CC BY
41
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2014, том 57, №8_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
К.Тухлиев
ВЕРХНИЕ ГРАНИ НАИЛУЧШИХ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ ЧАСТНЫМИ СУММАМИ
ФУРЬЕ-ЧЕБЫШЁВА
Худжандский государственный университет им. Б.Г.Гафурова
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 23.06.2014 г.)
В гильбертовом пространстве Ь2 [—1,1] с весом Чебышёва ц(х) := 1 / V1 — х2 получены точные неравенства типа Джексона-Стечкина, связывающие величину Еп_/- наилучшее приближение функции /(х) алгебраическими многочленами степени не более п—1, с усреднённым положительным весом обобщенного модуля непрерывности т -го порядка (Ог/; где Б -некоторый дифференциальный оператор второго порядка.
Ключевые слова: наилучшие приближения - полиномы Чебышёва - обобщённый модуль непрерывности m-го порядка - коэффициенты Фурье-Чебышёва.
К настоящему времени известен целый ряд содержательных результатов, связанных с отысканием точных констант в неравенстве типа Джексона - Стечкина в пространстве измеримых 2ж -периодических функций := [0,2ж] с нормой (см., например, [1-4])
Г 1 V72
< да.
' 2л
-f\f (x)\2 dx
УЛ 0 J
Пусть 'Рп - множество алгебраических полиномов степени п.
В данной работе мы продолжим исследования, начатые нами в [5], и докажем точные неравенства типа Джексона-Стечкина для наилучшего приближения действительных измеримых на отрезке [—1,1] функций / с весом 1Л(X) := 1 /V1 — X2 элементами подпространства 'Рп ] в гильбертовом пространстве [—1,1] := ((лА — х2)—Х;[—1,1]) с конечной нормой
ЧД-1.1]
1
{ A(x)f 2(x)dx
N 1/2
Адрес для корреспонденции: Тухлиев Камаридин. 735700, Республика Таджикистан, г.Худжанд, мкр., 20, Худжандский государственный университет. E-mail: [email protected]
Введём обозначения: N - множество натуральных чисел, =Ми{0}, М := (0,со) - множество всех положительных чисел, М := (—оо,+оо). Следуя работе А.В.Абилова и Ф.В.Абиловой [6], в пространстве [—1,1] рассмотрим оператор
1
К/ (х) =-
/1х соб к + >/1 — х2 Бт к| + /1х соб к — у/1 — х2 Бт к|
(1)
который будем называть оператором обобщённого сдвига, и введём конечные разности первого и высших порядков равенствами
дк(/; х) = (х) — / (х) = (^ — Е)/(х),
дк(/х) = дк(дг—1■(/;■);х) = (Ек — Е)т/(х) = 2(—1)т—к 7 кх),
к=0 V к У
(т ^ _ к
где F/¡0/(х) = /(х),F/f/(х) = ^(Fl 1 /(х)),£ = 1,2,...,да;т е N и Е - единичный оператор в пространстве . Определим обобщённый модуль непрерывности т -го порядка равенством
Ц (/; 1,1] = ^{Цдта;-)!^ :| к |< | (2)
Пусть далее
1 ¡2
Т(х) = ^=, Т(х) = \ ~ соб(£агссоБх),£ = 1,2,. (3)
л/ж V ж
- ортонормированная система многочленов Чебышёва первого рода в пространстве [—1,1]. Тогда, как хорошо известно [7],
/ (х) = 2 ск (/Т (х) (4)
к=0
есть ряд Фурье-Чебышёва функции / е Д—1,1], а
1
С, (/) = \Кх)/( х) тк ( (5)
—1
- коэффициенты Фурье-Чебышёва. Равенство в (4) понимается в смысле сходимости в пространстве
ё2 ё
Ь2 [—1,1]. Пусть теперь Т> = ( 1-х )—- - л"— - дифференциальный оператор второго порядка.
с1х с1х
Операторы высших порядков определим последовательно, полагая Т)г / = Т)(Т)Г '/), (г = 2,3,...). Известно [7], что многочлены (3) удовлетворяют дифференциальному уравнению
(1 — х2)т \ (х) — хт 'к (х) + к 2 (х) = / (6)
т
а потому из (6) следуют равенства
Шк(х) = -к2Тк(х),...^гТк(х) = (-1)гк2%(х). (7)
В [6] доказано, что для произвольных функций / е £2 [—1,1], имеющих обобщенные производные в смысле Леви [8], коэффициенты Фурье-Чебышёва (5) ряда (4) удовлетворяют соотношени-
ям
ck{f) = {-\y k-2r ck{V f\ к = \,2,..., (8)
с, (Fhf) = cos kh • с, (f), k = 1.2,..., (9)
где функция Fhf - определена равенством (1).
Пусть Z.2:= 1,1]) - множество функций f g L2 которые имеют абсолютно
<1.
непрерывные производные (2г — 1) -го порядка и удовлетворяют условию |/
Пользуясь соотношениями (7) - (9) и равенством Парсеваля, из (4) для произвольной функции
-)
f е \ легко получить равенство [6]
АГФ7) 2 =20-СО8*Й)2"^(/). (10)
к=1
Учитывая соотношение (10), модуль непрерывности (2) запишем в виде
= 8ир{|>4^(/)(1-с<»*й)2"
Пусть
=1^{||/-^1||2/г е^} (11)
- наилучшее приближение функций / е Х2 ^ элементами подпространства ,. В [7] доказано, что
п—1
среди всех элементов рп е 'Рп , частичная сумма ^ /^л") = ^ск( /)7'к (х) ряда (4) доставляет ми-
к=0
нимум величине (11). При этом
/ ОЭ Л1'2
=II/ - ¿и/)||2,,=( 2 с2ся | . (12)
.к=
Из (12), учитывая равенство (8), для произвольной f е Z^ получаем
да
Неравенство (13) обращается в равенство для функции /0(х) = Ти (х), принадлежащей множеству 1%м> поскольку ¿иш^ = 1, = п2г-
В [9] при любых m/eN, г > m 12 доказано, что
2r-m г г\ Пп-- (f)2,.
sup
feL(h (шп x 2m
{ Q]n"' CD' f; [)2м smutch
(14)
V о
а в [5] при meN, reZ+, 0 < h < ж / n получено равенство
sup
f ^
f Фconst
n2-i(f )
2,..
nh
f^Ù f 1 h
V h о
nh - sin nh
(15)
С целью обобщения равенств (14) и (15), введём в рассмотрение следующую экстремальную аппроксимационную характеристику
Mn,m,r, Р (o;h) = SUP
¿U/)
2, fi
f О/ h
Ni/p '
где й,т e N, /* g Z, /? e , 0 <к<ж, ç(t)> 0 - суммируемая на отрезке [0, /г] неэквивалентная нулю функция.
Теорема 1. Пусть Е N, г е Z+, 0< р <2, 0 <h< ж, ç(t) > 0 - суммируемая не эквивалентная нулю на отрезке [0, h] функция. Тогда справедливы неравенства
ian,m,r,р(Г,h)}-1 < M^m,^< { mf a^,^(^h)}-
где
Ni/p
k ,m,r, pv
Л) = 1 k2J (1 - cos kt)mpq(t)dt V о y
При этом, если infK<i;<:ш akmr (<p\h) = anmr p (ф\h), то имеет место равенство
(16)
С h
-1/P
Mn,m,r, p (o;h) =
n2rp J (1 - cos nt)mpOt )dt
\ 0
Доказательство теоремы 1 проводится по схеме рассуждений работы [4]. Из доказанной теоремы вытекают ряд следствий.
1
m
m
Следствие 1. Пусть весовая функция (p(t), заданная на отрезке [0, h], является неотрицательной и непрерывно дифференцируемой на нём. Если при всех /e[0,/z] и р е [1 / (2/*), 2], f еШ выполнено неравенство
(2rp - 1)((t) - t( (t) > 0, (17)
то справедливо равенство inf ak ((;h) = a ((;h) и имеет место соотношение
n<k<o> ' ' 'p ' ' 'p
Mn,m,r,p (( h) = K,m,r,p (( h)}-1.
Следствие 2. Пусть весовая функция (p{t) = \ и числа 1 I (2r) < р < 2;
0 < h < 3л / (4n). Тогда выполнено следующее равенство
Mw,p(1; h) = {ая^р(1;h)}-1 :=|n2rp J (1 - cosnh)mpdt| . (18)
В самом деле, согласно неравенству (17), имеем
(2rp - 1)((t) - t( (t) = 2rp -1 > 0,
а потому имеет место (18).
Следуя работе [4], в равенстве (16) положим h = a / n, где 0 < a < л, ( (t) = g(nt), g(u) > 0 - суммируемая не эквивалентная нулю на отрезке [0, а] функция. Тогда
С а/п Л 1/p
vk,m,r,P (9 (nt); а / n) = | klrp J (1 - cos kt)mp g(nt)dt\ =
- , \2rpa f 7 \mp 1 1/p
k i rL k
= n2r-1/p |[kJ J[1 - cos ^t] g (t )dt \ . (19)
Из равенства (19) следует, что
infK,m,r, p (g (n-);a / n): n < k < да} =
n2r-1/p inf {x2rp f (1 - cos xt)mpg(t)dt 1 := n2r-1/p • inf ¡3nr (a; g, x). (20)
x>1 J x>1 , ,p
Используя равенство (20), из утверждения теоремы 1 получаем
Следствие 3. Пусть reZ+, т,п е М, Окр <2, 0< а < л", есть неотрицательная
суммируемая на отрезке [0, а ] не эквивалентная нулю функция. Тогда имеет место неравенство
1
< sup
< -1( f\ц
<
1
f^t J ClPm(V-f;t/n\M g(t)dt
Если при этом функция g такова, что
,inf Pm,r, p(a; 9,x) = p(a; g,1),
то справедливо равенство
«"(f)
sup
2,M
Мг) t a
J r
Jn i(Vrf-,tln\Mg(t)dt
Yp Pm,r,p (a; g,1)
Следствие 4. Пусть 0 <а < ж, т,п,г е N. Если при всех 0<р< 2 функция д{{)\=Х2гр 1д1(?), где дх(() не возрастает, является неотрицательной суммируемой на отрезке [0, а] функцией, то
Рт,, Р (а; 9, х) = Рт,г, р(а; 9, 1) и, следовательно, имеет место равенство
sup —
) fa
«„2-:(f )
2,М
f^t\\QFm(Vrf-,tln\Mt2rp-lgi(t)dt
Yp Pmnrrp p (a; t2rp-1g:(t), 1)'
При решении экстремальных задач теории приближений важную роль играют неравенства между нормами последовательных производных функций или неравенства типа Колмогорова [10] в различных банаховых пространствах. В пространстве £ [а, Ъ], 1 < р < го, где [а, Ъ] - произвольный отрезок вещественной оси, неравенство Колмогорова имеет вид
/ 'II p, <)i I!,, /I■
(a + p = \, a>0, J3>0, s<r, s,rsN, M>0). Справедлива следующая
Теорема 2. Пусть r,seN, г >s. Тогда для произвольной функции / е , f ^ const справедливо точное на L неравенство
s/r И Iil-c/r
Vs f <Vrf ■ /1
J 2,fl J 2,fl II-7 Il2,/i
Из теоремы 2 вытекает
Следствие 5. При выполнении условий теоремы 2 имеет место точное неравенство
1
обращающееся в равенство для f (x) = Tn (x) G .
Следующее утверждение базируется на неравенстве (21).
Теорема 3. Пусть т,п<= N; 0<р<2; 0 < h < Зж / (4п); re Z+; 5=0,1,..., г; cp(t) -неотрицательная суммируемая на отрезке [0, h] не эквивалентная нулю функция и выполняется неравенство (17). Тогда имеет место равенство
rh
sup ----—^-— = 1 j (1 - cosntr<p(t)dt
Г г
Поступило 23.06.2014 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Вакарчук С.Б. Точные константы в неравенствах типа Джексона и точные значения поперечников функциональных классов из Ь2 - Мат. заметки, 2005, т. 78, №5, с. 792-796.
2. Иванов В.И., Смирнов О.И. Константы Джексона и константы Юнга в пространствах ¿^-Тула: ТулГУ, 1995, 192 с.
3. Шабозов М.Ш. Поперечники некоторых классов периодических дифференцируемых функций в пространстве £2[0,2п]. - Мат. заметки, 2010, т. 87, №4, с. 616-623.
4. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. Наилучшие полиномиальные приближения в Ь2 некоторых классов 2п-периодических функций и точные значения их поперечников. - Мат. заметки, 2011, т. 90, №5, с. 764-775.
5. Шабозов М.Ш., Тухлиев К. ^-функционалы и точные значения «-поперечников некоторых классов функций в пространстве 4((л/1 --X'Г1;). - Известия ТулГУ, 2014, вып.1, с. 491-499.
6. Абилов В.А., Абилова Ф.В. Об одной квадратурной формуле. - Журнал выч. мат. и мат. физ., 2002, т. 42, №4, с. 451-458.
7. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. - М.: Наука, 1979, 416 с.
8. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. - М.: Наука, 1969, 480 с.
9. Тухлиев К. О верхних гранях отклонения некоторых классов функций от их частичных сумм рядов Фурье-Чебышева в пространстве Ь2. - РТ, 2013, т. 56, №8, с. 606-611.
10. Бабенко В.Ф., Корнейчук Н.П., Кафанов В.А., Пичугов С.А. Неравенства для производных и их приложения. - Киев: Наукова думка, 2003, 590 с.
^.Тухлиев
САР^АДИ БОЛОИИ НАЗДИКШАВИИ БЕ^ТАРИНИ ПОЛИНОМИАЛИИ БАЪЗЕ СИНФИ ФУНКСИЯ^О БО ЁРИИ СУММАИ ХУСУСИИ
ФУРЙЕ-ЧЕБИШЁВ
Донишго^и давлатии Хуцанд ба номи Б.Рафуров
Дар фазой гилбертии L2 [—1,1] бо вазни Чебишёв /л(x) := 1 / л/1 - x2 нобаробарии наму-ди Ч,ексон-Стечкин х,осил карда шудааст, ки бузургии Еп_f -наздикунии бех,тарини фун-ксияи f (x) бо бисёраъзогии алгебравии дарачааш на зиёда аз n — 1 -ро бо кимати миёнаи вазни мусбати модули бефосилаи умумикардашудаи тартиби т -и flm CD'f; t), ки дар и и но Т> — опе-ратори дифференсиалии тартиби дуюми додашуда аст, алокаманд мекунад.
Калима^ои калиди: наздиккунии беутарин - бисёраъзогии Чебишёв - модули бефосилагии умумикардашудаи тартиби m -ум - коэффисиентуои Фурйе-Чебишёв.
K.Tukhliev
UPPER BOUNDS OF BEST POLYNOMIAL APPROXIMATION OF CERTAIN CLASSES OF FUNCTIONS PARTIAL FOURIER-CHEBYSHEV
B.G.Gafurov KhugandState University In the Hilbert space L2 [—1,1] with the Chebyshev weight ju(x) := 1 / V1 — x2 the inequalities of Jackson - Stechkin was obtained where the linking value Еп_ f is the best approximation of the function f (x) by algebraic polynomials of degree at most n — 1, with the average positive weight generalized modulus of continuity m th order Qm ( T)' f\ /), where T> is some second order differential operator.
Key words: best approximation - Chebyshev polynomials - generalized modulus of continuity of mth order -Chebyshev-Fourier coefficients.
