1а @

где {Ест : 0 < а < ||А|| } — спектральное разложение единицы Е, порожденное оператором

А.

Приближенное решение уравнения (3) определим формулой

и‘а = Радй. (5)

Для выбора параметра регуляризации а = а(дй, 5) в формуле (5) по исходным данным (дй, 5) используем уравнение

11Аиа — дй ||2 = 1652. (6)

Лемма 3. Если ||дй|| > 45, то существует значение а = а(дй,5), удовлетворяющее уравнению (6).

Доказательство. Обозначим через $(а) величину квадрата невязки ||Аиа — дй||2 ,

0 < а < ||А|.

Так как из (4) следует, что

_ _ Г ПАП 1

Аиа — дй = А ~ дй — дй, (7)

./а а

то из (7) следует, что

га

$(а) = / ^(Е дй ,дй), (8)

о

а из (8) неубывание и непрерывность функции $(а) на отрезке [0, ||А||].

Из того, что $(0) = 0, а $(||А||) = ||дй||2 следует существование значения а, удовлетворяющего уравнению (6). □

В дальнейшем приближенное решение ий уравнения (3) определим формулой

ий = Тй да =( Р“0‘ ^' при "9й “ > 45' (9)

\ 0 , при ||дйII < 45,

где Ра определен формулой (4), а а(дй ,5) уравнением (6).

Лемма 4. Оператор Тй, определяемый формулой (9), непрерывен на пространстве Н (см.[2]).

Обозначим через а(5) значение параметра регуляризации, выбранное из уравнения

гаС(а) = 5. (10)

Лемма 5. Пусть оператор Ра определен формулой (4). Тогда

1

I Ра

а

Доказательство. Из (4) следует, что

а ввиду того, что — € 5р(Ра),

а

1

а

Ра|

1

а

□

Лемма 6. Если ||дг || > 45, а а(дг,5) определено (6), то для любого а > 0 из того, что

||АРадг - дг || < 45 (11)

следует, что

НР«1 — ,г)11-

Доказательство. Так как функция $(а), определяемая формулой (8), не убывает на отрезке

[0, ||А||] и _

0(а) = НАи^ - дг||2,

то из (8) и (11) следует, что а < а(дг,5). Таким образом, из леммы 5 следует утверждение леммы. □

Лемма 7. Пусть ||дг|| > 45. Тогда для значений а(дг,5) и а(5) выполняются следующие соотношения

ЦАи^ - дг|| < 35, а(дг,5) — а(5)

и

11р«(й,5,г)дг - р«(й5,г)до|| < гС[а(5)]-

Доказательство. Так как и^(г) = Ра(г)дг, то из (10) и леммы 5 следует, что

ІК(г) - Ра(г)до| < г С[а(5)]- (12)

Обозначим через Н^ подпространство Н, определяемое формулой

На =[Е - Еа]Н-Тогда из (4) будет следовать, что

Рад = А -1д при д Є Н^. (13)

Учитывая инвариантность подпространства Н^ относительно оператора А, доказанную в [ 4, с. 336] и соотношения (13) получаем

||Аиа(г) - Аиа(г)|| < 5, (14)

а(г) г,

где ио = Ра(г)до-

Так как

— -т о />а(г)

|Аиа( ) - до| = ¿(Естдо,до),

о

г а(г) п а(г)

/ ¿(Ест до, до) = / ст2С2(ст)^(Ест^о, ^о),

оо

|Аиа(г) - до|| < га(5)С[а(5)]- (15)

Из (10) и (15) следует, что

1|Аиа(г) - до || < 5- (16)

то

А из (14) и (16) вытекает неравенство

||Аиа(й) — дй|| < 35. (17)

Из лемм 5 и 6, соотношения (17) имеем

а(дй,5) > а(5). (18)

Так как

5

НРа(й,5,й)дй — Ра(й5,й)доУ < а(дй 5) , то из (10), (12) и (18) следует, что

||Ра(д,5,й)дй Ра(й5,й)доУ < г С[а(5)].

Тем самым лемма доказана. □

Следуя [5], определим функции ш1(г, г) и ш(т, г)

ш1(г,г) = 8ир{|и1 — и2|| : и1, и2 € Мг, |Аи1 — Аи2| < т}, (19)

ш(т, г) = 8ир{||и|| : и € Мг, ||Аи|| < т}, т, г > 0. (20)

Лемма 8. Пусть функции ^(т, г) и ш(т, г) определены формулами (19) и (20). Тогда их

связывает соотношение

ш1(т, г) = ш(т, 2г).

Доказательство. Доказательство приведено в [6] на с. 17. □

Лемма 9. Пусть к > 1. Тогда справедливо соотношение

ш(кт, кг) < кш(т, г).

Доказательство. Доказательство приведено в [6] на с. 17. □

Пусть а(т) решения уравнения

гС(а)а = т.

Лемма 10. Если выполнены все условия на операторы А и В, сформулированные выше, а т < г ||А В||, то справедлива формула

ш(т, г) < гС[а(т)].

Доказательство. Представим пространство Н в виде ортогональной суммы

Н = Н1 + Н2, (21)

подпространств Н1 = Е^(т)Н и Н2 = (Е — Е^(т))Н.

Из теоремы, доказанной в [4, с.336], следует, что подпространства Н1 и Н2 инвариантны для операторов А и В.

Из того, что ио Є Мг, а

||Аио||< т, (22)

на основании леммы 2 следует существование элемента ^о Є Н такого, что

< Г (23)

ио = Вго. (24)

Используя (21), представим элемент го в виде ортогональной суммы

го = г1 + г2, (25)

где г» = рг(го,Нг), г = 1,2.

Пусть г1 = ||г11, а г2 = 11г21. Тогда из (23) и (25) следует, что

г2 + г| < г2. (26)

Из инвариантности подпространств Н», г = 1, 2 относительно оператора В и из (24)

следует, что ио = и1 + и2 и

и = Вг» € Н», г = 1, 2. (27)

что

Из инвариантности подпространств Ні и Н2 относительно оператора А будем иметь,

Аи Є Ні; і = 1, 2. (28)

Из (22), (27) и (28) следует, что

__ г •

ЦАи^Ц < т; і = 1,2. (29)

Так как, следуя (2), С(ст) строго возрастает, то из (27) следует, что

І1иі|| < гі ОДт)], (30)

а из (29), что

Ы < ^ - (31)

Ввиду того, что

Г2 С[а(т)]а(т) = ут, (32)

из (31) и (32) следует, что

< Г2^[ст(т)]. (33)

Из (26), (27), (30) и (33) следует, что

||ио|| < г^[а(т)]. (34)

Ввиду произвольности ио из (22)—(24), (34) и леммы 2 следует, что

ш(т, г) < г С[а(т)].

Тем самым лемма доказана. □

и

Теорема 1. Пусть ио € Мг, ||д|| > 45, ий определен формулой (9), а а(5)— формулой (10). Тогда справедлива оценка

||ий — ио|| < 7 г С[а(5)].

Доказательство. Из равенства Uq(öä,5) = Pa(gä,5)go и формулы (4) получаем

-НА _

— I

la(gs,5)

Обозначим через H3 подпространство H, определяемое формулой

H3 = (E — E«(gÄ ,5))H-Тогда из равенства uo = Bvo следует

u«(g«,г) = Bv3, (36)

где V3 = рг(^о,Нз)— метрическая проекция элемента vo на подпространство H3.

Из (4), (9), (13), (35) получаем

- -( г) - о Г НАН „ „

yAuo(gä,) - A иг || =/ d(ECTg5 - go,g5 - go) < ||g5 - go|| < 5. (37)

•'«(g« ,5)

Из соотношения (37) и равенства ||A иг - || = 45 следует, что

||Au£(gÄ,г) - g5 || < 55, (38)

а из (38), что

HAuo^,г) - Auo| < 65. (39)

Так как из (36) следует, что u[^(gÄ,5) = B V3, где ||V31 < г, то из (39) следует, что

у u«(gÄ,г) - uo| < ^i(65, г). (40)

Из лемм 8, 9, 10 и соотношения (40) следует, что

,г) - uo|| < 6rG[a(5)]. (41)

u.

Так как из леммы 7 a(g5, 5) > а(5), то

a(g5,5) а(5) ’

Из леммы 5 и соотношения (42) следует, что

_ < =_Т • (42)

u»(gi,5) - иг» < щ • (43)

Из (10) и (43) следует, что

Н >й) — ий|| < гС[а(5)]. (44)

Из (41) и (44) следует утверждение теоремы. □

Работа поддержана грантом р-урал-а № 10-01-96000.

Литература

1. Иванов, В.К. Теория линейных некорректных задач и ее приложения / В.К. Иванов,

B.В. Васин, В.П. Танана. - М. : Наука, 1978. - 206 с.

2. Танана, В.П. Об оптимальном по порядку методе решения условно-корректных задач / В.П. Танана, Н.М. Япарова // Сиб. журн. вычисл. математики. - 2006.- Т. 9, №4. -

C.154 - 168.

3. Менихес, Л.Д. Конечномерная аппроксимация в методе М.М. Лаврентьева /Л.Д. Ме-нихес, В.П. Танана // Сиб. журн. вычисл. математики. - 1998. - Т. 1, №1.- C. 416 - 423.

4. Люстерник, Л.А. Элементы функционального анализа / Л.А. Люстерник, В.И. Соболев.

- М.: Наука , 1965. - 520 с.

5. Иванов, В.К. Об оценке погрешности при решении некорректных задач / В.К. Иванов, Т.И. Королюк // Журн. вычисл. мат. и мат. физики. - 1969. - Т. 9, №1. - C. 30 - 41.

6. Танана, В.П. Методы решения операторных уравнений / В.П. Танана. - М.: Наука, 1981.

- 156 с.

References

1. Ivanov V.K., Vasin V.V., Tanana V.P. Teoriya lineynykh nekorrektnykh zadach i eye prilozheniya [The theory oflinear ill-posed problems and applications]. Moscow, Nauka Publ., 1978. 206 p.

2. Tanana V.P., Yaparova N.M. The optimum in order method of solving conditionally-correct problems [Ob optimal’nom po poryadku metode resheniya uslovno-korrektnykh zadach]. Siberian J. of Numer. Mathematics, 2006, vol.9, no. 4, pp. 154 - 168.

3. Menikhes L.D., Tanana V.P. The finite-dimensional approximation for the Lavrent’ev method [Konechnomernaya approksimatsiay v metode Lavrent’eva].Siberian J. of Numer. Mathematics, 1998, vol.1, no. 1, pp. 416 - 423.

4. Lusternik L.A., Sobolev V.I. Elementy funktsional’nogo analiza [Elements of functional analysis]. Moscow, Nauka Publ., 1965, 520 p.

5. Ivanov V.K., Koroluk T.I. About the estimation of error in the solving of ill-posed problems [Ob otsenke pogreshnosti pri reshenii nekorrektnyhk zadach]. Comput. Math., and Math. Phys., 1969, vol.9, no. 1, pp. 30 - 41.

6. Tanana V.P. Metody resheniya operatornyhk uravneniy [Methods for the solution of operator equations]. Moscow, Nauka Publ., 1981. 156 p.

Анна Борисовна Бредихина, ассистент, кафедра «Вычислительная математика>, Южно-Уральский государственный университет (Россия, г. Челябинск), [email protected].

Anna Borisovna Bredikhina, assistant, Department «Computational Mathematics >, South Ural State University (Russia, Chelyabinsk), [email protected].

Поступила в редакцию 7 июня 2011 г.