Приближенное решение обратной граничной задачи теплообмена методом регуляризации А. Н. Тихонова Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

УДК 517.948

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛООБМЕНА МЕТОДОМ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ А.Н. ТИХОНОВА

В.Ф. Мирасов1, А.И. Сидикова2

Приведено приближенное решение задачи теплообмена методом регуляризации А.Н. Тихонова 2-го порядка, а также получена оценка погрешности этого приближенного решения.

Ключевые слова: операторное уравнение, регуляризация, оптимальный метод, оценка погрешности, некорректная задача.

Введение

Хорошо известно, что обратные задачи теплообмена обладают целым рядом характерных особенностей, а их решение и практическое использование сопряжено с определенными трудностями, обусловленными с одной стороны их некорректностью, а с другой высокими требованиями, предъявляемыми к точности решения этих задач. Однако, при надлежащей разработке теории и создании эффективных алгоритмов, методы решения обратных задач теплообмена являются достаточно эффективными и открывают новые возможности в тепловых исследованиях. Широкое практическое распространение данные задачи получили в таких отраслях науки и техники, как машиностроение, авиационная и космическая техника, энергетика, металлургия.

Настоящая статья посвящена исследованию и решению обратной граничной задачи теплообмена [1, с. 33] методом регуляризации А.Н. Тихонова 2-ого порядка [2]. Получено приближенное решение данной задачи, а также оценка погрешности приближенного решения.

Постановка прямой задачи

Пусть тепловой процесс описывается уравнением

Эи(х, 0 Э2и(х, А , л ,1Ч

—=0 < х < 1,0 < t < ?0, (1)

Эt Эх

и(х,0) = 0; 0 < х < 1, (2)

и(0,^ = И(1), tе [0,t0], (3)

0 ^

t0 \

где h(t) е W22[0, t0], \\h(t)|lW-2 = J h2(t)dt + J \h "(t)|'

0 0

h(0) = h '(0) = h(to) = h '(to) = 0, (4)

и

t0

Jh2(t)dt + J |h "(t)|2 dt < r^, (5)

00

где r1 - некоторое известное число,

u(1,t) = 0, tе [0,t0]. (6)

Рассмотрим классическое решение u( x, t) задачи (1)-(6), то есть

u(x,t) е C([0,1] X[0,t0]) n C2,1 ((0,1) X(0,t0]).

Из теоремы, сформулированной в [3, с. 190], следует существование и единственность такого решения. Решение задачи (1)-(6) имеет вид

u( X, t) = (1 - x)h(t) + £ vn (t) sin pnx, (7)

n=1

1 Мирасов Вадим Фаритович - аспирант, кафедра Вычислительной математики, Южно-Уральский государственный университет. E-mail: vadim.mirasov@yahoo.com

2 Сидикова Анна Ивановна - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра вычислительной математики, Южно-Уральский государственный университет.

где

t

2 2

Vn (t) =------f e-(pn)(t-t) h '(T)dt. (8)

pnJ

0

Исследование гладкости решения и( х, ^

Из(8) следует, что

2 2

^ = ^1^ - e"("")t ]Ь '(^ (9)

(рп)3

Из формул (7) и (9) следует, что

и(х,0 е С([0,1]X[0,^]). (10)

Теперь перейдем к исследованию непрерывности функции щ'(х, t). Для этого продифференцируем общий член ряда (7) по t

2 К 2 р-рп?* 2

[------Ге~(жп) (<-т)НХт)с1т]\ = 2Н'(0--------[1 -е“2(рп) 1 ]. (11)

ТГУ> * ’ТГТП

Из (11) и признака Абеля следует, что для любого достаточно малого e > 0 ряд из производных сходится равномерно на прямоугольнике [e, 1 — e] X [e, t0 ].

Таким образом

u(x,t)е С2Д((0,1)X(0,t0]), (12)

а из (10) и (12) следует, что решение задачи (1)-(6), определяемое формулой (7), является классическим.

Из (4), (7) и (9) следует, что для любого x

u(x, t0) = 0. (13)

Постановка обратной граничной задачи

Предположим, что в постановке прямой задачи (1)-(6) функция h(t), определяющая граничное условие (3), неизвестна и подлежит определению, потому вводится дополнительное условие

u(x0,t) = f (t), x0(0,1), tе [0,t0]. (14)

Из (7) и (14) следует, что

f (t) = (1 — x0)h(t) + £ Vn (t) sin pnx0. (15)

n=1

Предположим, что при f (t) = f0(t) удовлетворяющем (15) существует решение

h0(t) е W22[0,t0], удовлетворяющее (4) и (5), но f0(t) нам не известна, а вместо нее даны

fd(t)е Z2[0,t0] и число d > 0, такие, что

t0

Jfd(t) — f0(t)|2 dt <d2. (16)

0

Требуется по fd(t) и d определить приближенное решение hd(t) и получить оценку

II hs(t) — h)(t)|| Lj_.

Введем линейный оператор A, отображающий пространство L2 [0, t0] в L2 [0, t0 ] и определяемый формулой

t

Ah(t) = —2j K (t,T)h(T)dt, (17)

0

где

K(t,t) = £pne~{pn) ~t') sinpnx0. (18)

n=1

Мирасов В.Ф., Приближенное решение обратной граничной задачи теплообмена

Сидикова А.И. методом регуляризации А.Н. Тихонова

Заметим, что при условии Н0^)е ^22[0,^]и выполнении условия (4), обратная граничная задача (1)-(2), (5), (6), (14), (16) эквивалентна интегральному уравнению

ЛН(0 = /(0;Н^),/(0е ^[0,t0]. (19)

Известно, что задача решения уравнения Вольтерра первого рода в пространстве £2[0, t ] некорректна и потому для её решения используем метод регуляризации А.Н. Тихонова [2].

Метод регуляризации А.Н. Тихонова 2-го порядка

Этот метод заключается в сведении уравнения (17)-(19) к вариационной задаче, зависящей от параметра а > 0.

тЩ ЛН(0 - /ДО ||2 0| Н(012 ^ а0| Н (t) |2 Л: Н(0 е Ж,2[0, t0],Н(0) = Н(t0) = 0} (20)

Задача (20) эквивалентна интегродифференциальному уравнению

Л ЛН^) + аН1У )(t) + аН^) = Л /5Ц), (21)

где Л* - оператор, сопряженный Л, Н(0 е Ж24[0, t0] и Н(0) = Н (0) = Н(^) = Н (^) = 0.

Известно (см. [2]), что для любых а>0 и /§(^)е Х2[0,t0] существует единственное решение Н^^) уравнения (21).

Значение параметра регуляризации а = а(/з,3) определим из принципа невязки [4], которое определяется уравнением

|2

ЩЦ) - /d(t)||L2 = 32. (22)

0(3, гх) = 8ир

(24)

Известно, что при условии || /d(t) ||2> 32 уравнение (22) имеет единственное решение а(/д,5) . Таким образом, приближенное решение НДО уравнения (19) определим формулой

НДО = На8(/з,3\^. (23)

Оценка погрешности || Н8^) - Н0^) ||^

Для оценки погрешности введем модуль непрерывности (0(8, тх)

|| Н(0||^: Н(t) е Ж?[0, to], Н(0) = Н (0) = Н(0 = И(^) = 0,'

Ю°Н(t)2Л + Ю°|Н>) |2 Л < гх2,|| ЛН(t) ||12 < 32 В работе [5] приведено доказательство оценки

ЦНб(0 - НЛОНт* < 2 0(3, г), (25)

где Н5^) определена (23).

Рассмотрим расширение обратной задачи (1), (2), (5), (6), (14) на полупрямую [^,¥). Для этого введем функции и(х,0 и /^), определяемые формулами

- . [и(х,0;0 < х < 1,tе [0,у

и( х, t) = Г (26)

[0;0 < х < 1,t > t0

и

- [/(0; t е [0, t0]

/ (t) = Г Л • (27)

[0; t > to

Из (10) и (13) следует непрерывность функций и(х,t) и /^), а из (26) следует, что функция и( х, 0 является решением задачи

х< ,0 <t, (28)

Эt Э,х2

и( х,0) = 0;0 < х < 1, (29)

и(х0,0 = / (0, t > 0, (30)

и

u(1, t) = 0;t > 0. (31)

А функцию h(t) требуется определить, причем

u(0, t) = h(t). (32)

Обозначим через H линейное многообразие L2[0, ¥ такое, что h(t) є H тогда и только тогда, когда

\h(t);0 < t < to (33)

h(t)=, , (33)

[0; t > to

где h(t) удовлетворяет условию (4).

Обозначим через A линейный оператор, действующий из L2[0,¥) в L2[0,¥) и определенный на множестве H формулой

_ _ _ Ah(t) = f (t), (34)

где f (t) = u(x0, t), а u(x, t) - решение задачи (28), (29), (31) и (32).

Для оператора A введем модуль непрерывности 0(8, r1)

Г _ _ _¥ ¥ ___ 1

0(8, r1) = sup Ijj h(t) jjL: h(t) є H, Jj h(t) j2 dt + Jj h (t) j2 dt < r12,jj Ah(t) jj^ < 82 I (35)

[ o o J

Из (24), (33)-(35), (13) следует, что

(0(8,r) = w(8,r). (36)

Для оценки сверху функций 0(8, r1) решим задачу (28)-(31), используя преобразование Фурье по t на полупрямой [0, ¥.

Обозначим это преобразование через Ft .

Таким образом, задачу (28)-(31) сведем к следующей

л

Э и(х,т) = jTU(x,T).; 0 < x < 1,0 <t, (37)

2

где u (x, t) = Ft [u (x, t)],

Эx

u(x,t) = Ft[u(x,t)], u(1,t) = 0; t> 0 (38)

л л л

u(xo,t) = f (t); t> 0, u(xo,t) = f (t); t> 0 (39)

где f(t) = Ft[ f(t)] .

Решение уравнения (37) имеет вид

u(x,t) = B(t)eMox'[t + C(T)e_moWt; t> 0, (40)

где m0 = “^(1 + i), a B(t) и C(t) подлежат определению. v2

Из (38) следует, что Из (39) следует, что Из (41) и (42) следует, что

B(t)emo'/t + C(T)e~mo^t = 0, t> 0. (41)

B(t)em ^ + C (t)e~moyft = /(t), t > 0. (42)

e-moo't л emo't л

B(t) = -—------------ ------rf (t); C (t) = —----------- -------=f (t); (43)

2sh m0(1 - x0)yjt 2sh m0(1 - x0)V t

л

л

Мирасов В.Ф., Приближенное решение обратной граничной задачи теплообмена

Сидикова А.И. методом регуляризации А.Н. Тихонова

Из (40)-(43) следует, что

ГНТ) = 511 —0(1 -ЬУІЇ 'т = (44)

8Ь —„V т

л _ л

где к(т) є ^[Н], а /(т) є ^[0,¥).

Из условий (4) и (5) следует, что

|х/Т+т4Но{т)йт< гТ2 . (45)

о

Оператор А, определенный (44), не меняя обозначения, продолжим на все пространство Х2[0,¥), т.е.

Акт)=51 ть(1- ХГГ кг=/г), (46)

5П —„V Г

л л

где к Г) и / (т) є Х2[0, ¥).

Л

Из (46) следует, что А - инъективный линейный ограниченный оператор.

Соотношение (45) определяет оператор сложения Б, отображающий пространство £2[0,¥ в Ь2 [0, ¥) и определяемый формулой

Л

Б 5 (т) = 5Г) , т> 0, (47)

L + t4

и

Л Л

к(т) = Б 5 (т). (48)

Введем класс корректности М^

Л Л

МТ = Б^, (49)

Л Л

где 5^ = S(0, гТ) - шар в пространстве ^2[0, ¥ с центром в нуле радиуса гТ.

Если через Мг обозначить подмножество Н , такое, что к(<) є Мп

<0 2 <0

||к (<) &+| к "(0| Ж < гТ2. (50)

0 0

Из (47)-(49) и (50) следует, что

Л ___

Mn3 Ft [M,]. (51)

Л АЛ

Введем модуль непрерывности 0(8,r1) оператора A на множестве Mr1 .

л Г л л л л л ]

0(8,іі) = j jj h(t) \\l2: h{t) є Mu ,\\ Ah(t) \\< 8 J. (52)

Из (50)-(52), (35) и изометричности преобразования Ft следует, что

Л

0(8, г) <о(8, г) (53)

Таким образом, из (25), (36) и (53) следует оценка

Л

II МО - Ио({)\\ь2 < 2 0(8, г). (54)

Теперь перейдем к оценке функций 0(8, /}). Для этого оценим функцию ---------------1 5 т '{г | .

|8Ь то(1 - хо)у! т\

Так как эта функция ограничена на любом отрезке, то существует число г2, такое, что

8иртє[0,2]

|вЬ то'ІЇ!

|8Ь то(і - хоУ^і

а при т > 2

|вЬЩУІГ і

хо

< 8е

.... £

|8Ь то (1 - хо)л/г]

Определим число т0 > 2 таким образом, чтобы при т>т0

/4

Из (57) следует, что при т>т0

> Г2 •

8Ь т0(1 - х0)4г

< 9е

ех4т

Так как тут т > т0

<

4ЇТ2 71+7’

х0

Если т0 < е

, то из (58) и (59) следует, что если т определить формулой

т = -

1

2 Хп

1п2 ІГ-

93 У

то из (60) следует на основании теоремы, доказанной в [6, с. 15], что при т > т0

А

(0(8, Гі) <

і

Или, что 0(8, г1 )

1п І -Г-98

(55)

(56)

(57)

(58)

(59)

(60)

(61)

Таким образом, из (60), (61) и (54) следует, что при достаточно малых значениях 8 справедлива оценка

ЦЗ) - ^) ^ <и "-^2

'1

1 +

16 х2

1п І Г-98

Литература

1. Алифанов, О.М. Экстремальные методы решения некорректных задач / О.М. Алифанов, Е.А. Артюхин, С.В. Румянцев. - М.: Наука, 1988. - 287 с.

2. Тихонов, А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач / А.Н. Тихонов // ДАН СССР, 1963. - Т. 153, № 1. - С. 49-52.

3. Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А. А. Самарский // М.: Наука, 1966. - 725 с.

4. Морозов, В.А. О регуляризации некорректно поставленных задач и выборе параметра регуляризации / В.А. Морозов // ЖВМиМФ, 1966. - Т. 6, № 1. - С. 170-175.

5. Танана, В.П. Об оптимальности методов решения нелинейных неустойчивых задач / В.П. Танана // ДАН СССР, 1975. - Т. 220, № 5. - С. 1035-1037.

6. Танана, В.П. Оптимальные методы решения некорректно поставленных задач / В.П. Танана, А.И. Сидикова // Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2012. - 162 с.

Поступила в редакцию 6 сентября 2013 г.

4

А

8

1

Мирасов В.Ф., Сидикова А.И.

Приближенное решение обратной граничной задачи теплообмена

методом регуляризации А.Н. Тихонова

Bulletin of the South Ural State University Series “Mathematics. Mechanics. Physics” __________________2014, vol. 6, no. 2, pp. 5-11

APPROXIMATE SOLUTION OF INVERSE BOUNDARY PROBLEM FOR THE HEAT EXCHANGE BY A.N. TIKHONOV’S REGULARIZATION METHOD

V.F. Mirasov1, A.I. Sidikova2

The article shows approximate solution of the heat exchange problem by A.N. Tikhonov’s regularization method and the error estimate of approximate solution is given.

Keywords: operator equation, regularity, optimal method, error estimation, ill-posed problem.

References

1. Alifanov O.M., Artyukhin E.A., Rumyantsev S.V. Ekstremal'nye metody resheniya nekor-rektnykh zadach (Extreme methods of ill-posed problems solution). Moscow: Nauka Publ., 1988. 287 p. (in Russ.).

2. Tikhonov A.N. DAN SSSR. 1963. Vol. 153, no. 1. pp. 49-52. (in Russ.).

3. Tikhonov A.N., Samarskiy A.A. Uravneniya matematicheskoy fiziki (Equations of mathematical physics). Moscow: Nauka Publ, 1966. 725 p. (in Russ.).

4. Morozov V.A. Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki. 1966. Vol. 6, no. 1. pp. 170-175. (in Russ.).

5. Tanana V.P. DAN SSSR. 1975. Vol. 220, no. 5. pp. 1035-1037. (in Russ.).

6. Tanana V.P., Sidikova A.I. Optimal'nye metody resheniya nekorrektno postavlennykh zadach (Optimal methods of ill-posed problems solution). Chelyabinsk: YuUrGU Publ., 2012. 162 p. (in Russ.).

Received 6 September 2013

1 Mirasov Vadim Faritovich is Post-graduate Student, Calculating Mathematics Department, South Ural State University.

E-mail: vadim.mirasov@yahoo.com

2 Sidikova Anna Ivanovna is Cand. Sc. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Calculating Mathematics Department, South Ural State University.