Oб оптимальном выборе интерполяционного сплайна по треугольной сетке Текст научной статьи по специальности «Математика»

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 04-01-00083), программы «Университеты России» (проект УР 04.01.374) и программы Президента РФ поддержки ведущих научных'школ (проект НШ-1295.2003.1).

Библиографический список

1. Мшнор Дж. Голоморфная динамика / Пер. с англ. Ижевск, 2000 (Milnor J. Dynamics in One Complex Variable. Vieweg, 2000).

2. Bargmann D. Conjugations on rotation domains as limit functions of the geometric means of the iterates // Annales Academi Scientiarum Fennic. Mathematica. 1998. V. 23. P. 507-524.

3. Beardon A.F. Iteration of Rational Functions. N.Y., 1991.

4. Carleson L., Gamelin T. W. Complex Dynamics. N.Y., 1993.

5. Еременко А.Э., Любич M.Ю. Динамика аналитических отображений // Алгебра и анализ. 1989. Т. 1, № 3. С. 1-70.

6. Bergweiler W. An introduction to complex dynamics // Textos de Matematica Universidade de Coimbra. 1995. Ser. B. № 6. P. 1-37.

7. Bergweiler W. Iteration of meromorphic functions // Bull. Amer. Math. Soc. 1993. V. 29, № 2. P. 151-188.

8. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М., 1966.

9. Kriete Н. Approximation of indifferent cycles // Math. Gottingensis: preprint series. Gottingen, 1996. № 3.

10.Бухштаб A.A. Теория чисел. M., 1966.

11 .Douady A. Does the Julia set depend continuously on the polynomial? 11 Proc. Symp. in Appl. Math. 1994. V. 49. P. 91-138.

12.Kriete H. Continuity of filled-in Julia sets and the closing lemma //Nonlinearity. 1996. V. 9. P. 1599-1608.

13. Соболь И.М. Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара. М., 1969.

14. Неванлинна Р. Униформизация. М., 1955.

15.Duren PL. Univalent functions. N.Y., 1983. \6.Pommerenke Ch. Boundary Behaviour of Conformal maps. N.Y., 1992.

17.Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. М., 1967. Т. I.

18. БрюноА.Д. Аналитическая форма дифференциальных уравнений // Тр. Моск. мат. о-ва. 1971. V. 25. С. 119-262.

УДК 517.5

ОБ ОПТИМАЛЬНОМ ВЫБОРЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОГО СПЛАЙНА ПО ТРЕУГОЛЬНОЙ СЕТКЕ

Ю.В. Куприянова, С.Ф. Лукомский

Саратовский государственный университет, кафедра математического анализа E-mail: [email protected]

В статье строится Эрмитов сплайн на треугольнике, для которого оценка погрешности его производной в направлении любой стороны треугольника обратно пропорциональна длине этой стороны.

Введение

Пусть {Tj)j=] - треугольная сетка на плоскости, и Qj(х) - многочлен Эрмита, интерполирующий функцию / и ее производные 1-го порядка на треугольнике 7}. Такой многочлен определен неоднозначно и, кроме того, функция Q (х), совпадающая с Qj на каждом 2}, не принадле-

т

жит классу С1 на объединении U^;. Чтобы добиться дифференцируемости на границах [1]

7=1

обычно в каждом треугольнике 7} выбирают точку Pj и строят интерполяционные многочле-

On optimal choice of interpolation spline on triangular net

Yu.V. Kupriyanova, S.F. Lukomskiy

In this paper we find a Hermite Spline on atriangle for the approximation error of its derivatives with respect to a side of this triangle are inversely proportional to length of this side.

ны Эрмита на каждом из трех полученных треугольников, составляющих Тг Изменяя параметры, можно получить интерполирующую функцию класса С1 на у Г . Для простоты вычислений. точку выбирают как центр тяжести треугольника Тг В этой связи возникает вопрос об оптимальном выборе точки Р].

В данной работе мы рассмотрим вопрос об оценке производной полученного многочлена Эрмита в зависимости от выбора точки Ру При доказательстве мы пользуемся оценкой для производных интерполяционного многочлена в направлениях, совпадающих со сторонами треугольника 7}. Отметим, что обычно получают оценки для максимума производных по направлениям [2, 3]. Авторам известна лишь одна работа, в которой была попытка оценить производные по направлениям, в зависимости от этих направлений [4], но для многочленов высоких степеней.

Отметим, что результаты первого параграфа принадлежат Ю.В. Куприяновой, результаты второго параграфа - С.Ф. Лукомскому.

1. Интерполяционный сплайн Эрмита на треугольнике и его производная по направлению

Пусть Д = (.Р\Р^Рз) - двумерный симплекс, и точка х £ Д задана своими барицентрическими координатами (хь х2,х3), функция/(х) определена на Д.

Пусть далее

РР,

е. — * I РР.

Г] (и = 1,2,3)

единичные векторы. Многочлен

= £ \рр\

/=1 ¡* у 1<К ¡<Ъ

Эе.. ' Эе;,

(1.1)

является интерполяционным для функции Дх) в том смысле, что

/{р)=<2{р) (1=1,2,3),

Э/(р)_дО(р)

Эе„

Эе„

(г = 1,2,3; ] * /)•

(1.2) (1.3)

Причем условия (1.2) и (1.3) выполнены при любом аш.

Теорема 1. Если Дх) — (хь х2, х3) имеет непрерывные производные второго порядка по направлениям, то при

Э О

для производных —^ справедливо неравенство

Эе„

Э0(х) Э/(х)

Эе„

Эе„

Ч V

Доказательство. Будем оценивать

сНат2 (А) < 4 ■ —;-^ ■ вир

т

э2/(1)

Эе, Эе2

Э £(х) Э/(х)

Эе,.

Эе,

Остальные производные оцениваются аналогично. Так как хъ х2,х3 - барицентрические координаты, то

Эб(х) 1

Эе12 Р,Р2

^ а111 (Х1*3 Х2ХЪ ) I р п + 1пп1 Х1Х2 +

| 1 2

Эх,

Эх,

Эе у 1 ~ 1 ^ Эе 12 21

Р,Р2 Эе2

М Эе,

_1_-^-д;2

Р2Р,\ де32 3 Р2РХ Эе3, 3

(1.4)

Так как

\Р Р

_ I З1 2, _ е,-> Сп 1 г С

р р

12 ~ 32 1Р}Р2 ^|Р2Р,|

то

Э/(х) Э/(х)]/>3Р2| Э/(х) Эе12 Эе32 Р,Р2 Эе31 I

(1.5)

Э 2

Учитывая (1.5) и заменяя —— на -— (х, +х, +х3) , находим:

Эе,

Эе,

Э0(х) Э/(х)

Эе,2 Эе,2

6а

л^ ¿л |Л ^

V | Л 1 «/V ч Л т

|Рх Р2\ |РХР2 Ц Р2 Эе,3

Эе,

(б№) И р2\

И Р2

РхРг Эе23

Эе,

2 3

+

Э/(Л) Э/(х)

Эе,

Эе,

;Х,2 +

Э/(Р2) Э/(х)

Эе,

Эе,

+

Э/(Рз) Э/(х)

Эе,

Эе,

|х32 +

+

Л Р2

х,х.

(1.6)

Будем оценивать 2, (/ = 1, 2, 3, 4). Вначале оценим 24. Дважды используя теорему о среднем, получаем:

бЭ/(5„) , Э/(/>,) 2 Э/(Р2) 2 Э/(х)

Эе,

Эе,.

Эе]2 Эе,2

х,х2 <

Эе,

Эе,

+

Э/(£12) Э/(Р2)

Эе,.

Эе,

Эе,.

Эе,

• 2х,х2 <

< 2 зир

Эе,Эе2

(|Р,Р2| + тах(|Р,Рз|,|Р2Р3|))х,х2 < 4х,х2 -сКат(Д)• яир

д2/(Ю

Эе,Эе2

Для 2, очевидно имеем:

< 4(х2 + х2 +х])Лат(Д)- эир

э2/0П

Эе,Эе2

Для окончательного определения ()(х) положим 6аш =/(Р,) + /(Л) +ДР3). Тогда ПРА-Г(РЛ Г(РЛ-ПРЛ \Р Р\ Д

—

2-

2+1 1 3

р р

12

- + 2

сИат(Д)- эир

Р Р ' Из а/СО

р р 12 Эе12 Р Р ' 1г3 Эе13

э2/(£)

Эе.Эе,

сНат2 (Д) < 4 х,х3 • —|-¡— ■ вир

Р,Р

\ 2\

Эе,Эе2

Аналогично,

Шат2 (А) Е2 < 4 х2х3 —| ^ ^, • эир

Эе,Эе2

Подставляем найденные оценки в (1.6), получаем окончательно

Э0(х) ЭДх)

де& Эе..

< 4 • —;-У^ • вир

э2/(£)

Эе, Эе2

2. Оптимальный выбор параметра

Выберем в треугольнике А = (РР2Рз) точку Р0, обозначим через Ак треугольник Ак = (Р^Р^,) (к = 1, 2, 3). При А: = 3 будем считать Рк+1 = Р1 (т.е. 3+1 = 1). Пусть, как и ранее,

е,'у = ]~РР~\ ■/ = 2>3) и пусть еод = а*,*_,е(и_1 + а№1ем+1.

При А: = 3 считаем к + 1 = 1, а при А = 1 считаем к - 1 =3. Этого соглашения будем придерживаться и в дальнейшем.

Барицентрические координаты в Добудем обозначать через Х& хк, хж. В каждом треугольнике Ак записываем интерполяционный многочлен Эрмита, определенный ранее формулами (1.1), т.е.

дк (х) = ДРа )х0> ДР )х1 + ДРШX, + 6<,'х0хЛ+, +

+3 £ х,х,(/(Р)х, + /(/>,)*,.) + X

(

Э/(/>) ЭДРЛ Эе, ; ' Эе,. '

где 4= {(ОД), (ЛД+1), (А:+1,0)}.

Условия гладкости на отрезке [Рор] запишем в виде

Эе

О *+1

Эе

-а

к.к-У

(2.1)

0.4-1

Вычислим производные в (2.1). Учитывая равенство

д/(Р,) = д/(Рк) I РкРк+11 Э/(Р,) 1| Зе0>+1 | Р0РМ | Эе, 0 | Р0РМ

для производной —имеем

0.4+1

Э£,(х0,л:,,0) _ 1 Эе,

. ШРк)

I р Р

0./Ы-1 I 1 О1 к+1

Э/(Р„)

Эе,

xi +

o.t+i

р Р \ х -

О к I

ЭДРр)

Эео,*+1 ' " * ' * Эео,*

Р0Р|2хЛ-6/(Р0)хЛ).

Аналогично, с помощью равенства

ьдрк)дркмщрк) \ркр0\ д/(рк)

Эе<и-1 I РЛч1 Эе, ^ I I Эе, 0

имеем

, Э/(Р„), „„ , ,

I V I11 0 к "Г I 0 I Л0

Эе„

I р р г 1,1 0 * " Эе

(2.2)

+ I I Р0Рк I -6 АР0)хохк).

Наконец,

Эеп

Эеп

PA I Эе<и

'¿/(PJ | Э/(Р0)Л

(2.3)

l+^-^xi. (2.4)

Эе

А,О

Подставляя (2.2)-(2.4) в (2.1) для нахождения коэффициентов ба,'*1, получаем систему уравнений

I Р Р I г0гк

■Xf(Pk)-f(P0))-2

р.№), э/(Р0)

v Эеси Эе<и ,

et

I p p \ Г0 rk

6<>-6/(P0)-2|P0P,|^

Эе„

6a,V-6/(/>„)-2|P0Pj

Э/(Р„)

Эеп t

(2.5)

которую запишем в виде

I "о'"к I I "о I

где

А = ППП(/(Р*)" /(Р»)}" 2 [ "Г^ + V21 1 Г^Г"!+V 6/(Р°}[ ]

(к = 1,2,3; х, = у2 =1,73 =-1).

Ю.В. Куприянова, С.Ф. Лукомскпй. 06 оптмальном выборе интерполяционного сплайна Обозначим матрицу системы (2.6) через А. Нетрудно посчитать, что

А = -

-2

П1 рл

к--1

и поэтому система (2.6) имеет единственное решение Ьа\\\,6а\]\,

Для формулировки следующей теоремы введем дополнительные обозначения. Обозначим через дк угол между векторами РаРк и РПРМ в направлении против часовой стрелки и обозначим

М, = тах

вт <5.

вт 8,

I РР

М, = тах -—^

Теорема 2. Пусть / имеет в А непрерывные производные 2-го порядка по направлениям,

т.е. производные вида

Э2/ Эе,Эе2

. Пусть ()к(х) определены так, чтобы выполнялись условия глад-

кости (2.1). Тогда в треугольнике А* = (РоР/Р^) справедливо неравенство

ЭС?к(х) Э/(*)

Эе

0,у

Эе

о,;

агат2(А)

вир

I Р^ I «1-е1

Э2/

Эе,Эе2

(4 + 6 М№\

С(й)

где сйат А - диаметр треугольника А.

Доказательство. Систему (2.5) запишем в виде

а.

(6<> - 2/(Р0)-2ДРк) - 2ДРМ)) +:

I Р Р

I ГйГк+\

а

к.к-1

Р Р

0 4—1

(^а1п -2АР0)~2/(Рм)-2 Д Р,)) =

Р Р

0 4

X

Эе

о.*

Эе,

0.4

+ 2! Р0Рк

Эе

о,*

\ Р Р

I 0 4-1

I Р Р

I ''О

+ 6ЛР0)

ак,к-1 °Ч,4+1

I Р Р

I '0*4-1

I Р Р

I ' 0*4+1

- (2.7)

-2ЛП)

°Ч.4-1 | °Ч,4+1

I РР I I РР

I 0 4-1 I I 0 4+1

-ШРк)

ак,к-1 + ак,к+1

! Р Р

I •г0-Г4+1

-2/(^)7^4-2/(^)7^-I "о"к-1 I I "о"к+1

(к = 1,2,3).

Обозначим правую часть в (2.7) через Як. Используя теорему о среднем, Як записываем в виде

■ Ш„Л) ^ДРк) „Э/(Р0)

Эе„

Эе

0,4

Эе

о,*

+2(ДР0)-ДРк))

( а а л

"4,4-1 4,4+1

^ РЛ-л

Р Р

I * О*

041 Эе, + 2ДР0)

Э/ТОГ «МП ,

0.4 /

Р(>Рк-1 I I

+

4.4-1 + а4,4+1

1^4-1 I

I Р Р

I ^ 0 4+1

(2.8)

-2ДР*_,)-

4,4-1

Р Р

0 4-1

-2ДРк+1)-

а,.

РцРк+1

где ^о ь \Р(>Рк}- Еще раз применяя теорему о среднем, преобразуем (2.8) к виду

Э е„.

-I ^кЬкЛ I +1 -+

Э2е

+21^1

Э/(Р,) Шк.о) Эе04 Эе

а

V

Л

0 .к

ак,к~ 1 + ак,к+1

I ^0^4-1 I I

Эео ,4 |+2 «4,4-1

I Р Р

I Г0"Г4-1

(Л^о)"

)) + 2 -^гЧ (ДРо) - )) = 2

I Р Р

I 1 01 к+1

э2лО

Э2еп,

№

-2

Э2Жо)

¿>2ло

Э2е

1%,о

'а а 4

"•4,4-1 "4,4+1

0,4

1^4-

I Р Р

I 1 0* 4+1

0,4+1 ^ , о

4.4-1 1--4,4+1 —-- + 2 "

Эе

0,4-1

Эе

0.4+1

Эе

0,4

(2.9)

Сумму трех последних слагаемых преобразуем, прибавляя и вычитая производные

ЭДР„) _ ЭДР0)

Эе0,4-1

и

Эеп

Учитывая равенство

ЭЛ/>о) = ЭЛРр) ЭЛРр)

Эе0.4 Эе0,4-1 Эе0.4+1

имеем

, ЭЛ^О.4-1) 0 ЭЛ^+1) , ,№,0) _ -2а*.*-1 —--2а, —-+ 2 —-= -2а, м

Эе0,4-1

Эе

0,4

№.4-■) элр0)

Эе0,4-1 Эе0,4-1

- 2а.

№,4+1) ЭЛРр)

Эе0.4+1 Эе0.4+1

-2

эдр0) элр0)

Эе0,4-1

«4,4-1 +

Эеп

а.

4.4+1

+ 2

_ Э /(§0,4-1) I Г, (= I , л

= 2а,,| Р0§0,4-1 I +2а

ЭЛ§4,о) Эе„,

"4.4-1 Л2

Так как акк_1 = —

о е.

вт <5,

Э2Л^+1) , Э2Л£,„)

4,4+1 I "0?0,4+1 I -.2

о е„.,, Э е,

"0.4

5т(<5, + <5м)

' ак 4-1

вт (5,

и + 5^+5^=2*,

ТО

(2.10)

тах | а. . |= тах

/./ и

эт <5,

а 1 п <5,

Э2/(х)

Поэтому, с учетом (2.11), имеем

|Д,|<4|Р0Р,|(1 + МйМ,)8ир

х

Обозначим

Ук -б^п ~2ДРр)-2/(Рк)-2ДР4+1Х 7 = Р = (ЛРР2,Д3)Г.

Э2е

0,4

(2.11)

Систему (2.7) запишем в виде

АУ=Я.

Так как detл*o, то система (2.12) имеет решение Г и

1Я1<11л-

1Д1

Учитывая, что || Я IL= max | Rk |5 из (2.13) имеем

16 a\\\ - 2f(P,) - 2 f(Pk) - 2f(PM) |< 4diam(A)( 1+MsMd) • sup

Непосредственные вычисления показывают, что

M-4L<|diam(A)MdM52. Используя (1.6), разность д£?(х) _<У00 запишем в виде

Эео.у де0 .

д2/

Эе,,е2

•К

1С(Д)

(2.12)

(2.13)

(2.14)

(2.15)

Э Q(x) Э/(х) 2/(Р0) + 2ДРк) + 2/(Рк+1) 6/(/>) jPoPldf(P0)

de de IPPI X°Xi IPPI X°X' IPPI de *cV

UCn,j UC0J I r0rj I I Г0ri I I rirj I oeo,,

,У(х) „ V , 6f{Pj) „ „ 2ДР0) + 2ДРк) + 2ДРк+1)

e0,y

P P

о j

P P

r0rj

\p,pj\mpt)

\W Эе,,

i d/(x)

"Э/(Р0) Э/(х) ^ '

x„2 +

Э/<Л) элхП Гэлр) э/(х)

Эе»,; de O.J

ef(P)-f(P0) 2df(P0) 2'àf(P) 2ЭЛх)

p P

r0rj

Эе„

Эе„,. Эе„

х0х, +

х„х..

х.х,

+ rwrrMИ - 2/(Ро ) - 2f{Pk ) - 2f(Pk+,))- 2ДР0 ) - 2ДРк ) - 2ДРЫ )).

P P

о ;

P P

(2.16)

В (2.16) /=¿+1 при]=к и г=к при]=к+1. Два последних слагаемых в (2.16) оцениваются с использованием (2.14) и (2.15). Сумма всех предыдущих оценивается по теореме 1. Соединяя вместе эти оценки, получаем утверждение теоремы.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 03-01-00390), программы Президента РФ поддержки ведущих научных школ (проект НШ-1295.2003.1) и программы «Университеты России» (проект 04.01.040).

Библиографический список

1. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М., 1980.

2. ZenisekA. Polynomial approximation on tetrahedrons in the finite element method. // J. Approx. Theory. 1973. №7. P. 334-351.

3. ZenisekA., Zlamanova J. The finite element method with semiregular Hermite cubic tetrahedral elements //

Algorithm 2000: Proc. of the 15th Conf. of Sci. Computing. Vysoke Tatry - Podbanske, Slovakia, 2000. P. 420-429.

4. Baidakova N. V. On some interpolation process by polynomials of degree at most 4m-1 on the triangle // Rus. J. on num. anal, and math, modeling. 1999. V. 14. № 2. P. 87-107.