Эрмитова интерполяция на симплексе Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.5

ЭРМИТОВА ИНТЕРПОЛЯЦИЯ НА СИМПЛЕКСЕ

Р. Ш. Хасянов

Хасянов Рамис Шавкятович, студент, Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского, Россия, 410012, Саратов, Астраханская, 83, [email protected]

В статье рассмотрена задача полиномиальной интерполяции и аппроксимации функций многих переменных на n-мерном симплексе в равномерной норме посредством многочленов 3-й степени. Выбраны интерполяционные условия в терминах производных по направлениям ребер симплекса. В этих же терминах получены оценки отклонения производных многочлена от соответствующих производных интерполируемой функции в предположении, что интерполируемая функция имеет непрерывные производные по направлениям до 4-го порядка включительно. Определено понятие длинного ребра и в терминах длинных ребер введены геометрические характеристики симплекса. Доказано, что для размерности 3 и 4 интерполяционные условия можно выбрать так, что оценки отклонения производных не зависят от геометрии симплекса, а в случае размерности больше 4 при выбранных интерполяционных условиях это невозможно.

Ключевые слова: эрмитов сплайн, симплекс, многомерная интерполяция на симплексе, метод конечных элементов.

DOI: https://doi.org/10-18500/1816-9791-2018-18-3-316-327 ВВЕДЕНИЕ

Пусть D — подмножество евклидового пространства Rn (n ^ 3), на котором можно построить геометрический комплекс {T(разбить D на симплексы T). Будем рассматривать задачу выбора на симплексе T интерполяционных условий для построения многочлена Эрмита третьей степени, производные до третьего порядка включительно которого будут аппроксимировать соответствующие производные некоторой функции f е C4(T). Задача многомерной аппроксимации на симплексе изучалась, например, в работах [1—4]. В данной работе мы предлагаем новый способ построения многочлена Эрмита на многомерном симплексе (эрмитов многочлен строился, например, в работах [5-8]). Есть смысл получать оценки отклонения в терминах производных по направлениям так, чтобы оценка становилась «лучше» при уменьшении диаметра симплекса (измельчении комплекса). В [9] требуемый результат был получен для тетраэдра. Наш результат распространяется и на трёхмерный случай. От полученного результата из [9] он отличается только одним интерполяционным условием. Дадим необходимое определение и сформулируем результат из [9]:

Определение 1. Пусть P0,P\ ,..., Pn е Rn — аффинно независимые точки, т. е. точки, не лежащие ни в какой гиперплоскости пространства Rn (подпространстве размерности n — 1). Тогда любая точка P е Rn единственным образом представима в виде

P = U + ао—Pq + ai — Pi + ... + avU Pn, (1)

© Хасянов Р. Ш., 2018

гДе ЕП=оа« = 1, U G Rn. Оказывается, что числа а0, a,...,an не зависят от выбора точки U и, выбирая U = (0,0,..., 0), (1) можно переписать в виде P = a0P0 + а1 Pi + ... + anPn. Тогда говорят, что точка P имеет барицентрические координаты (а0, ai,..., an).

Заметим, что барицентрические координаты зависят от выбора точек P0,

Pi,..., Pn.

Теорема 1 (см. [9]). Пусть T = A0A1A2A3 — тетраэдр, f G C4(T),

M4 = max max max

ei ,e2,ез,e4 0^ij ^4:^ ij =4 xGT

9 4 f (x)

def de22 de*33 de44 ’

где ei, e2, e3, e4 — всевозможные направления в тетраэдре.

В любом тетраэдре есть вершина, из которой выходят по крайней мере два

ребра, больших -, пусть это будет вершина А3. Будем считать, что точка x задана своими барицентрическими координатами (x0, xi, x2, x3) относительно вершин треугольника, d — диаметр T, и пусть многочлен удовлетворяет следующим условиям:

f (Аг ) = Q (Ai), i = 0,3,

3f(Ai) d Q (Ai)

9 ej

d ei

d(Q - f) (P32) дез0

d(Q - f )(Pi0)

дез2

= 0,

i,j = 053, i =

d(Q - f) (P32)

дез1

= 0,

0, 8(Q - f )(P-0) =0,

de3i

где Pi, — середина отрезка [AiА,-], eij =

Ai Aj I Ai Aj |'

Тогда существует C > 0 такое, что для всех x G T имеет место дr (Q - f )(x)

de‘30deli 9e3- i k

< CM4d4 r, 1 ^ r < 3, 0 ^ i,k < r (i + k ^ r).

Мы будем получать оценки, не зависящие от геометрии симплекса в пространствах размерности 3 и 4, а в пространствах большей размерности для получения «хорошей» оценки нужно будет выбрать подходящую триангуляцию, так как в этом случае в оценке присутствует дополнительный параметр, который связан с коэффициентом изопериметричности симплекса [10]. Вопросы триангуляции в аппроксимации производных изучались в работах [11-13].

1. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

В [14] был получен аналогичный результат на треугольнике. Этим результатом мы будем пользоваться при доказательстве основной теоремы.

Теорема 2 (см. [14]). Пусть T = A0A1A2 — замкнутый невырожденный треугольник на плоскости, функция f е C4(T), d — диаметр T, (x0,xi, x2) — барицентрические координаты точки x относительно вершин тетраэдра. P01 —

средняя точка стороны [A0A1 ], выберем число с> 0 и пусть |A0A21 > d.

M4 = max max max

ei ,e2 0^fc^4 xGT

д 4 f (x) д eQ d e42-k

где e1, e2 — всевозможные направления в треугольнике. Многочлен

Q(x) = ^2 агх3 + ^ адx2Xj + «012Х0Х1Х2

i=0 0^i,j ^2

j=j

определяется следующими интерполяционными условиями:

df (Aj) de,j

f (A,) = Q(Aj) = dQ(A,)

de,j ’

i = 0, 2, i, j = 072,

df (P01) = 9Q(Pq1 ) де.й-2 de 02

i = j,

Тогда для любого x справедливы неравенства

дr f (x)

d eQ1d e02-

^ 4cM4d4-r,

1 ^ r ^ 3,

0 ^ k ^ r.

Определение 2. Симплексом (точнее, п-симплексом, где число n называется размерностью симплекса) называют выпуклую оболочку n +1 точки аффинного пространства (размерности n или больше), которые предполагаются аффинно независимыми (то есть не лежат ни в одном подпространстве размерности n — 1). Эти точки называются вершинами симплекса.

В символике барицентрического исчисления n-мерный симплекс может быть охарактеризован как множество всевозможных точек с неотрицательными барицентрическими координатами относительно вершин симплекса.

Предложение 1. Пусть T = A1A2 ...An+1 — n-симплекс, x е T (точка x не лежит на границе симплекса). Пусть l — луч, выходящий из точки x и направ-

—. A j

ленный по ejj = . /Л.

jj |A Aj |

Тогда луч l пересечёт (n — 1)-мерную грань симплекса без вершины A, и не пересечёт остальные (n — 1)-мерные грани.

Доказательство. Выберем на луче l точку у. Пусть x = (x1 , x2,...xn+1), у = (y1 , y2,.. . yn+1) в барицентрической системе координат. Тогда для всех i, x, > 0 и xy = (y1 — x1 ,y2 — x2,...yn+1 — xn+1).

Запишем факт принадлежности точки у лучу l:

3 X > 0 : ху = XA—. (2)

--->

Барицентрические координаты вектора A*Aj записываются в следующем виде:

A^^ATJ = (о, о,... ij, о,... (-1)*, о,... 0).

Тогда (2) перепишем в виде системы уравнений с неизвестным X:

У\ - xi = 0,

yj — xj = Х,

Уг — Xi = —X,

yn+l xn+1 0-

Известно, что точка x попадёт на (n — 1)-мерную грань симплекса без вершины Аг и не попадёт на остальные (n — 1)-мерные грани тогда и только тогда, когда координата уг = 0 и все остальные координаты ys = 0.

Подставим в систему уравнений уг = 0, тогда получим решение X = хг.

Если yj = 0, то X = — Xj < 0, а если ys = 0(s = i, s = j), то xs = 0. Но X, xs > 0. □

2. ОСНОВНОЙ РЕЗУЛЬТАТ

Пусть T = А0А1 ...An есть n-симплекс (n ^ 3), d — диаметр этого симплекса (длина наибольшего ребра). Пусть cn > 1. Назовём ребро длинным, если оно больше,

чем —. Будем предполагать, что симплекс T выбран таким образом, что в нём можно

cn

найти вершину, из которой выходят по крайней мере (n — 1) длинное ребро, и пусть это будет вершина An. Длинные рёбра обозначим [AnAm] и [AnА\], а те, про которые неизвестно, являются ли они длинными или нет, назовём неизвестными и обозначим

их [AnAs] (m < l < s).

Пусть

M4 = max max max

ei ,e2,ез,e4 0^ij ^4:^ ij =4 X£T

d 4 f (x)

dei de22 dejf de44 ’

где ei, e2 .e3, e4 — всевозможные направления в симплексе.

Будем считать, что точка x задана барицентрическими координатами

(X0 ,Xi ,X2,... ,Xn).

Пусть многочлен

Q(x) = ^2 a xi + X2

a

x2 x

ij i

i=0

0^i,j ^n i=j

j + aijk xi xj xk

0 ^i<j<k^n

удовлетворяет следующим интерполяционным условиям:

f (Aj) = Q(Ai), i = 0, n,

df(Ai) dQ(Ai)

d e,j

d eij

i,j = 0,n, i = j,

d(Q - f )(Pnk)

d enp

= 0, 0 ^ p < k < n,

d(Q - f )(Pij)

d enp

0, 0 ^ i < j < p < n,

(3)

(4)

(5)

(6)

где Pj есть середина отрезка [A*Aj], etJ

A* Aj

lAjAji •

Теорема 3. Пусть f (x) € C4(T), тогда для любой точки x € T dr(Q - f )(x)

de* dej der * j d enm d eud eus

< 15c„M4d4-r, 1 < r < 3, 0 < i, j < r, i + j < r. (7)

um^^ul

Доказательство. Обозначим

f* = f (A*), i = 0, n,

dfi df (A*)

defcj defcj

k,j = 0,n, k = j

Коэффициенты a* можно найти из условия (3): a* = f*.

Производные по направлениям вычисляются с помощью следующего правила:

dQ(x)

1

dQ(x) dQ(x)

de*j |A*Aj | V dxj

dx*

(8)

Из этой же формулы и из интерполяционных условий (4) нетрудно найти коэффициенты a*j:

df

ai

j de*j * j

|A* Aj1 + 3f* •

(9)

Из условий (5) и (6) можно вычислить оставшиеся CU+1 коэффициентов (или их разности, которые понадобятся в дальнейшем):

amlu = 4^^. |AuAm1 + 6fu + 2—— |AuAl1 + |AuAm| Г + d ^ 5

deum deul V demu demu J

a*jm a*ju

4

df (P‘j ) |AuAm | - f |Au Am | - f |Au Am | •

de7

de?

de?

Производная многочлена третьего порядка, взятая три раза по одному и тому же направлению, имеет вид

д 3Q(x) 6

de3

um

|AuAm|3 -

2(fu - fm) + |Au Am И f f

de

um de

um

Оценим отклонение

д3 (Q - f )(x)

del

. Для этого представим fn и

де

по фор-

муле Тейлора в окрестности точки Am с остаточным членом в форме Лагранжа (в дальнейшем не будем указывать вид остатка, подразумевая форму Лагранжа), т. е.

fn fm “ де |An Am 1 + 2’ де2 |An Am ^ + 3’ дез |An Am ^ + 4’ de4 ^|An Am 1''

demn 2’ denm 3’ denm 4’ denm

dfm + f |An Am| + 1 f |An Am|2 + ^ f4 A Am|3,

dfn

denm denm ' de2nm r~n^"1' ' 2’ denm

3’ de4

nm

где £ и n — точки, лежащие на ребре [AnAm]. Тогда имеем

d3(Q - f )(x)

дe3

nm

д3 fm д3 f (x)

дe3

nm 3

+

1

denm | AnAm|3

_/i A A ,4 д 4 f (П) |An Am.|4 д 4 f (C ) A

n|AnAm | dei„ 2 aeL, У

д3/т. д 3 f (x)

дe3

del

+

1

|An Am |3

14 A |4 д4f (n) |AnAm|4 д4/(C)

| An Am|

дe4

дe4

nm

Применяя теорему о среднем на отрезке [xAm] по направлению e = тывая, что четвёртые производные ограничены, получаем следующее:

xAm |xAm |

и учи-

д 3 fm д 3 f (x)

дe3

nm

del

+

1

|An Am|3

14 A |4 д4f (n) |AnAm|4 д4f (C)

| An Am|

дe4

2

del

^ M4 |xAm | + 2|AnAm |M4 ^ 3M4d = 3cnM4d.

д 3Q(x)

Теперь оценим смешанную производную 7—-—-—, взятую два раза по «длинным»

denm jens

направлениям и один раз по «неизвестному». Поскольку |AiAj|ej = |A*Afc|e^ + |AfcAj|efcj, то

df (x) = |AiAfc | df (x) + |AkAj | df (x) dej |AiAj | de^ AAj | defcj '

(10)

д 3 Q(x)

Применяя (5) и (10) в вычисление——-—, получаем:

denm dens

2

д3 Q(x) =_______________

denm dens |AnAm |2|AnAs

( 3fn + ams + ans amn + 2anm asmn)

|An Am12 |An As |

Представим

+

+

2 . . , / .fPns) , dfs + 3 df 4 + IA A дfm df

дe

дf (Pns) dfs dfTO

и

l(|A„Am^- 4 ge ^ +31 l“"“5'Vde de

? | 4 4 д/enm д/enm aenm 7 'dens de

3 jet)a-| (f - £))-

дe 5 дe

nm

dens

по формуле Тейлора в окрестности точки An :

df(Pns) df + |An As | d2 f

de.

denm

2 denmdens 2’ V 2

+ ^ / |An As 142 d3f

denm de^

+ ^ / |An As 143 df (C)

3’ 2

de de3 5

denmdens

УУ = f , d2fn |A A , + 1 d3fn |A A ,2 + 1 d4f(n) |A A ,3

denm de„,„. + de„m. dens| n s | + 2’ denm den.,| n s | + 3’ denmdens| n s | ’

f f , d\fn ,A A , , 1 93fn 2 , 1 d4f(a) 3

9e„« депа + densdenm |AnAm 1 + 2! dena3elm |AnAm 1 + 3! 3enmd43 |AnAm 1 ’

где C, n и a — точки, лежащие на рёбрах [AnAs] и [AnAm] соответственно. Тогда, учитывая, что |AnAm| > —, и используя теорему о среднем, получаем:

cn

d3 (Q _ f )(x) d3 f u fm d 3 f (x) 1 1 \ AnAm \\AnAs\3 dif(;n)

de2 de uenmuens de2nm dens delm dens \An Am \2 \An As\ 3 denm dens

1 GO | ^ 3 / \An As \ \ 3 d4f (C) , \AnAmi3\AnAs\ d4f(a) ^ 3cnM4d'

\\ 2 ) de de3 nm ns 6 de^de^

В случае, когда производная берётся по двум «неизвестным» направлениям и одному «длинному», оценка получается аналогично.

Теперь рассмотрим производную по трём различным направлениям.

д3 Q(x)

д enm д enlд ens

amls alsn + 2anl + ans amsn amln 6fn + 2a

|An Am| 1 An Al11 An As 1

4_______(df (Pls) _ df (Pnl) _ df (Pns) , df

........ " " de„m. de

|An Al11 An As \ \ dem

de,

n

nm

A

Рассмотрим треугольник AAnAlAs (рис. 1): в нём отрезок [PnlPls] есть средняя линия. Тогда по теореме о среднем

3f(Ph) df (Pnl) d2f(C)

As

Рис. 1. Треугольник AAnAlAs Fig. 1. Triangle AAnAlAs

Я я я я '\Pnl Pls1

denm denm denmdens

= 2|AnAs| de de^ £ [PnlPls]'

nm ns

По формуле Тейлора

df (Pns) dfn , 1 d2 f (n)

denm

de

+ -■

nm 2 denm dens n £ [PnsAn]'

|An As |’

Следовательно,

d3 Q(x)

2 ( d2f(0 d2f(n)

denmdenldens |AnAl \ \ denmdens denmdens J

Снова применяем теорему Тейлора, выбрав заранее точку в £ [PnlPns] такую, что

[ne]||[AnAl] :

d2f(n) д 2f (в)

д3 f (a) |AnAl |

denmdens deadens denmdens devI

Подставляем д3 Q(x)

’ a £ [ne]'

2 ( d2f (C) d2f (в) , \AnAl | d3f (a)

denmdenldens \ ^^n^^l \ V denmdens denm dens 2 denmdens denl J

2

По теореме Лагранжа

д2f(e) д2f(в) = в э3/(а)

де де де де де де2

и ^nmu °ns ^ ^nmu °ns ^ ^nmu °ns

В итоге получаем:

д3Q(x) = 2 |$в| д3/(а) + д3f (a)

дenmдenlдens | AnAl | дрnmдррns дрnmдрnsдрnl

Оценим разность, используя полученные выше результаты:

д3 (Q - f )(x)

д enm д enlд ens

|ee |

+ т

д3f(a)

д 3 f (x)

< 2

|An Ai |

lee \ д 3 f (a)

|AnAl| дрnmде^ деятдens деи1 дрnmдens Эрп

^ 7cnM4d.

<

д3 f (а) + д 3 f(a) д 3 f (x)

дenm де^ дрnm де^ Эрп1 дenm дens д рп1

2

l

Для нахождения производных первого и второго порядка воспользуемся методом математической индукции.

1. Рассмотрим тетраэдр AnAmAlAs. Напомним, что ребро AnAs является неизвестным. Занумеруем его вершины: 3 := п, 2 := s, 1 := l, 0 := m.

Тогда интерполяционные условия (5) и (6) для тетраэдра будут выглядеть следующим образом:

д(Q - f )(P3i)

д e30

д(Q - f )(P32)

д e3i

= 0, = 0,

д(Q - f )(P32)

д e30

д(Q - f)(Poi)

д e32

= 0, = 0.

Заметим, что от интерполяционных условий в [9] они отличаются только одним равенством.

Для всех граней, кроме ДА0A1A2, нашего тетраэдра выполняются условия теоремы [14].

Рассмотрим треугольник ДА3А2А1. В нём---------------= 0, причём |A3A1| > —.

де31 Cn

Это означает, что для этого треугольника можно воспользоваться теоремой [14]: Для любого x е ДА3A2A1 справедливы неравенства

^ 4cnM4d4 r, 1 ^ r ^ 3, 0 ^ k ^ r.

Возьмём точку x е A3A0A1A2 и спроектируем её параллельно противоположному направлению A0А3 на грань ДА3A2А1. Обозначим проекцию через с. Тогда по теореме Лагранжа

дr f (x)

д ek1д е3-k

д2 (Q - f )(x)

д e31 д e32

д 2 (Q -f )(с) д e31<9 e32

^3(Q-f)(e)|AA |

дe319e32дe3o | 3 0|

< 11cn M4d2,

аналогично и с остальными производными.

A

2. Нетрудно видеть, что для всех (n — 1)-граней n-симплекса AnAn-i ...AiA0, кроме грани An-i ...A0, выполняются условия доказываемой теоремы. Предположим, что в них можно получить требуемую оценку производных. Возьмём точку x в n-симплексе и спроектируем её параллельно противоположному «длинному» направлению AnAm на ту грань, в которой известны оценки производной, которую мы аппроксимируем. По предложению 1 проекция будет лежать на (n — 1)-грани, не содержащей точку Am. Аналогично первому пункту находим оценку для оставшихся производных. □

Предложение 2. 1. В любом тетраэдре можно найти вершину, из которой

выходят по крайней мере два ребра, больших -, и в любом 4-симплексе есть

2

вершина, из которой исходят по крайней мере три ребра, больших -.

__ 2

2. Для любого натурального n ^ 5 и для всякого c > 0 существует такой

n-симплекс, из всех вершин которого выходят по крайней мере два ребра, длина

которых не больше чем -.

c

Доказательство. 1. Докажем первый пункт предложения. Так как 4-симплекс имеет 5 вершин Ai, A2, A3, A4, A5, каждая из которых соединена рёбрами со всеми остальными вершинами, то его можно рассматривать как полный граф с пятью

вершинами (рис. 2).

Пусть [AiA2] — самое длинное ребро в симплексе, т. е. |AiA21 = d.

A3 Рассмотрим треугольник AAiA2A3. В нём

либо |AiA31 > -, либо |A2A31 > -, иначе по 22 неравенству треугольника

d < |AiA31 + |A2A31 < 2 + 2 = d.

Пусть для определённости |AiA31 > d (на рис. 2

2

выделены рёбра, которые больше, чем d/2). Таким образом, так как AiA2A3A4 — тетраэдр, предложение для тетраэдра доказано.

Теперь рассмотрим треугольник AAiA2A4. Если в нём |AiA41 > -, то первый

2

пункт предложения доказан. Если же |A2A41 > -, то аналогично рассматриваем

2

AAiA2A5, и первый пункт доказан.

2. Для простоты докажем второй пункт для 5-симплекса. Доказательство для случая симплекса произвольной размерности получается аналогичным образом. Выберем x > 0 и построим симплекс со следующими аффинно независимыми вершинами:

Ai = (x + 1,1,0, 0,0), A2 = (x, 1, 0,0, 0), A3 = (x, 0,1, 0, 0),

A4 = (0, 0, 0,1, 0), A5 = (0,0, 0,0,1), A6 = (0, 0, 0,0, 0).

Рис. 2. 4-симплекс с выделенными рёбрами

Fig. 2. A 4-simplex with distinguished edges

Диаметр симплекса равен d(x) = л/(х + 1)2 + 2. Выберем c > 0 — произвольное. Тогда мы можем взять x достаточно большим, чтобы считать, что длины рёбер

[A1A2], [AiA3], [A2A3], [A4Aa], [A5Аб] и [A5A6] будут меньше, чем d(x). Таким об-

c

разом, при любом c > 0 можно найти 5-симплекс, из каждой вершины которого

выходит по крайней мере два ребра, длина которых меньше, чем

d

c

□

Следствие 1. В случаях размерностей n = 3 и n = 4 в неравенствах (7) можно избавиться от параметра cn и получить следующие оценки:

дr(Q - f )(x)

д e’nm 9 e?ni 9

< ЗОМ4d4-r,

1 ^ r ^ 3, 0 ^ i, j ^ r, i + j ^ r.

Второй пункт предложения означает, что если n ^ 5, то в неравенствах (7) нельзя избавиться от параметра cn. Отметим, что с похожей проблемой столкнулась Н. В. Байдакова в работе [15], где интерполяция проводилась в равномерных узлах симплекса.

Благодарности. Автор признателен профессору Сергею Фёдоровичу Лукомскому за постановку задачи и внимание к работе.

Библиографический список

1. Ciarlet Р. G., Paviart P. A. General Lagrange and Hermite interpolation in Rn with applications to finite element methods // Arch. Rational Mech. Anal. 1972. Vol. 46, iss. 3. P. 177-199. DOI: https://doi.org/10.1007/BF00252458

2. Субботин Ю. H. Зависимость оценок многомерной кусочно-полиномиальной аппроксимации от геометрических характеристик триангуляции // Тр. МИАН СССР. 1989. Т. 189. С. 117-137.

3. Субботин Ю. H. Погрешность аппроксимации интерполяционными многочленами малых степеней на n-симплексах // Матем. заметки. 1990. Т. 48, вып. 4. С. 88-99.

4. Килижеков Ю. А. Погрешность аппроксимации интерполяционными многочленами первой степени на n-симплексах // Матем. заметки. 1996. Т. 60, вып. 4. С. 504-510. DOI: https://doi.org/10.4213/mzm1858

5. Куприянова Ю. В., Лукомский С. Ф. Об оптимальном выборе интерполяционного сплайна по треугольной сетке // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2005. Т. 5, вып. 1-2. С. 26-33.

6. Матвеева Ю. В. Об эрмитовой интерполяции многочленами третьей степени на треугольнике с использованием смешанных производных // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2007. Т. 7, вып. 1. С. 23-27.

7. Мелешкина А. В. Об аппроксимации производных интерполяционного многочлена Эр-мита на треугольнике // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2010. Т. 50, № 2. С. 211220.

8. Zenisek A. Maximum-angle condition and triangular finite element of Hermite type // Math. Comput. 1995. Vol. 64, № 211. P. 929-941. DOI: https://doi.org/10.2307/2153477

9. Куприянова Ю. В. Об одной теореме из теории сплайнов // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2008. Т. 48, № 2. С. 206-211.

10. Клячин В. А., Шуркаева Д. В. Коэффициент изопериметричности симплекса в задаче аппроксимации производных // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, вып. 2. С. 151-160. DOI: https://doi.org/10.18500/1816-9791-2015-15-2-151-160

11. Клячин В. А., Широкий А. А. Триангуляция Делоне многомерных поверхностей и ее аппроксимационные свойства // Изв. вузов. Матем. 2012. № 1. С. 31-39.

12. Клячин В. А. Модифицированное условие пустой сферы Делоне в задаче аппроксимации градиента // Изв. РАН. Сер. матем. 2016. Т. 80, № 3. С. 95-102. DOI: https://doi.org/10.4213/im8350

13. Клячин В. А. О многомерном аналоге примера Шварца // Изв. РАН. Сер. матем. 2012. Т. 76, № 4. С. 41-48. DOI: https://doi.org/10.4213/im6845

14. Куприянова Ю. В. Об аппроксимации производных интерполяционного многочлена по направлениям на треугольнике // Современные методы теории функций и смежные проблемы : материалы Воронеж. зимн. матем. шк. Воронеж : Воронеж. гос. ун-т, 2007. С. 120-121.

15. Байдакова Н. В. Об оценках П. Жамэ для конечных элементов с интерполяцией в равномерных узлах симплекса // Матем. тр. 2017. Т. 20, вып. 1. С. 43-74. DOI: https://doi.org/10.17377/mattrudy.2017.20.103

Образец для цитирования:

Хасянов Р. Ш. Эрмитова интерполяция на симплексе // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2018. Т. 18, вып. 3. С. 316-327. DOI: https://doi.org/10.18500/1816-9791-2018-18-3-316-327

Hermite Interpolation on a Simplex

R. Sh. Khasyanov

Khasyanov Ramis Shavkyatovich, https://orcid.org/0000-0002-2819-5781, Saratov State University, 83, As-trakhanskaya Str., Saratov, 410012, Russia, [email protected]

In the paper, we solve the problem of polynomial interpolation and approximation functions of several variables on an n-dimensional simplex in the uniform norm using polynomials of the third degree. We choose interpolation conditions in terms of derivatives in the directions of the edges of a simplex. In the same terms we obtained estimates of the deviation of derivatives of polynomial from the corresponding derivatives of an interpolated function under the assumption that the interpolated function has continuous directional derivatives up to the fourth order inclusive. We defined a long edge and in these terms we introduce the geometric characteristics of the simplex. It is proved that for dimensions 3 and 4, the interpolation conditions can be chosen so that the estimates the deviations of the derivatives do not depend on the geometry of the simplex, and in the cases of dimensions greater than 4 with the selected interpolation conditions it is impossible.

Key words: Hermite spline, simplex, multidimensional interpolation on simplexes, finite elemet method.

Acknowledgements: The author is grateful to Prof. Lukomskii for setting the goal and the attention he paid to this research.

References

1. Ciarlet Р. G., Paviart P. A. General Lagrange and Hermite interpolation in Rn with applications to finite element methods. Arch. Rational Mech. Anal., 1972, vol. 46, iss. 3, pp. 177-199. DOI: https://doi.org/10.1007/BF00252458

2. Subbotin Yu. N. Dependence of estimates of a multidimensional piecewise polynomial approximation on the geometric characteristics of the triangulation. Proc. Steklov Inst. Math., 1990, vol. 189, pp. 135-159.

3. Subbotin Yu. N. Error of the approximation by interpolation polynomials of small degrees on n-simplices. Math. Notes, 1990, vol. 48, iss. 4, pp. 1030-1037. DOI: https://doi.org/10.1007/BF01139604

4. Kilizhekov Yu. A. Approximation error for linear polynomial interpolation on n-simplices. Math. Notes, 1996, vol. 60, iss.4, pp. 378-382. DOI: https://doi.org/10.1007/BF02305420

5. Kupriyanova Yu. V., Lukomskiy S. F. On optimal choice of interpolation spline on triangular net. Izv. Saratov Univ. (N.S.) Ser. Math. Mech. Inform., 2005, vol. 5, iss. 1-2, pp. 26-33 (in Russian).

6. Matveeva Yu. V. Method of Hermite Interpolation by Polynomials of the Third Degree on a Triangle Using Mixed Derivatives. Izv. Saratov Univ. (N. S.) Ser. Math. Mech. Inform., 2007, vol. 7, iss. 1, pp. 23-27 (in Russian).

7. Meleshkina A. V. On the approximation of derivatives of the interpolation Hermite polynomial on a triangle. Comput. Math. Math. Phys., 2010, vol. 50, iss. 2, pp. 201-210. DOI: https://doi.org/10.1134/S0965542510020016

8. Zenisek A. Maximum-angle condition and triangular finite element of Hermite type. Math. Comput., 1995, vol. 64, no. 211, pp. 929-941. DOI: https://doi.org/10.2307/2153477

9. Kupriyanova Yu. V. On a theorem in spline theory. Comput. Math. Math. Phys., 2008, vol. 48, iss. 2, pp. 195-200. DOI: https://doi.org/10.1007/s11470-008-2003-5

10. Klyachin V. A., Shurkaeva D. V. Isoperimetry Coefficient for Simplex in the Problem of Approximation of Derivatives. Izv. Saratov Univ. (N.S.) Ser. Math. Mech. Inform., 2015, vol. 15, iss. 2, pp. 151-160 (in Russian). DOI: https://doi.org/10.18500/1816-9791-2015-15-2-151-160

11. Klyachin V. A., Shirokiy A. A. Delaunay triangulation of multidimensional surfaces and its approximation properties. Russian Math. (Iz. VUZ), 2012, vol. 56, iss. 1, pp. 27-34. DOI: https://doi.org/10.3103/S1066369X12010045

12. Klyachin V. A. Modified Delaunay empty sphere condition in the problem of approximation of the gradient. Izv. Math., 2016, vol. 80, iss. 3, pp. 549-556. DOI: https://doi.org/10.1070/IM8350

13. Klyachin V. A. On a multidimensional analogue of the Schwarz example. Izv. Math., 2012, vol. 76, iss. 4, pp. 681-687. DOI: https://doi.org/10.1070/IM2012v076n04ABEH002601

14. Kupriyanova Yu. V. Approximation of directional derivatives of interpolating polynomial on a triangle. Contemporary Methods in Theory of Functions and Adjacent Problems : Proc. of the Voronezh Winter Mathematical School. Voronezh, Voronezh State Univ., 2007, pp. 120-121 (in Russian).

15. Baydakova N. V. Jamet estimates for finite elements with interpolation in uniform nodes of a simplex. Siberian Adv. Math., 2017, vol. 28, iss. 1, pp. 1-22. DOI: https://doi.org/10.3103/S1055134418010017

Cite this article as:

Khasyanov R. Sh. Hermite Interpolation on a Simplex. Izv. Saratov Univ. (N. S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2018, vol. 18, iss. 3, pp. 316-327 (in Russian). DOI: https://doi.org/10.18500/1816-9791-2018-18-3-316-327