Научная статья на тему 'О ПРИБЛИЖЕНИИ СУММАМИ ФУРЬЕ-ЧЕБЫШЁВА В L 2, μ И ЗНАЧЕНИЕ ПОПЕРЕЧНИКОВ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ'

О ПРИБЛИЖЕНИИ СУММАМИ ФУРЬЕ-ЧЕБЫШЁВА В L 2, μ И ЗНАЧЕНИЕ ПОПЕРЕЧНИКОВ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
208
31
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
НАИЛУЧШЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ / ПОЛИНОМЫ ЧЕБЫШЁВА / ОБОБЩЁННЫЙ МОДУЛЬ НЕПРЕРЫВНОСТИ M-ГО ПОРЯДКА / КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ-ЧЕБЫШЁВА / N-ПОПЕРЕЧНИКИ / BEST APPROXIMATION / CHEBYSHEV POLYNOMIALS / GENERALIZED MODULUS OF CONTINUITY M-TH ORDER / FOURIER-CHEBYSHEV COEFFICIENT / N-WIDTHS

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Фарайдунов О. К.

В гильбертовом пространстве суммируемых с квадратом функций с весом Чебышёва получены точные неравенства типа Джексона Стечкина, связывающие наилучшее приближение функции подпространством алгебраических полиномов степени с обобщённым модулем непрерывности -го порядка, где некоторый дифференциальный оператор второго порядка. Для некоторых классов функций, определённых указанными модулями непрерывности, вычислены точные значения -поперечников в пространстве.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

On approximation by Fourier-Chebyshev sums in L 2 , μ and the value of widths of some classes functions

In the Hilbert space square-integrable functions with the Chebyshev of weight we obtain exact inequalities of Jackson Stechkin linked to the best approximation of subspace of algebraic polynomials degree is a generalized modulus of continuity of the th order, where some second order differential operator. For certain classes of functions which are defined by the specified moduli of continuity, the exact values of -widths in the space are calculated.

Текст научной работы на тему «О ПРИБЛИЖЕНИИ СУММАМИ ФУРЬЕ-ЧЕБЫШЁВА В L 2, μ И ЗНАЧЕНИЕ ПОПЕРЕЧНИКОВ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2014, том 57, №5_

МАТЕМАТИКА

УДК 517.5

О.К.Фарайдунов

О ПРИБЛИЖЕНИИ СУММАМИ ФУРЬЕ-ЧЕБЫШЁВА В И ЗНАЧЕНИЕ ПОПЕРЕЧНИКОВ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ

Таджикский национальный университет

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 05.11.2013 г.)

В гильбертовом пространстве Ь2 Д—1,1], суммируемых с квадратом функций / с весом Че-

бышёва /л(х) = 1 / л/1 — х2, получены точные неравенства типа Джексона - Стечкина, связывающие наилучшее приближение Еп_1(/)2 функции / подпространством ^ - алгебраических полиномов степени <п — 1 с обобщённым модулем непрерывности т-го порядка С1т(ТУг/^)2м, где Т)

- некоторый дифференциальный оператор второго порядка. Для некоторых классов функций, определённых указанными модулями непрерывности, вычислены точные значения п -поперечников в пространстве .

Ключевые слова: наилучшее приближение - полиномы Чебышёва - обобщённый модуль непрерывности т-го порядка - коэффициенты Фурье-Чебышёва - п-поперечники.

1. В работе [1] нами найдены точные значения величины наилучшего приближения функции / алгебраическими многочленами степени < п — 1 в гильбертовом пространстве [—1,1] с весом

Чебышёва /л(х) = 1 / V1 — х2 на некоторых классах функций, задаваемых обобщёнными модулями непрерывности и даны их приложения к оценке погрешности квадратурной формулы Эрмита-Чебышёва. Здесь мы, сохраняя обозначения работы [1], продолжим исследования в этом направлении. Напомним, что норма в [—1,1] определяется равенством

1/2

<

Х)/'С х№

V —1 у

а величина наилучшего приближения / е Д—1,1] алгебраическими полиномами степени п — 1

Г оэ У/2

где Сд. (/) — коэффициенты Фурье-Чебышёва определены соотношением

Адрес для корреспонденции: Фарайдунов Осим Косумшоевич. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр. Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: osim.88.tj@mail.ru

i

С, (f) = \к x)f( x)Tk ( x)dx, (2)

-i

T (x) = V 2 / ^ cos(k arccos x)(k = 1,2,...) - многочлен Чебышёва первого рода. Между коэффициентами (2) функции /"eZ^ [—1,1] и соответствующими коэффициентами c/;('D' f ), где Р - дифференциальный оператор второго порядка

^ ?s d2 d

LUX LUX

имеется следующая связь [2]:

ck{f) = {-\yk-2rck{Vf\k = \,2,... (3)

Через L'2 ^ - обозначим множество функций f (x), имеющих обобщённые производные в смысле Леви [3], таких, для которых |Т)' /| < оо.

II 112, (л

В [3] доказано, что для обобщённого модуля непрерывности m -го порядка справедливо равенство

Df; t= sup \ £ (1 - cos kh)2mk4 re2k{f) :| h |< t\. (4)

,k=0

Имеет место следующая

Лемма 1. Пусть / е [—1,1]. Тогда выполняется точное неравенство

еитгп^п^еитгп^ =од,...,г-1). (5)

Равенство в (5)реализуется для функции /(х) = Ти(х) е £^[—1,1]. Доказательство. В самом деле, из равенства (3) получаем

«*(2>7) = (-1 Т'*ГЧм\ФГ), (5 = 0,1,...,г-1). (6)

Воспользуясь равенством (6), имеем:

СО СО

к=п к=п

со к=п

откуда и следует неравенство (5). Знак равенства в (5) для функции

/о(х) = Тп(х) е 1,1]

проверяется непосредственным вычислением. Из леммы 1 вытекает

Следствие 1 .Для любых /геМ, г,5 е Z+, г> я справедливы равенства

Бир ■

п

Теорема 1. Пусть /иеМ, г и 0 <к<ж/п, тогда при любом п е N имеет

место точное неравенство

п

1 (* Т

(7)

гй-ътгй] п

у \ о у

Неравенство (7) обращается в равенство для функции

/0(х) = Тп(х) е /£[—1,1].

Доказательство. В работе [4] для произвольной / е 1,1] и любого 0 < Н < Ь

(0 < ? < ^ / (2п)) доказано неравенство

/2, ц

1 1/(2/и) -1г1тг^А1т г -г\г

■ п

о;:™ (Я/; Н^+Е с2(/)С08 кн.

(8)

к =п

Проинтегрировав обе части неравенства (8) по аргументу Н в пределах от Н = 0 до Н = Ь и поделив обе части полученного неравенства на Ь, получаем

Учитывая равенство

Н^2») -2 г!т 1

п

' 0 к=п

б1п кЬ кЬ '

(9)

из (9) имеем:

I Б1П х I Б1П пЬ

Бир ■-: х > пЬ ^ =-,

I х I пЬ

п

1 '

^ Кт (я/;

(10)

или, что то же,

\1//Я 1

п

п V Ш-ътгй

I

т

зо

X

Из неравенства (11) получаем

ч т

гй-ътгй) п

( Лт 1 ('

(12)

-0 у

Равенство в (12) для функции /(х) = Тп(х) е ¿^[—1,1] проверяется непосредственным вычислением, чем и завершаем доказательство теоремы 1.

2. Пусть 5 = {х : ||х||2^ < 1| - единичный шар в ¿2/г := ¿2Д—1,1]; М - выпуклое центрально-симметричное множество из ¿2 . Ли с /2/г - и -мерное пространство; Лп с / - подпространство коразмерности и; ^ : ¿2, ^ Л - непрерывный линейный оператор; ^ : ¿2 , ^ Лп - непрерывный оператор линейного проектирования. Величины

Ъп(Ш;¿2,,) = 8ир{вир{^ > 0: ^ пЛп+1 с Ш]: Лп+1 с ¿2Д < (®1; ^2 , ) = 1 ^ { вир { П {| |/ — д| 12 , : д е Л п} : / е М } : Л^ с ¿2 8Я{Ж;= 1пГ{тГ{вир{|/ — */^ , :/е* ¿2 ,сЛи}:Лп сЬ2,,}, ¿п (М; Ь^ ) = 1пГ {вир {||/^, : / е М п Лп} : Лп с Ь^ },

Пп(; ¿2 ,,) = тГ{тГ{вир{/ — ^/Ц^ : / е м}: сЛп}:Лп с ¿2 ,,}

называют соответственно бернштейновским, колмогоровским, линейным, гельфандовским, проекционным п -поперечниками. Указанные п -поперечники в связаны следующими соотношениями [5,6]:

Ъп (М; ¿2,,) < йп (М; ¿2 ,,) < < (М; ¿2 ,,) = 8Я (М; ¿2,,) = Пп (М; ¿2 ,). (13)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Величина

есть наилучшее приближение множества ЭДТ подпространством 'Рп - алгебраических многочленов степени не более п — 1.

Непрерывную возрастающую на полусегменте [0, да) функцию Ф , такую, что Ф(0) = 0 , будем называть мажорантой. Множество всех мажорант обозначим символом N. Через N. , где к е М, обозначим совокупность мажорант Ф е для которых выполняются условия [7]:

1) tк ) < t~k), если 0 < ^ < t2 < ж;

2) lim tФ(t) = 0.

i-> 0+0

Для произвольных чисел е N и 0 <h< 1тт введём в рассмотрение классы функций:

W'

(r)

(Q m,h) := if е 4'j,: J Qf (Vf;t\ßdt < 1 ,

Ж^ОС^Ф) := |/ е : | < Ф(Л)|,

где можоранта Фе N. Справедлива следующая

Теорема 2. Пусть еМ, геЖ+ и для величины />0 выполнено условие 0<Ш<ж/2. Тогда справедливы равенства

yn{W(r\CLm-,h) ,L2J = £n_1(W^(CLm;h)\ßJ- . 2г.

\nt-smnt) п

n Л 1

где /и (■) - любой из перечисленных выше п -поперечников.

Доказательство. Учитывая определение класса Ж(г)(От; Н), неравенства (12) и цепочку неравенств (13), получаем оценку сверху

ГЖ^'М^) < < { П. 1 -4,. (14)

\nt-smntj п

Для получения оценки снизу п -поперечников класса Ж<~г\С1т',к) в множестве 'Рп с\ Л2 а рассмотрим шар полиномов

г

а :=\р eV \ \р II <п2г

n

v nt - sin nt

и докажем, что <Jn с: WU) (Qm',h). В [8] для произвольной рп е Vn доказано неравенство

<n4r ■(\-cosnt)lm - \\рп(2м, (15)

где

i(1 - cos nt )2m, если 0 < t <ж/ n, (1 - cos nt )2m =f2 ) , ,

[2, если t >ж/ n,

откуда при 0 < h < ж / n получаем

J nlm(Vrpn-t)^dt < n2r'm IрпЦ ■ J (1 - cosnt)dt

= n 2nrn . n 2r,m--n--nt - sln nt = 1. (16)

nt - sin nt n

Учитывая определение класса W(r)(Qm;h) и неравенство (16), получаем <Jn ^ W(rQm;h). Используя соотношение (13) и определение бернштейновского n -поперечника, запишем оценки снизу для рассматриваемых нами n -поперечников

У(W(;h),ь2 J > bn(W(r)(Q„;h),LJ >

>bn(<;lj>n-2r-Í n 1. (17)

V nt - sin nt ^

Сравнивая оценки сверху (14) и снизу (17), получаем требуемые равенства в утверждение теоремы 1, чем и завершаем доказательство.

Теорема 3. Пусть мажоранта Фе^ для произвольной h е К+ удовлетворяет условию

Ф(-) 2 nh -->--j (1 - cos t).dt. (18)

Ф(ж/ (2п)) ж — 2 Тогда для любых чисел N и справедливы равенства

где уп (•) - любой из п -поперечников, перечисленных ранее. Множество мажорант, удовлетворяющих условию (18), не пусто.

Доказательство. Полагая в неравенстве (7) И = ж / (2п) и используя определение класса

Ж(г)(Ои,Ф), для произвольной функции / из этого класса получаем

^^•ЬМйГ ро)

Используя неравенства (13) и (20), запишем оценку сверху для всех п -поперечников

уя(Жг\Пт,Ф),Ь, <dи(Жг)(Пт,Ф),Ь, <

m

Для получения оценки снизу указанных п -поперечников во множество введём шар

а' :=\ р еГ :\\р II <п2г

и I гп п н 112,

^ 2п _ ( ж ^

^ж-2 V 2п уу

■Ф —

и докажем, что он принадлежит классу И/<'>(С1ш,Ф). В самом деле, для произвольной //е1, пользуясь неравенством (15) для рп е < и условием (18), имеем:

]&тт(Ъгрп;Х)2^< п2г'т ■ \рпЦ ■ ](1-С08/1/).Л

<

,2 г/т ,„-2 г/т 2п

< п ■ п

ж-2

■ Ф(ж / (2п)) ■ | (1 - соб Ш)„ йх

2 иН

ж-2

Ф(ж / (2п)) ■ | (1 - СОБ XXйх < Ф(Н).

Этим включение <гп ^ г)(Оот,Ф) доказано. Используя соотношение (13) и определение берн-штейновского п -поперечника, запишем оценку снизу для всех рассматриваемых п -поперечников

7п (ГГ)(Ои ,Ф), Ь, > Ъп (Г^О ,Ф), ^) > 1 Г 2п _ж

> К < Ь2,ц) > — Т^Ф(—) . (22)

"" п [ж-2 2п ]

Сопоставляя оценку сверху (21) и оценку снизу (22), получаем требуемые равенства (19). Покажем, что множество мажорант Ф е N, удовлетворяющих условию (18), не пусто.

Рассмотрим функцию Ф„(Н) := На из множество N 5 где

а:=ж/(ж-2), 2 <а< 3, (23)

и убедимся, что для неё соотношение (18) выполняется. Подставляя Ф„ в (18), получаем неравенство

'2 пН Г 2 пН

ж У ж-2 0

| (1 - СОБ X).йХ, (24)

которое еще нужно доказать для произвольной к е М .

Рассмотрим два случая: а) 0 < пН < ж; и б) пН > ж. В случае а) неравенство (24) приобретает вид

2 пН Т 2

V ж У ж-2 Полагая 2пН = ж//, неравенство (25) перепишем в виде

>--(пН - БтпН). (25)

Н

0

0

а 2 (цж . цж) ж ( 2 . цж иа >--I ---81П— 1 =-1 ц--Б1П —

ж — 2 I 2 2 } ж — 2 г ж 2

Введём в рассмотрение вспомогательную функцию

(р(ц) = ца--—\ц ——б1п —}, 0 <ц<2

ж — 2!

ж

и докажем, что ((ц) > 0 для всех 0 <ц< 2. Сначала докажем, что (р(ц) > 0 для це [0,1]. При ц —> 0 + 0 в силу (23) имеем:

((ц) = ца

1--ж--°(ц3 2)

V

24(ж — 2)

у

поэтому в достаточно малой окрестности нуля ((ц) > 0, и если бы в некоторой внутренней точке интервала (0,1) ((ц) сменила бы знак, то, учитывая равенство ((0) = ((1) = 0, производная

((ц) = аца-1 —11 — с об =

ж — 21 2 } ж — 2

ца1— 1 + сов ц

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

необходимо имела бы не меньше двух нулей на интервале (0,1) . Кроме того, ((0) = ('(1) = 0, а тогда вторая производная

((ц) =

ж

ж — 2

(а — 1)ца 2 — жб1пцж 1 =

ж

ж—2

г2ца—2 ж . цжл --Бт-—

ж — 2 2

у

будет иметь не менее трех нулей на интервале (0,1) и, в силу неравенства (23), еще ((0) = 0. Отсюда следует существование трех различных нулей на интервале (0,1) производной третьего порядка

((ц) =

ж

(

ж — 2

2(4 — ж) (ж — 2)2

ж

а—3 \2

ц — (—) С°Ь

цж

\

Но функция ((ц) является разностью выпуклой вверх и выпуклой вниз функций, а потому из геометрических соображений следует, что на интервале (0,1) она не может иметь более двух нулей, и мы пришли к противоречию. Это значит, что на интервале (0,1) неравенство (26) выполняется, а следовательно, имеет место (25).

Если 1 < ц < 2, то из условий ((1) = ('(1) = 0 и ((ц) > 0 следует ((ц) > 0.

Рассмотрим случай б) пН > ж. В этом случае имеем

а2 пН У 2

ж

пН \

ж — 2

| (1 — соб г)Сг + 21 Сг

ж У

2ж 4 4nh 2ж

■ н---(nh -ж) = ■

ж — 2 ж — 2 ж — 2 ж — 2

или, полагая снова 2nh = ж/и (2 < / < да), имеем

„ 2жи 2ж 2ж . , ч

л> (и-1), (26)

ж — 2 ж — 2 ж — 2

или, снова введя вспомогательную функцию

^(л) = /---(/ -1), (2 < /л < да),

ж-2 будем иметь:

d№ = о//-1 —^ЖГ- = -Ж . /1 - 2) > 0, (2 < / < да), ж - 2 ж — 2

Следовательно, неравенство для значений / е [2, да) выполняется, а это эквивалентно неравенству

(24) при nh > ж, чем и завершаем доказательство теоремы 3.

Следствие 2. Пусть выполнены условия теоремы 3. Тогда для любого п е N имеет место следующее равенство

sup{| Ся (f) |: f е Г(r)(Qm ;Ф)} = ■ {^ ф[ ^j}" (27)

Доказательство. В самом деле, учитывая, что

1 1

cn(f) = j" л( x)f (x)T«(x)dx = j" л( x)[f(x)—vi(f, xWn(x)dx -1 -1

и используя неравенство Коши-Буняковского и соотношение (19), получаем

sup{| a„(f) |: f е W(Т,Ф)} < sup{||f — ^ (f)^ : f е W(T,Ф)} =

Для получения оценки снизу рассмотрим функцию

-2 г I 2n ж

m

Из доказательства второй части теоремы 3 следует, что функция / е (т'п+1. Поэтому функция / является элементом класса Ж(г)( Оот;Ф) и, следовательно, справедливо следующее неравенство

sup{| a (f) |: f e W( r)(Qm ;Ф)} a (f2) 1=

Требуемое равенство (27) получаем после сопоставления неравенств (28) и (29). Следствие 2 доказано.

Поступило 05.11.2013 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Фарайдунов О.К. Об оценке погрешности квадратурной формулы Эрмита-Чебышёва. - ДАН РТ, 2013, т.56, 10, с. 47-56.

2. Абилов В.А., Абилова Ф.В. Об одной квадратурной формуле. - ЖВМ и МФ, 2002, т.42, 4, с.451-458.

3. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. - М.: Наука, 1969, 500 с.

4. Тухлиев К. Точные верхние грани отклонения некоторых классов функций от их частных сумм ряда Фурье - Чебышёва в пространстве L2. I - Изв. АН РТ. Отд. физ.-мат., хим., геол. и техн. н.,

2013, №4(153), с. 53-46.

5. Тихомиров В.М. - Некоторые вопросы теории приближений. - М.: МГУ, 1976, 325 с.

6. Pinkus A. «-Widths in Approximation Theory. - Berlin: Springer - Verlag, 1985, 292 p.

7. Шабозов М.Ш., Вакарчук С.Б. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами и точных значениях поперечников функциональных классов в L2. - Analysis Mathematica, 2012, v.38, pp.147-159.

8. Тухлиев К. Точные верхние грани отклонения некоторых классов функций от их частных сумм ряда Фурье-Чебышёва в пространстве L2. II - Изв. АН РТ. Отд. физ.-мат., хим., геол. и техн. н.,

2014, №1(154), с. 22-32.

О.К.Фарайдунов

ОИДИ НАЗДИККУНЙ БО ЁРИИ СУММА^ОИ ФУРЬЕ-ЧЕБЫШЁВ ДАР Li^ ВА ЦИМАТИ ЦУТР^ОИ БАЪЗЕ СИНФИ ФУНКСИЯ^О

Донишго^и миллии Тоцикистон

Дар фазой гилбертии L2 Д—1,1], функсиях,ои бо квадрат суммиронидашавандаи f бо

вазни Чебышёв /л(x) = 1 / л/1 — x2, нобаробарих,ои аники намуди Ч,ексон-Стечкин, ки вобаста-гии наздиккунии бсхгарипи Enl(f)2ß-n фупксияхои / аз руи зсрфазохои 'Рп - биссраьзогихои алгебравии дарачаашон < n — 1 ва модули бефосилагии умумикардашудаи тартиби m -ум Clm(T>r f\()2 а -ро. ки дар ип но V оператори дифференсиалии тартиби дуюм аст, нишон меди-

анд, ёфта шуданд. Барои баъзе синфи функсияхо, ки ба воситаи модули бефосилагии нишондо-дашуда муайян карда мешаванд, кимати аники n -к;утрх,о дар фазои L2 л х,исоб карда шудааст.

Калима^ои калиди: наздиккунии беутарин - бисёраъзогщои Чебышёв - модули бефосилагии уму-микардашуда - коэффисиентуои Фурйе-Чебышёв - n -цутр^о.

O.Q.Faraydunov

ON APPROXIMATION BY FOURIER-CHEBYSHEV SUMS IN Lv AND THE VALUE OF WIDTHS OF SOME CLASSES FUNCTIONS

Tajik National University In the Hilbert space L2 [—1,1], square-integrable functions f with the Chebyshev of weight

/(x) = 1 /л/Г—X2 , we obtain exact inequalities of Jackson - Stechkin linked to the best approximation En_j( f )2 л of f subspace of Pn - algebraic polynomials degree < n — 1 is a generalized modulus of continuity of the m th order Qm (Dr f, t)2 , where D - some second order differential operator. For certain classes of functions which are defined by the specified moduli of continuity, the exact values of n -widths in the space L2 are calculated.

Key words: best approximation - Chebyshev polynomials - generalized modulus of continuity m-th order -Fourier-Chebyshev coefficient - n-widths.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.