CC BY
33
Библиографический список
1. Покорный Ю. В., Пенкин О. М., Прядиев В. Л., Боровских А. В., Лазарев К. П., Шабров С. А. Дифференциальные уравнения на геометрических графах. М. : Физматлит, 2004. 272 c.[Pokornyi Y. V., Penkin O. M., Pryadiev V. L., Borowski A. V., Lazarev K. P., Shabrov S. A. Differential equations on geometric graphs. Moscow : Fizmatlit. 2004. 272 p.]
2. Гладышев Ю. А., Лошкарева Е. А. Моделирование процесса теплопроводности в материале трубы при наличии внешнего и внутреннего продольного оребре-ния // Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования «ПМТУММ-2012». Воронеж : Издат.-полиграф. центр ВГУ, 2012. С. 86-88. [Gladyshev Y. A., Loshkareva E. A Modeling of the thermal conductivity of the material in the pipe with an external and internal longitudinal fins // Recent developments in applied mathematics, control theory, and mathematical modeling «PMTUMM-2012». Voronezh, 2012. P. 86-88.]
3. Гладышев Ю. А. Метод обобщенных степеней Берса и его приложения. Калуга : КГУ, 2011. 201 с.[Gladyshev Y. A.The method of generalized degrees
of Bers and its applications. Kaluga : KGU, 2011. 201 p.]
4. Гладышев Ю. А., Афанасенкова Ю. В. Об одном методе решения второй краевой задачи на графе // Современные проблемы теории функций и их приложения : материалы 16-й Сарат. зимней шк. Саратов : Научная книга, 2012. C. 48-49. [Gladyshev Y. A., Afanasenkova Y. V. A method for the second boundary value problem on a graph // Modern problems of functions theory and their applications : Proc. of the 16th Sarat. Winter School. Saratov, 2012. P. 48-49.]
5. Гладышев Ю. А., Афанасенкова Ю. В. Об использовании матрицы потоков и матрицы потенциалов при решении задач теории переноса // Современные проблемы теории функций и их приложения : материалы 16-й Сарат. зимней шк. Саратов : Научная книга, 2012. С. 49-51. [Gladyshev Y. A., Afanasenkova Y. V.On the use of the matrix of flows and the potential matrix in the solution of problems in the theory of transference // Modern problems of functions theory and their applications : Proc. of the 16th Sarat. Winter School. Saratov, 2012. P. 49-51.]
УДК 517.51
НОВЫЕ ОЦЕНКИ ВЕЛИЧИН ПОГРЕШН АППРОКСИМАЦИИ ПРОИЗВОДНЫХ ПРИ ИНТЕРПОЛЯЦИИ ФУНКЦИИ МНОГОЧЛЕНАМИ ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ НА ТРЕУГОЛЬНИКЕ
Н. В. Байдакова
Институт математики и механики УрО РАН E-mail: [email protected]
Рассматривается один из способов выбора условий интерполяции многочленами третьей степени на треугольнике, порождающий непрерывную результирующую кусочно-полиномиальную функцию на триангулированной области. Получено усиление оценок сверху величин погрешности аппроксимации производных третьего порядка интерполируемой функции без снижения точности оценок величин погрешности аппроксимации функции и производных первого и второго порядков.
Ключевые слова: многомерная интерполяция, метод конечных элементов.
New Estimates of the Error of Approximation of Derivatives under Interpolation of a Function on a Triangle by Polynomials of the Third Degree
N. V. Baidakova
We consider a method of interpolation by polynomials of the third degree which gives continuity of the resulting piecewise polynomial function on the triangulated domain. We get improved estimates for the error of approximation of derivatives of order 3 and keep accuracy of other estimates.
Keywords: multidimensional interpolation, finite element method.
Пусть функция /, определенная на триангулированной области О с И2, принадлежит множеству Ш4М функций, непрерывных на О вместе со всеми своими частными производными до 4-го порядка включительно, у которых все производные 4-го порядка ограничены по модулю константой М. На каждом треугольнике из триангуляции для / строится интерполяционный многочлен типа Биркго-фа 3-й степени по совокупности переменных такой, чтобы результирующая кусочно-полиномиальная функция была непрерывна на О. В силу того что речь идет о локальных методах построения кусочно-полиномиальной функции на О, далее можно ограничиться рассмотрением одного треугольника триангуляции.
Пусть Т — произвольный треугольник, на котором интерполируется функция /; а (г = 1, 2,3) — вершины Т; а, в, в — углы при вершинах а\,а2,а3 соответственно. Поместим треугольник Т в пря-
© Байдакова Н. В., 2013
15
моугольную систему координат Оху таким образом, что для некоторых положительных а, 6, Л. координаты вершин будут записываться следующим образом: а1 = (а + 6, 0), а2 = (0,0), а3 = (а, Л). Пусть 0 < а < в < откуда следует, что а < 6 и диаметр Т равен а + 6 = Н. Через т^- будем обозначать единичные векторы, направленные от а, к aj, через ^ — производную порядка 5 по направлениям произвольных единичных векторов ,..., Положим е(х, у) = /(х, у) — Р3(х, у), где Р3 — некоторый интерполяционный многочлен 3-й степени.
(>)
Договоримся далее писать, что для величин #1 и #2 имеет место отношение #1 < #2, если
(>)
существует константа С > 0 такая, что #1 < С#2.
Для определения многочлена Р3 (х, у) на Т требуется задать 10 условий. Пусть 9 из них имеют следующий вид:
Рз(а,) = /(а,), = /М , = , г = 1, 2,3. (1)
дх дх ду ду
Эти условия обеспечивают непрерывность итоговой кусочно-полиномиальной функции на О и часто выбираются в методе конечных элементов. Остается одно условие, выбор которого разными авторами осуществляется по-разному (см., например, работы [1-5]). Например, в [1] в качестве этого условия берется равенство
дРз (а2з) д/ (а2з)
dx dx
где а23 — середина отрезка а2а3, а в [2] — условие
д2Р3Ы _ д2/(а2)
dT2l dT23 dT2ldT23
(2)
(3)
Условия (1), объединенные с условиями (2) или (3), позволили получить [1,2] следующие оценки сверху величин погрешности аппроксимации функции и ее производных, не зависящие от синуса наименьшего угла треугольника Т в знаменателе:
dne(x,y)
dxn-j dyj
< MH4-n (sin вГ' , (4)
где 0 < п < 3, 0 < ] < п, (х, у) е Т. Оценки (4) означают, что для любого п = 0, 3, любых ,... и любой точки (х, у) е Т имеет место оценка
|D£...íne(x, y)| < MH4- (sinвГ ■ (5)
В данной работе предлагается вместо условий (2) или (3) использовать следующее условие:
д3 Р3Ы = д3/(fl2) (6) ду3 ду3
которое позволяет усилить правую часть (5) следующим образом:
|D£...íne(x, у)| < MH4-" (sinв)-min{2,n} ■ (7)
Вопрос интерполяции функции в соответствии с условиями (1), (6) уже рассматривался в [4], однако в знаменателях полученных там оценкок сверху для производных второго и третьего порядков присутствует синус наименьшего угла треугольника.
Теорема. Пусть многочлен P3(x,y) определяется условиями (1), (6). Тогда для любой точки (x, y) е T имеют место оценки
д"^^, y)
<
MH4-n при j = 0, 0 < n < 3,
MH4-n (sinв)-1 при j = 1, 1 < n < 3, (8)
MH4-n (sinвtg в)-1 при j = 2,3, 2 < n < 3.
дхп— ду-?
Отметим, что оценки (7) являются очевидным следствием оценок (8)
Доказательство. Как и в работах [1,2], используем разложение остатка е(х, у) и его производных по формуле Тейлора с остаточным членом в интегральной форме Коши:
дпе(х, у) = 3-р' 1 3-п+5-г дп-.+г+ке(0,0) х^
дхп_5 ду5 = (г — 5)!У ^ дхп_5+к ду- к! +
3_ + X у
+ 3_Т * 1 у,_5 Г (х — у)3_п+— д4/(V, 0) + Г (у — ¿)3_п д4/(х,£) (9)
+ ^ (г — 5)!у У (3 — п + 5 — г)! д^4-гду- +У (3 — п)! дх"_вд*4_"+в ^ (9)
0 0
дпе(0,0)
Для доказательства (8) достаточно оценить величины —-, 0 < п < 3, 0 < ] < п. Так как
дхп • дyj
значение погрешности интерполяции функции е(х, у) и ее первых производных в точке а2 = (0, 0) согласно условиям (1) равно нулю, остается оценить производные второго и третьего порядков. Далее через С, будем обозначать некоторые подходящие константы, через — некоторые внутренние точки отрезков а,.
Лемма 1. Для ] =0,3 справедливы оценки
d3e(0,0)
dx3-j dyj
<
MH при j = 0,3
MH (sin в)-1 при j = 1, (10)
MH (sin в tg в)-1 при j = 2.
венство
< MH. Для j = 3 оценки (10) являются следствием условия (6). Остается рас-
Доказательство. Пусть j = 0. Рассматривая e(x, 0) на отрезке a2a1 и используя формулы для оценки производных ошибки интерполяции в одномерном случае (см., например, [6]), получим нера-
д 3e(0,0) дх3
смотреть случаи j = 1 и j = 2.
Применяя последовательно формулы конечных приращений Лагранжа на a2a3 и производной остатка интерполяции на а3а1, получаем цепочку равенств
д3еЫ д3e(a3) д4/(&) ,, + h2^/2 C д4f (С13) b д4f (C¿3) ,2 + h2^/2 (11)
"дГЦ" = ^Т|Г - + h) = cosa - (a + h) . (11)
C другой стороны, так как т31 = (cos a, — sin a), производная по направлению т31 в левой части (11) может быть представлена следующим образом:
д3e(a2) д3e(a2) 3 ^e^) 2 • , 0д3e(a2) . 2 д3e(a2) . 3 П0ч
——-о— = —г—5—cos a — 3 Оо cos a sin a + 3 0 cos a sin a--—^— sin a. (12)
дт^ дх3 дх2 ду дхду2 ду3
Объединяя (11) и (12) и принимая во внимание, что
^2) = C д4/(&1) (a + b) (13) = С2_дх4_ (a +b) (13)
(используем формулу производной остатка интерполяции на отрезке a2a1), получаем равенство
д3e(a2) 2 • , q ^e(a2) . 2 д3e(a2) ■ 3 h
—3 Оо cos a sin a + 3 0 cos a sin a--—^— sin a = bm1? (14)
дх2ду дхду2 ду3
где
,1/2
д4f (CÍ3) 1 — C д4/(С2М (a + b) cos3 a — д4/(C1s) (a2 + h2) дт31 cos a дх4 b дг|1дг23 b
Первое и второе слагаемые в m1 определяются условиями (1) и не зависят от условий (2), (3) или (6),
1 /2
а модуль третьего для любой функции / е W4M оценивается сверху величиной M ía2 + h2) 7 /b. Поэтому сумму первых двух слагаемых в m1 можно оценить через сумму абсолютных величин третьего слагаемого в m1 и левой части (14), используя для получения оценок сверху оценки (4) для условий (1), (2) или (1), (3). Тогда
К|< MH < MH^. (15)
b sin в
С учетом (6) равенство (14) приводит к соотношению
д3e(a2) 2 д3e(a2) 2 ,
—3 ^ —cos a sin a + 3 0 0 0 cos a sin a = omi.
(16)
dx2dy dxdy2
Рассматривая e(x, y) вдоль отрезка a2a3 и используя формулу производной остатка интерполяции и представление производной по направлению т23 = (cos в, sin в) через частные производные по переменным x и y, получим последовательность равенств
д3ф2 )= C3 f3) (a2 + h2 )i/2 =
дт233
дт23
д Ma2) 3^ . Qd3e(a2) 2 д • д , од 3 e(a2) о ■ 2о . д 3 e(a2) . 3,0 cos3 в + 3 2 cos2 в sin в + 3 \ 2 cos в sin2 в +--0 3 sin3 в.
dx3 dx2dy
Из (17), (6) и (13) получим соотношение
(д 3e(a2) 2
dxdy2
дУ3
3
dx2 dy
cos2 в sin в + 3 d e^2) cos в sin2 в = bm2,
dxdy2
(17)
(18)
где
т. е.
m2 = C3
д4f (CI3) (a2 + h2)
i/2
дт23
— C
1/2
д4f (C2i) a + b
dx4 b
cos3 в,
, (a2 + h2V 3 |m2| < M^-o, -+ M cos3 в.
(19)
Решим систему уравнений (16), (18) (автором использовались формулы Крамера): д3e(a2) b (m" cos в sin2 в — m2 cos a sin2 a) д3e(a2) b (m" cos2 в sin в + m2 cos2 a sin a)
dx2dy
3 cos a sin a cos в sin в sin(a + в)
С учетом (15) и (19) получаем оценки
д3e(a2)
dx2 dy
<
MH (sin в)
-i
dxdy2
д3e(a2)
3 cos a sin a cos в sin в sin(a + в)
dxdy2
<
Лемма 1 доказана.
Лемма 2. Для j = 0,2 справедливы оценки
д2e(0,0)
dx2 jдyj
<
MH 2
MH (sin в tg в)
при j = 0,
-i
MH2 (sinв)-1 при j = 1,
□
(20)
MH2 (sin в tg в) 1 при j = 2
Доказательство. При ^ =0 так же, как в лемме 1, рассмотрим е(х, 0) на отрезке а2а1 и, используя формулы для оценки производной ошибки интерполяции в одномерном случае, получим
д2е(0, 0)
дx2
< MH2
Для случая j = 1 применим формулу Тейлора на отрезке а2а3 :
дe(а3) дe(a2) д2e(a2)
+
(a2 + h2)1/2 +
i/2 , д3e(a2) (a2 + h2) , д4f(C233) (a2 + h2)
3/2
+
дx дx дxдт23 ' ' 7 ' дxдт23 2 ' дxдт23 6
Левая часть и первое слагаемое в правой части (21) равны нулю в силу условий (1). Тогда
д2e(a2) д2e(a2) „ , д2e(a2) . „
cos в +—0 sin в = m3,
где
дxдт23 дx2 ' дxдy
,2 , ^2)1/2 \
m3 =
— д3e(a2) (a2 + h2)1/2 — д4f(&) (a2 + h2)
дxдт23
2
дxдт23
6
(21)
(22)
(23)
Для оценки первого слагаемого правой части (23) представим производную по направлению т23 = = (cos в, sin в) через частные производные по переменным x, y и воспользуемся оценками (10).
b
1 /2
Таким образом, |т3 | < МН (а2 + й2)1/2. С учетом данной оценки из (20) при ] =0 и (22) получаем, что
д2е(аз)
дхду
<
MH2 (sin в)
-1
Остается доказать (20) для j = 2. Аналогично (17) получим последовательность равенств
д2e(a2) ^ д4/(Z23) ( 2 j2n д2e(a2) 2п ^д2e(a2) n ■ n d2e(a2) . 2 ^ v ¡ = C4 —(a2 + h2) = Qv2 y cos2 в + 2 Q c°s в sin в +--тЬ^ sin2 в,
дт23
дт23
дх2
откуда с учетом (20) для j = 0,1 следует, что
д2e(a2)
дГ
<
C4
д4/(С3з) (а2 + h2)
дт23
< M
sin2 в .2
+
+ h2
дхду
cos2в
sin2 в sin2 в
дх2
+
sin2 в
H2 \
+2
дГ
) cos в
дхду sin в
<
sin
в tg в;
(24)
Так как cos в > cos ((п — a)/2) = sin(a/2) > sin a, то
h2
sin2 в + sin2 в
<
h2 _ sin в sin a . — = tg в tg a =---< sin в,
ao cos в cos a
a (a2 + h2)1/2 aO sin в _ a (a2 + h2)1/2
sin в tg в
+
sin2 в
+
hO
<
H2
sin в tg в sin в tg в sin в tg в
Тогда (24) дает оценку
д2e(a2)
дГ
<
MH 2
sin в tg в
Лемма 2 доказана. □
Таким образом, доказана теорема (объединяем разложение (9), условия (1) при г = 2, оценки (10) и (20)). □
Отметим, что вопрос оптимальности предложенных условий интерполяции и соответствующих оценок сверху остается открытым (см. оценки снизу в [7]).
Работа выполнена в рамках программы Отделения математических наук РАН «Современные проблемы теоретической математики» при поддержке УрО РАН (проект 12-Т-1-1003/4), а также при финансовой поддержке РФФИ (проект 11-01-00347).
Библиографический список
1. Subbotin Yu. N. A New Cubic Element in the FEM // Proc. of the Steklov Institute of Math. 2005. Suppl. 2. P. S176-S187.
2. Baidakova N. V. A Method of Hermite interpolation by polynomials of the third degree on a triangle // Proc. of the Steklov Institute of Math. 2005. Suppl. 2. P. S49-S55.
3. Zenisek A. Maximum-angle condition and triangular finite elements of Hermite type // Math. Comp. 1995. Vol. 64, № 211. P. 929-941.
4. Латыпова Н. В. Погрешность кусочно-кубической интерполяции на треугольнике // Вестн. Удмуртск. унта. Математика. 2003. С. 3-10. [Latypova N. V. Error of interpolation by piecewise cubic polynomial on triangle // Proc. Udmurt. University. Mathematics. 2003. P. 3-10.]
5. Матвеева Ю. В. Об эрмитовой интерполяции многочленами третьей степени на треугольнике с использованием смешанных производных // Изв. Сарат. ун-та.
Нов. сер. 2007. Т. 7. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 1. С. 23-27. [Matveeva J. V. Method of Hermite Interpolation by Polynomials of the Third Degree on a Triangle Using Mixed Derivatives // Izv. Saratov. Univer. New Ser. 2007. Vol. 7. Ser. Math. Mech. Inform., iss. 1. P. 23-27.]
6. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений : в 2 т. Т. 1. М. : Физматгиз, 1962. [Berezin I. S, Zhidkov N. P. Computing Methods. Vol. 1. Oxford : Pergamon Press, 1965.]
7. Байдакова Н. В. Влияние гладкости на погрешность аппроксимации производных при локальной интерполяции на триангуляциях // Тр. ИММ УрО РАН. 2011. Т. 17, № 3. С. 83-97. [Baidakova N. V. Influence of smoothness on the error of approximation of derivatives under local interpolation on triangulations // Proc. of the Steklov Institute of Math. 2012. Suppl. 1. P. S33-S47.]
2
