О наилучшем приближении в среднем алгебраическими полиномами с весом и значение поперечников некоторых функциональных классов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2016, том 59, №3-4_

МАТЕМАТИКА

УДК 517.5

О.К.Фарайдунов

О НАИЛУЧШЕМ ПРИБЛИЖЕНИИ В СРЕДНЕМ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ПОЛИНОМАМИ С ВЕСОМ И ЗНАЧЕНИЕ ПОПЕРЕЧНИКОВ НЕКОТОРЫХ

ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ КЛАССОВ

Таджикский национальный университет

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 14.09.2015 г.)

В работе получены точные неравенства типа Джексона-Стечкина на классах функций Е2р (а, Ь), в которых величины наилучших полиномиальных приближений оцениваются обобщенным

модулем непрерывности m-го порядка, порожденным дифференциальным оператором второго порядка. Для некоторых классов функций вычислены точные значения различных п-поперечников.

Ключевые слова: неравенства типа Джексона-Стечкина, наилучшее приближение, обобщённый модуль непрерывности, дифференциальный оператор, п-поперечники.

1. Пусть Ь2р(а,Ь) - множество функций /: (а, Ъ) —> М, для которых произведение

р(х)/2 (х) на отрезке (а, Ь) суммируемо, где р(х) > 0 - произвольная суммируемая на (а, Ь) весовая функция.

Множество (а, Ь) линейно и с введением скалярного произведения

Ь

(/, 9) := \р(х)/(х)9(х)^

а

для /,д е Ь2р(сг,Ь) и нормы |./' |2/>:= у] (./,./) превращается в полное гильбертово пространство.

В этой статье мы приводим некоторые результаты, вытекающие из основной теоремы, приведённой в [1], а потому будем пользоваться обозначениями и определениями статьи [1]. Пусть р(х) на (а, Ь) удовлетворяет дифференциальному уравнению

(а(х)р(х))' = т( х)р(х), (1)

где т(х) и с(х') - многочлены не выше второй и первой степени соответственно, причём для любого к е

Нш о-( х)р( х) хк = Нш &( х)р( х) хк = 0.

х^а+0 х^Ь-0

Адрес для корреспонденции: Фарайдунов Осим Косумшоевич. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр. Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: [email protected]

Известно [2], что только лишь в трёх случаях решением р данной задачи являются весовые функции для определения классических ортогональных на (а, Ь) полиномов Якоби, Лагерра и Эрмита. Следуя [1,3], через Т>р обозначим дифференциальный оператор вида

+ (2) (лЛ (лЛ

и пусть

Л(р) := Л(р) = -пг'х) - (X). (3)

Вышеперечисленные ортогональные многочлены удовлетворяют дифференциальному уравнению второго порядка

^ру = Я(р)у. (4)

Явные выражения для этих полиномов можно получить из формулы Родрига следующего

вида

^ (х) = -£ ^ (х)р( X) )(п), (5)

где В - нормировочная постоянная, а р( х) удовлетворяет дифференциальному уравнению (1).

В силу (4) числа Яп(р),йё2+ являются собственными значениями оператора {—Т>р\ а соответствующие им собственные функции - ортогональными на (а, Ь) многочленами, соответствующими весовой функции р(х). В [3] отмечается, что в зависимости от вида весовой функции р := р(х) можно получить следующие системы ортогональных на (а, Ь) полиномов:

если р(х):=(1 - х)а(1 + х)р, где а,Р > -1, <х(х):=1 - х2, г(х):= -(а + Р + 2)х + @-а, (а, Ь) - интервал (-1,1), то согласно формуле (5) соответствующие полиномы уп (х) при В := (-1)п /2пп! являются полиномами Якоби вида

(-1)п С"

х) := - х)-а(1+ х)-^((1 -х)п+а(1 + х)пП

при этом Л (р) = п(п + а + Р +1);

если р(х) := хав~х, где а>-1, а(х) := х, т(х) := -х + а +1, (а, Ь):=(0, да), то в силу (5) соответствующие полиномы уп(х) при Вп :=1/ п! будут полиномами Лагерра

1 сСп п п! Схп ;

В данном случае Лп (р) = п.

2

В случае, когда р(х):= е х , &(х):=1, т(х):=2х, (а, Ь):=( —ад, +ю) соответствуют формуле (5), полиномы уп (х) при В := (—1У являются полиномами Эрмита

Ип(х):=(—1)пех2 ^(е-х')■

При этом Лп (р) = 2п.

Очевидно, что во всех трёх случаях последовательность {Лп(р)}™=1 собственных чисел ортогональных многочленов является монотонно возрастающей.

Пусть {рк (х)}^=0 - одна из указанных выше ортогональных на (а, Ь) систем полиномов Якоби, Лагерра или Эрмита, принадлежащая пространству р(а,Ь) с соответствующей весовой функцей р(х), а {рк(х)}^=0 - их ортонормированная система полиномов. Разложим функцию / е Ь2р (а,Ь) в ряд Фурье по системе полиномов {рк(х)}к=0 :

ад

/ (х) = Тк (/)р к ( х), (6)

к=0

где

Ь

ск(Л'= {/>(*)/(*)/>*(*>&, (7)

а

- коэффициенты Фурье функции /, а равенство в (6) понимается в смысле сходимости в пространстве Ь2р(а,Ъ). Пусть Т>п - подпространство алгебраических полиномов степени п, а

- величина наилучшего приближения функции / е Ь2 (а, Ь) элементами подпространства Т)п. Символом £„_!(/), /I £ N обозначим частную сумму ряда Фурье (6):

п—1

Эп—Л/, х):= Тк (/ )р к (х).

к=0

Для произвольной функции / е Ь2р (а, Ь) верно равенство:

Г СО

КМ\Р =и-5пМЖР=\Тс2к(Л

^ к=п

Рассмотрим функцию

Тр(х, у; к):= £рк ( х)р ( У)кк, (8)

к=0

где к е (0,1), х, у е (а, Ь), причём равенство (8) понимается в смысле сходимости в среднем в пространстве ^ ((а, Ь) х (а, Ь)), которое состоит из суммируемых в квадрате функций / : (а, Ъ) х (а, 6) —» Ж свесом р{х)р{у) и нормой

I и и

I /\1.р,р= I\р(х)р(у)1\х,у)^у

N1/2

< да

V а а у

Следуя [1,3] и используя формулу (8), для произвольной функции / е Ь2 Да, Ь) запишем оператор усреднения

Ь

РКр(/,х) := |р(1о/(^Тр(х, Г,1 -к)Ж, 0< к <1 (9)

а

и перечислим его свойства:

1. для /,д&Ь2р(а,Ь) и //,// е М выполняются равенства

+т) = ЛрСЯ+^кр^;

З.для УА(дс), =

4- при А->0 + 0.

Используя оператор усреднения (9), записываем для функции / е Ь2 (а, Ь) конечные разности первого и высших порядков:

Ак,рС/,х) := Кр(/,х) -/(х) = (^ -Ер)/(х), Акр/,х): Ак,р (Ак-1С/,•),х) = (^ - Ер) /(х) =

т г. Г т Ли = £(-1)т-к т *£,(/,х),к = 2,3,..., (10)

к=0

Vк У

где Р®р(/) := /, ^р(/):= ,р(/), ^кр (/):= ^Ч/)); а Ер - единичный оператор в пространстве Р(а,Ь). С помощью указанных величин для произвольной функции / е Ь2р (а,Ь) определяем обобщённый модуль непрерывности т -го порядка [1,3]

где 0<7< 1, гаеК.

2. Пусть Т> определено равенством (2), Е2(Т)р) - множество функций / е Ь2р(а,Ь), имеющих абсолютно непрерывные производные первого порядка /' и таких, что функции т(х)

ёх

б/2/

и сг(х)—— принадлежат пространству Ь2 (а,Ь), то есть Т> / <=Ь2 (а,Ь). В случае, когда (а,Ь) -с1х

один из интервалов (—да, +да) или (0, да), полагаем, что производная / является локально абсолютно непрерывной. Полагаем Т>°р/ .= /, Т>1р/ \=Т>р/ и Р' / := Т)р(Т)'р ' / ), г е К. Символом П2(Т>р\г = 2,3,..., обозначим множество функций /^Ь2р(а,Ъ\ которые имеют абсолютно непрерывные производные (2г —1)-го порядка и для которых Т>р/ &Ь2р(а,Ь). В случае, когда (а, Ь) является одним из интервалов (—да, +да) или (0, да), полагаем, что производные (2г — 1) -го порядка локально абсолютно непрерывны.

Отметим, что для произвольной функции / е Ь2р (а, Ь), имеющей на (а, Ь) разложение в ряд

Фурье по системе ортонормированных полиномов |рк} с весом р, оператор усреднения (9) представим в виде

Ър(/, х) = Т(1 — к)кск (ЛРк (х), (12)

к=0

где равенство (12) понимается в смысле сходимости в метрике пространства Ь2р (а, Ь). Используя формулы (6) и (12), для функции / е р(а,Ь), получаем равенства

да

Кр(/, х) = ^[(1 — И)к — 1] Ск (/)рк (х) (13)

к=1

и на основании метода математической индукции запишем

да

х) = Я (1 — И) — 1]т Ск (/)рк (х). (14)

к=1

Учитывая равенство [2]

ск(ъ;/) = (-\ул1(р)ск(/х

из (14) для произвольной функции У е ¿2 (2? ) находим

^О^;/' 0 := ¿(1 - О - ОТ ^"(ЖСА 0<t<l. (15)

к=1

С использованием характеристики (15) в [1] доказана следующая

Теорема А. Пусть 0 < р < 2, 0 < /г < 1, (р>0 - измеримая суммируемая

на интервале (0, И) неэквивалентная нулю функция. Тогда справедливо равенство

да

Л (р)Еп-1(/ )

2,р

rsuP 7

у/р (Ь V'р'

[1(1 - (1 - г)п )тр (р(г)йг

(16)

Из равенства (16), в частности при г = 0, р = 1/ т, к = 1/(п +1), ф(г) = 1, вытекает соотношение [3]

Т7 ( /1 Л-(п+1)т Еп-1 (/ )2,р

suP т

/ еьг2р(а,Ь)'

/ Ф сотХ

1/( п+1)

(п +1) | п£(/,г)йг

т

■ = 1 --

п + 1

(17)

Из (17) вытекает предельное равенство

Нт sup

Еп-1 С/)

2,р

^«Л ((п + 1)|о"№1^ тр( /, г с)"

/ Ф сотХ\ ^ р /

= е .

В данной работе из теоремы А выведем более общее следствие при любых 0 < р < 2 и теК, воспользуясь которой затем вычислим точные значения п -поперечников, естественно возникающих при этом классе функций

Теорема 1. Пусть 0 < р <2, 0 < /г < 1. Тогда справедливо равенство

8ир г „

Г^Ж) г й

/ Ф СОНМ

Лгп (р) ЕП-1(/)

2,р

тр +1

0(1-0""^ 11 }

1/р

(18)

В частности, полагая в (18) к = \ / п и переходя к верхней грани по п е М, с обеих сторон (18) получаем равенство

Л (р)Еп-1(/)2,р _ (тр +1)1/р

эир эир

т)

Г Уп ^ ( -л

(1-е' )

1

\ тн— р

откуда, в свою очередь, имеем:

эир эир -

-«/^Д© ) г 1/п

Л (р) Еп-1(/)

2,р

2я

«/^(^тоо-о^

(1 - е )

1 \2 т

3. Пусть £ - единичный шар в пространстве Ь2р (а, Ь), Ли ^ ^ (а, Ь) - п -мерное подпространство, Лп ^ Е2р (а, Ь) - подпространство коразмерности п , ^: Е2р (а, Ь) ^ -

1

т

непрерывный линейный оператор, 11 : Е2р (а, Ь) ^ - непрерывный оператор линейного проектирования, N - выпуклое центрально-симметричное подмножество из Е2р (а, Ь). Величины

Ьп№Ь2р) = 8ир{вир{^ > 0: еБ^Лй+1 с Ш]: Лп+1 с Ь2р}, ¿п(К-Ь2р) = М{8ир{тГ{|| /-д ||2р: д е Лй} : / е Ш}: Лй с= Ь2р], й\гЯ-Ь2р) = 1пГ{1пГ{|| / \\2р. / е Жг^Л"}: Л" с: Ь2р\ 8(41 -Ь2р) = ^{тД8ир{||||2р: / е Ш} :^Ь2р а Лй}: Лй с: Ь2р\

П(т-Ь2р) = т£{1пГ{8ир{|| \ \гр: / е ШТ}: А%^р с= Ьп} : Лй с Ь2р}

называют соответственно бернштейновским, колмогоровским, гельфандовским, линейным, проекционным поперечниками подмножества N в пространстве £2р(а,Ь). Между перечисленными

экстремальными характеристиками подмножества N в гильбертовым пространстве Х2р(а,Ь) выполняются соотношения [4]:

Ь„(^Ь2р) < йп(N; 1%р) < йп(N; 1%р) = 1%р) = П(Ж; 1^). (19)

Пусть 0 <р < 2, 0 < /г < 1. Через Ж2р (С1т ,И) обозначим класс функций

/ е Ь2р(Т>р\ у которых производная £>'(/) удовлетворяет условию

о

Теорема 2. При любом 0< р < 2 справедливы равенства

7 К(Пт,р;К);Ь,р) = Еп_х (Ж2[р(^р;И)р г

1 (тр +1)

р

Л(р) (1 - (1 -И)п)

В частности, при р = 1/да, гаеМ, ге2+, 0<р<2, 0</г<1

^п (Щут (Пт. р; К); Ь2р) = Еп-! (Ж^ (^ р'; К) ^ =

= _1__2т

Л(р) (1 - (\ - К)п У

где 7п (•) - любой из вышеперечисленных п -поперечников.

Поступило 15.09.2015 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Вакарчук С.Б, Швачко А.В. О наилучшей аппроксимации в среднем алгебраическими полиномами с весом и точных значениях поперечников классов функций. - Украинский математический журнал, 2013, т.65, №12, с. 1604-1621.

2. Абилов В.А, Абилова Ф.В, Каримов М.К. Точные скорости сходимости рядов Фурье по ортогональным многочленам в пространстве L2((a,b),p(x)). - Журнал вычислительной математики и математической физики, 2009, т.49, №6, с. 966-980.

3. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. - М.: Наука, 1979, 416 c.

4. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. - М.: МГУ, 1976, 304 с.

О.К.Фарайдунов

ОИДИ НАЗДИККУНИИ БЕХТАРИНИ МИЁНА БО БИСЁРАЪЗОГИХОИ АЛГЕБРАВИИ ВАЗНДОР ВА КИМАТИ КУТРХОИ БАЪЗЕ СИНФХОИ

ФУНКСИОНАЛЙ

Донишго^и миллии Тоцикистон

Дар макола нобаробаридои аники намуди Ч,ексон-Стечкин барои синфи функсия

П2 (a, b) ёфта шудаанд, ки дар ондо бузургии наздиккунии бедтарин бо модули бефосилагии

умумикардашудаи тартиби m -уме, ки ба воситаи оператори дифференсиалии тартиби дуюм дода шудааст, бадогузорй карда мешавад.

Калима^ои калидй: формулаи квадратуры, модули бефосилаги, хатоги, оператори дифференсиали.

O.Q.Faraydunov

ON THE BEST APPROXIMATION IN THE MEAN BY ALGEBRAIC POLYNOMIALS WITH WEIGHTS OR VALUES OF THE DIAMETERS OF

CERTAIN FUNCTIONAL CLASSES

Tajik National University In the paper precise inequalities of Jackson-Stechkin on classes of functions E2p (a, b), where the

value of the best polynomial approximations estimated generalized modulus of continuity of m th order generated by differential operator of the second order is presents. For some classes of functions the exact values of various n -widths were calculated.

Key words: inequalities of Jackson-Stechkin, the best approximation, generalized modulus of continuity, differential operator, n-widths.