Об оптимальности по порядку метода невязки на некоторых классах равномерной регуляризации Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.948

ОБ ОПТИМАЛЬНОСТИ ПО ПОРЯДКУ МЕТОДА НЕВЯЗКИ НА НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ РАВНОМЕРНОЙ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ

В. П. Тана на, ИМ. Япарова

В статье исследуется оптимальность по порядку метода невязки для специального класса решений операторных уравнений в гильбертовых пространствах.

Постановка задачи

Пусть А ~ инъективный линейный ограниченный оператор, отображающий гильбертово пространство Н в Н. Рассмотрим операторное уравнение

Au = f, uJeH. (1)

Предположим, что при f~fQ существует точное решение щ уравнения (1), но вместо fQ известны некоторые приближения /деН и уровень погрешности ¿> >0 такие, что \\fs - /0||<с).

Требуется по (/¿,<5) построить приближенное решение и5уравнения (1), наиболее близкое к точному

Определение. Методом решения поставленной задачи будем называть семейство непрерывных на Н отображений {Тд : 0 < 8 < §0} с областью определения D(T5 )~Н и областью значений R{Td )сЯ, для которых существует множество М с Н такое, что для любого uQ е М при fseH и \\/д -Аи^<5 выполнено

Нш>0-Г,/,|| = 0. (2)

Пусть М, сМ. Следуя [5], [6] с.114, определим на М/ модуль непрерывностиw(r,Mx)обратного оператора А'1 в нуле:

w(r, г) = sup{|w| :ueMf, \Аи\ < г].

и

Определение. Множество М/ будем называть классом равномерной регуляризации для

уравнения (1), если

lirn w(r,A/j) = 0. (3)

Пусть М\ - класс равномерной регуляризации для уравнения (1). Определим количественную характеристику точности А (7^) метода из семейства {Т§ : 0 < S < S0} на этом классе

А(Тд)= sup sup {\\и0-Tsfs\\:uQ eMl9\\fs ~Ащ\<8). (4)

ы„е Mx fseH

Определение, Метод Topt называют оптимальным на классе М/, если выполнено:

A(Topt) = inf{Д(7>): Ts е {Т5 :0 < S < 8,}}. (5)

Лемма 1 .Дня любого метода {Ts : 0 < 5 < 50} справедлива ог^енка [7]

Д (TS)>W{S,MX). (6)

Определение. Метод Т§ e{Ts : 0 <8 <SQ} назовем оптимальным по порядку на классе равномерной регуляризации М\ }если существует величина 1Х такая, что при 5 —»0, 0 < £ < ¿>0 выполнено

Д( TS)<1XW(8,MX). (7)

Метод невязки

Метод невязки, следуя [1],[2], заключается в сведении задачи приближенного решения уравнения (1) к вариационной задаче

inf (|w||: иеН, Ц Аи - f61| < Ъ4д} Ь > 1. (8)

Танана В.П., Япарова Н.М. Об оптимальности по порядку метода невязки _на некоторых классах равномерной регуляризации

В работе [2] доказано существование и единственность решения задачи (8), которое обозначается через что при выполнении условия

1 fS\>bJs, (9)

приближенное решение примет вид:

us(a) = {A'A + a(S)EylA*fs, (10)

где а{8) - положительный параметр, удовлетворяющий уравнению

| A{A*A + a{8)EyxA*fs-fs\ = b45 . (11)

Далее алгоритм, который ставит исходным данным (fs,5) в соответствие решениеus вариационной задачи (8) обозначим через Ts и определим формулой:

Tsfs=\ Г- (12)

[о , \\fs\\<bjs .

Оценка погрешности метода Т$

Пусть В - линейный ограниченный оператор. Предполагается, что для f=f0 точное решение щ принадлежит некоторому классу Mr=BSr, где Sr ={v:ve#,||v|| < г}, = g([A*A]/^) и при а -> 0 выполнено

g(cr) ~ln~q —, q> 0, (13)

а

где aeSp(^A*А). Предположим, что Sp(-\l А*А) совпадает с отрезком и существуют по-

ложительные числа q,a,l2, h такие, что для а е [о,|4||] при а>||А|| выполнено

/2 In"9 — < g(cr) < 1Ъ \n~q — . (14)

а а

При выполнении этих условий класс Мг будет классом равномерной регуляризации. Определим на М{ модуль непрерывности w] (г, Мг) обратного оператора А~х:

wx (г, г) = sup{||wj - и21: их, и2 е Мг,\Аих - Аиг || < г}.

и

Для вычисления wx(z,Mr) в [5] использован соответствующий модуль непрерывности в нуле w{t, г) . Сформулируем некоторые известные свойства функции w(r,r) [10, с.12]: Лемма 2. Пусть А - линейный оператор, тогда wx (г, г) - w(j,2r) .

Лемма 3. Функция w(r, г) непрерывна и не убывает по ти rt и она строго возрастает при условии, что г<|Л2?|г, [9,с.145].

Используя результаты [б, с. 147], и (14), можем записать, что

аг

-q ar

12г\пя — <м<г,г)<2/3г - кГ* —. (15)

Т \2) т

Пусть а{8) удовлетворяет уравнению (11). Оценим уклонение приближенного решения иь (а) от точного на классе Мг Для этого рассмотрим следующие величины: |Яа|| и

А](а) = зир{|и0 -ЯаАиь\\и^ е Му}, (16)

где Яа ~ (а* А + ссе) 1 А*. Следуя [11, с. 133] получим следующее равенство:

2 4 а

Лемма 4. Пусть а>1, тогда существуют числа ¡4 и I$ такие, что при достаточно малых значениях а

/4 ~<Ах(а)<15

а а

Доказательство. Из формул (10), (15), (18) следует, что

72 2

1-у г эир

«(0,И]

а

\ 2

а + сг у

1п

■2?

а

< Дз(а)</з2г2 эир О-€(0,|Ы

\ 2

а + ст У

1п'2* —

(18)

(19)

Сначала получим оценку снизу. Для этого рассмотрим значения ¿г* = . Учитывая формулу (19), получим, что тогда

п П

(20)

А,(а)>!3г ———г-1п_<?

а + сг* с *

при значениях а таких, что а < —, следует, что

а

а + сг* сг, 2а а

(21)

а из (20), (21) при а ^-у получим, что

а

2 а

Теперь перейдем к оценке сверху. Введем функцию

Я*)

а . а —— 1п 4 —,о> 0,

(22)

(23)

а + <т сг э

0, ¿7 = 0

которая непрерывна и неотрицательна на [0,||Л|| ]. Тогда существует ст(а), на котором функция у(сг) достигает наибольшего значения.

Предположим, что у(а) достигает наибольшего значения в точке локального максимума а(а). Оценим значение у(а) в точке <т(а). Заметим, что при любом а е (о>|^|) эта функция является дифференцируемой, тогда при а-а(<х) должно выполняться:

2а __ д

а + а2 аТпа/ / а

Вторая производная от функции у(сг) в точке а(сс) имеет вид

(а + а )'

и при любом а > 4а она положительна, следовательно, точка максимума должна удовлетворять условию

2а д .

а + <т а\па/

Но при любом сг<л/а и а > 1, имеем следовательно, 1п^> 1п—р=г = —1п—.

а 4а 2 а

а 1 1 <? сг

а _ 1 ос сс Отсюда имеем, что 1п 4 — < 2д 1п 4 —. А так как-- < — = 1 при любом значении а, то имеет а а + с7 а

ет место следующая оценка при а

<4а

Танана В.П., Япарова Н.М. Об оптимальности по порядку метода невязки _на некоторых классах равномерной регуляризации

(24)

а + сг сг а

Предположим, что функция у(а) достигает своего наибольшего значения либо при сг О,

либо при сг = |4||. Но при о-->0 функция ^(сг) = 0 . Остается исследовать случай, когда а-Для этого рассмотрим величину

а а 1 Я 1 1 ч 1

1п — а\гг — а 1гг —

а + аг а „_а __а ^5)

а ст

Покажем, что это - ограниченная величина. Из того, что а ~> 0 следует, что найдется число К, такое, что

(а + ||42)1п-'|^| = л:. (26)

Отсюда при а 0 имеем

а\х\ч —

а 0, (27)

(а+И2)^р[

Таким образом, из (27) следует, что существует число такое, что

1п~9-. (28)

а + а а а

Из (19), (22), (24),(28) следует утверждение леммы.

На основании этой леммы получен следующий результат.

Теорема 1. Пусть а> 1, г'к!, 8 <8}, а~8. Пусть метод Яд = (А* А + <5Е)"1 А*, тогда метод оптимален по порядку на классе Мг.

Доказательство. Пусть и0 еМг .Пусть Ах(а) определена формулой (16), а и§(а) формулой (10), тогда

~ 1 - (а) + Ц-^а ' (29)

Из леммы 4 и формул (17), (29) следует, что

(а) -и01| < 15г 1гГ* 1 + * . (30)

« 2 Ысс

Пусть а ~8 и существует 80 >5 >0 тогда из (30) и свойств логарифма получим, что при 8 -» 0 выполнено

||и,(а)-и0||*Г/5+Лг1п-«-. (31)

V I) ос

Если а>\, г > 1 до из (31) будет следовать существование 8} < 80 такого, что при 8 < 8}

и*-

к5 2У

1 -я аг г 1п 4 —,

8

а отсюда формул (15), (30) и леммы 1 будет следовать оптимальность по порядку метода т.е. утверждение леммы.

Пусть а ~8 . Перейдем к оценке невязки ЦЛиДа) -/5|| приближенного решения и#(а), заданного формулой (Ю).Покажем, что при таком выборе параметра регуляризации невязка будет удовлетворять неравенству (8).

Лемма 5 .Для любого значения а > 0 при 8 < 1 выполняется соотношение:

\\ARrfo ~ АК^/5\\<5 . (32)

Доказательство. Имеет место следующая оценка

\\AR-f, -АК-/а\<\А{А'А + аЕухА*\5. (33)

Так как А*А и (А*А + аЕ)'] - ограниченные, самосопряженные, положительные операторы, то на основании результатов, доказанных в [10 с. 39], имеем, что

А(А А + аЕ)~]А* = AÁ (ÁА + ссЕ)

= sup

<1.

o¡A¡\a +а

Отсюда получаем утверждение леммы.

Лемма 6. Пусть а>1, и0 еМг, Тогда существует число и>0 такое, чпю при достаточно малых значениях а выполнено

а

Доказательство. Подставим Аи0 =/0 в левую часть неравенства(34), получим

Иа /о - /о 11 = <*\\А(А'А + аЕ)-]1щ Из того, что и0 = Ву0 , где ||у0|[ < г , имеем

а

А{А'А + аЕ)-} и0 = а А{А'А + аЕ)~х Bv{

(34)

(35)

(36)

Ha основании результатов, сформулированных в [7] с.39 (лемма(1))5следует, что

а

А(А* А + аЕ)~х Ву0 = а АА* (А*А + аЕ)~1 Ву{

Используя то, что А) и то, что для А) выполнено неравенство (14),

получим

crin

а

ARafo ~fo\\^har SrUP

a + c

(37)

Оценим правую часть неравенства. Из непрерывности на отрезке ]функции

crin

а

(38)

а а + а'

где у(а) определена формулой (23), следует, что существует значение а(а), в котором эта функция достигает своего наибольшего значения. Проводя рассуждения, аналогичные доказательству леммы 4, и используя оценки (24), (28) получаем, что для функции, определенной формулой (38) существует число /б такое, что

аЪ.'4 —

ГГ . , 1 , 1

sup

а

сге|0,|л|] а л-а2 Отсюда и (37) следует утверждение леммы.

Лемма 7. Пусть а>1, и0еМг а (8) = 8, тогда при достаточно малых значениях 8 < 1 выполнено

\\Аи3{а)-/3\\<ъ48 . Доказательство. Для невязки имеет место следующая оценка

|Аив{а) ~/3\\<5 + \ARsf.о - /01| +1|^/0 - 1|. (39)

Оценим второе слагаемое в правой части неравенства. Из леммы 6 при а (8) = 8 имеем, что

АЯа/.0-/0\\<16г4зы-^.

Так как при 8 —> 0 величина — —» 0, то найдется значение 80 такое, что для любого 8 < 80

д

будет выполнено

Танана В.П., Япарова Н.М.

Об оптимальности по порядку метода невязки на некоторых классах равномерной регуляризации

ы-^Л.

8 г

Таким образом,

Отсюда, леммы 5 и неравенства (39) следует, что при 5 < 1

\Аи5{а)~/$\<ъ45. (40)

Из результатов доказанной леммы следует, что в формуле (11) следует положить ¿=3.

Лемма 8. Пусть множество значений для операторов А и А всюду плотны в Д элемент ид(а) определен формулой (10). Тогда невязка Ц^иДа)-/^! строго возрастает по а.

Доказательство. Из леммы 1, приведенной в [9], следует, что при выполнении вышеуказанных условий для оператора^ существует полярное разложение

а=О(аГА, (41)

где <2 - унитарный оператор. Так как для унитарного оператора выполнено £?*=0~\ то, подставив в невязку представление (41), получим, что

|\Аид (а) - /д ||2 - а\А* А + аЕ)'х ||2. (42)

Используем семейство {Еа, а е [о,||^|| ]} - разложение единицы, порожденное оператором ■^А* А , тогда в невязке получим, что

1Ы1 ✓ \ 1

А г \2 2 и Р( а

Аи6{а)-/§\ = П

(43)

Так как производная по

' а

при а ф 0 положительна, то из формулы (43) следует

+ )

строгое возрастание по а невязки\Аи5(а) - /д\.

Лемма 9. Пусть значения параметра а{8) определены формулой (11), а(8)~8, тогда справедливо соотношение

а(8)<а(8).

Доказательство. Так как из (10) и (40) следует, что | Аи§ (а) - /а\-98, а |Аиь (а) - || <98 , то из леммы 8 следует выполнение утверждения данной леммы. Лемма 10. Пусть и0 е Мг, а || > тогда существует число 1?>0 такое, что

\\ие(а)-и0\\<11м'(3,г). Доказательство. Обозначим =и0(а). Из (10) следует, что

¡Аив(а)-Аи0(аУ[ <61 А(А'А + осЕ)"х А Из результатов, сформулированных в [7, с. 39] следует, что

А(А*А + аЕУ' А*\2 = \АА'{А* А + аЕ)~х а для правой части (45) выполнено

\2

\АА\А*А + ОЕУХ

^ вир --

сгб[о,|/1|^ а + ст

<1.

Таким образом, из (45), (46) следует, что для левой части (44) выполнено

|Аид (а) - Аи0 (а)||2 < З2. Перейдем к оценке ЦиДаЭ-ИоЦ. Если в (11) величина Ъ=3, то получим, что

\\Аи8{а)-/5\ = ъ48.

(44)

(45)

(46)

(47)

(48)

Из (47) и (48) имеем, что

\\Аи,{а)-Г8\<А4д. (49)

Отсюда получаем, что

\Aiiq (а) - Аи01 < 5л[$ . (50)

Оценим норму элемента у0 (а), где Ву0 (а) = и0 (а).

г 2 ||4/ \2

уо(^)|2 ~~Т] 4ЕаУ0,У0), (51)

/2 0\а + а )

где {Еа9 ае ]} - разложение единицы, порожденное оператором чА*А . Из (51) следует,

что

(<2)|| <f г, (52)

А из (50), (52) и леммы 2 следует, что

( 21 Л V /

(53)

Из (17) и (29) имеем:

. а

На основании леммы 9 и формулы (54) получим

lís(á)-u0(á%ü—=. (54)

(á)-M0(á)||<V¿?. (55)

Из формул (15), (17), (53) и леммы 3 вытекает, что при достаточно малых значениях 8

1иЛа)~иА<21ъУ

{ Л f ЛГ \

V 1г )

5Д

5+2''

V '2 у

rln"*—. (56)

5

5

Отсюда и из формулы (15) следует утверждение леммы.

Теорема 2. Метод Т5 оптимален по порядку на классе Мг.

Доказательство следует из лемм 3, 10, формулы (15). Случай, когда ¡/¿| < очевиден.

Работа поддержана грантом РФФИ№01-01-00300.

Литература

1. Иванов В.К. О приближенном решении операторных уравнений первого рода // Журн. вычислит. мат. и мат. физ. - 1966. - Т. 6. - № 6. - С.1089-1094

2. Васин В.В,, Танана ВЛ. Приближенное решение операторных уравнений первого рода // Мат, записки Уральск. ун-та. - 1968. - Т. 6. - № 2. - С. 27-37.

3.Васин В.В. О связи некоторых вариационных методов приближенного решения некорректных задач //Мат. заметки. - 1970. - Т. 7. - № 3. - С. 265-272.

4. Танана В.П. О классификации некорректно поставленных задач и оптимальных методах их решения // Изв.вузов. Математика. - 1977. ~ № 11. - С. 106-112.

5. Иванов В.К., Королюк Т.И. Об оценке погрешности при решении некорректных задач // Журн. вычислит, мат. и мат. физ. - 1969. - Т. 9. - № 1. - С. 30-41.

6. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и её приложения. - М.: Наука, 1978.

7. Танана В.П. Методы решения операторных уравнений. -М.: Наука, 1981.

8. Танана В.П., Рекант М.А., Янченко С.И. Оптимизация методов решения операторных уравнений // Свердловск: Изд-во Уральск, ун-та, 1987.

9. Менихес Л.Д., Танана В.П. Конечномерная аппроксимация в методе М.М. Лаврентьева. // Сиб. ЖВМ. - 1998. -Т. 1.-№ 1.-С. 59-66.

Поступила в редакцию 10 апреля 2003 года 44 Вестник ЮУрГУ, № 6, 2003