Об оценке погрешности приближенного решения одной обратной задачи физики твердого тела Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОБ ОЦЕНКЕ ПОГРЕШНОСТИ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ ОДНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ФИЗИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

В.П. Танана1, А.А. Ерыгина2

Изучена задача определения фононного спектра кристалла по его теплоемкости. Получена оценка точности метода регуляризации А.Н. Тихонова с параметром регуляризации, выбранным из принципа невязки.

Ключевые слова: регуляризация, модуль непрерывности, оценка погрешности, некорректная задача.

Введение. В настоящей работе получена оценка точности метода регуляризации А.Н. Тихонова [1] с параметром а, выбранным из принципа невязки [2, 3] при решении задачи определения фононного спектра кристалла по его теплоемкости, зависящей от температуры.

Эта задача в известной статье Лифшица [4] была сведена к интегральному уравнению первого рода, что доказывает ее некорректность.

Ввиду важности для физиков знание оценки погрешности приближенного решения данной задачи следует актуальность приведенных в статье исследований.

1. Постановка задачи. Связь энергетического спектра бозе-системы с ее теплоемкостью, зависящей от температуры, описывается интегральным уравнением первого рода

ад=] о0 <«<», о)

2

где S(х) =-2—ГГ’ C(6) — теплоемкость системы, 6 = kT, T — абсолютная температура, а к -

X

28Ь2 (х/ 2)

константа, определяемая системой, п<е) - спектральная плотность [4].

Обозначим через Н действительное пространство измеримых на [0,^) функций _Дх) с нормой, определяемой формулой

ёх

0 х

Заметим, что интеграл в формуле (2) понимается в смысле Лебега.

С (О) С (О)

Предположим, что при----------= —0-е Н существует точное решение п0(е)еНуравнения (1),

О О

которое единственно и удовлетворяет соотношению п0 (е) е Ог, где

Ог = | п(е): п(е) е Н, |п-^е)ёе +1[п'(^)]2еёе< г2 1, (3)

||/(x)||H = ]\f (х)|2 —. (2)

р

0 0

Со(6)

где п (е) - производная от функции п(е), но вместо точного значения правой части---- урав-

О

С (О)

нения (1) известны некоторое приближение —-----е Н и уровень погрешности 8 > 0 такие, что

О

О(О)-С0(0) <8

О О Н

Требуется определить приближенное решение п-(е)е Н уравнения (1) и оценить уклонение ||п—(е) — п0 е)||н от точного решения п0 (е) в метрике пространства Н.

1 Танана Виталий Павлович - доктор физико-математических наук, профессор, кафедра вычислительной математики, ЮжноУральский государственный университет.

E-mail: [email protected]

2 Ерыгина Анна Александровна - магистрант, кафедра теории управления и оптимизации, Челябинский государственный университет.

E-mail: [email protected]

Об оценке погрешности приближенного решения одной обратной задачи физики твердого тела

Если предположить, что

С (в) в

п(є) є H, то уравнение (1) становится некорректной задачей.

2. Метод регуляризации А.Н. Тихонова. Метод регуляризации А.Н. Тихонова [1] для приближенного решения уравнения (1) заключается в сведении его к вариационной задаче

іпГ

dє Cs(в)

в

в

+ а | [п'Є)]2 єЄє + а| п 2 (є) —: п(є) є H1 [0, га)

(4)

где н'[0,да) - гильбертово пространство, определяемое нормой

Ь(є)\\мі[0га) = |П Є) dє +1[n/(є)]2єdє, а а > 0.

С (в)

Известно из [5], что для любой функции —--------------

в

є H существует единственное решение ва-

риационной задачи (4).

Для определения значения параметра регуляризации а в задаче (4), используется принцип невязки [2, 3], который сводится к решению уравнения

dє С5(в)

в

ив 02

— = 51 в

(5)

относительно а.

Известно [3], что при выполнении условия |

С5(в)

в

— > 5, уравнение (5) имеет единств

венное решение а(С$,8).

Приближенное решение п$(е) уравнения (1) определим формулой

пе(е)=па^че),

соответствующий метод регуляризации определим семейством операторов [Я$ : 0 < д< д0} непрерывно отображающей Н в Н и определяемый формулой

Сд(в)

С5(в)

в

П5ЄІ

в

>5.

С5(в)

в

н <5.

н

3. Оценка погрешности метода {Кд : 0 < д < д0} на классе решений Сг. Оценку погрешности метода {Лд: 0 < д < д0} определим с помощью семейства функционалов (Ад(Лд): 0 < д< д0} определяемых формулой [6]

А5( Я5) =8иР<

К5\Св-\ - „0(є)

: П>(Єє Ог

н

5) ’ в

5П)(є)-

5)

в

<5\

(6)

н

Обозначим через w(S,r) модуль непрерывности в нуле оператора 5^ на множестве 5[Ог]

^(5,г) = 8ир{|| п(є) ||н: п(є)є Ог ,|| 5п(є)||<5}. (7)

Для величины Д5(Л5) в [7] получена оценка

А5(к5) < 2м>(5,г);0 <5<50, (8)

где н!(3,г) определен формулой (7), а Д5(^5) формулой (6).

4. Оценка модуля непрерывности w(д,r), определенного формулой (7). Сделаем замену переменных

є=в‘ и в = вТ; -^ < ґ < га, —га < х < га (9)

после которой оператор 5 сведется к оператору А типа свертки

0

Аи (ґ) = I К (т— ґ )и(ґ )иґ; га< ґ <га ,—га< X < га, (10)

и (ґ) = п(Є),

є_3х

К (X) =-

28іі2

( — X \ '

V 2 У

кроме того и(1), Ли(1)е Х2(-да,да).

Заметим, что после замены (9) класс корректности Gг, определяемый формулой (3) перейдет в множество Мг

Мг = {и (1:): и (1) еЖ2(-га, га), | и 2(1)й1 + | |м/(^)|2 Ж < г2}. (11)

Теперь определим модуль непрерывности в нуле оператора Л"1 на множестве Ыг=ЛМг форму-

лои

^(5,г) = 8ир{|| и(ґ) ||І2: и(ґ)є Мг,|| Аи(ґ) ||І2 < £}. (12)

Лемма 1. Пусть ^(5,г) определен формулой (7), а ^(5, г) формулой (12). Тогда справедливо равенство ^(5, г) = ^(5, г) .

5. Оценка модуля непрерывности ^(5, г), определенного формулой (12)

Полагая, что и(ґ)є Ь1(—га,га) пЬ2(—га,га), определим преобразование Фурье Е

1 га

Е[и(ґ)] = ^= Г и(ґ)є,ріиґ. (13)

у]2п —га

Из теоремы Планшереля следует изометричность преобразования Е в пространстве Ь2(—ю,ю). Чтобы отличать комплексное пространство от действительного, будем обозначать егоЬ2(—га,га).

Таким образом, оператор Е, определяемый формулой (13) будет изометрично в метрике

Ь2(—га, га) ОТОбраЖаТЬ МНОЖеСТВО Ь1(—га, га) П Ь2(—га, га) В ПрОСТраНСТВО Ь2(—га, га).

Ввиду того, что пространство Ь1(—га,га) плотно в Ь2(—га,га), расширим оператор Е на все пространство Ь2(—га,га). Это расширение обозначим через Е .

Теперь оператор Е будет изометрично отображать пространство Ь2(—га,га) вЬ2(—га,га). В дальнейшем образ оператора Е обозначим через У и заметим, что У будет являться подпространством Ь2(—га, га).

После преобразования Е оператор А сведется к следующему

Аи(р) = К(р)й(р); и(р) є У, а Ай(р) є —га,га), (14)

где и(р) = Е[и(ґ)], а ввиду того, что К(х) є Ь1(—га,га)

Из вида К(х) будет следовать, что

Кр) = -1= | К(х)єІхрих.

1 7 е~(2~ір)хє~х І2 га є~(2~ір)хє~є

—х

К(Р) = ~!= [ ---------— йх. = -Л -

42П -га СЬ(е_Х) - 1 \П-га -Т- - 1)2

Сделав в последнем выражении замену г = е-х, получим

, [- га г-12-'Р>ег 4 I- га г-(2-'Р)е=

К( Р)=-П-1га-(-г31)^* ^ТТТ,)--

Используя свойства гамма и дзета-функций [8]

Танана В.П., Об оценке погрешности приближенного решения

Ерыгина А.А. одной обратной задачи физики твердого тела

s -1

Г(^( *) =

І є2 — 1

получим, что

К(р) = \р(2 — Ір)Г(2 — Ір)С(2 — Ір) = Л—г(3 — Ір)£(2 — Ір).

V п \ п

где Г(ъ) - гамма функция Эйлера, а £(ъ) - дзета-функция Римана.

Для оценки снизу поведения функции К(р)

при р^ю приведем некоторые известные свои-

ства гамма-функции, сформулированные в [8, стр. 16 и 19]:

Г(г+1) = 2Г(е), (15)

Г( г) = Г(г), (16)

где г сопряжено г, а Г(г) сопряжено Г^) и

Г(г)Г(1 - г) =-^ . (17)

-1П л г

Таким образом, из (15) следует, что

|Г(3 - /р)| = 71 + р2^4 + р2 |Г(1 - 1р)\, (18)

а из (16) и (17), что

|Г(1 -!р)\ =. -П- • (19)

\shnp

Из (18) и (19) для любого р > 2 справедлива оценка

Л

|Г(3 - 1р)\ >у/-Пе~2Р . (20)

Теперь перейдем к оценке снизу модуля дзета-функции Римана ^(2 - /Р) .

Так как

С(я) = £ ~~, (21)

п=1 п

то из (21) следует, что

І єІР 1п п

с (2 — Ір) = Х-^. (22)

п=1 П2

Учитывая, что

єІр1п к

= 1, из соотношения (22) получим

£(2 — Ір) > 1 — £ -1 > I. (23)

П=2 п2 3

Таким образом, из (20) и (23) следует, что при р > 2 справедлива оценка снизу

- 2 —р

К{р) > - є 2 . (24)

Теперь рассмотрим расширение А1 оператора А, определенного формулой (14) на все пространство _^2 (—га, га)

Аи(р) = К(р)и(р); и(р), Аи(р)є Ь2(—га,га). (25)

Рассмотрим множествоМг с Ь2(—га,га) и определяемое формулой

Міг = {«(р):«(р),р«(р)Є І2(—га,га), | (1 + р2)|и(р)|2ар < г2}. (26)

Тогда из (11) и (26) следует, что

Ё[Мг ] с Мг. (27)

Теперь рассмотрим модули непрерывности, в нуле определяемые формулами

W(£,r) = sup{|u(p)|L :u(p)є F[Mr], AH(p) _ йд}.

L2 L2

йЗ .

(2S)

(29)

(30)

(31)

W^, r) = sup j|u?(p)|l : w(p) є Mr, A$(p)

Из унитарности преобразования F и формул (10), (12), (14) и (2S) следует, что

>^(д, r) = w(д, r),

а из (14), (25), (27)-(29), что

>^1(д, r) > W0, r).

Таким образом, из (30) и (31) следует, что

w(д,r) й W1 (д,r).

Для удобства изложения оператор A1, определенный формулой (25) заменим обратным A-, который обозначим через f

fj(p) = Af1 j(p); f(p)є R(4), fj(p)є L2(-~,т), где R(A1) - множество значений оператора A1.

Множество Mr, определенное формулой (27) зададим с помощью оператора B Вй(p) =yj 1 + p2u(p); w(p),Bu(p)є _2(-т,т),

Mr = B, где Sr = {«(p): «(p) є _2(-т,~),||j?(p)|L2 й r}.

В пространстве L2 (—т, т) введем множество Nj. определяемое формулой

N = ТгЧЯ ).

Тогда из (2б), (29), (32)-(34), (35) следует, что

^(д,r) = supj p) :/(p)є TV;1, /(p) йд}.

Перейдем к оценке модуля непрерывности W (д, r).

Для этого рассмотрим оператора f, действующий из _2(—т,т) в _2(-формулой

fjx p)=g (p) /( p),

Где

g(p) є С(-да,да), g(-p) = g(p), g(0) > 0, lim g (p) = т и g(p) возрастает на [0, да).

p^<r

Обозначим через >^2(д, r) модуль непрерывности в нуле оператора f на множестве Nr = f ~l(Mr), a Mr определено формулой (34) и рассмотрим уравнение

r

(32)

(33)

(34)

(35)

=) и определяемый

(36)

(37)

1

= g(P)д .

(3S)

+ p*

Если ^(0)^ < г, то уравнение (38) имеет единственный положительный корень Р(д, г). Из леммы доказанной в [6] следует, что

г

^(д, г) =

^1 + p 2(д, r)

(39)

Предположим, что оператор Т определен формулами (25) и (32), а Т формулой (36).

Тогда справедлива лемма.

Лемма 2. Если g(p) удовлетворяет (37) и существует р0 > 0 такое, что для любого р > р0 справедливо соотношение

Об оценке погрешности приближенного решения одной обратной задачи физики твердого тела

—1

то при условии, что g(р0)5 <

V1+ро

КХр) < g(рX

справедлива оценка

-^(д, Г) < ^(д, Г).

Теперь используем лемму 2 для оценки точности метода {Яд : 0 < д< д0} . Из (24) следует, что при р > 2

К( р)

—1 3 -р

<-є2 .

2

(40)

Таким образом, из (8), (30), (31), (39), (40) и леммы 2 следует, что при

2гє—п

5 =-341

для метода {^5 : 0 < 5 < 50} справедлива оценка

Д5(^5) <_г=

2г

+ П2"'2

2г

35

г

Литература

1. Тихонов, А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации / А Н. Тихонов. - Докл. АН СССР. - 1963. - Т. 151, № 3. -С. 501-504.

2. Иванов, В.К. О приближенном решении операторных уравнений первого рода / В.К. Иванов // Журн. вычислит. мат. и мат. физ. - 1966. - Т. 6, № 6. - С. 1089-1094.

3. Морозов, В.А. О регуляризации некорректно поставленных задач и выборе параметра регуляризации / В.А. Морозов // Журн. вычислит. мат. и мат. физ. - 1966. - Т. 6, № 1. - С. 170-175.

4. Лифшиц, И.М. Об определении энергетического спектра бозе-системы по ее теплоемкости / И.М. Лифшиц // Журн. экспериментальной и теоретической физики. - 1954. - Т. 26, вып. 5. -С.551-556.

5. Васин, В.В. Приближенное решение операторного уравнения первого рода / В.В. Васин, В.П. Танана // Мат. зап. Уральск. ун-та. - 1968. - Т. 6. - Тетр. 2. - С. 27-37.

6. Танана, В.П. Об оптимальных по порядку методах решения условно-корректных задач / В.П. Танана, Н.М. Япарова // Сиб. журн. вычисл. матем. - 2006. - Т. 9, № 4. - С. 353-368.

7. Танана, В.П. Об оптимальности методов решения нелинейных неустойчивых задач / В.П. Танана. - Докл. АН СССР. - 1975. - Т. 220, № 5. - С. 1035-1037.

8. Уиттекер, Э.Т. Курс современного анализа / Э.Т. Уиттекер, Дж.Н. Ватсон. - М.: Наука, 1978.- Ч. 2. - С. 468.

ABOUT THE EVALUATION OF INACCURACY OF APPROXIMATE SOLUTION OF THE INVERSE PROBLEM OF SOLID STATE PHYSICS

1 2 V.P. Tanana , A.A. Erygina

The problem of determining of the phonon spectrum of the crystal from its thermal capacity was studied. The accuracy evaluation for regularization method of A.N. Tikhonov chosen from the residual principle was obtained.

Keywords: regularization, module of continuity, evaluation of inaccuracy, ill-posed problem.

References

1. Tikhonov A.N. Doklady ANSSSR. 1963. Vol. 151, no. 3. pp. 501-504. (in Russ.).

2. Ivanov V.K. Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki. 1966. Vol. 6, no. 6. pp.1089-1094.

3. Morozov V.A. Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki. 1966. Vol. 6, no. 1. pp. 170-175. (in Russ.).

4. Lifshits I.M. Zhurnal eksperimental'noy i teoreticheskoy fiziki. 1954. Vol. 26, Issue 5. pp. 551556. (in Russ.).

5. Vasin V.V., Tanana V.P. Matematicheskie zapiski Ural'skogo universiteta. 1968. Vol. 6, Issue 2. pp. 27-37. (in Russ.).

6. Tanana V.P., Yaparova N.M. Sib. Zh. Vychisl. Mat. 2006. Vol. 9, no. 4. pp. 353-368. (in Russ.).

7. Tanana V.P. Doklady AN SSSR. 1975. Vol. 220, no. 5. pp. 1035-1037. (in Russ.).

8. Uitteker E.T., Vatson Dzh.N. Kurs sovremennogo analiza (A Course of Modern Analysis). Moscow: Nauka, 1978. Part 2. 468 p. (in Russ.). [Whittaker E.T., Watson G.H. A Course of Modern Analysis. Cambridge University Press; 1927. 612 p.]

Поступила в редакцию 15 апреля 2013 г.

1 Tanana Vitaliy Pavlovich is Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Department of Computational Mathematics, South Ural State University.

E-mail: [email protected]

2 Erygina Anna Aleksandrovna is Master Student, Department of Theory of Management and Optimization, Chelyabinsk State University. E-mail: [email protected]