О кубическом многочлене на четырехграннике Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ю. В. Матвеева

УДК 517.51

О КУБИЧЕСКОМ МНОГОЧЛЕНЕ НА ЧЕТЫРЕХГРАННИКЕ

На трехмерном симплексе строится Эрмитов сплайн третьей степени, для которого получены оценки отклонения производных до третьего порядка включительно по направлениям в терминах, не содержащих углов.

Пусть Т = (А^ А2, А3, А4) - трехмерный замкнутый симплекс и ((Т) - его диаметр. Функция /(х) определена па Т и имеет непрерывные производные четвертого порядка по любым направлениям в Т. Пусть далее ву = , 1 — £,3 — 4, £ = 3, — единичные векторы.

Будем строить полином Q(x) с действительными коэффициентами степени три, который в вершинах А( = 1,4) симплекса Т интерполирует функцию /(х) вместе с ее производными по направлениям ребер, то есть

/Щ) = Q(Ai),i = 1, 4, (1)

д/Щ дQ(Ai)

д д ву

= 1,4,£ = 3. (2)

Такой полином имеет 20 коэффициентов. Условия (1) и (2) определяют 16 из них. Остается вопрос о выборе оставшихся четырех коэффициентов. В зависимости от их выбора можно будет говорить о степени приближения функции / (х) полином ом Q(x).

Вопросы о возможности построения интерполяционного многочлена произвольной степени на ш-симплексе, обеспечивающего высокую гладкость кусочно-полиномиальной функции на триангулированной области, и в то же время позволяющего минимизировать ограничения на триангуляцию, а также о выборе универсальной геометрической характеристики симплекса, через которую могли бы выписываться оценки погрешности для таких способов интерполяции, остаются на данный момент открытыми. В работах [1 - 3] рассматривается интерполяция многочленами

ш

В [1] предлагаются условия интерполяции функции трех переменных и устанавливаются соответствующие им оценки аппроксимации первых

производных через довольно сложные, но, по мнению автора данной статьи, дающие хорошую точность оценок характеристики. Найденные интерполяционные условия позволяют ослабить требования на симплексы, но не всегда обеспечивают непрерывность результирующей кусочно-полиномиальной функции, а их корректировка с целью добиться непрерывности иногда приводит к необходимости усиления ограничений на триангуляцию. В данной статье предлагается несколько иной способ построения сплайна и получены оценки в терминах длин ребер симплекса.

Обозначим середины ребер А1А2, А\А3, А2А3 четырехгранника Т соответственно Р12, Р13, Р2З5 п(к) - вектор нормали, восстановленный к середине ребра А^ в гран и А^А^ А&. Выберем дополнительные условия следующим образом:

ад-/!(Р12)=0, ^(Р12)=0, дп12 дп12

д (Я - /) (Р )_0 д (Я - /) (Р )_0 (3)

дп(4) (Р13) _ 0, дп(4) (Р23) _ 0 (3)

дп13 п23

Теорема. Пусть функция /(х) имеет, на Т непрерывные частные производные четвертого порядка, я яд / я по любом,у направле-

1 II де1де2де3де4 & 1

д4/(х)

де11 де22 д ег33 дег44

нию е^ (г _ 1,4) d - диаметр Т, М4 _ тах тах

0<ь-<4,^ =4 хеТ

и пусть многочлен Я(х) удовлетворяет условиям (1), (2), (3). Тогда, справедливы неравенства

д3(Я - /)

д е^д е^д е14

CM4d4

|А1А2| • |А1А3| • 1А1А4Г

дп(Я - /) д е22д е^

< CM4d4-n,n _ 2,3, к > 0 (к + 2_ п), 3 _ 2,3,4;

дп (Я - /)

д е^де^

<

CM4d4

|А1Аг|к ^А,-11

г, 3 _ 2, 3, 4;

, п _ 1, 2, 0 < к, I < п (к + I _ п),

дп(Я - /)

д е12 д е13д е14

< СМ^4 пв остальных случаях.

Доказательство. Интерполяционный многочлен для функции /(х) с условиями (1), (2) имеет вид

4

д(х) = Е / (Аг)х? + 3 Е / (Аг)^+

г=1 {=], г,з>0

Е I АгАз (°тг +

+ / у |АгАз' Г I Хг + де- Х / ХгХз +

1<г<з<4 ^ гз зг '

+6а1110ж1ж2ж3 + 6а11о1ж1 ж2ж4 + 6а1о11ж1ж3ж4 + 6а0111ж2ж3 х4.

Будем считать, что точка х € Т задана своими барицентрическими координатами (ж1,ж2,ж3,ж4), тогда производные по направлениям можно вычислить по следующему правилу [2]:

а/м 1 ^/м а/(хл,.. = 1,2,з,4,. = . (4)

дегз | АгАз | ^ джз джг

Для краткости будем обозначать /г = /(Аг),г = 1,3; д/ = ^д^, к = з; к, з = 1,4. Оценки отклонения производных третьего порядка по каждому из направлений е12, е13, е14 были получены в [2]. Рассмотрим

смешанные производные третьего порядка по паправлениям е12, е13, е14.

Оценим

де?4дв1з

. Остальные производные получаются аналогично.

Так как

|АгАз| ■ егз = |АгАк| ■ егк + ААз | ■ е^, г,з,к = 1,4,

то

д/ (х) = |АгАк | д/(х) + |АкАз | д/(х)

дегз |АгАз| дегк |АгАз| декз Применяя (4)и (5) в выражении ^е^, находя из третьего равенства условия (3) коэффициент 6а1011:

6аюП = 6/1 + 2|А1А3|- |А1А4|- |АхА4|+ 4|А1А4|

де13 де14 де14 де14

, | А1А41

+|А^|(е14, е13) получаем

6(/3 - /1) + |А1А31 (/ - / - 4|Ах

д 39(х) 2 / д/1 +

де^ = |А1А3| ■ |А1А4|2 ' - ""»Л + ^^ ' де13+

+1*4.1 ■^ + 2 ■ ■ /)

д е

13

|А1А4|2|А1АЗ| V | А1А3

/(Р13

^ (е1з, е14) [б(/з - /1) + |АхАз| ( /з

д е

31

—4| А1 Аз | -

д е

13

д е1з д/1

— 4|А1А4|+ |А А4| |/1 + 3| А1А41

де14 де14 де14

— |А1АЗ|/ + 1^/ + |АХА4|/.

д е1з д е1з д ем/

Обозначим через Л выражение, стоящее в квадратных скобках.

Представим д1(Р1з), Л1^, А13, д1(Р1з),/ п0 ф0рМуЛе Тейлора в

^ ^ д е14 ' де13 ' д е^ ' де13 ' •> 3' д е13 ^ г J ¡г

окрестности точки А1? тогда

|Л| < 1 М4|А1АЗ|4,

д/4

/з

д 3(О — /) д 3О д3/ ,

д е^д е1з д е^д е1з д е^д е1з

+1 |А1А4| */(а

1 |А1Аз|2 д4/(в)

3'" де14де1з 12 1А1А41 де33деи 1 |А1АЗ|2 д4/(7) 1

+

-(е1з, е14)Л

< СМ4-

А1А

1А4|

6 1А1А41 де?3де14 |А1АЗ|2|А1А4| где а и в, 7 _ точки, лежащие на ребрах е14 и е13 соответственно. Для получения оценок отклонения производных второго, первого и нулевого порядков по направлениям е12, е13, е14 будем рассуждать так. Рассмотрим криволинейный интеграл

х

Г ^ — /) = ^О-/)(Х) — ^— />(В),

д е^д е1зд е14

д е^д е1з

д е^д е1з

в

где В - точка, являющаяся проекцией точки х на боковую г рань А1А2 А3. Оценка выражения, стоящего под знаком интеграла, известна. Таким образом, нам осталось получить оценку для второго слагаемого в правой

части равенства. Но она уже была найдена ранее [4]: де^—з (В)

< ОМ4^2. Следовательно,

<

д 2(О — /)

д е^д е1з

< СМ4

¿4

|А1АЗ ЦА1А2Г

д "(Q-f)

д e\2dek3de"-i-k

Рассуждая аналогично получим утверждение теоремы.

Теорема доказана.

Заметим, если ребра A1A2, A1A3, A1A4 являются длинными, т.е. длина каждого из них больше половины диаметра, то справедливы оценки:

< CM4d4-n, 1 < n < 3, 0 < i, k < n (i + k < n).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Zenisek A., Hoderova-Zlamalova J. Semiregular Hermite tetrahedral finite elements I I Appl. of Math. 2001. Vol. 46., № 4. P. 295-315.

2. Куприянова Ю. В. Об одной теореме из теории сплайнов // ЖВМ и МФ, 2008. Т. 48,№ 2. С. 206-211.

3.Байдакова Н. В. О некоторых интерполяционных многочленах третьей степени на трехмерном симплексе // Труды Института математики и механики. Екатеринбург : УрО РАН. 2008. Т. 14, № 3. С. 43-57. "

4. Мелешкина А. В. Об аппроксимации производными интерполяционного многочлена Эрмита на треугольнике // ЖВМ и МФ. 2010. Т. 50, JVS 2. С. 211-220.

УДК 519.713.2, 512.534

В. А. Молчанов

КОНКРЕТНАЯ ХАРАКТЕРНЗАЦИЯ УНИВЕРСАЛЬНЫХ ПЛАНАРНЫХ АВТОМАТОВ

В статье изучаются универсальные планарные автоматы, подавтоматы которых охватывают гомоморфные образы всех планарных автоматов.

Под плоскостью [1] будем понимать систему вида П = (X, Ь), где X -непустое множество точек и! - семейство его подмножеств, именуемых прямыми, удовлетворяющее следующим аксиомам: (А1) через любые две точки проходит одна и только одна прямая; (А2) каждая прямая содержит по крайней мере три точки; (А3) в мпожестве X есть три точки,

П

активной, если любые две ее прямые имеют общую точку, и аффинной, если для любой прямой I € Ь и любой точки х € X \ I существует такая единственная прямая Г, что х € Г и I П V = 0.

По определению планарные автоматы являются структу-ризованными автоматами [2] А = (^,А, В,^, А) с множеством состояний ^ и множеством выходных сигналов В, наделенными структурами плоскостей Пд = (^,Ьд) и Пв =

68