Оценка погрешности метода, основанногона обобщенном принципе невязки, для задачи восстановления спектральной плотности кристаллов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.948

ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ МЕТОДА, ОСНОВАННОГО НА ОБОБЩЕННОМ ПРИНЦИПЕ НЕВЯЗКИ, ДЛЯ ЗАДАЧИ ВОССТАНОВЛЕНИЯ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ КРИСТАЛЛОВ

А.А. Ершова1, А.И. Сидикова2

Изучена задача определения фононного спектра кристалла по его теплоемкости. Получена оценка точности метода регуляризации А.Н. Тихонова с параметром регуляризации, выбранным из обобщенного принципа невязки.

Ключевые слова: регуляризация; модуль непрерывности; оценка погрешности; некорректная задача; обобщенный принцип невязки.

Введение

Задача определения фононного спектра по его теплоемкости, зависящей от температуры, следуя [1], сводится к интегральному уравнению первого рода. Дополнительная трудность данной задачи заключается в том, что фононный спектр имеет несколько локальных максимумов, которые определяют многие физические свойства кристаллов. Поэтому они должны быть восстановлены.

В работе [2] была получена оценка погрешности приближенного решения. Но в ней не была учтена погрешность дискретизации. В данной работе для выбора параметра регуляризации использовался обобщенный принцип невязки и получена оценка погрешности приближенного решения, учитывающая дискретизацию задачи. Для этого пользовалась техника работы [3].

1. Постановка задачи

Связь энергетического спектра бозе-системы с ее теплоемкостью, зависящей от температуры, описывается интегральным уравнением первого рода

Sn(s) = j*K(s,t)n(s)ds = f(t);0< t<¥, (1)

a t

где K(s,t) =-^—^, n(s)e L^a,b], f(t) e /^(0,¥),n(s) - спектральная плотность кристалла,

2t3 sh2 < S 1 t

2,

а f(¿) - его теплоемкость, зависящая от температуры.

Предположим, что при /(?) = /0(0 существует точное решение п0(5) уравнения (1), которое принадлежит множеству М, где

М = {п(5):п(5),п(5)е Ь2[а,Ь],п(а) = о], (2)

а п (5) - производная по 5 .

Пусть точное значение /0(0 нам неизвестно, а вместо него даны 6(0 е ^(0,¥),6 > 0 такие,

что

'6(0 Ш

<6.

Требуется по 6(0,6 и Мопределить приближенное решение Пб(0 и оценить его уклонение от точного решения п0(/) в метрике пространства /2[а, Ь]. Заметим, что единственность решения уравнения (1) доказана в [4].

1 Ершова Анна Александровна - аспирант, кафедра теории управления и оптимизации, Челябинский государственный университет. E-mail: [email protected]

2 Сидикова Анна Ивановна - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра вычислительной математики, Южно-Уральский государственный университет.

E-mail: [email protected]

Введем оператор B, отображающий пространство L2[a, b] в L^[a, b], формулой

s

n(s) = Bu(s) = Ju(X)dX; u(s)e L2[a,b], Bu(s)e L2[a,b],

a

и оператор C

Cu(s) = ABu(s);u(s)e L2[a,b], Cu(s)e L2(0, Из(3)и (4) следует, что

b

Cu(s) = J P(s, t)u(s)ds,

где

P(s, t) = j K (X, t )dX.

(3)

(4)

(5)

(6)

Предположим, что для численного решения уравнения (1) оператор С неудобен и требует замены его конечномерным оператором Сп, для которого известна величина Ьп, определяемая соотношением

||Сп - С|| < ъп.

Для определения величины Ип рассмотрим ядро интегрального оператора (1)

52

к(5, 0 =-т—г, а < 5 < Ь,0 < г<<

2/3 sh2

2t

и определим функцию N(t) формулой

max

a<s<b

2t3sh2

2t

2t3sh2

2t

= N(t).

(7)

Покажем, что N(t) e /.2(0,¥).

Из непрерывности K(s, t) следует непрерывность N(t). Кроме того,

b4 ¥ 1

||N(t)f. (0 ) = — j-dt.

II II ^ 4 j ^ Г a

I 2t

При t N2(t) -

(4~2b Y 1

a

v

—, а при t ® 0, N(t) ® 0. Таким образом, N(t) e L2 (0, ¥.

Для определения оператора Сп разобьем отрезок [а, Ь] на п равных частей и введем функции Рх (г), Рп (5, г) формулами

Р (г) = Р(5х, г), (8)

Si + Si+1 где Si = —-—, si+1 = a +

2

(i+l)(b - a), Si = a+OtaU, i=0.1..,, -1,

Pn (s, t) = Pi (t); si < s < si+1, t e (0, ~); i = 0,1...n -1. Используя (9), определим оператор Cn формулой

n b

CnU(S) = j Pn ( s, t)u(s)ds; t e (0, ~),

(9) (10)

где Cn : 4[a,b] ® ^(0,~).

a

b

2

2

s

a

n

n

a

a

Из (5)-(10) следует, что

\CB — C|| <|\N(t)||= hn.

l2 b

(11)

2. Обобщенный принцип невязки

Для решения уравнения (1) воспользуемся методом регуляризации А.Н. Тихонова первого порядка

inf <

Cnu(s) ■

m

2 b

+ a

il u(s)f

ds

: u(s)î L2[a,b]

,a> 0.

(12)

Из [5] следует существование и единственность решения и^ъ (5) вариационной задачи (12).

Обозначим через /5п(?) функцию, принадлежащую пространству /2(0,¥ , и определяемую формулой

f s,n(t) = Pr

d(t)

; R ( Cn )

(13)

fd(t)

то есть являющуюся метрической проекцией в пространстве /2(0, ¥ функции - на множество значений оператора Сп.

Значение параметра регуляризации а = а(Сп, /3(0,Ъп,3) в задаче (12) выберем из обобщенного принципа невязки [4]

uaB (t)

hn + 3.

(14)

Спи^п (5) - /г,п(0

Известно, что при условии /8 (0 >3 + п0(5) Ъп существует единственное решение а(Сп, 3(0,Ьп,3) уравнения (14).

Если решение и^",/з(^,Ьп,3)(5) задачи (12), (14) обозначить через и5ъ (5), то приближенное

решение п§ь (5) уравнения (1) будет иметь вид

3 (5) = Ви(5). (15)

Из (8)-(10) следует, что

Так как

где

то из (16) и (17) следует, что

в—1 si+1

CnU(s) = X Pi (t) i u(s)ds.

i=0

sl+1

i u(s)ds =

b — a

u,

u=

'si+1

1 V(b — a )

-B— i u(s)ds,

Cnu(s) = I — g Pi (t)ui.

(16)

(17)

(18)

(19)

i=0

Пусть XB с L^[a,b] и является подпространством кусочно-постоянных функций j(s)

j(s) = { ci : s i< s < si+1, i = 0,1...n — 1}. (20)

a

s

B

s

s

В качестве базиса, определяющего пространство Хп, рассмотрим систему функций {в1}, 1 = 0,1...п -1

в1 (5) =

1; 51 £ 5 < 51+1

[0; 5Й [51, 51+1), 1 = 0,1...п -1. После нормировки система (21) примет вид

й(5) =

V (Ь - а)

0; 5 й[51, 5+!).

Теперь наряду с задачей (12) рассмотрим задачу

;5 1£ 5 < 51+1

inf <

0пй(5) -

т

+ а||г}(5)|| ;г/(5) е Хп к

(21)

(22)

(23)

Теорема 1. Вариационный задачи (12) и (23) эквивалентны. Доказательство приведено в [3]. Рассмотрим задачу

тГ

Ь-

X р1 (0Щ -

ад

1=0

п—1

Л+#Х Щ2 : е

7=0

(24)

Из [5] следует, что для любого а > 0 существует единственное решение (и«)е ^ . Кроме того, задача (24) эквивалентна системе линейных алгебраических уравнений

Ь а+аи] = ё];7=0,1.п-1,

п

(25)

1=0

где Ь] = | Р(0Р] (Г)Л, ^ = Л-— | Р]-

Ь- а|р,6)

0

т« „ тг«

■л.

г

00 Теорема 2. Пусть Щ|;п и Щ« - решение задачи (23) и (24), соответственно. Тогда эти решения связаны соотношением

Щ«п = X Щ?Ъ(5).

1=0

Так как из теорем 1 и 2 будет следовать, что вариационная задача (12) сведена к системе ли-1

нейных алгебраических уравнений (25), то, решив последнюю, получим (щ1 ) е И" . Тогда для определения параметра регуляризации а(Сп, ¡'¿(О,Ип,6) в этом решении воспользуемся уравнением (14), которое в Яп примет вид

1

1

Ь - ап-ч-« С8„ (г)

-X РЫ

1=0

При условии

Ьп (0

>6+

Л

пъ(5)

п-1/ \2

X (Щ«)

1=0

1п+6.

(26)

Ь„

существует единственное решение а(Сп, 6(0,Ьп,6) уравнения (26).

Окончательно приближенное решение (5) уравнения (1) будет иметь вид

п-1

п.

61],

(5) = X Щ«И(5),

(27)

1=0

где а = а(Сп, /6(г), 1п,6).

п

2

2

I

п

0

2

2

п

0

3. Оценка погрешности приближенного решения уравнения (1)

Рассмотрим две вариационных задачи, приведенных в [6] и [7]

inf {||ф)||2 : u(s)е L^a,b],|\Спф) - fs,B(0|| <8 + ||u(s)||hn}

1

inf{||u(s)||2 : u(s)е L2[a,b],||Qu(s) - f^(i)|| <8 + thn},

(28) (29)

где 0 <t<-

f 8,n (t)|| -d

к

Из теоремы, доказанной в [7], следует, что выполнение условия || /5 п(/)|| >5 + тЬп влечет существование и единственность решения (5) вариационной задачи (29). Теперь запишем уравнение

usin (s)

= t.

(31)

Теорема 3. Пусть f 8 n (t)

>8 +

щ (5) Ип, тогда вариационная задача (28) эквивалентна задачам (30) и (31). Доказательство приведено в [8].

Теорема 4. Пусть || /5 п(£)|| >5+ по (5) Ип, тогда вариационная задача (28) эквивалентна задаче (12) с параметром а, выбранным из уравнения (14). Доказательство приведено в [8].

Перейдем к оценке погрешности приближенного решения в метрике пространства /¿[а, Ь]. Введем функцию ао(а,г), а, г > 0 формулой

со{а,г) = вир{||п(5)|| -:п(5)е ЫГ,||5п(5)||<а],

п

где Ыг = ББГ, а Б определен (1).

Теорема 5. Пусть n0(s)е M, а n^8h (s) определена формулой (15) и fdn(t)

>8 +

no( s)

hn.

Тогда существует число г > 0, такое, что

\\п5Ьп (5) - п0(5)|

Доказательство приведено в [3]. В работе [2] было получено, что

Lq\a,b]

< 2w(8 + 2rhn, r).

w(s, r) £ r

V

Для приближенного решения uSh (t), определенного (15), имеет место оценка

1 + 1ln2 (-L p 148

(32)

\\n8hn (s) - n0(s) L r „< 2r

II n IIL2[a,b]

1 + iln2 P

1

4 (8 + 2rhn)

где n8h (s) - приближенное решение уравнения (1), определенное (26).

J J

Литература

1. Лифшиц, И.М. Об определении энергетического спектра бозе-системы по ее теплоемкости / И.М. Лифшиц // Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 1954. - Т. 26, № 5. -С.551-556.

2. Танана, В.П. Оценка погрешности метода регуляризации Тихонова при решении одной обратной задачи физики твердого тела / В.П. Танана, А. А. Ерыгина // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2014. - Т. 17, № 2(58). - С. 125-136.

и

3. Танана, В.П. Об оценке погрешности регуляризующего алгоритма, основанного на обобщенном методе невязки, при решении интегральных уравнений / В.П. Танана, А.И. Сидикова, Е.Ю. Вишняков // Вестник ЮУрГУ. Серия: Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника. - 2014. - Т. 14, № 4. - С. 59-64.

4. Танана, В.П. О единственности решения обратной задачи определения фононных спектров кристаллов / В.П. Танана, ВВ. Бояршинов // Деп. в ВИНИТИ. - 1987. - 892 - В87.

5. Тихонов, А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации / А.Н. Тихонов // Докл. АН СССР. - 1963. - Т. 151, № 3. - С. 501-504.

6. Гончарский, А.В. Обобщенный принцип невязки / А.В. Гончарский, А.С. Леонов, А.Г. Яго-ла // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1973. - Т. 13, № 2. -С.294-302.

7. Танана, В.П. Об одном проекционно-интерактивном алгоритме для операторных уравнений I рода / В.П. Танана // Докл. АН СССР. - 1975. - Т. 224, № 15. - С. 1025-1029.

8. Танана, В.П. Методы решения операторных уравнений / В.П. Танана. - М.: Наука, 1981. -156 с.

Поступила в редакцию 11 декабря 2014 г.

Bulletin of the South Ural State University Series "Mathematics. Mechanics. Physics" _2015, vol. 7, no. 2, pp. 25-30

UNCERTAINTY ESTIMATION OF THE METHOD BASED ON GENERALIZED RESIDUAL PRINCIPLE FOR THE RESTORE TASK OF THE SPECTRAL DENSITY OF CRYSTALS

1 2 A.A. Ershova , A.I. Sidikova

The article studies the task of identification of phonon spectrum of a crystal according to its hit capacity. The authors reveal the evaluation of accuracy of Tikhonov regularization method with regulari-zation parameter which was chosen form generalized residual principle.

Keywords: regularization; module of continuity; uncertainty estimation; ill-conditioned task; generalized residual principle.

References

1. Lifshits I.M. Zhurnal eksperimental'noy i teoreticheskoy fiziki. 1954. Vol. 26, Issue 5. pp. 551556. (in Russ.).

2. Tanana V.P., Erygina A.A. Sibirskiy zhurnal industrial'noy matematiki. 2014. Vol. 17, no. 2(58). pp. 125-136. (in Russ.).

3. Tanana V.P., Sidikova A.I., Vishnyakov E.Yu. Ob otsenke pogreshnosti regulyarizuyushchego algoritma, osnovannogo na obobshchennom metode nevyazki, pri reshenii integral'nykh uravneniy (On Error Estimates for Regularizing Algorithm Based on Generalized Residual Method when Solving Integral Equations). Bulletin of South Ural State University. Series of "Computer Technologies, Automatic Control & Radioelectronics ". 2014. Vol. 14, no. 4. pp. 59-64. (in Russ.).

4. Tanana V.P., Boyarshinov V.V. Dep. v VINITI. 1987. 892.V87. (in Russ.).

5. Tikhonov A.N. Dokl. ANSSSR. 1963. Vol. 151, no. 3. pp. 501-504. (in Russ.).

6. Goncharskiy A.V., Leonov A.S., Yagola A.G. Zhurnal vychislitelnoy matematiki i mate-maticheskoy fiziki. 1973. Vol. 13, no. 2. pp. 294-302. (in Russ.).

7. Tanana V.P. Dokl. AN SSSR. 1975. Vol. 224, no. 15. pp. 1025-1029. (in Russ.).

8. Tanana V.P. Metody reshenija operatornyh uravnenij (Methods of solution of operator equations). Moscow, Nauka Publ., 1981. 156 p. (in Russ.).

Received 11 December 2014

1 Ershova Anna Aleksandrovna is Post-graduate Student, Department of Theory of Management and Optimization, Chelyabinsk State University.

E-mail: [email protected]

2 Sidikova Anna Ivanovna is Cand. Sc. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Calculating Mathematics Department, South Ural State University.

E-mail: [email protected]