CC BY
47
УДК 517.948.00
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ
ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
НЕЛИНЕЙНЫМ МЕТОДОМ ПРОЕКЦИОННОЙ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ
i
Т.С. Камалтдинова
Решена обратная граничная задача в предположении, что искомое решение является кусочно-гладкой функцией и найдены оценки сверху приближенного решения. Данные оценки значительно превосходят по точности известные оценки.
Ключевые слова: операторное уравнение, регуляризация, оптимальный метод, оценка погрешности, некорректная задача.
Введение
В работе [1] аналогичная задача решена, в предположении, что искомое граничное условие й(7) принадлежит пространству С2[0,°°), линейным методом проекционной регуляризации. При этом были получены точные по порядку оценки погрешности приближенного решения.
^(1-е)
В статье [2] предполагалось, что решение Л(7)е П W? (— °°,°°) и использован нелиней-
но
ный метод проекционной регуляризации к решению более простой задачи.
В настоящей работе, используя методику работы [2], решена обратная граничная задача при условии кусочной гладкости решения и найдена оценка погрешности приближенного решения.
Постановка прямой задачи и исследование применимости преобразований Фурье для нахождения решения
Пусть тепловой процесс описывается уравнением
du (x, t) d2u (x, t) dt dx
u (x, 0) = 0; 0 < x < 1, (2)
u(0, t) = h(t); t > 0, (3)
где h(t) - кусочно-гладкая на полупрямой функция, имеющая конечное число точек разрыва первого рода производной h'(t),
h(0) = 0 (4)
и существует число t0 > 0 такое, что для любого t > t0
/7(0 = 0; (5)
u(1, t) = 0; t > 0. (6)
Рассмотрим классическое решение u(x,t) задачи (1)—(3), (6), т.е. такое, что
u(x, t)е С([0,1]х[0,~))пс2,1 ((0,1)х(0,~)).
Из теоремы, сформулированной в [3, с. 424] следует единственность классического решения
г. Перейдем к исследованию его существования и применимости к его определению преоб-
разования Фурье по переменной t .
Теорема 1. Пусть Ф(7)еС[0,°°) и ограничена на этой полупрямой. Тогда справедливы соотношения:
2 ,0< x < 1, t > 0, (1)
1 Камштдинова Татьяна Сергеевна - старший преподаватель, кафедра вычислительной математики, Южно-Уршьский государственный университет.
E-mail: KamaltdinovaTS@mail.ru____________________________________________________________________________________
0
их (х,t)ф()dt = —
I и (x, t )Ф( )dt
f UXx (X,t)Ф(t)dt =
Эх2
I u (x, t )Ф( )dt
_o _
Теорема 2. Пусть u(x,t) - решение задачи (1)-(3), (6). Тогда справедливы соотношения
lim Г u (x,t)- h (t)l dt = lim i u (x,t)l dt = 0 .
x^0J 1 1 n
Постановка обратной граничной задачи
Обратная граничная задача заключается в том, что в постановке прямой задачи (1)-(6) граничное условие (3), определяемое функцией h{t), не известно и подлежит определению, а вместо
него в точке є (0,1), измеряется температура /'(/) стержня, соответствующая данному процессу
u (і, t) = f(t); t > 0.
Сведение обратной задачи (1)-(2), (6)-(7) к задаче вычисления значений неограниченного оператора
Пусть Z є L2 [0, - ). Элемент h(t)e Z тогда и только тогда, когда
(7)
h (t ) = ZV (t ) + ¥(t)
j=1
где
Vj(t) =
(t - cj )2 - b
; cj- b *t * cj + b
t < cj- bj,t > cj + bj
cij,bj,Cj > 0, Cj > bj и Cj Ф ck при j^k, a i/f(t)e W>J2 [0,°°).
Тогда предположим, что при = участвующем в условии (7), существует функция
h0(t), принадлежащая множеству Z, но функция f0 (f) нам не известна, а вместо нее даны некоторая приближенная функция fs(t)е Z2 [0,^ ) П А[0, Н и число 8 > 0 такие, что
(8)
Требуется, используя fg,S, и Z, определить приближенное решение hs(t) задачи (1)-(2), (6)-(8) и оценить уклонение \\hg - h{) приближенного решения hs(t) от точного /?0 (/).
Пусть Н =L2 [0,°o) + 7'Z2 [0,°°) - пространство над полем комплексных чисел, a F — оператор, отображающий In [0,°о)П^1 [0,°°) в Н и определяемый формулой
F\_h(t)] = -^ jh(t)e~Mdt; т > 0. Vn
(9)
Лемма 1. Оператор і7, определяемый формулой (9), изометричен.
Доказательство см. [1].
Из теорем 1 и 2 следует применимость преобразований Фурье к решению обратной граничной задачи (1)-(2), (6)-(8).
Таким образом, сведем эту задачу к следующей:
д 2й (х,т)
Эх2
■ = іти.(х,т); хє (0,1), т>0,
(10)
a
где й(х,т) = F[и(х,t)].
Из (6)-(7) следует, что
й (1,т) = 0; т> 0
й(х1,т) = /(т); т> 0,
(11)
(12)
где /(т) = F[/(t)].
Из теоремы 2 следует, что решение г/(х,г) задачи (10)—(12) непрерывно в полосе [0,1] х[0,°°). При этом решение уравнения (10) имеет вид
й(х,t) = А(т)е^х7т + В(ф“^,
где //0 =—|=(1 + /),а А(т) и В (г) - произвольные функции.
\2
(13)
Из (11)—(13) следует, что
и(Т= 5Ь^ /(Т, т0.
^„(1 - хг)4Т
(14)
Предположим, что х1 < — , а те [0,2].
Так как
то из(15)следует, что
ц04Т
сЬл/2г - С08 л/2Т
^0(1 - х1)4Т //0л/Т
/10 (1 - х )л/Т
где я = 42Т.
Таким образом, из (16) следует, что
сЬ (1 - хх ))2т-С08 (1 - хг ))2Т
2
= сЬ Я - С08 Я сЬ (1 - х) Я — со8 (1 - х )Я
(15)
(16)
ц04Т <]2 (2+■)
¡10 (1 - х1 )4т V е - 2
0 <т< 2.
(17)
Теперь оценим функцию
/104Т
^0(1 - х1)4Т
при т>2.
/Л04т сЬ42т - со8 42т < сЬ \ т < 2/т
/!0 (1 - X )'!Г ^сЬ (1 - х ))2т-со8 (1 - х ))2т (1 - х 1 К, т е(1-х1) т - е-(1-х1 ))Г
Так как
1 2(1-х1)]^
то, учитывая, что X , т>2,& 2<е<е " 2
, получаем
/л04т
/!0 (1 - х )л/т
< 4е
4
т > 2.
(18)
Так как
е - 2
> 4,
то из (17) и (18) получим соотношение на всей полупрямой
2
'0лТ ' (1 - X )\Т
< ае
'I
Т> 0,
где
а =
2 (е2 +1)
е - 2
(19)
(20)
Решение задачи вычисления значений неограниченного оператора (14) нелинейным методом проекционной регуляризации
Из предыдущего пункта следует, что обратную граничную задачу (1)—(2), (6)-(7) можно свести к задаче вычисления значений неограниченного оператора Т , действующего из пространства Х2[0,ос) в 4 [0,ос ) и определяемого формулой
Т/Т) = Т/Т), т0,
8П(1 - х1) '0 V Т
(21)
где '0 = ^(1 + і), / Т/є н •
Тогда задачу (14) можно переписать следующим образом:
И(т) = Т/(т); г> 0. (22)
Обозначим через Z множество функций из Ь2 [0,°°), определяемое соотношением
2=РЩ, (23)
где оператор і7 определен формулой (9), и поставим задачу (22) вычисления значений неограниченного оператора Т следующим образом.
Предположим, что при /(г)= /о(г) существует элемент И0(г)е2, но точное значение
/о(г) нам не известно, а вместо него даны /¿(г)є /7 и ¿> > 0 такие, что
<8.
(24)
/в(т)- Л т
Требуется, используя исходную информацию /¿{т) и ¿>, определить приближенное значение и, учитывая принадлежность й0(7) множеству Z, оценить величину уклонения
|МТ)- И0 (т)| .
Для решения поставленной задачи введем регуляризующее семейство операторов \Та : а > 0}, определяемое следующим образом:
ТаЇТ) = |ТЧт)т<а, а> 0, I 0; т>а
(25)
где оператор Т определен формулой (21).
Таким образом, приближенное значение неограниченного оператора Т определим
формулой
#= Та/8(Т), (26)
в которой оператор Та определен (25). Параметр а = а{^/3,8^ в формуле (26) определим из уравнения
Т-%(Т- У8Т)
= 982.
(27)
Аналогично, как это сделано в лемме 1 из [4], можно показать, что невязка
т-ЗДТ-/8Т) є с[0,- ) не убывает по от, а также стремится к
У8
при от—и к нулю
2
л 2
при а—>0. Из того, что /§ > 9 8" следует разрешимость уравнения (27). Заметим, что в случае
неединственности, решения уравнения (27) совпадают с отрезком \аг,а2\ и для любого
ае [аг,а2] Щ =Ьд1 . Потому среди всех решений выберем минимальное. Из непрерывности спектра оператора Т следует существование минимального из решений уравнения (27).
Таким образом, приближенные значения задачи (22), (24) определим формулой
Мт)=рг
(28)
где
н0 = F[¿2 [0,-)] .
Оценка погрешности И ¿{г} — И0 (г) приближенного решения Ид задачи (22), (24)
Перейдем к оценке уклонения Ид(т)-И0 (г) приближенного значения /?^- (г) от точного
й0(г). Так как й0(г)е Z , то на основании (23) существует число с>0 такое, что для любого т> 0 справедливо соотношение
/?0 (т)
<
(29)
+ т
Из (29) следует существование числа с! >0 такого, что для любого ее \ 0,—
1 + т
3(1-е)'
И0 (т)
йт< —. £
Так как
И0 (т)е н0,
то на основании теоремы, доказанной в [2], и соотношений (28), (31) следует, что
МТ)- И0 т) < 6У £<£а(8,£)] ,
где функция Ое (<т), следуя (14), (19), (20) и (30) определена параметрически:
а = ае
а а(с>,£) определена уравнением
'I
1 + т
^(т) = /^С£(а)
3(1-£)'
2 .
; т>0,
= 8.
£ а
Так как оценка (32) выполняется при любом ее зирующее эту оценку, то есть
6
, то выберем значение £(8),
ЧЩ°£(8) М8£(8))] = ^ ] ^ ^а£ [а(8,£)].
Из (32)-(35) для Ид (г) будет справедлива оценка
И8(т- И0 МЦ < 6£8^(8) [а(8,£ (8))] .
(30)
(31)
(32)
(33)
(34)
миними-
(35)
(36)
С
Упростив оценку (36), выразим ее в элементарных функциях. Для этого заметим, что при 1
%
°е(°) =
Из (37) следует, что при <т > а и ее\ О,—
0£(°)<
г „ л3(1-£) / ч!
1+ 2 іп^мої
V Х1 ) 1а)
(37)
М)
1п
-з(і-£)
(38)
Из (37) и (38) следует, что при <т>а и ее\ О,—
Нш
°е(°)
>2(1—)
= 1,
(39)
1п
-3(-£)
а из (37) и (39) следует существование >а такого, что для любого о>ох и ее | О,—
сЛо)>
3(-е)
1п
-3(1-£)
(40)
Из того, что Нт
о
3(-£)
= 0 следует существование числа <т2 > такого, что
1п
-3(-£)
при а>а2
о<
3(1-£)
1п
-3(1-£) ( о
а из последнего соотношения и (40), что для любого <7 > <т2 Пусть а(3.£) определено уравнением (34), а а(8,е)
Из(42)следует, что
Из (34), (41) и (42) следует, что
—а =8.
(41)
(42)
(43)
(44)
Таким образом, из (32), (38) и (44) следует существование числа ¿>0 > 0 такого, что для любого 8е (0,¿’о) и ее | 0,~
1
< 36£
3(1-£) (
1п -3(1-£)
а (8,£
к а у
Из (44) и (45) следует, что при 8е (0,с>0) и £ е | 0,-^
< 36- х[ £
—х3(1_£)1п "3(1_£)
14
а V £8
(45)
(46)
£(8) =
1п1п1/£
тогда из (46) следует, что
К8(*)- Ко (^)
1 -3 < 36 — 1п 1п—1п 8
(
1п
г(°)
—82
4£(8)84
Предположим, что число Зг > ¿>0 определено соотношением
1
. 1п 1п — < 1 .
4 81
Тогда при £е(0Д) из (47)
|48 (7)- К0 (Т) Так как при 8е (0,81)
а
< 36— 1п1п11п 3
М 1/1 — 1п1п^8 1п£(8)-
2 8 4 а [_ 8^
£(8) ( 1 1 1 1
1п 1п 1-1 =----------- 1п 1п— = 1,
18) 1 8 '
1п1п
8
то из (49) следует, что
а из (48) и (50), что
1п
= е~
< 36 — е31п1п—1п 3
— 1п 1п 18
4 а482
1 а4
Предположим, что 32 < 8Г и 1п 1п — > —, тогда при 8 е (0.д2)
1
82 —
— 1п 1п
8>-1
4 с2 с 2
а о о
Таким образом, из (51) и (52) следует, что при Зе (0,32)
< 36 — е31п1п-1п-3' 1
(т) К(т) ^ ш ш 8 ш I ^8 I ’
Из (53) следует, что при Зе (0,с>2) справедливо соотношение
МТ-КоТ) <Пл[—е^ 1п 2^-8^ ■
(47)
(48)
(49)
(50)
(51)
(52)
(53)
1
Литература
1. Танана, В.П. О гарантированной оценке точности приближенного решения одной обратной граничной задачи тепловой диагностики / В.П. Танана, А.И. Сидикова // Труды ИММ УрО РАН. - 2010. - Т. 16, № 2. - С. 238-252.
2. Танана, В.П. Об оценке погрешности приближенного решения одной обратной задачи в классе кусочно-гладких функций / В.П. Танана, А.Б. Бредихина, Т.С. Камалтдинова // Труды ИММ УрО РАН. -2012. -Т. 18, № 1. - С. 281-288.
3. Михлин, С.Г. Курс математической физики / С.Г. Михлин. - М.: Наука, 1968. - 576 с.
4. Танана, В.П. Об оптимальном по порядку методе решения условно-корректных задач / В.П. Танана, Н.М. Япарова // Сибирский журнал вычислительной математики. - 2006. - Т. 9, № 4. -С. 353-368.
APPROXIMATE SOLUTION OF INVERSE BOUNDARY PROBLEM FOR THE HEAT CONDUCTIVITY EQUATION BY NONLINEAR METHOD OF PROJECTION REGULARITY
T.S. Kamaltdinova''
Inverse boundary problem is solved in the hypothesis that the required solution is a piecewise smooth function, estimates of above approximate solution are given. The estimates are considerably superior to the known estimates by the accuracy.
Keywords: operator equation, regularity, optimal method, error estimation, ill-posed problem.
References
1. Tanana V.P., Sidikova A.I. O garantirovannoj ocenke tochnosti priblizhennogo resheniya odnoj obratnoj granichnoj zadachi teplovoj diagnostiki [On the guaranteed accuracy estimate of an approximate solution of one inverse problem of thermal diagnostics]. Trudy Instituta Matematiki IMekhaniki URO RAN. 2010. Vol. 16, no. 2. pp. 238-252. (in Russ.).
2. Tanana V.P., Bredikhina A.B., Kamaltdinova T.S. Trudy Instituta Matematiki I Mekhaniki URO RAN. 2012. Vol. 18, no. 1. pp. 281-288. (in Russ.).
3. Mikhlin S.G. Kurs matematicheskoj fiziki [Course of mathematical physics]. Moscow: Nauka, 1968. 576 p. (in Russ.).
4. Tanana V.P., Yaparova N.M. Ob optimal'nom po poryadku metode resheniya uslovno-korrektnykh zadach [The optimum in order method of solving conditionally-correct problems]. Sib. Zh. Vychisl. Mat. 2006. Vol. 9, no. 4. pp.353-368. (in Russ.).
Поступила в редакцию 29 ноября 2012 г.
1 Kamaltdinova Tatyana Sergeevna is a Senior Lecturer, Numerical Mathematics Department, South Ural State University.
E-mail: KamaltdinovaTS@mail.ru________________________________________________________________________________________________
