О применении многомерных сплайнов при численном решении задач математической физики на примере простейшего уравнения теплопроводности Текст научной статьи по специальности «Математика»

Родионов В.И.1, Родионова Н.В.2

1 Удмуртский государственный университет, г. Ижевск, к.ф.-м.н., декан,

rodionov@uni . udm . ги 2 Удмуртский государственный университет, г. Ижевск, старший преподаватель,

[email protected]

О применении многомерных сплайнов при численном решении задач математической физики на примере простейшего уравнения теплопроводности

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА

Уравнение теплопроводности, интерполяция, сплайн, трехдиагональная матрица, многочлены Чебышёва.

АННОТАЦИЯ

В качестве приближенного решения первой краевой задачи для простейшего уравнения теплопроводности предложен оптимальный сплайн, дающий наименьшую невязку в пространстве двумерных сплайнов, представляющую собой норму в пространстве Ь2. Для коэффициентов сплайна и для его невязки получены точные формулы. Формула для невязки представляет собой положительно определенную квадратичную форму от конечных разностей дискретно заданных начальных условий исходной задачи. Коэффициенты формы вычислимы через многочлены Чебышёва. Получен алгоритм численного решения задачи, имеющий линейную вычислительную сложность.

Введение. Пусть У>0, а непрерывная функция ф:[0,1 [[ такова, что ф(0) = ф(1) = 0. Хорошо известно, что точное решение и = и(г,х) задачи и =Уихх, и(0,х) = ф(х), ге[0,1 ], и(г,0) = и(М) = 0, ге[0,1 ], (1)

допускает явное представление в виде ряда Фурье с функциональными (по переменной г) коэффициентами (см., например, [1], с. 202). С позиций численного анализа требуется лишь построить полином Фурье, аппроксимирующий этот ряд с заданной точностью (вычислить достаточное количество коэффициентов Фурье). Сложность вычислений есть величина 0(ЫМ), где N - количество слагаемых в полиноме, а М -количество узлов численного интегрирования коэффициентов Фурье.

В рамках теории разностных схем (см., например, [2], с. 257) сложность вычислений есть величина О(пт), где п и т - это количество слоев по переменным х и г соответственно (на каждом временном слое методом прогонки решается линейная система уравнений с трехдиагональной матрицей).

В первом случае под приближенным решением понимается частичная сумма ряда Фурье, а во втором - дискретно заданная в узлах сетки функция (вне точек сетки значения приближенного решения вычисляются с помощью тех или иных интерполяционных методов).

В настоящей работе предлагается алгоритм численного решения исходной задачи, имеющий линейную вычислительную сложность (в зависимости от параметра n, где n - количество слоев по переменной x): методом прогонки решается одна-единственная линейная система уравнений с трехдиагональной матрицей. В некотором смысле это «гибридный» алгоритм: с одной стороны, мы строим сходящуюся к точному решению последовательность сплайнов (по аналогии с последовательностью частичных сумм ряда Фурье), а с другой, - вычисляем дискретно заданную в узлах сетки функцию.

В [3-10] мы применяем различные сплайны, а в рамках настоящей работы используются специальные двумерные сплайны лагранжевого типа [11-12].

1. Специальные многомерные сплайны. Точки x0,Xi ,...xne. Q"

такие, что векторы Axp...,Axn линейно независимы (где Axj = xj -Xo), порождают симплекс, который будем обозначать в виде < xo,x 1,... xn> .

Через {e1,K,en} обозначим стандартный базис в []". (Заметим, что векторы Ax15...,Axn также образуют базис этого пространства.) Очевидно,

квадратная матрица X = ( Xkj) порядка n, состоящая из скалярных произведений Xkj- = (ek, Axj), обратима, то есть существует матрица Y = (Yik) такая, что YX = En = XY (где En - это единичная матрица порядка w). Следовательно, для всех /, j&K справедливы равенства

Z Y*x4 =Е ЪС^.Дл,) = * Z =Z = 5, -

ireK JteK &К ¿еК

где К = {1,...,«}, 5, - символ Кронекера. Для любого г&К определим

функцию , И пусть

Через

обозначим барицентрические координаты точки относительно вершин симплекса "^V'^-V. Другими

словами, если N = {0,1-----а) = {0} L,'K то имеют место равенства и

.

Легко показать, что = Щ для всех i&N, поэтому

4 = + Z Ъ (Л) „ 4 = +2 Ъ ~ У, <£> л'о = Z Х£

.

- л

Таким образом, барицентрические координаты точки s13

представляют собой совокупность чисел (ф0(Х), Ф^Х),---, фп (X)). В частности,

Ф,0;) = $ у для всех /, 7, , следовательно, Ф,(Х) = 0 - это уравнение грани

сопф,: £е№{(}} симплекса

Зафиксируем целое неотрицательное число т и введем в рассмотрение частично упорядоченное множество мультииндексов ТчГт = N(7)/) = { а = .....о^) : с^е Е, а, > О, У) а, = ш }

,

где по определению полагаем а р р, если аi^вi для всех / еК (очевидно, а0-@0). Справедливо равенство саМК т = (п+т т).

Для любого полагаем по определению ¡ей . Очевидно,

д„е сопу|л,: i £n1 ± а /ела

а 1 ! а так как числа ^ •, ' - это барицентрические

координаты точки ха, то Ф, (ха) = т ai. Полагаем, далее, фк:0](Х) = 1 и

1=1

для всех ^ . Наконец, для любого

■ Дру

справедливо представление

полагаем . Другими словами, при т для любого

I

.

Зафиксируем мультииндексы а,веЫт . Если , то легко показать, что ф]^к](хр) = 0 для некоторого кеN, поэтому фа(хр) = 0. Если же а = р, то для всех к^Ы имеет место цепочка равенств

,

поэтому фа(хр) = 1. Таким образом, фа(хр) = 5ар для любых а,0еЫт .

Последнее обстоятельство позволяет легко доказать, что

совокупность 1 состоит из линеино независимых многочленов.

Через Р,„[Х] обозначим конечномерное пространство полиномов - л т

переменной ^ степени не выше (Степенью монома

= У

|а

¿ек называется сумма !еК , а степенью полинома -

максимум из степеней его мономов. Совокупность таких мономов образует базис пространства Рт [X], поэтому dimPm[X] = (п+тт).)

Очевидно, для любого следовательно,

{Г} и

совокупности '|1£Н(т) каждая из которых состоит ровно из

(п+т т) линейно независимых функций, являются базисами в пространстве

Рт[Х]. Первый базис называем далее стандартным, а второй - Б-базисом, подчеркивая его происхождение от симплекса S. В работе [12] приведены прямая и обратная матрицы перехода от стандартного базиса к Б-базису.

Теорема 1 (см. [12]). Пусть заданы симплекс V Л1-----V и

функция Р " . В пространстве Рт[Х] существует ровно один полином

Л = — OL. У,

Р „ Pix ) = F(x ) , а (EN , , ■'<*- ™ _

такой, что а а для всех "' (где ^n j. Он

представим в виде

Действительно, aeN(m) aeN(m) для

всех ßeNmt а единственность представления имеет место постольку,

Р m

поскольку r " - это S-базис в ")L .

Теорема в несколько иных терминах доказана в статье [11].

Зафиксируем функцию ^ п ■ , индекс r(EN и дВа симплекса

S = X X S' = <xLx[.....X . х,= х,' i<EN\\r\ ГЛ

о'-ч------V, и 1 л такие, что ' ' для всех 1 .Они

порождают в пространстве два базиса: S-базис ^ Ф и S'-базис

^эк следствие, определены два полинома вида (2):

Ж> = Z и Z ПОч^О)

■*<* -IS ^ К - £ Z аг x'

где использованы обозначения ^n и ^n

PQ и /*(■) Л „

Значения полиномов совпадают на общей грани

conv { л,: / е N\ {/ } } = conv { л': i е N\ {/ }}

,

что дает нам возможность осуществлять непрерывную стыковку полиномов вида (2), заданных на смежных симплексах. Данное обстоятельство позволяет аппроксимировать функции нескольких переменных сплайнами, построенными в соответствии с формулой (2) на произвольной триангулированной области.

В работах [3-10] получены точные формулы для коэффициентов и невязок оптимальных аппроксимирующих сплайнов простейших задач математической физики: для уравнения теплопроводности, для волнового уравнения, для уравнения Лапласа и для уравнения переноса. Мы иллюстрируем эти результаты на примере уравнения теплопроводности, см. [3-4].

2. Функционал невязок. Для численного решения задачи (1) мы применяем формулу (2), в которой и = т = 2 и ^ = = (¿,л) е [

Пусть П = [0,1]2, Же , п = N-1. Пусть, далее, т = = 0 = ух//?2, а точки (х^/г^еП так0ВЫ; что т;=/т, / = 0,1,2; И~ = jh, у=0,1,...,2А^ Среди всего

многообразия триангуляций множества П сетка {(т„ порождает следующие две:

Узлы сетки в которых требуется вычислить значения

сплайна, выделены черным цветом, а узлы на границе, где значения сплайна заданы, - полые.

Массив (и'), ' = 0,1,2, у = 0,1,..., 2N, называется допустимым, если и0 = ) для всех ] = 0,1,к,2N и и'0 = и'ш = 0 для всех ' = 0,1,2. Каждому

узлу сетки {(т 1, hj)} сопоставим значение и\. Тогда на каждом треугольнике

обеих триангуляций явно вычислимы полиномы вида (2), причем значения полиномов двух соседних треугольников совпадают на их общей границе. Последнее обстоятельство позволяет, в частности, определить

однозначные непрерывные функции 11 "я ,

«склеенные» из полиномов, построенных на треугольниках левой и правой триангуляций (см. рис. 1 и построения пункта 3). Эти функции, в свою очередь, порождают функции ию = X иь + ц ик, где X = (1 + ю)/2, ц = (1 - ю)/2, ше[-1,1 ], которые мы называем специальными сплайнами. Разнообразие таких сплайнов определяется лишь наборами чисел и', ' = 1,2, у N-1

, и параметром ю. Это означает, что при фиксированном ю сплайны образуют конечномерное пространство размерности 4 N - 2. Обозначим его о(П) = ош(П).

Определим оператор ^ с(П)^Ь2(П) следующим образом. Всякий

сплайн имеет частные производные любого порядка во всех

точках множества П, за исключением множества меры нуль:

{/ = 0 } и { / = 1 } ..... { , = }Ь1 ).;=0 ,.. { , + А , = & ,.. { л - А , = £ ■ [3] Пусть (Du)(t, х) = 0 во всех точках множества (3), а в остальных точках

квадрата П полагаем (Du)(t, х)у= и( - ихх. Таким образом, в качестве приближенного решения задачи (1) можно принять сплайн наилучшего приближения задачи

м м2 * 2

У = У (| о = I Лк II мп) = ]П (| ^ - у | ) (Шт 111111. и е аш(П)

решение которой сводится к поиску чисел и], . = 1,2, ] =1,к,2^-1, реализующих минимум функционала J и порождающих оптимальное

решение Очевидно, числа 11./ должны удовлетворять системе

уравнений дJ/ ди] = 0, . = 1,2, ] =1,^,2^-1.

3. Безынтегральная формула для функционала невязок. Всякий допустимый массив (и]), . = 0,1,2, ] = 0,1,...,2N, порождает термы

X. = и 2 - и 0, у1 = и 2 - 2 и\ + и 0, у = 0,1, к, 2Ы,

] ] ] ^ ] ] ] ] ^

Хк = Х2к-2 - 2 Х2к-1 + Х2к , ^ = ^2к-2 + 2(1 - М У2к-1 + ^2к , к = N ,

и граничные элементы

^ = ''2,-2 ~ 214-1 + '4 = <Р(К-2 ) - 2 ) + ^ = - ^ = 1.....Л'

к = 1,к, N.

Очевидно, и* = и° + (ху. - у] )/2, и2 = и° + ху. для всех ] = 0,1,к ,2N. Сетка {(т^)} и допустимый массив (и]), . = 0,1,2, ] = 0,1,...,2N, позволяют определить следующие четыре серии полиномов {к = 1,...,А^), порождающие сплайны и аК П —>

Совокупность точек сетки {(т., ^)} и элементов матрицы (и]): (Т2, h2k-2) и2к-2

(Т1, к-2) (т1, ¿2к-1) и и2к-2 М1 к-! (4)

(Т0. h2к-2) (Т0. К-1) (Т0. ¿2к) и^-2 И^ П^

порождают интерполяционныи полином

рМс а _ ЛЬ \ * \ ,-) ЛЬ , Лк \ ) , гЛк , }Лк ^ ,

л ' 111 12 2/; 221 2А 1 1 2 2А

удовлетворяющий на элементах (4) условию Р1к(тг., h ) = и]. Легко проверить,

что

= 2 ( и2к-2 2 и2к-2 + и2к-2 ) = 2У2к-2 >

12 а21 2(и2к-1 и2к-2 и2к-1 + и2к-2) Х2к-1 Х2к-2 У2к-1 + У2к-2 ,

а22 = 2( и2к 2 и2к-1 + и2к-2 ) = 2^к ,

Ь1 и2к-2 + 4 и2к-2 3и2к-2 Х2к-2 2У2к-2 , Ьк =-и0 + 4 и0 - 3и 0 с1к = и 0 2 2к 2к-1 2к-2 , 2к-2 . Совокупность точек сетки {(т., ^)} и элементов матрицы (и]):

(Т2' К-2) (Т2' ¿2к-1) (Т2' К)

, 2 и 2 , 2

и2к-2 и2 к-1 и2к

Сь ^к-1) (т1, ¿2 к) и и2 к и2к (5)

(т0. ¿2к) и0к

порождают интерполяционный полином

,

удовлетворяющий на элементах (5) условию Р2к(тг, h ) = и' Легко проверить,

что

а11 = 2( и20к - 2 и1к + и22к ) = 2^2к ,

2 к _ 2к _ / 1 1 2.2 \ _ . .

а12 = а21 = 2(и2к-1 - и2к - и2к-1 + и2к) = -Х2к-1 + Х2к - У2к-1 + У2к ,

а222к = 2 ( и22к-2 - 2и22к-1 + и22к ) = 2 (^к + ^к ) ,

Ь1 =- и2к + 4и2к - 3и2к =- Х2к - 2у2к ,

2к 2 2 2 2к 2 Ь2 =- и2к-2 + 4 и2к-1 - 3 и2к , С = и2к ■

Совокупность точек сетки {(т г, ^)} и элементов матрицы (и.):

(Т2' К) и22к

(Ь h2k-1) (т1, h2к) и и^к-1 и^к (6)

(Т0. ¿2к-2) (Т0. К-1) (Т0. ¿2к) и°к-2 и'к-! и^

порождают интерполяционный полином

г V ~ ^ г Ыи-х ^ (¡и. -У г

,3 к

у) = I — I + V/3*7 — _- + а3к I 2к I + Ь3к — + Ь3к _- +

,

удовлетворяющий на элементах (6) условию Рзк (т I, ^) = и'. Легко проверить,

что

ап

3к- 2(и^к -2и2к + и°к) = 2У2к,

3к _ 3к _ ^ / 1 _ 1 _ 0 0 ч ___ _ ,

а,2 = а2, = 2 ( и2к- - и2к - и2к-1 + и2к ) = Х2к-1 - Х2к - У2к-1 + У2к ,

12 21

.0 , _.0 л _ О V Ь.3к _ _.2 , /I _.1 о_.0

к,

3к 0 0 0 3к 0

а22 = 2( и2к-2 2и2к-1 + и2к ) = 2^к , Ь1 = и2к + 4 и2к 3 и2к = Х2к 2У2к ,

Ь2 = и2к-2 + 4 и2к-1 3 и2к , С = и2к .

Совокупность точек сетки {(т г, ^)} и элементов матрицы (и.):

(т2. h2k-2) (т2. h2k-1) (т2. h2k) и^-2 и^ и^

(т!, ¿2к-2) (т1, ¿2к-1) и и1к-2 и\к-1 (7)

(т0, ^к-2) и2к-2 порождают интерполяционный полином

Р*к{их) = < + 2а« ^^ + я24* + Ь4* ^^ + Ь4* ^^ + с4*

,

удовлетворяющий на элементах (7) условию Р4к(тг, ^) = и'.. Легко проверить, что

а11 = 2 ( U2k-2 2 U2k-2 + U2k-2 ) = 2У2k-2 , а12 = a21 = 2 ( U2k-1 — U2k-2 — U2k-1 + U2k-2 ) = - X2k-1 + X2k-2 — У2k-1 + У2k-2 ' a242k = 2(U22k- 2u2k-1 + U22k-2) = 2(Xk + ^k)

h4k =- и 0 + 4м1 - 3u 2 =- X - 2 У

U1 2k-2 2k-2 JM2k-2 2 k-2 ^ У 2k-2>

,4k 2 . ,...,2 o_.2 „4 k 2

7 4 к л. 2 I /I „, 2 _4 к л а

Ь2 = — И2к + 4 И2к-1 — 3 И2к-2 , С = и2к-2 ■

Через П1к обозначим выпуклую оболочку точек сетки {hj)},

входящих в совокупность (4), а через П2к - выпуклую оболочку точек, входящих в совокупность (5). Возможность непрерывной стыковки полиномов, определенных на двух соседних треугольниках левой триангуляции (см. рис. 1), позволяет определить на П непрерывную функцию

Р1к(/.л). если А:./.л такие, что (/.л)е П'\ ~ | Р2к\Г. л >. если к. Л л такие что {г. л > - П2* (8)

Обозначим, далее, через П3к выпуклую оболочку точек, входящих в совокупность (6), а через П4к - выпуклую оболочку точек, входящих в совокупность (7). Правая триангуляция (см. рис. 1) также порождает на П непрерывную функцию

_ ( Р^СтЧл). если к.Г.л такие, что (Г.л) е Т13к.

РАк (Г. .V). если к. Г. .V такие, что (7. л) е П4^ (9)

|<я(Лл) = -|

Зафиксируем ], и пусть и = XuL + 0uR - «усредненный»

сплайн, построенный из функций (8), (9). Пусть, далее,

G^rfV.rP, G^rfV.n4*, G3* = n3V,n2i\ Gtt = nV,n^ для

всех к, и для каждого ^ = 1,...,4 определим интегралы

J& = \ ADufit^dtch

♦ g . Тогда

где

Alk = -Xa1k- 0a131k = -2XУ2k-2 - 2Цy2k,

Bk = ^ - 0a32k = X2k-2 + ®X2k-1 + 0X2k + XУ2k-2 - ®y2k-1 - 0y2k ,

Clk = X (a? + 3a112k + 3b11k - 30 a22) + ц (aff + 3a132k + 3h3k - 30 a22k) =

= 3X2k-1 - Ak-2 - J^k-1 - 3 У2k - Zk ,

A2k = X a^ + Ц a4 = 2Ц У2 k-2 + 2ХУ2 k,

B2k = Xa12 - °a142k = X2k-2 - ®X2k-1 + XX2k - 0У2k-2 - ®У2^1 + X>2k , C2k = -X (afi + 3a122k + 3h12k + 30a222k) - ц (a^ + 3a142k + 3h14k + 3 0a242k) =

= 3X2k-1 - 60Xk + Ak-2 + •X2k-1 + 3У2k - Zk ,

A

3k

Aa? - ^ ai32k = - X2k-1 + x2k - ®^2k-1 + ®^2k ,

B3k = Aa2 + ц a3k = 2 ^2k,

2k

3k

C

3k

-A (3a121k + a122k + 3b12k + 3<9a222k) + ц (3afi + af2k + 3b13k - 36af2) =

= x2k-1 + 2x2k - 60 Xk "to у2k-1 у2k - Zk ,

A = A a12 + Ц a12 = X2k-2 X2k-1 ®y2k-2 + ®У2 k-1,

1k

„4k

B4k = A a11 + ц < = 2 y2k-2, C4k = 1 (3 off +36;* -30ag) - [x (Зя4к +ag +ЗЬ?к + 3 0я4к) =

= 2лс2*-2 + ~ + co v2it_2 - co v^.! "

В итоге мы получили безынтегральное представление для функционала J, он является квадратичной формой от величин xj,У}, j = °Д,...,2N, Zk, k = 1,...,N. Так как x0 = y0 = X2N = y2N = 0, а термы Zk постоянны (как граничные элементы), то J, в конечном счете, является квадратичной функцией от переменных х/>у/, j = 2N-1 (определен в ■ 4 N-2

пространстве ). Для нахождения минимума функционала необходимо

вычислить его частные производные:

dJ _ ч ....... ,02,

3N

д x.

3JV-

3N

2k-1 dJ

дУнс-1

д J

2r(ц) Х2k-2 + 2r(A) X2k - 2[R + 40 (1 - Ац)] Xk + 40Yk - 4 rZk

= -40(1-Ьц)Хк + 2Гк, k = 1.....N,

(10) (11)

д x.

= 2 [1 - Г (ц)] X2k-1 + 2 X2k + 2 [1 - Г(A)] X2k+1 +

2k

dJ

(12)

ду

2 к

+ т^ц У 2k-2 + 2Ац y2k-1 + (4 - 5Ац) y

2k + 2 Ацy2k+1 + 2 Ацy2k+2 , (13) k = 1,.,n.

Здесь и далее используем обозначения: г (5) = 1 + 26 + 26 s, Г = Г (2) = 1 + 36,

Р = 2гв(й, Л =^ + 4в + 6в2+ (| + 202)«2 >0. 0 = 5К-2г2. 5 = Л-202«2.

31 + ЗОсо2 + Зсо4 ,, о/- £> + £ , 0 + Я-2Р „ 0+Я+2Р

х =-=-=—>15 + 8>/3 , у — —-<-1, а = —-, р = —-

(1-и )(1+Зи ) О-З О-Б М 6-5

Выражение для х имеет смысл при . Заметим, что Q -£ < 0,

а + Ь = 2у, аЬ > 1. Вычислив четыре линейные комбинации из производных

(10) - (13)

1 дJ 1 дJ . дJ , дJ _ , ч д/ , а/ -----6- -Лд--+ 2(1 - Ли)--Ли-

2>-ч , ^ ^ 'Л , • ^ V » У л »л ,

дУ2к-1 2 дХ2к-1 дУ2к-1 дУ2к-1 дУ2к дУ2к+1

1 д/ д/ 1 д/ д/ д/ -[ R - г (Л)] --+ R —+ - [ R - г(д)] --+ 6 г(Л) --+ 6г(д) --

2 дХ2к-1 дХ2к 2 д Х2 к +1 д У 2 к-1 дУ2к+1

(две первые комбинации - для всех к = 1,..., N, а две вторые - для всех к = 1,...,я) и приравняв их нулю, получим при систему уравнений

ЛДУ2к-2 + 2(1 - ЛД) У2к-1 + ЛДУ2к = 26(1 - ЛД)( Х2к-2 - 2Х2к-1 + Х2к X к = N, (14) [ г (д) - R ] Х2 к-2 + 2R Х2к-1 + [ г (Л) - R ] Х2к = 2 Г2к, к = 1,..., N,

У2к-2 + 2хУ2к + У2к +2 = 0 , к = 1,К. П , (15z

о

Л2*-2 + 2УД2* + Л2*+2 = (1+ «К + - к =1....."

При ю = ±1 изменяются уравнения (15), принимающие вид У2к = 0, и упрощаются уравнения (14), принимающие вид У2к-1 =6(Х2к-2-2х2к-1 + х2к). Заметим еще, что при матрица системы (15) имеет

трехдиагональный вид с доминирующей диагональю, следовательно, система имеет единственное тривиальное решение (так как У0 = У2Ы = 0), то есть У2к = 0 для всех к = 1,., п. Значит, уравнения (14) тоже принимают вид У2к-1 = 6(Х2к-2-2Х2к-1 + Х2к). Следовательно, при всех ше[-1,1]

У2к-1 =6( Х2 к -2 - 2 Х2к-1 + Х2к \ к = N, (16)

[ г (д) - R ] Х2 к-2 + 2R Х2к-1 + [ Г (Л) - R ] Х2к = 2 пк, к = 1,..., N, (17)

у2к= 0) к = 1,...,п, (18)

л2Ь2 + 2у + = (1 ■+ фк + (1 + . к = 1.....п. (19)

Совокупность уравнений (19) имеет самостоятельный характер: ее уравнения связывают между собой лишь переменные вида х2т. Матрица системы уравнений (19) имеет трехдиагональный вид с доминирующей диагональю, поэтому система однозначно разрешима. В частности, справедлива явная формула (20), кроме того, для решения системы (19) применим метод прогонки. Из уравнений (17) легко находим все Х2к-1. Наконец, из уравнений (16) вычисляем все У2к-1. Полученные значения позволяют найти искомые величины и]: напомним, что й] = и0 + (Х- У,)/2(=( )г]. (+ Х-Ц2 , й] = и) + Х = ф(] + Х , ] =1,к ,2N-1.

Метод прогонки имеет линейную сложность вычислений и, безусловно, наиболее эффективен в прикладной реализации. Однако явная формула (20) имеет важное теоретическое значение: она позволяет в явном виде получить минимальное значение /* функционала невязки (см. формулу (21)) и показать, что в случае гладких граничных функций имеет место равенство /* = O(N. Тем самым разностная схема (16) - (19)

приобретает «легитимный» статус: найдется аппроксимирующий сплайн, сколь угодно близкий к точному решению задачи (1). Эти исследования и составляют оставшуюся часть настоящей работы.

4. Вспомогательные утверждения о многочленах Чебышёва. Пусть л е . , гае ^ и составим матрицу Л{х) = (Ду(х)) порядка п такую, что

4 С*) = 8,,^+2* в [3] Д0казан0) что Ы(А11(х)) = 1111(Х).

Совокупность х е }леП состоит из многочленов Чебышёва 2-го рода

(определяется из рекурсии и_1(х) = 0, и0(х) = 1, ип-1(х) + ип+1(х) = 2хи п (х)).

Составим, далее, матрицу В( х) = (Ву (х)) порядка п:

Г и. , (л) и (л), если I < I | ^^.(лО^.Д.г), если / ^ Теорема 2 (см. [3]). Справедливы равенства

А( х) В( х) = ип (х) Еп = В (х) А( х), где Еп - единичная матрица порядка

Пусть числа £ таковы, что а + Р - 2х дни порождают числа

р» =и» о) - р (л) - а о > = ия о) - <х> - ' ■- - ,

матрицы А(х) = (Ау(х)) и В(х) = (Ву(х)), /,у = 0,1,...,п, порядка N такие, что

а, если 0,/) = (0,0),

^ [ р(л)с/ , (л), если / <у.

■ I £%_,.(л;)У>Ст), если > /.

матрицы А (х) = ( А (х)) и В (х) = ( Ву (х)), /, у = 0,1,., N, порядка N +1 такие,

а, если (л у) = (0,0),

Л,Сг)= 5,^ + 2^+5,^, если (0,0) ф (/, у) * (,У, Л7).

р, если (7,у) = ОУ,ЛО,

| если / > у.

Теорема 3 (см. [4]). Справедливы равенства

А(х) В (х) = Ры (х) Еп0 = В (х) А(х),

где Е1 - единичная матрица порядка N с элементами (Е^р = у, /, у = 0,1,..., п.

Теорема 4 (см. [4]). Справедливы равенства

А(х) В(х) = (ар -1) ип(х) E0N = В(х) А(х),

где Еы - единичная матрица порядка ' с элементами ^ у

',] = 0,1,., N.

5. Точная формула для решения системы (19). Известно, что все нули многочленов О лежат в интервале (_1Д), поэтому вне этого

интервала имеем в системе (19) У<-1; хо ~х2м 1 поэтому она

имеет вид А(у)Х = У, где (>2.... ,л2л) . Р = (г^ ... ,г„) е ^

= (1 + + (1 + - к =1-----}) р силу теоремы 2 имеет место

равенство 11п{у)Х = В (у) У, а так как ип{у)Х=В{у)У , то

■Ь* = 777^ Е ^ И(1 + С') V + 0 + Р)Ь к =1.....н (20)

.

6. Точная формула для минимума функционала невязки. Пусть / *

- значение функционала / на решении системы (16) - (19). Пусть, далее,

Х0 = , Хк = ^к - ^к+1, к =1,К.п , Ъм =

- конечные разности начальной функции Ф.

Если - <£оЛ.....с = с(ъ) = -2Я[(Х-0)(о$-Щ1 <0 ТО

- положительно определенная квадратичная форма.

7. О параметрах наилучшей аппроксимации. Формула (21) позволяет провести исследование на качество аппроксимации при разных

N и ю. В силу следствия 4 [4] для спектра {Л 0, ЛI,..., Л N } матрицы [сА (у)]-1

справедливо

0 < [с (-2 + 2у)]-1 < Л N < к < Л с < [с (а - (3-1)]-1 < Л 0 < [с (ар -1) / 2у]-1, следовательно, при любом N имеют место оценки

[с (-2 + 2у)]-11| Х|N < ([сА(у)]-1 X, X ) < [с (ар -1) / 2у]-11|X ||N,

1 2 /*< ^ [с(ар-1)/2У]-Ч1 XIN■

Легко проверить, что минимум величины [с (ар-1)/ 2у]-1 достигается при ю = 0.

Последовательность {ЦХЦ^ } порождена функцией Ф. Если феС3 [0,1 ]

, то легко показать, что /* = 0(^х), а если к тому же ф "(0) = ф "(1 )=0 , то / * = 0( Таким образом, если { } - это последовательность, в которой /н = / * - минимальное значение функционала /, вычисленное при ю = 0 и заданном N, то имеет место предельное соотношение >/ы ®0. Аналогичный предел имеет место при любом ше[-1,1 ]. Таким образом, для любого е> 0 найдутся N и сплайн йеаш(П) такие, что (и) <е. (Целесообразно использовать параметр ю = 0.)

Литература

1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1977. - 736 с.

2. Самарский А.А. Теория разностных схем. - М.: Наука, 1983. - 616 с.

3. Родионов В.И., Родионова Н.В. Точные формулы для коэффициентов и невязки оптимального аппроксимирующего сплайна простейшего уравнения теплопроводности // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. - 2010.

- Вып. 4. - С. 154-171.

4. Родионов В.И., Родионова Н.В. Точное решение одной задачи оптимизации, порожденной простейшим уравнением теплопроводности // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. - 2012. - Вып. 3. - С. 141-156.

5. Родионов В.И. О решении одной задачи оптимизации, порожденной простейшим уравнением теплопроводности // Известия Института математики и информатики УдГУ -2014. - Вып. 1 (43). - C. 49-67.

6. Родионова Н.В. Точные формулы для коэффициентов и невязки оптимального аппроксимирующего сплайна простейшего волнового уравнения // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. - 2012. - Вып. 1. - С. 144-154.

7. Родионова Н.В. Точное решение одной задачи оптимизации, порожденной простейшим волновым уравнением // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. - 2014. - Вып. 1. - С. 141-152.

8. Родионов В.И. Об одном методе построения разностных схем // Вестник Тамбовского университета. Естественные и технические науки. - 2013. - Т. 18. - Вып. 5. - С. 2656-2659.

9. Родионов В.И. Точные формулы для коэффициентов и невязки оптимального аппроксимирующего сплайна простейшего уравнения переноса // Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования: материалы IV международной научной конференции. - ВГУ - Воронеж, 2011. - С. 252-253.

10. Rodionov V.I. On exact solution of optimization problem generated by simplest transfer equation // Современные компьютерные и информационные технологии: сборник трудов международной научной Российско-Корейской конференции. - УрФУ - Екатеринбург, 2011.

- С. 132-135.

11. Nicolaides R.A. On a class of finite elements generated by Lagrange interpolation // SIAM J. Numer. Anal. - 1972. - № 9. - P. 435-445.

12. Родионов В.И. О применении специальных многомерных сплайнов произвольной степени в численном анализе // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. - 2010. - Вып. 4. - С. 146-153.