Об оценке достоверности информации, преобразованной нелинейным методом Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.372.542

ОБ ОЦЕНКЕ ДОСТОВЕРНОСТИ ИНФОРМАЦИИ, ПРЕОБРАЗОВАННОЙ НЕЛИНЕЙНЫМ МЕТОДОМ

Т.С. Камалтдинова

ESTIMATION OF INFORMATION ACCURACY TRANSFORMED BY NONLINEAR METHOD

T.S. Kamaltdinova

Методом проекционной регуляризации решена обратная задача для уравнения теплопроводности и получены оценки точности этого решения.

Ключевые слова: операторные уравнения, регуляризация, оптимальный метод, оценка погрешности, некорректная задача.

Inverse problem for thermal conductivity equation is solved by projection regularization method; and accuracy estimation of the solution is received.

Keywords: operator equations, regularization, optimal method, accuracy estimation, ill-posed problem.

Введение

В работе решается задача преобразования информации. При этом известной является информация о распределении температуры в момент времени T > 0, а требуется определить распределение температуры в начальный момент времени и оценить погрешность этого распределения. Для решения этой задачи использован нелинейный метод проекционной регуляризации, приведенный в [1], и показано, что при решении этим методом оценка погрешности получается гораздо лучше, чем при решении аналогичной задачи оптимальным линейным методом, приведенным в [2].

Постановка задачи

Пусть H - гильбертово пространство, A -инъективный линейный ограниченный оператор, отображающий H в H и множество значений R(Л) оператора A всюду плотно в H .

Рассмотрим операторное уравнение Au = f; u е H, f е H. (1)

Предположим, что при f = /0 существует решение u0 е H уравнения (1), но точное значение правой части из-за ошибки измерения обычно не известно, а вместо него даны /5 е H и 5 > 0 такие, что

\\fs- м - 5.

Требуется, зная fs и 5 , определить приближенное решение u5 уравнения (1) и в предположении, что и0 принадлежит классу корректности

Mr = BSr, найти уклонение приближенного решения от точного ^5 — и0||, где B - линейный

ограниченный оператор, отображающий H в H , удовлетворяет тем же условиям, что и Л, Бг = {у; V е Н, ||^| - г}.

Определение 1. Множество Мг будем называть классом корректности для уравнения (1), если

1 1 сужение Л— оператора Л на множество

—г = ЛМГ равномерно непрерывно.

Лемма 1. Для того, чтобы Мг было классом корректности для уравнения (1) необходимо и достаточно, чтобы сужение Л— оператора Л-1 было

непрерывно в нуле [2].

Определение 2. Семейство операторов {Т8 : 0<5<50} будем называть методом приближенного решения уравнения (1) на множестве Мг, если для любого 5е(0, 50] оператор Т5 непрерывно отображает Н в Н и Т5 /5 ^ и0 равномерно на множестве Мг при 5 ^ 0 и

|/5— Ли0|| -5.

Камалтдинова Татьяна Сергеевна - старший преподаватель кафедры вычислительной математики, ЮжноУральский государственный университет; КашаШто-уаТБ @шаЦ.ги_________________________________________

Tatiana Sergeevna Kamaltdinova - senior lecturer of Computational Mathematics Department of South Ural State University; [email protected]

ложим с

Из условий, наложенных на операторы А и B на основании леммы, доказанной в [3], имеют место полярные разложения этих операторов A = QA и B = BP , где Q и P - унитарные операторы, A =>JA*A, B = 4вБ* . Кроме того, предпо-

что спектр Sp(a) оператора A совпадает отрезком [0, || А|| ], а

B = G (А), (2)

где G (А) строго возрастает и является непрерывной на отрезке [0, ||А||] функцией такой, что G (0) = 0.

Из полярного представления оператора A следует, что уравнение (1) можно заменить эквивалентным:

Au = g, (3)

где g = Q* f , а Q* - оператор, сопряженный Q.

Лемма 2. Пусть Mr = BSr, а B = VBB* [2], тогда

Mr = BSr.

Как указывалось выше, при g0 = Q*f0 существует точное решение u0 уравнения (3), но точное значение g0 нам не известно, а дано gs и S такие, что

||g*- g0l -s

Требуется по gs и S определить us и оценить |u^ - u0|| при условии, что u0 е Mr.

Для решения данной задачи применяется нелинейный метод проекционной регуляризации, подробно описанный в следующем пункте, который позволяет при условии, что u0 е M r получить оценку

|м^ -u0|| - 7rG|a(S)|,

где a(S) - значение параметра регуляризации, выбранное из уравнения

raG (a) = S.

Методика решения задачи

В методе проекционной регуляризации [1] используется регуляризующее семейство операторов {Pa : 0 <a< | |А| |}, определяемых формулой

ІИІІ

Pag = j a dEag, a є (0,

(4)

где [Еа : 0 <а< ||А||} - спектральное разложение

единицы Е, порожденное оператором А .

Приближенное решение уравнения (3) определим формулой

^8= Раё5. (5)

Для выбора параметра регуляризации а по исходным данным ^5, 5) в формуле (5) используем уравнение

|Ли8— =1652. (6)

Лемма 3. Если ||§5 > 45 ,то существует значение 8с = а (5, 5), удовлетворяющее уравнению (6) [2].

В дальнейшем приближенное решение определим формулой

и = Тр = I Р8(855)85 при|Ы1>45, (7)

и5= Т5Я8= 1 |, ц^.с (7)

[0, при | ^|| - 45.

Из (4), (6) и (7) следует, что для любого значения gsе Н приближенное решение и5 уравнения (3) определено однозначно.

Лемма 4. Оператор Т5 , определяемый формулой (7), непрерывен на пространстве Н [2].

Обозначим через а(5) значение параметра регуляризации, выбранное из уравнения

гаО (а) = 5. (8)

Лемма 5. Пусть оператор Ра, определен формулой (4), тогда [1, с. 42]

1|Ра|| = а.

а

Лемма 6. Если > 45 и 8с(gs,5) опреде-

лено (6), то для любого а > 0 из того, что

\APаgS — gs||< 45 (9)

следует [2]

llPa| >

Лемма 7. Пусть и0 е Мг , 1Ы1 > 45, тогда для значений 8с^5,5) и а(5) выполняются следующие соотношения [2]

AuCS)

gg

— 3S, a(ggg) >с^)

— rG [a(g) ].

Pa S gs~ Pa (gs,s) g0 Следуя [5], определим функции а\(т, r) и со(т,r) :

а\ (т,r) = sup{||uj -u2||: uj,u2 е Mr,||Auj - Au2|| — т}, со(т, r) = sup {|| u\\: u е Mr ,||Au|| — т}, т, r > 0, (10)

которые связаны друг с другом формулой [1] a\ (т,r) = со(т,2г).

Пусть <гт - решение уравнения rG (о) а = т.

и

a

Лемма 8. Если выполнены все условия на операторы А и В, сформулированные выше, а т < г||АВ|| , то справедлива формула [2].

ю(т,г) < гО(т(т)) .

Теорема 1. Пусть и0 є Мг ,|И > 43, из определен формулой (7), и а(3) - формулой (8), тогда справедлива оценка

||из — и0|| < 7 гО |а(3) |.

Доказательство. Из равенства

а(g3,3) _

_ Ра

(Из3)Ио и формулы (4) получаем

1|А||

и0 М | 1 ёЕ^0. (11)

а (55) 1

Обозначим через Н3 подпространство, определяемое формулой

Н = (Е - Еа (g5.s ) Н •

Тогда из равенства и0 = Ву0 следует

иОа(?5,5) = Ву3, (12)

где у3 - метрическая проекция элемента у0 на подпространство Н3 .

Из (4), (7), леммы 6 и (11) получаем

Ли°- Ли5

и

= | Л (Е1^5— go), gs — go) - (13)

а (gs,s)

-|^5 — gof

а из равенства ||Ли5 — gs|| = 45 и соотношения (13) следует

Аи,

а значит

К^3) ,

Аиа (Из,3) — Аи0

< 53,

< 63.

(14)

(15)

Так как из (12) следует, что и^*-И3,3) _ Ву3 , где

||у3|| < г, то из (15) следует

< а\ (63, г) .

иа (гз,3) — и "о "о

(16)

Из леммы 8 , соотношения (16) и того, что а\(б3,г) _ю(63,2г) следует

A(gз,3) _

< 6гО \_а(3) ].

Так как из леммы 7 а (и3,3) >а(3'),

то

а(§3,3) а(3) :

(17)

(18)

— и

а

(3)

Из (8) и (19) следует

и3

< гО[а(3)].

(19)

(20)

Из (17) и (20) следует утверждение теоремы.

Результаты

Покажем нахождение оценки погрешности нелинейного метода проекционной регуляризации на примере решения обратной задачи Коши для уравнения теплопроводности. Для этого рассмотрим уравнение теплопроводности

ди (х, ґ) д2и (х, ґ)

дґ дх2 ’

ґ є (0, Т ], Т > 1,

(21)

где

и

х,I) е С{(—те,те)х[0,Т]} ПС2,1 {(—те,те)х(0,Т]} для любого ?е (0,Т],

и (x,0, иХ (x,<), иХх (x,<) е ^2 (—те те) П 11 (—^, те) существует функция ^(х) е (—те,те) такая, что

для любого ? е( 0, Т ]

ди (х,/)

|и (х, ґ)) +

дґ

<^(х), — те < х < те.

(22)

Пусть дано распределение температуры / (х) е Х2 (—те, те) П (—те, те) в момент времени

Т > 0

и (х, Т) = / (х) ; —те< х < те, (23)

а начальное распределение и0 (х)

и (х,0) = и0 (х) (24)

требуется определить.

Предположим, что при / (х) = /0 (х) существует и0 (х) такое, что производная и0 (х) является четной, кусочно-непрерывной функцией и и0(х), и0(х) е Ь2 (—те,те) П Ь1 (—те,те), а также решение задачи (21), (23) при нем удовлетворяет условию и (х, Т) = /0 (х), но точное значение /0(х) нам не известно, а вместо него даны некоторые приближения /5 (х) е ( —те, те) П Ь2 ( —те, те) и 5> 0 такие, что

||/3(х) — /о (х) ) |І2 <3.

(25)

а значит

Требуется, используя исходные данные

(/5,5) задачи (21), (22), (24), определить приближенное решение и5(х) е Ь2 (—те,те) и оценить величину ||и5 (х) — и (х)||^2 •

Для решения задачи (21), (22), (24) используем преобразование Фурье Р, тогда получим

и{(Л,/) = —Л2и (Л,/); Ле(—те, те), / е (0,Т ] (26)

и

й(Л,Т) = /(Л) ; Л е ( те,те), (27)

где и(Л,/) = Р [и (х,/)], а / (х) = Р [/(х)] .

Решая задачу (26), (27), сведем ее к операторному уравнению

Ли(Л) = е ЛТи(Л) = /(Л) ; и (Л), /(Л)е (—те,с

(28)

Из условий четности и кусочной непрерывности производной и0 (х) следует, что

ио (х) _ ^Фі (х) + ¥(х), і _1

(29)

где для любого I е 1, п существуют числа а, Ф 0 и х, > 0 такие, что

а,; — х, — х — х,,

0; х < — хі, х > хі

—те те

щ(х) є (-

Таким образом, из (30) следует

(30)

(31)

2 8ІП ХЛ тпп 3

—аг----------; —те < Л < 0, 0 <Л<те,

п Л

Л _ 0,

(32)

где ф, (Л) = р \_(рг (х)] .

Лемма 9. Пусть (р(х) е (—те, те) П Ь2 (—те, те) и <р (Л) = Р\^(х) ], тогда из того, что <р(х) еЩр ( —те, те), р е (0, те) следует

ІФ(х)!І;„ _ 11+л2 '|\ф Л2 ^

< те.

Доказательство приведено в [8, с. 212].

Из (32) следует, что для любого достаточно малого числа е> 0

Фг (х) ЄЩ

I —те те )

г є 1, п.

(33)

Значит для любого і є 1, п существует сг такая, что

![1 + ЛҐ \Фі (Л) )2 аЛ< Щ + с,. (34)

Из условий, которым удовлетворяет функция и0(х), будет следовать существование числа

а > 0 такого, что для любого достаточно малого числа е > 0 :

1 +

|3 (1—г)

,(Л)) 2 с1Л<

(35)

а из (25) и теоремы Планшереля [7, с. 411], что

|Ли0 (Л) — 5 (Л))| — 5, (36)

где и0(Л) = Р [и0 (х)] , а Л(Л) = Р [/5(х)] .

Применяя к решению задачи (28) метод проекционной регуляризации [1], введем регуляри-

зующее семейство операторов {Ра :а> 0}, определяемых формулой

Ра/(л)_р2т/(Л) ; И<а

^ 0; Л > а.

Таким образом, приближенное решение U88 (Л) в уравнении (28) определим формулой

иа(Л) = Ра5(Л) , (37)

а для выбора параметра регуляризации

а=а(5,5) в формуле (37) используем уравнение

\\Аиа

(л)—л л)

_ 1632

(38)

Из (37) и (38) определим приближенное решение г?3 (Л) уравнения (28) формулой

г(Л) _«

) (Л) .

33

Из теоремы 1 и формул (35)-(38) следует оценка

(39)

||и3(Л) — гЇ0 (Л)|< 7 “О[а(3>]

в которой функция О£(<г), следуя (35) и (28), определяется параметрически:

<г_ е

-Х2Т

ОгП _

1+|Л3(1-

а а(3') - уравнением -Ог (а) а_ 3.

Л Є (—о 2

(40)

(41)

Так как оценка (39) выполняется при любом 1

то выберем значение е(5), минимизирующее эту оценку. Ввиду непрерывности функции 7. аОе(а(5, е)) по е на полуотрезке | 0,-2

а

1

2

и стремление ее к бесконечности при е —— 0, следует существование е(5) е ^0,-2 такого, что

7Ш° е(5 е(5))) =

а (42)

= шт 7.1 аО (а(5, е)). ее (0,1] Че е[ [ ’’

Тогда из (39)-(42) для и5(Л) будет справедлива оценка

1“#) — и0 (Л) < ^■3г(3 [А3, г(3))]• (43)

Применяя к и3(Л) обратное преобразование

Фурье Р 1 и беря действительную часть, получим приближенное решение и5 (х) = Яе [Р_1 (и

обратной задачи (21), (23), (25). Для этого решения по теореме Планшереля ([7, с. 411] будет справедлива оценка (43).

Упрощая оценку (43), получаем

3а 3

3(х) — и0 (х)) |< 7^2е 2 Т 4. /іпіп 33 іп 4

Литература

1. Иванов, В.К. Теория линейных некорректных задач и ее приложения / В.К. Иванов, В.В. Васин, В.П. Танана. - М.: Наука, 1978. - 206 с.

2. Танана, В.П. Об оптимальном по порядку методе решения условно-корректных задач / В.П. Танана, Н.М. Япарова // Сиб. журн. вычисл. математики. - 2006. - Т. 9. - № 4. - С. 154-168.

3. Менихес, Л.Д. Конечномерная аппроксимация в методе М.М. Лаврентьева / Л.Д. Менихес,

B.П. Танана // Сиб. журн. вычисл. математики. -1998. - Т. 1. - № 1. - С. 416-423.

4. Люстерник, Л.А. Элементы функционального анализа / Л.А. Люстерник, В.И. Соболев. - М.: Наука, 1965.

5. Иванов, В.К. Об оценке погрешности при решении некорректных задач / В.К. Иванов, Т.И. Королюк //Журн. вычисл. матем. и математ. физики. - 1969. - Т. 9. - № 1. - С. 30-41.

6. Танана, В.П. Методы решения операторных уравнений / В.П. Танана. - М.: Наука, 1981.

7. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа /А.Н. Колмогоров,

C. В. Фомин. - М.: Наука, 1972.

8. Крейн, С.Г. Функциональный анализ / С.Г. Крейн. - М.: Наука, 1972.

Поступила в редакцию 17 декабря 2012 г.