Об оптимальном методе решения одной обратной задачи тепловой диагностики Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.948

ОБ ОПТИМАЛЬНОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ ОДНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОВОЙ ДИАГНОСТИКИ1

В. П. Танана, Н.Ю. Колесникова

Одной из особенностей обратных задач тепловой диагностики ракетных двигателей [1] являются высокие требования, предъявляемые к точности получаемых приближённых решений. Оптимальные по порядку методы [2] не всегда удовлетворяют этим требованиям, так как не учитывают конкретную величину погрешности исходных данных. В настоящей работе предлагается оптимальный метод решения одной из таких задач.

1. Постановка задачи.

Пусть и,Р,У - гильбертовы пространства, а В[Г,и], и В\У,Щ ~ соответствую-

щие пространства линейных ограниченных операторов.

Рассмотрим операторное уравнение

Аи = /\ueUJ е^, (1)

где АеВ[и, ^].

Обозначим через 8Г замкнутый шар в пространстве V с центром в нуле и радиуса г > 0, а через Мг множество, определяемое формулой

МГ = В!5Г,

где ВеВ[У,и\

Множество Мг будем называть классом корректности для уравнения (1), если сужение А^

оператора А~] на множество МГ = АМГ непрерывно в нуле [3].

В дальнейшем будем предполагать, что множество Мг является классом корректности для уравнения (1), и задачу приближенного решения этого уравнения поставим следующим образом.

Предположим, что при /=/0 существует единственное решение и() уравнения (1), которое принадлежит множеству Мг, но точное значение правой части /0 нам не известно, а вместо него дано некоторое приближение /{е? и уровень погрешности 8 > 0 такие, что \\/3 - /0|| < 8. Требуется по исходным данным задачи Мг, /5, и 8 определить приближенное решение и5 уравнения (1) и оценить его уклонение от точного решения.

Определение 1. Семейство операторов | Тб : 0 <8 < 8() | будем называть линейным методом приближенного решения уравнения (1) на классе корректности Мг, если для любого 8 е (0,с>0] оператор Тд е В[Р,и] и

тз/з ->и0 при ¿-»О равномерно на множестве Мг при условии |Аи0 - /¿\\<8 [4].

Теперь для любого 8 е (0, с>’0 ] введем количественную характеристику точности метода \т8 : 0 < 8 < 801 на множестве Мг:

(^)=вир{||^ ~ ^I51 > и е (И1'-/?!- • (2)

Обозначим через А0/1 величину

1 Работа поддержана грантом р__урал а № 07-01-96001__

Об оптимальном методе решения одной обратной задачи

тепловой диагностики

АГ=М{Аё(Р):РсВ[Р,и]},

где А#(Р) определена формулой (2).

Определение 2: Линейный метод : 0 < 8 < 80 | будем называть оптим&тьным на классе решений Мг, если для любого 8 е (0,4)] Аб ¡Т£р/ ^=А°£‘.

Следуя работе [5], введем модуль непрерывности в нуле со(8, г ) обратного оператора А"1 на классе Мг, который определим формулой

й?(£,г)=8ир|||и||: иеМг, ||л(и||<£|.

Так как множество Мг является классом корректности, то из теоремы, сформулированной в работе [б], следует

а)(.8,г)-> 0 при 8—>0, (3)

а из другой теоремы этой работы, что для любого 8 е (О.У>0]

А°/‘<2 о)(8,г). (4)

Таким образом, из (3) и (4) следует, что если [Т3:0 <8 <80] ^В[р,и] и для любого £е(0,50]

ДДг,)=дГ,

то семейство операторов \Тё: 0 < 8 < 80 } является линейным методом решения (1) на классе Мг. Из теоремы, сформулированной в работе [7], следует, что для любого 8 е (0,с>0]

А Т>т{6,г). (5)

2. Оптимальный линейный метод приближенного решения уравнения (1) на классе

Мг.

Пусть и = Р = У = Н, А* и В* операторы сопряженные А и В соответственно.

, где О е С1 [0,И|], для любого

Предположим, что спектр 5ЫЛ] =

1 ( Л

°’И12 и в} =в

V )

а е [О,|^||] С(сг) >0 и 0(0) = 0; А] =А*А, а В] - ВВ*, тогда из леммы, приведенной в [8,с.42] следует, что при 8 < г | #|| уравнение

гО(<т)<т - 8 (6)

имеет единственное решение а - <т(8) такое, что

&(8) -» 0 при 8 —> О . (7)

Из теоремы, доказанной в [9], следует, что при 80 < г||.б||

а>(8,г) = гС[<т(с>)]; 0<с><б>0, (8)

где &(8) решение уравнения (6).

Из (7) и (8) следует, что множество Мг = В8Г, будет являться классом корректности для уравнения (1).

Предположим, что множества значений И(А) и операторов А и А* всюду плотны в

пространстве // . Тогда из леммы, доказанной в работе [10], следует, что

А = (21А, (9)

1

где () ] - унитарный оператор, а А~А^.

Используя формулу (9), уравнение (1) сведем к уравнению

Аи = д, и^еН, (10)

где g - 2,7 (¿х - оператор сопряженный 0,.

Так как В = В<22-, где <22 - унитарный оператор, а В = В^ , то Мг~ В8Г.

Таким образом, в дальнейшем вместо уравнения (1) будем рассматривать уравнение (10), а в качестве представления класса корректности Мг будем использовать формулу

МГ=В5Г. (11)

Пусть (5<г|л|, с>е(0,<50], а <7(с>) - решение уравнения (6). Тогда семейство

[Р3 :0 < 8 < £>0} линейных ограниченных операторов Р5 определим формулой

Ра=В(С + аЕ)~] (12)

где С = АВ, а параметр а = а (й) определяется формулой

<13)

где ст (8) - решение уравнения (6).

В работе [9] доказано, что для любого 8 <г||-б|| справедлива оценка

АД^)<ге[а(^)]. (14)

Из оценки (14) следует, что линейный метод [Р5 :0 < 8 < £>0}, определяемый формулами (12) и (13), оптимален на классе Мг, а в оценке (14) выполняется равенство.

3. Обратная задача тепловой диагностики.

Эта задача может быть поставлена следующим образом, см. [2]

5м(х,?) 52м(х,/)

<3/ дх

и(х,0) = 0; л:е[0,1], (16)

и(0,*) = 0;Г>0, (17)

м(дг0,/) = /(/);/>0, 0<х0 <1, (18)

а граничное значение

м(1,/) = «(/) (19)

требуется определить.

Так как задача (15)—(19) некорректна, то предположим, что при /0 (/) е 12 [0,со) существует

ее точное решение м0(г‘), принадлежащее пространству IV"[0, оо), п>2 и удовлетворяющее соотношению

м[я^(0 Ж<г2, (20)

где г - известная положительная величина, а (?) - п-я обобщенная производная.

Кроме того, предположим, что и0 (?) * 0, существует ?0 > 2 такое, что при I > ?0 и{) (?) = 0

и ^ (0) = (?0) = 0 при] е0, п -1.

Из теоремы, сформулированной в [11, с. 392] следует, что прямая задача (15)—(17), (19) при и(1,?) = и0(/) имеет классическое решение и0(л:,?), принадлежащее пространству С2’1 [0,со) и это решение единственно.

Так как функция и0(1,?) = 0 при / > ?0, то решение и0(х,1) удовлетворяет следующей вспомогательной задаче

; дсе[0,1],г>0, (15)

Об оптимальном методе решения одной обратной задачи

тепловой диагностики

ди(х,{) Э2м(х,?)

ді

дх1

О < х < 1, (> (,

О’

(21)

(22)

(23)

(24)

Используя метод разделения переменных, запишем решение задачи (21)—(24) в виде тригонометрического ряда

СО 2

и(х,() = ^Г1аке~^ лкх\ х е [0,1], / >/0,

к=1

«(х,/0) = м0(х,?0); хє[0,і], м(0,г) = м(1,г)=0 при г >/0,

м0(х,^)еС2[0,1].

где

Из(25)следует, что

ак= 2 ^ м0 (х,70) віп якхсіх.

оо 2 ч

м^(х,/) = -]>^(;г&)2аАе~^ лкґ, хє[0,і], />/0,

к=\

00 о

и' (х,/) = ^^соб-тЬ;; хє[0,і], I >/р,

к=\

оо 2

м"х (х,/) = -^(лк)2 аке~^к^ (ІЧ°' віп лкх\ х є [0,1], / > /с

(25)

(26)

(27)

(28) (29)

ы\

Исследуем поведение функции и(х,г), иЦх,/), м"х(х,/) и м'(х,/), определенных формулами (25)-(29) при г -> оо. Для этого оценим общий член в сумме (29)

(як)

2а^{жк)

віп лкх

<(хк)2е-^)2 \а,\е-{жк)2{,ч°-1)

(30)

Так как из леммы, сформулированной в [14, с. 140] следует, что

V (р^р

Бир ^ I “| ■> Р> О, л>ое ^е

то из(30)следует, что

(лт к)

2\ик \

(31)

Учитывая (24), (31) и то, что (тгУс) \ак\<(лк) + ак, а соответствующие ряды ]Г (яг А:) и

к=\ к=1

сходятся, получаем существование числа /, такого, что для любого ( > /0 справедлива оценка

шах||м(х,/)|, |иЦх,г)|, |«"Дх,? )|,|и;(*,г)|} (32)

равномерная по х на отрезке [0,1].

Из теоремы, сформулированной в [13, с. 17], и оценки (32) следует, что для решения задачи (15)—(19) можно применить синус и косинус преобразования.

Теперь предположим, ЧТО вместо ТОЧНОГО значения /о(?) известно некоторое приближение

(?) є С1 [0,°о)П ¿2 [О’00) и число £>>0 такие, что

оо

~\2

(33)

Требуется по (/^,8,г) определить приближенное решение ий (/) задачи (15)-( 19) наиболее близ-

где Рс и ^ - соответствующие косинус и синус Фурье преобразования.

Из теоремы Планшереля, сформулированной в [13, с. 19] будет следовать, что преобразование Ф, определяемое формулой (34), будет изометрично отображать пространство Я на Я .

4. Сведение уравнения (15) к обыкновенному дифференциальному уравнению. Рассмотрим уравнение

Затем, применяя к уравнениям (15) и (35) синус и косинус преобразования, почленно складывая результаты этих преобразований и нормируя сумму, получаем уравнение

Не меняя обозначений, продолжим оператор А, определяемый формулой (40), на все пространство Я . Тогда из (40) будет следовать, что операторы А и его сопряженный А* являются инъек-

Таким образом, из леммы, сформулированной в [10], следует существование унитарного оператора > отображающего Я в Я , такого, что для любого й є Я

Ай(А) = {7Ай(Л),

кое к м0(7) в метрике Х2 [0,оо) .

Пусть Я- ортогональная сумма пространств Ь2\0,°о) и /¿2[0,со), где / = -/-!, а Ф - преобразование пространства Я в Я , определяемое формулой

(34)

(35)

ах

(36)

где й(х,Л) = Ф[и + іи].

Из (17)-( 18) будет следовать,

и

й(0,Л) = 0;Л>0, й(х0,Л) = і/(Л'), Л> 0.

(37)

(38)

Решая задачу (36)—{38), получаем, что

(39)

V/

Переписав (39) в виде операторного уравнения, получаем, что

Ай(Л) = й(Л) = /(Я), Л> 0.

(40)

тивными линейными ограниченными операторами, отображающими пространство Я в Я .

Из (40) следует, что для любого йеН

(41)

а уравнение (40) может быть переписано в виде

Ай(Л) = ё(Л),

(42)

Танана В.П., Об оптимальном методе решения одной обратной задачи

Колесникова Н.Ю.__________________________________________________тепловой диагностики

где g(A) = Q*f(X), Q* - унитарный оператор, сопряженный Q, а Я > 1.

Пусть Я, подпространство функций й(Я) из Я, обращающихся в нуль на отрезке [0, 1], а оператор В , определяющий класс корректности Мг для уравнения (42) отображает пространство Я| в Я) и на основании (20) определяется формулой

5у(Я) = -^у(Я); Я >1, v и BveHv (43)

Л

Из (41) и (43) следует, что В = (¡(А), где функция 6’(<х) задана параметрически, она непрерывно дифференцируема, для любого сг е (0,]|л|), G'(cг) > 0 и G(0) = 0.

Теперь для уравнения (42) поставим условно-корректную задачу, т. е. предположим, что при ¿о -Ü Jo уравнение (42) имеет решение й0(Я), принадлежащее классу корректности Мг, определяемому формулой

Mr=\Bv(X)\v(X)&Hx,\v\<r}, (44)

где оператор В определён формулой (43).

Далее предположим, что вместо gQ (Я) нам известны 8 > 0 и gs (Я) = Q* fs (Я) такие, что

5. Оптимальный метод регуляризации.

Для приближенного решения уравнения (42) используем оптимальный метод

[Ps : 0 < 8 < £0}, предложенный в пункте 2 настоящей статьи.

Используя этот метод, приближенное решение й& (Я) определим формулой

«Дл)=.б(с+«(<?)) 'Ы'О’ <45)

где С = АВ, а ä(S) определяется формулой

. G2(v(8))

а^-Фт- (4б)

<т(8) - решение уравнения rG(cr)cr = 8 .

Тогда для приближенного решения нДЯ) уравнения (42) справедлива оценка

¡«¿-¿0||<rG [>(<?)]. (47)

Теперь функцию % (Я) определим формулой

йДЯ) при Я>1

и*(Л) = <2 i (Л) при Яе[0,1).

sh jU0xQ v Я

Окончательно приближенное решение us (?) задачи (24)-(28) определим формулой

“ДО = Ке[ф_1 (“*)]>

где Ф~ 1 - отображение обратное к Ф, определенному формулой (34).

Для приближенного решения uä (/) будет справедлива оценка

Iи5 -и0\\ < rG[cf (£)] + £.

Имеет место следующее соотношение

rG[ö=(£)] + £ lim I TTVN=

^rT"{l-xQ)2n\n2nUs

которое позволяет судить о скорости сходимости оптимального приближенного решения к точному.

Литература

1. Алифанов, О.М. Обратные задачи теплообмена / О.М. Алифанов. - М.: Машиностроение, 1988-279 с.

2. Танана, В.П. Об оптимальности по порядку метода проекционной регуляризации при решении обратных задач / В.П. Танана // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2004. -Т. 7, №2.-С. 117-132.

3. Лаврентьев, М.М. О некорректных задачах математической физики / М.М. Лаврентьев. -Новосибирск: СО АН СССР, 1962 - с. 92.

4. Танана, В.П. Об оптимальности по порядку метода проекционной регуляризации при решении условно-корректных задач / В.П. Танана // Доклады РАН. - 2006. - Т. 410, № 6. - С. 1-3.

5. Иванов, В.К. Об оценки погрешности при решении некорректных задач / В.К. Иванов, Т.И. Королюк // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1969. - Т.9, № 1. - С. 30-42.

6. Танана, В.П. Об оптимальном по порядку методе решения условно-корректных задач /

B.П. Танана, Н.М. Япарова // Сибирский журнал вычислительной математики. - 2006. - Т. 9, № 4. -С. 353-368.

7. Танана, В.П. О классификации некорректно поставленных задач и оптимальных методах их решения / В.П. Танана// Изв. вузов. Математика. - 1977. - № 11. - С. 106-112.

8. Танана, В.П. Методы решения операторных уравнений / В.П. Танана. - М.: Наука, 1981. -

C. 160.

9. Танана, В.П. Об оптимальных методах решения линейных уравнений первого рода с приближенно заданным оператором / В.П. Танана, Я.М. Севастьянов // Сибирский журнал вычислительной математики. - 2003. - Т.6, № 2. - С. 205-208.

10. Менихес, Л.Д. Конечномерная аппроксимация в методе М.М. Лаврентьева / Л.Д. Менихес, В.П. Танана // Сибирский журнал вычислительной математики. - 1998. - Т.1, № 1. -С. 416-423.

11. Михайлов, В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных / В.П. Михайлов. -М: Наука, 1976.-391 с.

12. Танана, В.П. Оптимизация методов решения операторных уравнений / В.П. Танана, А.П. Рекант, С.И. Янченко. - Свердловск: Издательство Уральского университета, 1987. - 200 с.

13. Диткин, В.А. Интегральные преобразования и операторное исчисление / В.А. Диткин, А.П. Прудников. -М: Наука, 1961. - 524 с.

Поступила в редакцию 19 июня 2007 г.