Об эрмитовой интерполяции многочленами третьей степени на треугольнике с использованием смешанных производных Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ю.В. Матвеева. Об эрмитовой интерполяции многочленами третьей степени на треугольнике

УДК 517.518.238+ 517.518.85

ОБ ЭРМИТОВОМ ИНТЕРПОЛЯЦИИ МНОГОЧЛЕНАМИ ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ НА ТРЕУГОЛЬНИКЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СМЕШАННЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

Ю.В. Матвеева

Саратовский государственный университет, кафедра математического анализа E-mail: [email protected]

При построении треугольных конечных элементов оценки погрешности интерполяции для производных функции в знаменателе содержат синус наименьшего угла треугольника. Способ эрмитовой интерполяции многочленами третьей степени, предложенный Н.В. Байдаковой, при аппроксимации любых производных свободен от условия "синуса наименьшего угла". В работе рассмотрен двумерный кубический элемент в методе конечных элементов, подобный элементу Н.В. Байдаковой. Полученные оценки погрешности для производных функции по направлениям до третьего порядка включительно не зависят явно от геометрии треугольника. Установлена с точностью до абсолютных констант неулучшаемость полученных оценок погрешности аппроксимации производных по направлениям.

Method of Hermite Interpolation by Polynomials of the Third Degree on a Triangle Using Mixed Derivatives

J.V. Matveeva

There is a sine ofthe minimum angle of thetriangle in the denominator of estimation of inaccuracy of interpolation for derivative of function in building of triangular finite elements. The way of method of Hermite interpolation by polynomials of the third degree on a triangle suggested by N.V. Baidakova is free of minimum angle condition for approximation of any derivatives. There is two-dimenetional cubic element in finite element method equal to element of N.V. Baidakova in this paper. The considered estimations of inaccuracy for function derivatives in the directions up to derivative of order three in inclusive is free of triangle geometry. The unimprovable of calculated estimations of inaccuracy of approximations of derivatives in directions is proved in accuracy up to absolute constants.

В работе [1] Н.В. Байдаковой построен новый способ эрмитовой интерполяции многочленами третьей степени. На невырожденном треугольнике рассматривается функция /(х, у), непрерывная вместе с частными производными до четвертого порядка включительно. Треугольник с диаметром й расположен так, чтобы его наибольшая сторона располагалась на оси Ох. Равномерные нормы любых четвертых частных производных функции /(х, у) на треугольнике не превосходят М. Строится

интерполяционный полином Р3(х,у) = Р3(г) = Р3(/;г) со следующими условиями: значения этого полинома и его первые частные производные в вершинах треугольника совпадают со значениями функции /(х, у) и производных функции в тех же точках соответственно, а также смешанные производные полинома и функции второго порядка в вершине треугольника по направлениям наибольшей и наименьшей сторон, исходящим из этой вершины, совпадают. В [1] доказано следующее утверждение.

Теорема 1. Существует константа К такая, что для любой функции /, непрерывной на треугольнике вместе со всеми своими частными производными до четвертого порядка включительно, справедлива оценка

дп/(х,у) _ дпРз(х,у) < КМй4-п 1

дхп—дуз дхп—дуз с < эт3 в’

где 0 < п < 3;0 < ] < п; в — средний угол треугольника.

Как мы видим, оценки погрешности любых производных функции до третьего порядка включительно в знаменателях отсутствует синус наименьшего угла, что позволяет ослабить требования к триангуляции. Попытки ослабления этого условия предпринимались давно. А. Женишек [2] в 1995 году рассмотрел вопрос приближения функций на треугольнике кубическими полиномами и получил оценку приближения частных производных первого порядка через синус среднего по величине угла. В 2005 году в работе Ю.Н. Субботина [3] построен новый кубический элемент, для которого оценки погрешности аппроксимации производных функции до третьего порядка включительно свободны от известного условия «синуса наименьшего угла» триангуляции. В работе [4] получены оценки приближения производных первого порядка по направлениям сторон треугольника, а в [5] — оценки приближения производных по направлениям до третьего порядка включительно, причем, как оказалось, эти оценки (в [4], [5]) не зависят явно от геометрии треугольника.

В данной работе рассмотрим задачу аппроксимации, аналогичную [1], и получим оценки отклонения производных функции и кубического интерполяционного полинома по направлениям сторон треугольника до третьего порядка включительно.

© Ю.В. Матвеева, 2007

23

Пусть Т = (АхА2Аз) — замкнутый невырожденный треугольник на плоскости с внутренностью Т. Функция /(х) определена на треугольнике Т. Пусть далее е^ = | — единичные векторы.

Будем строить полином ^(х) с действительными коэффициентами степени 3, который в вершинах Аг, г = 1, 3, треугольника интерполирует функцию /(х) вместе с ее производными по направлениям сторон треугольника Т, т.е.

/ (а.) = 0(а(), ^ОеА! = /А», , г =3. (1)

Такой полином имеет 10 коэффициентов. Условия (1) определяют 9 из них. Остается выбрать один, в зависимости от которого можно будет говорить о степени приближения функции /(х) полиномом

д(х).

Теперь выберем недостающий в определении полинома ^(х) коэффициент способом, близким к [1]. Определим его из равенства смешанных производных в произвольной вершине треугольника по направлениям двух ребер, исходящих из этой вершины.

Для определенности положим

д23(А1) = д2/(Ах) . (2)

де12е1з де12ехз '

Теорема 2. Пусть функция /(х) определена на треугольнике Т и имеет на нем непрерывные частные производные до четвертого порядка включительно, й — диаметр Т,

М4 = тах тах

0<і-<4,Е і- =4 хеТ

д4/(х)

д е^1 д е22 д е33 д е44

Тогда существует единственный интерполяционный полином ^(х), удовлетворяющий условиям (1), (2), и справедливы неравенства

дп(д - /)

д е?2 д е;>3-к

< СМ4й4-п, 1 < п < 3, 0 < к < п, (3)

где С — абсолютная постоянная. Можно считать, что С = 2.

Доказательство. Доказательство будем проводить в барицентрических координатах и считать, что х = (жі, х2, хз), где хі,Ж2,жз — барицентрические координаты точки х. Тогда полином ф(х), интерполирующий функцию / (х) на Т с условиями (1), имеет вид

з

^(х) = X! /(А)ж3 + 3 X! /(А)ж2Х, +

і=і і=І,і,І >0

^ „ . /д/(АЛ д/(А,) \

+ 2^ |АіА, | ■ ( -~е— Хі + де ж Л ж, х, + 6атжі Х2Хз.

і<і<,<з ^ '

Из условия (2) найдем коэффициент аіі1:

6ат = 6/(Аі) + 2 ■ |АіА21 ■ дд(Аі) + 2 ■ |АіАз| ■ + |АіА21 ■ |АіАз| ■ . (4)

деі2 деіз деі2 деіз

Если в выражении многочлена ф(х) положить х, = 0, і = 1, 3, то получим многочлен Эрмита на стороне АіАк, (і, k = 1, 3, і = і, k = і).

Для краткости будем обозначать /і = /(Аі), і = 1, 3; -дек- = ^, к = і; к,і = 1,3.

Так как жі, і = 1,3 — барицентрические координаты, то производные по направлениям можно вычислить по следующему правилу:

д/(х) 1 /д/(х) д/(х)'. _________ , , ,

- 1 ' і,і = 1,3, і = і. (5)

деі, |АіА, | у дх, дхі

Используя (5), имеем

дф(х) 1

“я----- = N л І ■ (6/2Х2(Хі + Хз) + баіііХз (Хі - Х2) - 6/іХі (Х2 + Хз)) +

деі2 |Аі а2 1

Ю.В. Матвеева. Об эрмитовой интерполяции многочленами третьей степени на треугольнике

+

А Аз | |Аі А21

д/2

2x2Хз +

д/з

дв23 дез2

д/і

+

|Аі Аз| |Аі А2І

д/і д е

2х1х3 —

13

д/з д езі

+

+

де

і2

Хі (жі — 2x2) +

д/2

д е

2і

Х2(2жі — Х2)

+

д2д(х) = _д ^дд(х)

де22 де

2жз

і2

де

і2

1

|Аі А2І

(6/2 (жі + Хз — Х2) — 12ат Хз + 6/і(ж2 + хз — жі)) +

|АіА2 1

|А2Аз |- ^ + |АіАз| д/і

д е23

д3д(х) д /д2д(х)

де

із

+

1

^/^ ■ (2x2 — 4жі) + ■д/^ ■ (2жі — 4x2) деі2 де2і

д еі2

деі2

дд(х) 1

де2і2

6

|АіА2 |;

1 Аі А21 2(/і — /2 ) + |Аі А2 1

д/і + д/2

+

д еі3 |Аі А3 1

| А2 Аз |

деі2 деі2

(6/3Хз (жі + Х2) +6атХ2 (жі — жз) — 6/іХі (ж2 + Хз )+

| Аі Аз |

д/2 2 + д/3 2 '

Х2 + -— ■ 2x2 хз

д е23

+і

1

1 Аі Аз| д2д(х) і

дез2

д/і

+

| Аі А2І | Аі Аз |

д/і д е

■2жіж2 —

і2

д/2 д Є2і

+

■ жі (жі — 2хз) +

д/з

хз(2хі — хз)

д еі3

| Аі Аз |

+

2x2

|АіАз |

| Аі А2|^ д— + |А2Аз| ■

деі2 дЄз2

деіз дезі

(6/з(жі + Х2 — хз ) — 12ат Х2 + 6/і(ж2 + хз — жі)) + 1

+

д 3д(х) д еіз

6

| Аі Аз |з

| Аі Аз |

2(/і — /3) + |Аі Аз|

О / ■ (2ж3 — 4жі) + о / ■ (2жі — 4ж3)

деіз дезі

д/і + д/з

де

із

де

із

(6)

Оценим отклонение производных по направлениям в12, е13. Оценим сначала отклонение производной третьего порядка по направлению е12. Рассмотрим выражение (6). Представим /2 и д£_ по формуле Тейлора в окрестности точки А1 с остаточным членом в форме Лагранжа в окрестности точки А1 (в дальнейшем не будем указывать вид остатка, подразумевая форму Лагранжа), т.е.

/2 = /■ + ЙНА^-г/ЧА, А2|2 А,Р + ! ■

2! Эе?2

з! ае;і2

4! <Эе42

д/2 д/і + / ■ | Аі А2 | + 1 д3*

де

*12 де12 <^12

где £, п — точки, лежащие на стороне А1А2 треугольника. Тогда

де2

2! д еі2

А А2|2 +1 94 / (п) |А-| 3

з! де42

|Аі п|3.

д 3(д — /)

д е32

(х)

д3 /і д3/(х)

д е32

д е32

+

1

|Аі А2 |

| Аі А2 ||А2п|

д4/(п) |А2 С|4 д4/(С)

де42

де42

<

<

д3 /і д3/(х)

де32

д е32

+

| Аі А21

| Аі А211 А2п|

з д4/(п) |А2С|4 д4 / (С)

де42

2

де42

< СМ^.

Аналогично получается оценка для производной третьего порядка по направлению е13, если /3 и де£--представить по формуле Тейлора в окрестности точки А1.

Теперь рассмотрим смешaнные производные по направлениям е12 ,е13 третьего порядка.

д3 д(х)

2

6(/і — аііі) + |АіА21- + |А2Аз| ■ + |АіАз| (2-д/і д/з

д е12д е2з 1А1А21 ■ 1А1А312 де12 ' 1 дез2

Подставляя значение а111 из (4) и представляя ) по формуле Тейлора:

де

із

де

зі

д/з д/і І д2/і | А А | , 1 д3/і | А А |2 , 1 д4/(») | А Л|3

+ ■|АіАз| + 2! ■ ■|АіА3 + з! ■ ■ |Аз^ ,

де

і2

де

і2

деі2 д еіз

3! деі2 де33

Математика

25

2

2

Х

ж

3

3

2

2

ж

2

2

2

3

3

2

1

3

где 9 — точка, лежащая на стороне АА3 треугольника, получаем, что

д3 (Q - f)

д в!2 д ef3

(x)

д3 fi

d3f (x) , 1 |Аз^| д4 f (0)

+

де12де13 де12 д е23 3 IA1A312 де12 де13

< CM4d.

Аналогично имеем оценку

д3 (Q-f)

двхзде^з

< СМ4й. Итак, неравенства (3) при п = 3 доказаны.

Пусть теперь п = 2. Оценим смешанную производную по направлениям в12, в1з. Для этого рассмотрим криволинейный интеграл:

- f)d*. = д2(°- f) (х) - д2(Q - f) (c),

д е12 де13

д е12 д е1з

де12де13

(7)

где с — точка, являющаяся проекцией точки х на сторону А1А3 треугольника. Таким образом, нам осталось получить оценку для второго слагаемого в (7). Так как значения производных д де-/^ по направлению е12 в точках А1, А3 равны нулю, то найдется точка В, лежащая в той половине [А1А3], что и точка с, в которой дде= 0. Тогда, используя этот факт и применяя теорему Лагранжа, имеем

д2(д - f)

д е12 де1з

(c)

д2 (Q - f )(c) - (B)

д3 (Q - f )(п)

де122де13

■ N <

д3(Q - f)(n)

де122де13

де12де13 де12 де13

Используя полученные оценки для производных третьего порядка, получаем с учетом (7)

а2 (д - /)

| A1 A31

д е12д е

12де13

(x)

< CM4 d2

д со 1 )f д со 1 )f

дх3 д е12

Пользуясь теми же средствами, получим оценки отклонения производных второго и первого порядков по направлениям е12 и е13. Таким образом, доказаны неравенства (3) при п = 1, 2. Теорема 2 доказана.

Из теоремы 2 можно получить оценки теоремы 1. Для этого расположим треугольник так, чтобы наибольшая его сторона, например, сторона А1А2, лежала на оси Ох. Строим интерполяционный полином третьей степени с условиями (1) и ер,3^ . Пусть А1А3 — наименьшая сторона.

Тогда производная по направлению е12 совпадает с производной по х, т.е.

< CM4d.

Чтобы получить производные по у, разложим единичный вектор е, коллинеарный Oy, по единичным векторам е12 и е13:

е = «1е12 + «2 е13.

Обозначим через в и 7 средний и наибольший углы в треугольнике соответственно. Тогда несложно найти коэффициенты разложения вектора е:

1 cos в

а1 = “—a ’ а2 =--------:—п .

sin в sin в

Имеет место неравенство C1 sin 7 < sin в < C2 sin 7. Тогда можно получить оценку для производной по У

д со 1 )f д со 1 )f

д со д е3

3 <93(Q - f) , 3 2 д3(Q - f) , 3 2 д3(Q - f) , 3 д3(Q - f)

а ------ —3-+ 3 a^a2 ■ 2—^------+ 3 а 1 а2 ■ —-----——2---+ а 2

де32 1 12 де12де13

Воспользуемся результатами теоремы 2:

д3(Q - f)

д е12д е13

де313

ду3

< CM4d

sin в

X

С

2

1

Ю.И. Митрофанов, Н.П. Фокина. Анализ сетей массового обслуживания

Аналогично получаются оценки для остальных частных производных. Эти утверждения останутся справедливыми,если считать, что интерполяционное условие (2) задается в вершине любого по величине угла в треугольнике. Сравнивая результаты с утверждением теоремы 1, видно, что теорема 1 является следствием теоремы 2.

Замечание. Неравенства (З)являются точными по порядку в следующем смысле. Пусть 0 < х0 < 1, Т — треугольник с вершинами А1 (0,6), А2(х0, 0), А3(0, а); Ь<0, й = а + |6|, 0 < а < |6|, д — сплайн третьей степени для функции /(х, у) = |у|4, удовлетворяющий интерполяционным условиям (1) и дд ^ ^^ (%,2, к = 1,3, % = 2 = к). Тогда для производных по направлениям сторон

треугольника справедливы двусторонние оценки:

™ M4d4—” 96

< sup

дn(Q - f)

< 2M4d

4—n

Автор выражает искреннюю благодарность С.Ф Лукомскому за постановку задачи и внимание к работе.

Библиографический список

1. Байдакова Н.В. Об одном способе эрмитовой интерполяции многочленами третьей степени на треугольнике // Труды Института математики и механики. Теория функций: Сб. науч. трудов. Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 2005. Т. 11, № 2. С. 47-52.

2. Zenisek A. Maximum-angle condition and triangular finite elements of hermite type // Math. Comp. 1995. V. 64, № 211. P. 929-941.

3. Субботин Ю.Н. Новый кубический элемент в МКЭ // Труды Института математики и механики. Тео-

рия функций: Сб. науч. трудов. Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 2005. Вып. 11, № 2. С. 120-130.

4. Куприянова Ю.В. Об оценке производной по направлению Эрмитова сплайна на треугольнике // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006. Вып. 8. С. 59-61.

5. Куприянова Ю.В. Об аппроксимации производных интерполяционного многочлена по направлениям на треугольнике// Совр. методы теории функций и смеж. проблемы: Материалы конф. Воронеж, 2007. С.120-121.

УДК 519.872

АНАЛИЗ СЕТЕЙ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ДИНАМИЧЕСКИМ УПРАВЛЕНИЕМ МАРШРУТИЗАЦИЕЙ

Ю.И. Митрофанов, Н.П. Фокина

Саратовский государственный университет,

кафедра системного анализа и автоматического управления

E-mail: [email protected]

Предлагается метод анализа замкнутых экспоненциальных сетей массового обслуживания с одним классом требований и централизованным динамическим управлением маршрутизацией, основанным на использовании в процессе функционирования сети в течение фиксированных интервалов времени различных маршрутных матриц. Метод анализа основан на описании процесса функционирования сети обслуживания модельными цепями Маркова. Приводится пример анализа сети рассматриваемого типа.

An Analysis of Queueing Networks with Dynamic Routing Control

Y.I. Mitrophanov, N.P. Fokina

A method for analysis of closed exponential queueing networks with one class of customers and central dynamic routing control is proposed. The method of control is based on a use of different routing matrices during fixed time intervals in the network operation process. The method for analysis is based on a description of the network operation process with model Markov chains. An example of analysis of this type network is given.

ВВЕДЕНИЕ

Применение методов динамического управления маршрутизацией в сетях массового обслуживания (СеМО) позволяет значительно повысить качество их функционирования. Используемые в сетях методы управления маршрутизацией в существенной степени определяют содержание методов анализа сетей обслуживания этого типа. Достаточно полное представление о методах анализа можно получить из обзора [1]. Примерами работ, в которых рассматриваются задачи анализа сетей массового обслуживания с зависящей от состояния сетей маршрутизацией, являются [2-9]. В работе [2] исследуется замкнутая сеть с одним классом требований и интенсивностями переходов требований, зависящими от состояния сети. Определяются условия, которым должны удовлетворять интенсивности переходов, чтобы существовало стационарное распределение вероятностей состояний сети в мультипликативной

© Ю.И. Митрофанов, Н.П. Фокина, 2007

27