CC BY
25
УДК 517.948.00
ОБ ОЦЕНКЕ ПОГРЕШНОСТИ НЕЛИНЕЙНОГО МЕТОДА ПРОЕКЦИОННОЙ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ПРИ УСЛОВИИ КУСОЧНОЙ ГЛАДКОСТИ РЕШЕНИЯ1
Т.С. Камалтдинова2
и( х, г) +
<Х(х);хе (-тс,тс).
Нелинейным методом проекционной регуляризации, приведенном в [1], получено приближенное решение обратной задачи Коши для уравнения теплопроводности. Получены оценки погрешности приближенного решения в классе кусочно-гладких функций. Эти оценки гораздо лучше, чем известные ранее оценки оптимальных и оптимальных по порядку методов решения данной задачи.
Ключевые слова: обратная задача, регуляризация, оценка погрешности, некорректная задача, преобразование Фурье.
Рассмотрим уравнение
ди(х,г) д2и(х,г) т1 „ 1
—-—- =-Ч;—-тс< х <<», г е (0, ТI, Т > 1, (1)
дг дх2
где и(х,г)е С{(-тс,тс)х[0,Т]}ПС2,1 {(-тс,тс)х(0,Т]}, Уге(0,Т] и(х,г),
и;(х,г)е ¿1 ( -тс,тс)П¿2(-тс,тс) и существует функция х(х)е ¿1 (-тс,тс) такая, что
ди (х, г) дг
Пусть нам дано распределение температуры / (х )е/^ (-тс, тс) П ¿2 (-тс, тс) в момент времени
Т
/ (х) = и (х,Т); -тс< х <тс, (2)
а начальное распределение
и0( х) = и (х,0) (3)
требуется определить.
Предположим, что при / (х) = f0 (х) существует и0(х) такое, что производная и0(х) является четной, кусочно-непрерывной функцией и и0(х), и0(х) е 12 (-тс,тс) П Ьу (-тс,тс) , а также решение задачи (1), (3) при нем удовлетворяет условию и(х,Т) = f0 (х), но точное значение f0(х) нам
не известно, а вместо него даны некоторое приближение /¿(х) е Ь (-тс, тс) П ¿2 (-тс, тс) и 8> 0
такие, что
\\Мх)- /0 (х )|| Ьг<5- (4)
Требуется, используя исходные данные (/¿,8) задачи (1), (2), (4), определить приближенное решение и8(х) е ¿2 (-тс,тс) и оценить величину щ.8(х) -и0 (х) .
II N¿2
Используя для решения задачи (1), (2), (4) преобразование Фурье F , получим
щ(Л,г) = -Л2и(Л,г); Ле(-~,тс), ге(0,Т] (5)
и
й (Л,Т ) = / (Л); Ле(-тс, тс), (6)
где й(Л, г) = Б [и (х, г)], а / (Л) = Б [ / (х)].
1 Работа поддержана грантом РФФИ № 10-01-96000_ р_ урал_а
2 Камалтдинова Татьяна Сергеевна - старший преподаватель, кафедра вычислительной математики, Южно-Уральский государствен-
Математика
Решая задачу (5), (6), сведем ее к операторному уравнению
Ай(Л) = е_Л Тй(Л) = /(Л); й(і),/(Л)є ¿2(-тс“)• (7)
Из условий, которым удовлетворяет функция и0(х), будет следовать существование числа а > 0 такого, что для любого достаточно малого числа є > 0
тс
Я1+Л
|3(1-Є)'
|й0 (Л) |2 ¿Л<Є,
(8)
а из (4) и теоремы Планшереля [3, с. 411], что
Цаи0 (Л)- /8 (Л)||< 8, (9)
где и0(Л) = Р[и0 (х)] , а /8(Л) = Р\[/8(х)].
Применяя к решению задачи (7)-(9) метод проекционной регуляризации [1], введем регуля-ризующее семейство операторов {Ра :а> 0} , определяемых формулой
Раї (Л)
= ІеЛ V(Л); |Л|<а | 0; |Л| >а
Таким образом, приближенное решение Цу (Л) в уравнении (7) определим формулой
йад(Л) = Ра/8(Л),
а для выбора параметра регуляризации а = а( /¿, 8) в формуле (11) используем уравнение
М^Х)- /д(Л)
¿2
=ш2.
(10)
(11)
(12)
Из (11) и (12) определим приближенное решение и$(Л) уравнения (7) формулой
(Х) = .
*( д,д)
д
(Л).
Из теоремы, доказанной в [1], и формул (7), (8), (9) следует оценка
||.<д(Л)- й0 (Л)||< ^ Є0 [а(д)],
в которой функция ОЄ(а), следуя (7) и (8), определяется параметрически
(13)
а = е
Л2Т
Л є (-тс,тс)
Ъ(°) =
1+Л
3(1-є)
(14)
а а(8) - уравнением
^£ве(а)а = 8. (15)
Так как оценка (13) выполняется при любом ее (0,1], то выберем значение £(8), минимизирующее эту оценку. Ввиду непрерывности функции 7^а^£(а(8, е)) по е на полуотрезке
(0,1] и стремление ее к бесконечности при е —— 0 следует существование е(8)е (0,1] такого, что
7&<д>ид є<д>>Кта#є(а<д-є)).
(16)
Тогда из (13)—(16) для йд (Л) будет справедлива оценка
—оо
2
2
Камалтдиноеа Т.С.
Об оценке погрешности нелинейного метода проекционной регуляризации при условии кусочной гладкости решения
НМЛ)-»0(Л)||<7I-SG1[S)[a(S, -(S))].
(17)
Применяя к ûis (Л) обратное преобразование Фурье F 1 и беря действительную часть, получим приближенное решение us(x) = Re F_1 (^(Л))] обратной задачи (1), (2), (4). Для этого решения, ввиду теоремы Планшереля [3, с. 411], будет справедлива оценка (17).
Для сравнения (17) с известными, оценим правую часть соотношения (17) в элементарных функциях.
Из (14) следует, что при достаточно малых значениях о справедливо соотношение
3 3
, ч 3 (М --(М 1
GJo)<T4( )ln 4( )-,
о
а из (18) и того, что
G (о)
lim —
о^0 3 (1--) -3 (1--) 1
T 4 ln 4 -
о
=1,
следует, что при достаточно малых значениях о
3
еперь рассмотрим уравнение
3(1-^) 2 , ч
T4 о2 <oGe(o).
-T 4 (‘Л2 =S.
Решение a(S-) уравнения (20) определяется формулой
(18)
(19)
(20)
a (S, -) = T
-------------I —
S.I-
Из (15), (19) и (20) следует, что
a(S, -)<a (S, -). аким образом, из (13), (18) и (22) следует, что
||Us( x )- »0 (x )||< 7^-T 4
ln 4
a (S,-)
Из (21) и (23) окончательно получим
Ы x )-»0 ( x )||< 7^- ( 2T ) 4(1--)
T4
(1--) 4a
y-S
В оценке (24) значение - = - (S) определим формулой
2а
-(S)=-
ln ln
Из (24) и (25) следует, что
Us(x) -и0 (x)|| <—V2(2T)4 Jlnln—ln
S
ln ln
S
y[2S
Если lnln^— >л/2 , то при Se (0, S0] из (26) следует, что S0
(21)
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
1
3
2
8
3
1
Математика
||И(У(х) -uo (X)|| <(2T)4 Jlnlnlin(1
Так как
3a
ln- 4(1-£(8|) [ 1 }=ln- 4 [ 1 'i. in2lnlns [ 8
(27)
то из (27) следует, что
ln
3a
2lnln- ( 1
ln 1 ( 1 8
3a
2
2lnln
3a , , 1 3a
-----—ln ln— = —,
1 8 2
8
u8( X )- u0 ( X )||<-V2e 2 ( 2T ) 4 /lnln-ln 4 |-| = -jle 2 T 4 /lnln-.ln 4-
1
1
3a 3
2 '
1
1
Литература
1. Танана, В.П. Об оптимальном по порядку методе решения условно-корректных задач / В.П. Танана, Н.М. Япарова // Сиб. журн. вычисл. матем. - 2006. - Т. 9, №. 4. - С. 353-368.
2. Колесникова, Н.Ю. О проблеме потери точности при преобразовании информации /
Н.Ю. Колесникова, Т.Н. Рудакова, А.В. Танана // Вестник ЮУрГУ. Серия «Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника». - 2010. - Вып. 11. - № 2(178). - С. 56-62.
3. Колмогоров, А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа / М.: Наука, 1972. - 496 с.
Поступила в редакцию 23 июня 2010 г.
3
3
ABOUT ERROR ESTIMATE OF NONLINEAR PROJECTION REGULARIZATION METHOD UNDER THE CONDITION OF PRIECE-WISE SMOOTHNESS OF SOLUTION
T.S. Kamaltdinova1
An approximate solution for the inverse Cauchy problem for the heat conduction equation is obtained by means of nonlinear projection regularization method. Error estimates for the approximate solution are obtained in the class of piecewise smooth functions. These estimates are better then the known estimates for the optimal and the order- optimal methods of solving the problem.
Keywords: reverse problem, regularization, error estimate, ill-defined problem, direct Fourier transform.
References
1. Tanana V.P., Yaparova N.M. Sib. zhurn. vychisl. matem. 2006. Vol. 9, no. 4. pp. 353-368. (in Russ.).
2. Kolesnikova N.Yu., Rudakova T.N., Tanana A.V. Vestnik YuUrGU. Seriia «Komp'iuternye tekhnologii, upravlenie, radioelektronika». 2010. Vol. 11, no. 2(178). pp. 56-62. (in Russ.).
3. Kolmogorov A.N., Fomin S.V. Elementy teorii funktsii i funktsional'nogo analiza (Elements of Function Theory and Functional Analysis). Moscow, Nauka, 1972. 496 p. (in Russ.).
1 Kamaltdinova Tatyana Sergeevna is a Senior Lecturer, Numerical Mathematics Department, South Ural State University. e-mail: KamaltdinovaTS@mail.ru____________________________________________________________________________________
