CC BY
38
Рассмотрим теперь случай, когда ио = 0- Имеем автономное уравнение второго порядка
x3
x + (а + 1)Х — а(г — 1)x + — = 0,
у которого по критерию Бендиксона [2, с. 142-143] нет периодических решений, что и доказывает их отсутствие в системе Лоренца при b = 2а-
Заметим, что в этом случае параметр г может принимать любые значения. Тогда при достаточно больших его значениях в системе Лоренца также будут отсутствовать периодические решения, что кажется весьма неочевидным, поскольку параметр г пропорционален разности температур между нижним и верхним слоем жидкости при свободной конвекции. При увеличении градиента температуры в слое должны возникнуть в жидкости конвективные валы, а здесь жидкость со временем приходит в стационарное состояние (ламинарный режим). Скорее всего, это объясняется тем, что система Лоренца достаточно грубо описывает данный процесс, хотя при других соотношениях между а и b ( г принимает достаточно большое значение) в системе (1) наблюдается устойчивый предельный цикл [3, с. 291-294].
ЛИТЕРАТУРА
1. Lorenz E. Deterministic nonperiodic flow // Journal of the Atmospheric Sciences. 1963. V. 20. №2. P. 130-141.
2. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: Едиториал УРСС, 2004.
3. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М: ЛИБРОКОМ, 2009.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана грантом РФФИ (проект №11-07-00098).
Pchelintsev A.N. EXISTENCE OF PERIODIC SOLUTIONS IN THE LORENZ SYSTEM FOR CERTAIN RELATIONS OF ITS PARAMETERS
The absence of periodic solutions dynamic Lorenz system for some ratio of parameters is shown.
Key words: Lorenz system; periodic solution; Bendixson criterion.
УДК 519.651, 517.518.823
ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ПОСТРОЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ © В.И. Родионов
Ключевые слова: интерполяция; аппроксимирующий сплайн; многочлены Чебышева. Предлагаемый метод построения разностных схем основан на минимизации функционала невязки, заданного в пространстве специальных многомерных сплайнов произвольной степени. Эффективность метода показана на примере простейшего уравнения Лапласа.
Работа продолжает исследования [1-5]. Краевая задача для простейшего уравнения Лапласа Пц + = 0 с непрерывно сопряженными граничными условиями
п(о,£)=фо(0, и(і,£)=Фі(£), £є[0, і], п(г, о)=ро(і), п(г, і)=рі(і), і є [о, і],
распадается на сумму двух задач с непрерывно сопряженными граничными условиями 'U1(о,£)=ф0(£), u1(1,C)=ф1(C), £є[0, ^ u1(t, 0)=p^(t), u1(t, 1)=p1l(t), і Є [0, ^
2656
«2(о.£)=0о(О> u2(1,£)=фl(£), £е[0, 1], и2{г,о)=р§(^), и2{г, 1)=р?(^), ге [о, 1],
в которых функции Ф0, Ф\, Р2, р2 линейны. Эта специфика позволяет применять для численного решения исходной задачи многомерные сплайны [1]: 1) кубический сплайн, являющийся приближенным решением первой задачи, на границе г = 0 и г = 1 целиком совпадает с функциями ф1, ф}, поэтому чем больше узлов на границе £ = 0 и £ = 1, тем точнее будет решение и1 первой задачи; 2) кубический сплайн, являющийся приближенным решением второй задачи, на границе £ = 0 и £ = 1 целиком совпадает с функциями р^, р}, поэтому чем больше узлов на границе г = 0 и г = 1, тем точнее будет решение и2 второй задачи.
В дальнейшем мы имеем дело с первой задачей (вторая задача симметрична): в качестве ее приближенного решения предлагается использовать оптимальный сплайн задачи
4 = II ии + II ь2(п) ^ и е (п)-
(1)
Через ам (П) обозначено конечномерное пространство, состоящее из интерполяционных сплайнов [1], зависящих от коэффициентов и},
и
2
., 3Ж — 1 (где N ^ 3 — это и определенных в квадрате П = [0,1]2. Пусть, далее, п = N— 1 0 = 112, т = 3!, Н = 1, а точки (п, Ну) е П таковы, что
г = 1,.
параметр, отвечающий за количество узлов разностной схемы)
1
Тг = гт, г = 0,1,
,3N, Ну = jh, ] =0,1, 2, 3. Используем также следующие обозначения:
ао
5 — 80 + 502 7 + 80 + 702:
а1 = 36
(1+30 )2 1 + 60 + 2702,
Ро =
(3+0 )2
27 + 60 + 02
7о =
1 21 + 80 + 502 6 7 + 80 + 702 ,
Ц-1 = 7о + ^
в1 =
(1 — 30 )2
У =
1 + 02 ао+во ао—во
х =
в2 = 6
а} + в1 а1— в1
(1 — 30 )(3 — 0)
1 + 02
ш = ■
2в2 а1—в1
71 =
1 1 + 60 — 902
2 1 + 60 + 2702,
Ц-2 = 7о — ^о,
Ц-3
= 1 27 — 60 + 02 о = 6 27 + 60 + 02, 0(1+0)
^1 = 71 + ^1, ^2 = 71 — и3 =
16
У 7 + 80 + 702 ’
3602
вз = 36
(3 — 0 )2 1 + 02
*=6
1 1 + 60 + 302
1 + 02
40
У4 =
27 + 60 + 02 40 (1+30)
1 + 60 + 2702 1 + 02
Заметим, что поскольку N ^ 3, то 0 ^ 1, ао—во > 0, а1 —в1 > 0, у> 1 и х> 1.
Многочлены Чебышева 1-го и 2-го рода Тга(-) и ип( ) определяем рекурсивно: То(£) = 1, Т1 (£)=£, Тп+1(£)=2£Тп(£) — Тп_1(£), По(£) = 1, П1(£) = 2£, Пп+1 (£)=2£Пп(£) — Пп_1(£). Для всех £ е М и п е N таких, что ип(£)=0, определены матрицы
В(£) = В(£)), Бгз (£) =
(—1)г+3\ Пп-г(£) иу-1(£), если j ^ г, ип(£) I и*-1(£) Пп-у(£), если j ^ г,
= 1,
п,
Б(£) = В (£)), Бгз (£) =
(—1)г+^ Т— (£) Т3(£), если j < г,
Пп(£) \ Тг(£) Тм-1(£), если :] >,1,
С £ ( с ^ с £ • ( — 1)г+Ч ип-г(£) ТУ(£), если j<г,
С(£) = (С„(£)), Сч(£)^-ц-^| _иг_1(£) Тк_м если j >
= 0,1,... ^,
г = 1,... ,п, j = 0,1,... N.
Квадратные матрицы Б(£) и В(£) при £> 1 имеют вещественный спектр [2, 3] такой, что
0 < А*(£) < Л1(Б(£)) < ... < Хп(Б(£)) < А*(£),
2657
0 < А*(£) < Ао(Б(£)) < А1(Б(£)) < ... < Ам(Б(£)) < А*(£)
(оценки А*(£),А*(£), А*(£), А*(£) не зависят от N ). При £> 1 справедливо | Су (£) | ^ 1. Так как у> 1 и х> 1, то определены матрицы Б(у), Б(у), С (у), Б(х), Б(х), С (х). Массив (), г = 0,1,..., 3N, j = 0,1, 2, 3, называем допустимым, если: 1) и° = Фо (Ну), иТ = Ф1 (Ну) для всех j = 0,1, 2, 3; 2) иго = р°(тг), иг3 = р1(тг) для всех г = 0,1,..., 3N. Всякий допустимый массив (игу ) порождает следующие величины и векторы:
хг = иго — и\ — иг2 + и3, уг = иго — 3и\ + 3и2 — и3, г = 0,1,..., 3^
*о = 1 (и3ок_3 — ио_ — и3к-1 + изк + и3к_3 — и3к_2 — и3к-1 + и3к), к = 1 ,...^,
*к = 23? (и3к_3 — и3к_2 — и3к-1 + и3к — и3к_3 + и3к_2 + и3к-1 — и3к), к = 1 ,...^,
-шк = 6? (иок_3 — 3иок_2 + 3иок_1 — иок + и3к_3 — 3и3к_2 + 3и3к-1 — и3к), к = 1 ,...^, ™к = ш (иок_3 — 3и3к_2 + 3и3к-1 — и3к — и3к_3 + 3и3к_2 — 3и3к-1 + и3к), к = 1 ,...^,
го = ео1( *о,...,*п), *1 =со1( *°,...,*п), шо = ео1( ш°,...,шТ), ш1 = ео1( ш\,...,шТ),
о 1 Т о 1 к к
»о — *о'
£1 = ео1( £? £ ,...,СТ): £? = — *1, £к = *к — 4+\к = 1,
По = со1 (По,-., По), П1 = со1 ( П°,..., Пп):
Величины ,*к,шк,ш!к,£1к,£>к,п1к,Пк вычислимы через граничные функции ро и р°. Так
как функции фо и ф1 линейны, то хо = х3Т = уо = у3Т =0, а равенства
хг = ро (тг)— иг1 — иг2 + Р1(тг), уг = ро(тг) — 3и1 + 3и2, — р1(тг), г = 1,..., 3N — 1, (2)
порождают невырожденные матрицы перехода между элементами { и\,и2 } допустимого массива и числами { хг,уг }, г = 1,..., 3N—1.
Анализ функционала (1) порождает итоговую разностную схему
Со = со1(СОЛ1,---,^): С° = — (о = zo — k = 1,---,п,
tN = zN
so — zo ,
n, CN = 4
Пк = wk — wk+\ — w^+1, k = 1,--
- , n-
3k 3 + 2y x3k + x3k+3 = —(1+y) (zk + zjk+1) + (y—1) nk,
x
x3k-2 = ц1 x3k-3 + Ц2 x3k — /i3 zk — ц4 wlk,
x
3k 1
3k 3 3k k k
Ф2 x3k 3 + Ц1 x3k — Ц.3 zk + Ц.4 wk,
y^ - + 2x y3k + y3k+3 = —(1+x) (zk + zk+1) + wnk,
3k k k
+ V2 y3k — V3 zk + V4 wk,
y3k-1 = v2 y3k-3 + v1 y3k — V3 zk — V4 wk,
3k-3
y3k-2 = V1 y
k = 1,- - , n,
k = 1,- - , N,
k = 1,- - , N,
k = 1,- - , n,
k = 1,- - , N,
k = 1,- - , N-
(3)
Теорема. 1. Система уравнений (3) имеет единственное решение, и оно допускает явное представление через элементы z0j ,z>k ,wjk ,w/f, k = 1,---,N, Co, Ck, k = 0,1,---,N, nk, nk, k = 1, - - - ,n- Для вычисления переменных, входящих в первую систему (3), имеет место формула
col (x3,---, x3n) = —zo — C (y) Co + (y—1) B(y) no-Для вычисления переменных, входящих в четвертую систему (3), имеет место формула
col (y3, - - -, y3n) = —z 1 — C(x) С 1 + и B(x) n1-Данные представления позволяют сначала явно вычислить из второго и третьего уравнений (3) величины x3k-2 и x3k-1, затем из пятого и шестого уравнений (3) — величины y3k-2 и y3k—1, и, наконец, из уравнений (2) — коэффициенты и\ и иг2, i = 1,---, 3N—1, оптимального аппроксимирующего сплайна задачи (1).
2658
2. Минимум JNmin функционала (1) достигается на решении системы (3) и
j min ____ 27
JN = 16N
(ao-eo) {Co, B(y) Co) + 4^o < no, zo+C(y) Co-1 (y-1) B(y) no) + 4^o У wo У2+ +1 (ai-ві) {Ci,B(x) Ci) + в2 (ni,zi+C(x) Ci-1 wB(x) ni> + вз У WlУ2
где через {■, ■} и || ■ || обозначены скалярное произведение и норма в евклидовом пространстве соответствующей размерности.
Замечание. Так как y> 1 и x> 1, то для решения первого и четвертого уравнений (3) целесообразно применять метод прогонки, — он имеет линейную сложность вычислений (что, вообще говоря, не характерно для уравнений эллиптического типа) и наиболее эффективен в прикладной реализации. Однако явные формулы, указанные в теореме, имеют теоретическое значение: они позволяют в явном виде получить значение и показать,
что ^ 0 в случае гладких граничных функций. Более того, справедливы соотношения JNmin = O(N), а если zo,z|,zN,zN равны O(Дд), то = O(Д-)- Кроме того, разностная схема (3) устойчива (имеет место непрерывная зависимость от граничных условий).
ЛИТЕРАТУРА
1. Родионов В.И. О применении специальных многомерных сплайнов произвольной степени в численном анализе // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки. 2010. № 4. С. 146-153.
2. Родионов В.И., Родионова Н.В. Точные формулы для коэффициентов и невязки оптимального аппроксимирующего сплайна простейшего уравнения теплопроводности // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки. 2010. № 4. С. 154-171.
3. Родионов В.И., Родионова Н.В. Точное решение одной задачи оптимизации, порожденной простейшим уравнением теплопроводности // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки. 2012. №3. С. 141-156.
4. Родионова Н.В. Точные формулы для коэффициентов и невязки оптимального аппроксимирующего сплайна простейшего волнового уравнения // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки. 2012. № 1. С. 144-154.
5. Родионов В.И. Точные формулы для коэффициентов и невязки оптимального аппроксимирующего сплайна простейшего уравнения переноса // Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования (ПМТУММ-2011): материалы 4 международной научной конференции. Воронеж: ВГУ, 2011. С. 252-253.
Rodionov V.I. ABOUT METHOD FOR CONSTRUCTING DIFFERENCE SCHEMES
The proposed method for constructing difference schemes is based on minimization of the residual functional set in space special multivariate splines of arbitrary degree. The effectiveness of the method is shown by the example of the simplest Laplace equation.
Key words: interpolation; approximate spline; Chebyshev's polynomials.
УДК 378.146.1
ПРИМЕНЕНИЕ СПЕЦИАЛЬНОГО ФУНКЦИОНАЛА МИНИМИЗАЦИИ ДЛЯ РАСЧЕТА РЕЙТИНГА ОБУЧАЮЩЕГОСЯ © А.Г. Родионова, Е.В. Новикова
Ключевые слова: оценка учебной деятельности; модульно-рейтинговая система; рейтинг.
Авторами предлагается методика формирования рейтинга отдельного студента как относительно группы, так и на фоне всего учебного потока. Методика успешно апробирована на факультете информационных технологий Удмуртского государственного университета.
2659
