CC BY
33
Rodin Aleksey Semenovich, Institute for Mathematics and Mechanics of UB RAS, Ural Federal University named after the first President of Russia B.N. Yeltsin, Ekaterinburg, the Russian Federation, Post-graduate Student, e-mail: [email protected]
УДК 519.651 + 517.518.823
О РЕШЕНИИ ДВУХ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ, ПОРОЖДЕННЫХ ПРОСТЕЙШИМ ВОЛНОВЫМ УРАВНЕНИЕМ
© В.И. Родионов, Н.В. Родионова
Ключевые слова: интерполяция; аппроксимирующий сплайн; многочлены Чебышёва. Предлагаемый авторами метод построения разностных схем основан на минимизации функционала невязки, заданного в пространстве специальных многомерных сплайнов произвольной степени. Эффективность метода показана на примере простейшего волнового уравнения.
Работа развивает авторский метод построения экономичных разностных схем для решения простейших задач математической физики [1] и опирается на публикации [2-4].
Уравнение и^ = си^, заданное в прямоугольнике, заменой переменных приводится к виду а и« = Ь и^ (в терминах новых переменных из квадрата П = [0,1]2 ). Пусть числа а, Ь положительны, а непрерывные функции ф, ро, р1: [0,1] ^ М таковы, что ф(0) = ро(0), ф(1) = р1 (0) и существуют производные р0(0), р1(0), р0'(0), р1'(0).
Решение и = и(£, £), (£,£) € П, задачи
а и« = Ьи??, и(0,£) = ф(£), щ(0,£) = ^(£), и(£, 0) = ро^), и(£, 1) = р^) представимо в виде и = и1 + и2, где и1 = и1^,£), и2 = и2(£,£) — это решения задач аий = Ьи??, и(0,£) = ф(£) - ф(£), щ(0,£) = ^(£) - ф<£),
и(£, 0) = ро(0), и(£, 1)= рх(0), (I)
аий = Ьи??, и(0,£) = ф(£), и4(0,£) = ^(£), и(£, 0) = ¡50(*), и(£, 1) = Э! (II) соответственно. Использованы обозначения р0(£) = р0(£) — р0(0), р^) = р1 (£) — р1(0),
Ф(£) = — £ (1—£) [ р0'(0)(2—£) + р'/(0) (1+£) ], ф<£) = р0(0) (1 —£) + р1 (0) £.
Эта специфика позволяет применять для численного решения исходной задачи многомерные сплайны [5]: 1) сплайн и1 , являющийся приближенным решением задачи (I), на границе £ = 0, £ = 1 целиком совпадает с функциями-константами р0(0), р1 (0), поэтому чем больше узлов на границе £ = 0 (чем больше N), тем точнее будет решение и1 этой задачи; 2) сплайн и2 , являющийся приближенным решением задачи (II), на границе £ = 0 целиком совпадает с полиномом ф(£) и || и2(0, £) — ^(£) ||с[0,1] = -2), поэтому чем больше узлов на границе £ = 0, £ = 1, тем точнее будет решение и2 второй задачи.
В качестве решения задачи (I) предлагается использовать оптимальный сплайн задачи
^ = || аЩь — Ь|| Ьз(п) ^ шт, и € ан(П). (1)
Через а, (П) обозначено пространство, состоящее из сплайнов [5], зависящих от коэффи-
циентов 3 = 1, •• •, — 1, и определенных в квадрате П. Пусть п = N — 1,
з
т = 2, Л = , 0 = а , а точки (т.,Л3-) € П таковы, что т. = гт, г = 0,1, 2, Л3 = 3Л 3 =0,1, • • •, 2^ Полагаем х = — 5 и ф3 = ф(Л3) — ф(Лз) для всех 3 = 0,1,..., 2^
Массив (иЗ ), г = 0,1, 2, 3 = 0,1,..., 2^ называется допустимым для задачи (I), если
= Ро(0), иг2М = Р1(0) для г = 0,1, 2 и и0 = ф(ЛЗ-) — ф(Л3) для всех 3 = 0,1, • •., 2^ Всякий допустимый массив порождает термы
х3 = — и0, У3 = — 2 и) + и0, 3 = 0,1, • • •, 2N (2)
(такие, что х0 = у0 = 0, Хг, = Уг, =0) и граничные элементы
2к = 0 (и2к-2 — 2 и2к-1 + и^), к = 1, • • •, N, = — 42к — 42к+1, к = 1, ...,п,
Со = — 21, Ск = — 2к+1, к = 1,...,п, С, = , С = Со1( Со,6 Анализ функционала (1) порождает итоговую разностную схему
У2к-2 + 2хУ2к + У2к+2 = -к, к = 1, . . . , П,
Х2к — 2 У2к = ф2к, к = 1,...,п,
У2к-2 + У2к — 2 0 ( Х2к-2 — 2 Х2к-1 + Х2к ) = 2 ¿к, к = 1, • • • , N
2Х2к-1 — У2к-2 — 2У2к-1 — У2к = 2ф2к_ 1, к = 1, • • • ,N•
(3)
Многочлены Чебышёва 1-го и 2-го рода Тп(-) и ип(-) определяем рекурсивно: То(з) = 1, Т1(в)= Тга+1(8)=2^Тга(8) — Тга-1(в), Цо(в) = 1, ^(в) =2з,Уп+1(8) =2вС7га(в) — ^-1(5). Так как х = —5, то определены матрицы В(х) = (Вк.(х)), В(х) = (Вк.(х)) с элементами
вК(х)=<—( ик-1(х)^-.м. --И к<г, к,г = 1,...,п, * ' К,(х) \ и„-к(х) и,-1(х), если к > г, • ' • '
Вк.(х) = ££ { Iх), если к < г, к, г = 0,1.....N.
и„(х) [ Т,(х) Т.(х), если к ^ г,
Теорема1. Система уравнений (3) имеет единственное решение, и оно допускает явное представление через граничные элементы. Для вычисления переменных, входящих в первую систему (3), справедлива формула
Со1 ( У2,У4, ...,У2п ) = В (х) Со1 ( -1,-2, • • • , -п).
Полученные значения позволяют последовательно из второго, третьего и четвертого уравнений (3) вычислить величины Х2к, Х2к-1, У2к-1, а затем из уравнений (2) — коэффициенты и 1, и 2, 3 = 1,..., 2N — 1, оптимального сплайна задачи (1). Минимум функционала (1) достигается на решении системы (3) и
7,т1п = — § а^-1< В(х) С, С >•
Замечание1.В случае гладких граничных функций справедливо ^т™ —^ 0 . В качестве решения задачи (II) предлагается использовать оптимальный сплайн задачи
4 = II аиы — Ь|| £г(п) ^ т^ и € а,(П). (4)
Через а'м (П) обозначено пространство, состоящее из сплайнов, построенных на основе допустимых массивов (см. ниже), зависящих от коэффициентов и, и2, % = 3 ,..., 2^ и
определенных в квадрате П. Пусть п = N — 1, т = , ^ = 1, в = а Н2 = 9Ь
2М' 3' и а Н2 4аМ2'
а точки
(т",^) € П таковы, что т, = %т, % = 0,1, ..., 2N, ^ = ^ j = 0,1, 2, 3.
Далее полагаем, что в < 36, то есть N> 9 • Тогда определены числа
. 1 81 + 16 в2 . 5 в (9 — 4 в) . 1 + а
а =--^ =- V =--< — 3
2 81 — 60 в+16 в2' ' 81 — 60 в+16 в2' * 1 — а '
„ . 1 243 + 560в2 г . 7в (9 — 20в) . 1 + в
в =__А = _^___х =___ < _ 19
н 10 27—84 в+112 в2' 27—84 в+112 в2' 1 — в '
Массив ( Щ ), % = 0,1,..., 2^ j = 0,1, 2, 3, называется допустимым для задачи (II), если:
1) и0 = ро(т¿), и3 = р1 (т¿) для всех % = 0,1,..., 2N ;
2) щ0 = ) для j = 0,1, 2, 3 (в частности, и0 = и3 =0 );
3) и1 и — 2 ид + и^; и1 и2 — з ио + 33 из; и^ и о — зз ид + 33 и2; и2 и2 — 31 ио + 32 из. Всякий допустимый массив порождает термы
= и0 — и — ^ + и3, у" = и0 — 3 и +3 ^ — и3, % = 0,1,..., 2N,
и граничные элементы
= в-1 (и0к-2 — 2 и0к-1 + и0к + и3к-2 — 2 и3к-1 + и2к),
^ = 2 в-1 (и0к-2 — 2 и2к-1+ и2к — и2к-2 + 2 и3к-1 — и3к), к = 1,..., N
Vй =(1+у) |>к + ], ^ =(1+х) |>к + ], к = 2,..., п, Vм =(1+у) ^ =(1+х) ,
£0 = х0 — г1, £1 = х2 — г2, £к = — г^1, к = 2 ,...,п, £ = со1( £1,...,£"),
П0 = у0 — ад1, п1 = У2 — = — к = 2 ,...,п, п = со1( п1,...,^)
(из определения допустимого массива справедливы равенства х0 = х1 = х2, у0 = у1 = у2, поэтому элементы £1, п1 также называем граничными.) Равенства
х = Ро(тг) — и — иг2 + Р1(тг), у" = ро(т) — 3 и +3 и2 — (т,), % = 1,..., 2^ (5)
порождают невырожденные матрицы перехода между элементами { и1,и2 } допустимого массива и числами { х", у" }, % = 1,..., 2^
Анализ функционала (4) порождает итоговую разностную схему
х2к 2 + 2у х2к + х2к+2 = Vй , к = 2, ...,п, х2п + у = Vм ,
2к_2 — 2х2к-1 + х2к = 7 [2— х2к_2 — х2к], к = 2,•••,N,
х — 2 х + X = 7 2 2-х
у2к_2 + 2 ху2к + у2к+2 = , к = 2,..., п, у2" + х у2м = ^ ,
у2к-2 — 2у2к-1 + у2к = А [2— у2к_2 — у2к], к = 2,•••,N•
(6)
Так как у < —3 и х < —19, то определены матрицы В?(у) = (-—&г(у)), —(х) = (—^(х)), В (у) = (—¿¿(у)), — (х) = (—&г(х)) с элементами
£ = (—1)к+" / 2 (') Т„_< (•), если к < N
—М) = Гга(.) \TN_k (■) и_2(0, если к > %, к,%
= Ггесли k i i М = 1.....n.
Tn(-) [ Un-k(•) Ti_i(-), если k i i,
Т е о р е м а 2. Система уравнений (6) имеет единственное решение, и оно допускает явное представление через граничные элементы. Для вычисления переменных, входящих в первую и третью системы (6), справедливы формулы x2 = x0, y2 = y0,
col ( x4, x6, • • • , x2N ) = B(y) col ( v2, v3, . . . , VN ) - x0 col ( £22(y), B32(y), • • • , BN2 (y) ) ,
col ( y4, y6, • • • , y2N ) = B(x) col (tf2, tf3, • • • , ) - y0 col ( B22(x), B32(x), • • •, BN2 (x)) •
Данные представления позволяют сначала явно вычислить из второго и четвертого уравнений (6) величины x2k-1 и y2k—1, а затем из уравнений (5) — коэффициенты ul, u2>, i = 1, • • •, 2N, оптимального аппроксимирующего сплайна задачи (4).
Минимум JNmin функционала (4) достигается на решении системы (6) и
Jvmin = 27 b2N-1( 6 [ е0 ]2 +18 [ п0 ]2 +(i+y) < в (y) > + 3(i+x) < ад п,п >)• Замечание2. В случае гладких граничных функций справедливо J"™ —^ 0 .
ЛИТЕРАТУРА
1. Родионов В.И. Об одном методе построения разностных схем // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2013. Т. 18. Вып. 5. С. 2656-2659.
2. Родионова Н.В. Точные формулы для коэффициентов и невязки оптимального аппроксимирующего сплайна простейшего волнового уравнения // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки. 2012. Вып. 1. С. 144-154.
3. Родионова Н.В. Точное решение одной задачи оптимизации, порожденной простейшим волновым уравнением // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки. 2014. Вып. 1. С. 141-152.
4. Родионов В.И. О линейном алгоритме численного решения краевой задачи для простейшего волнового уравнения // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки. 2015. Вып. 1. С. 126-144.
5. Родионов В.И. О применении специальных многомерных сплайнов произвольной степени в численном анализе // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки. 2010. Вып. 4. С. 146-153.
Поступила в редакцию 5 мая 2015 г.
Rodionov V.I., Rodionova N.V. ON SOLUTION OF TWO OPTIMIZATION PROBLEMS GENERATED BY THE SIMPLEST WAVE EQUATION
The proposed method for constructing difference schemes based on minimization of the residual functional set in the space of special multivariate splines of arbitrary degree. The effectiveness of the method is shown by the example of the simplest wave equation.
Key words: interpolation; approximate spline; Chebyshev's polynomials.
Родионов Виталий Иванович, Удмуртский государственный университет, г. Ижевск, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой информатики и математики, e-mail: [email protected]
Rodionov Vitalii Ivanovich, Udmurt State University, Izhevsk, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, the Head of the Informatics and Mathematics Department, e-mail: [email protected]
Родионова Надежда Витальевна, Удмуртский государственный университет, г. Ижевск, Российская Федерация, старший преподаватель кафедры информатики и математики, e-mail: [email protected]
Rodionova Nadezhda Vitalievna, Udmurt State University, Izhevsk, the Russian Federation, Senior Lecturer of the Informatics and Mathematics Department, e-mail: [email protected]
