О ПРИБЛИЖЕНИИ СУММАМИ ФУРЬЕ-ЧЕБЫШЁВА В L 2, μ И ЗНАЧЕНИЕ ПОПЕРЕЧНИКОВ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2014, том 57, №5_

МАТЕМАТИКА

УДК 517.5

О.К.Фарайдунов

О ПРИБЛИЖЕНИИ СУММАМИ ФУРЬЕ-ЧЕБЫШЁВА В И ЗНАЧЕНИЕ ПОПЕРЕЧНИКОВ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ

Таджикский национальный университет

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 05.11.2013 г.)

В гильбертовом пространстве Ь2 Д—1,1], суммируемых с квадратом функций / с весом Че-

бышёва /л(х) = 1 / л/1 — х2, получены точные неравенства типа Джексона - Стечкина, связывающие наилучшее приближение Еп_1(/)2 функции / подпространством ^ - алгебраических полиномов степени <п — 1 с обобщённым модулем непрерывности т-го порядка С1т(ТУг/^)2м, где Т)

- некоторый дифференциальный оператор второго порядка. Для некоторых классов функций, определённых указанными модулями непрерывности, вычислены точные значения п -поперечников в пространстве .

Ключевые слова: наилучшее приближение - полиномы Чебышёва - обобщённый модуль непрерывности т-го порядка - коэффициенты Фурье-Чебышёва - п-поперечники.

1. В работе [1] нами найдены точные значения величины наилучшего приближения функции / алгебраическими многочленами степени < п — 1 в гильбертовом пространстве [—1,1] с весом

Чебышёва /л(х) = 1 / V1 — х2 на некоторых классах функций, задаваемых обобщёнными модулями непрерывности и даны их приложения к оценке погрешности квадратурной формулы Эрмита-Чебышёва. Здесь мы, сохраняя обозначения работы [1], продолжим исследования в этом направлении. Напомним, что норма в [—1,1] определяется равенством

1/2

<

Х)/'С х№

V —1 у

а величина наилучшего приближения / е Д—1,1] алгебраическими полиномами степени п — 1

Г оэ У/2

где Сд. (/) — коэффициенты Фурье-Чебышёва определены соотношением

Адрес для корреспонденции: Фарайдунов Осим Косумшоевич. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр. Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: [email protected]

i

С, (f) = \к x)f( x)Tk ( x)dx, (2)

-i

T (x) = V 2 / ^ cos(k arccos x)(k = 1,2,...) - многочлен Чебышёва первого рода. Между коэффициентами (2) функции /"eZ^ [—1,1] и соответствующими коэффициентами c/;('D' f ), где Р - дифференциальный оператор второго порядка

^ ?s d2 d

LUX LUX

имеется следующая связь [2]:

ck{f) = {-\yk-2rck{Vf\k = \,2,... (3)

Через L'2 ^ - обозначим множество функций f (x), имеющих обобщённые производные в смысле Леви [3], таких, для которых |Т)' /| < оо.

II 112, (л

В [3] доказано, что для обобщённого модуля непрерывности m -го порядка справедливо равенство

Df; t= sup \ £ (1 - cos kh)2mk4 re2k{f) :| h |< t\. (4)

,k=0

Имеет место следующая

Лемма 1. Пусть / е [—1,1]. Тогда выполняется точное неравенство

еитгп^п^еитгп^ =од,...,г-1). (5)

Равенство в (5)реализуется для функции /(х) = Ти(х) е £^[—1,1]. Доказательство. В самом деле, из равенства (3) получаем

«*(2>7) = (-1 Т'*ГЧм\ФГ), (5 = 0,1,...,г-1). (6)

Воспользуясь равенством (6), имеем:

СО СО

к=п к=п

со к=п

откуда и следует неравенство (5). Знак равенства в (5) для функции

/о(х) = Тп(х) е 1,1]

проверяется непосредственным вычислением. Из леммы 1 вытекает

Следствие 1 .Для любых /геМ, г,5 е Z+, г> я справедливы равенства

Бир ■

п

Теорема 1. Пусть /иеМ, г и 0 <к<ж/п, тогда при любом п е N имеет

место точное неравенство

п

1 (* Т

(7)

гй-ътгй] п

у \ о у

Неравенство (7) обращается в равенство для функции

/0(х) = Тп(х) е /£[—1,1].

Доказательство. В работе [4] для произвольной / е 1,1] и любого 0 < Н < Ь

(0 < ? < ^ / (2п)) доказано неравенство

/2, ц

1 1/(2/и) -1г1тг^А1т г -г\г

■ п

о;:™ (Я/; Н^+Е с2(/)С08 кн.

(8)

к =п

Проинтегрировав обе части неравенства (8) по аргументу Н в пределах от Н = 0 до Н = Ь и поделив обе части полученного неравенства на Ь, получаем

Учитывая равенство

Н^2») -2 г!т 1

п

' 0 к=п

б1п кЬ кЬ '

(9)

из (9) имеем:

I Б1П х I Б1П пЬ

Бир ■-: х > пЬ ^ =-,

I х I пЬ

п

1 '

^ Кт (я/;

(10)

или, что то же,

\1//Я 1

п

п V Ш-ътгй

I

т

зо

X

Из неравенства (11) получаем

ч т

гй-ътгй) п

( Лт 1 ('

(12)

-0 у

Равенство в (12) для функции /(х) = Тп(х) е ¿^[—1,1] проверяется непосредственным вычислением, чем и завершаем доказательство теоремы 1.

2. Пусть 5 = {х : ||х||2^ < 1| - единичный шар в ¿2/г := ¿2Д—1,1]; М - выпуклое центрально-симметричное множество из ¿2 . Ли с /2/г - и -мерное пространство; Лп с / - подпространство коразмерности и; ^ : ¿2, ^ Л - непрерывный линейный оператор; ^ : ¿2 , ^ Лп - непрерывный оператор линейного проектирования. Величины

Ъп(Ш;¿2,,) = 8ир{вир{^ > 0: ^ пЛп+1 с Ш]: Лп+1 с ¿2Д < (®1; ^2 , ) = 1 ^ { вир { П {| |/ — д| 12 , : д е Л п} : / е М } : Л^ с ¿2 8Я{Ж;= 1пГ{тГ{вир{|/ — */^ , :/е* ¿2 ,сЛи}:Лп сЬ2,,}, ¿п (М; Ь^ ) = 1пГ {вир {||/^, : / е М п Лп} : Лп с Ь^ },

Пп(; ¿2 ,,) = тГ{тГ{вир{/ — ^/Ц^ : / е м}: сЛп}:Лп с ¿2 ,,}

называют соответственно бернштейновским, колмогоровским, линейным, гельфандовским, проекционным п -поперечниками. Указанные п -поперечники в связаны следующими соотношениями [5,6]:

Ъп (М; ¿2,,) < йп (М; ¿2 ,,) < < (М; ¿2 ,,) = 8Я (М; ¿2,,) = Пп (М; ¿2 ,). (13)

Величина

есть наилучшее приближение множества ЭДТ подпространством 'Рп - алгебраических многочленов степени не более п — 1.

Непрерывную возрастающую на полусегменте [0, да) функцию Ф , такую, что Ф(0) = 0 , будем называть мажорантой. Множество всех мажорант обозначим символом N. Через N. , где к е М, обозначим совокупность мажорант Ф е для которых выполняются условия [7]:

1) tк ) < t~k), если 0 < ^ < t2 < ж;

2) lim tФ(t) = 0.

i-> 0+0

Для произвольных чисел е N и 0 <h< 1тт введём в рассмотрение классы функций:

W'

(r)

(Q m,h) := if е 4'j,: J Qf (Vf;t\ßdt < 1 ,

Ж^ОС^Ф) := |/ е : | < Ф(Л)|,

где можоранта Фе N. Справедлива следующая

Теорема 2. Пусть еМ, геЖ+ и для величины />0 выполнено условие 0<Ш<ж/2. Тогда справедливы равенства

yn{W(r\CLm-,h) ,L2J = £n_1(W^(CLm;h)\ßJ- . 2г.

\nt-smnt) п

n Л 1

где /и (■) - любой из перечисленных выше п -поперечников.

Доказательство. Учитывая определение класса Ж(г)(От; Н), неравенства (12) и цепочку неравенств (13), получаем оценку сверху

ГЖ^'М^) < < { П. 1 -4,. (14)

\nt-smntj п

Для получения оценки снизу п -поперечников класса Ж<~г\С1т',к) в множестве 'Рп с\ Л2 а рассмотрим шар полиномов

г

а :=\р eV \ \р II <п2г

n

v nt - sin nt

и докажем, что <Jn с: WU) (Qm',h). В [8] для произвольной рп е Vn доказано неравенство

<n4r ■(\-cosnt)lm - \\рп(2м, (15)

где

i(1 - cos nt )2m, если 0 < t <ж/ n, (1 - cos nt )2m =f2 ) , ,

[2, если t >ж/ n,

откуда при 0 < h < ж / n получаем

J nlm(Vrpn-t)^dt < n2r'm IрпЦ ■ J (1 - cosnt)dt

= n 2nrn . n 2r,m--n--nt - sln nt = 1. (16)

nt - sin nt n

Учитывая определение класса W(r)(Qm;h) и неравенство (16), получаем <Jn ^ W(rQm;h). Используя соотношение (13) и определение бернштейновского n -поперечника, запишем оценки снизу для рассматриваемых нами n -поперечников

У(W(;h),ь2 J > bn(W(r)(Q„;h),LJ >

>bn(<;lj>n-2r-Í n 1. (17)

V nt - sin nt ^

Сравнивая оценки сверху (14) и снизу (17), получаем требуемые равенства в утверждение теоремы 1, чем и завершаем доказательство.

Теорема 3. Пусть мажоранта Фе^ для произвольной h е К+ удовлетворяет условию

Ф(-) 2 nh -->--j (1 - cos t).dt. (18)

Ф(ж/ (2п)) ж — 2 Тогда для любых чисел N и справедливы равенства

где уп (•) - любой из п -поперечников, перечисленных ранее. Множество мажорант, удовлетворяющих условию (18), не пусто.

Доказательство. Полагая в неравенстве (7) И = ж / (2п) и используя определение класса

Ж(г)(Ои,Ф), для произвольной функции / из этого класса получаем

^^•ЬМйГ ро)

Используя неравенства (13) и (20), запишем оценку сверху для всех п -поперечников

уя(Жг\Пт,Ф),Ь, <dи(Жг)(Пт,Ф),Ь, <

m

Для получения оценки снизу указанных п -поперечников во множество введём шар

а' :=\ р еГ :\\р II <п2г

и I гп п н 112,

^ 2п _ ( ж ^

^ж-2 V 2п уу

■Ф —

и докажем, что он принадлежит классу И/<'>(С1ш,Ф). В самом деле, для произвольной //е1, пользуясь неравенством (15) для рп е < и условием (18), имеем:

]&тт(Ъгрп;Х)2^< п2г'т ■ \рпЦ ■ ](1-С08/1/).Л

<

,2 г/т ,„-2 г/т 2п

< п ■ п

ж-2

■ Ф(ж / (2п)) ■ | (1 - соб Ш)„ йх

2 иН

ж-2

Ф(ж / (2п)) ■ | (1 - СОБ XXйх < Ф(Н).

Этим включение <гп ^ г)(Оот,Ф) доказано. Используя соотношение (13) и определение берн-штейновского п -поперечника, запишем оценку снизу для всех рассматриваемых п -поперечников

7п (ГГ)(Ои ,Ф), Ь, > Ъп (Г^О ,Ф), ^) > 1 Г 2п _ж

> К < Ь2,ц) > — Т^Ф(—) . (22)

"" п [ж-2 2п ]

Сопоставляя оценку сверху (21) и оценку снизу (22), получаем требуемые равенства (19). Покажем, что множество мажорант Ф е N, удовлетворяющих условию (18), не пусто.

Рассмотрим функцию Ф„(Н) := На из множество N 5 где

а:=ж/(ж-2), 2 <а< 3, (23)

и убедимся, что для неё соотношение (18) выполняется. Подставляя Ф„ в (18), получаем неравенство

'2 пН Г 2 пН

ж У ж-2 0

| (1 - СОБ X).йХ, (24)

которое еще нужно доказать для произвольной к е М .

Рассмотрим два случая: а) 0 < пН < ж; и б) пН > ж. В случае а) неравенство (24) приобретает вид

2 пН Т 2

V ж У ж-2 Полагая 2пН = ж//, неравенство (25) перепишем в виде

>--(пН - БтпН). (25)

Н

0

0

а 2 (цж . цж) ж ( 2 . цж иа >--I ---81П— 1 =-1 ц--Б1П —

ж — 2 I 2 2 } ж — 2 г ж 2

Введём в рассмотрение вспомогательную функцию

(р(ц) = ца--—\ц ——б1п —}, 0 <ц<2

ж — 2!

ж

и докажем, что ((ц) > 0 для всех 0 <ц< 2. Сначала докажем, что (р(ц) > 0 для це [0,1]. При ц —> 0 + 0 в силу (23) имеем:

((ц) = ца

1--ж--°(ц3 2)

V

24(ж — 2)

у

поэтому в достаточно малой окрестности нуля ((ц) > 0, и если бы в некоторой внутренней точке интервала (0,1) ((ц) сменила бы знак, то, учитывая равенство ((0) = ((1) = 0, производная

((ц) = аца-1 —11 — с об =

ж — 21 2 } ж — 2

ца1— 1 + сов ц

необходимо имела бы не меньше двух нулей на интервале (0,1) . Кроме того, ((0) = ('(1) = 0, а тогда вторая производная

((ц) =

ж

ж — 2

(а — 1)ца 2 — жб1пцж 1 =

ж

ж—2

г2ца—2 ж . цжл --Бт-—

ж — 2 2

у

будет иметь не менее трех нулей на интервале (0,1) и, в силу неравенства (23), еще ((0) = 0. Отсюда следует существование трех различных нулей на интервале (0,1) производной третьего порядка

((ц) =

ж

(

ж — 2

2(4 — ж) (ж — 2)2

ж

а—3 \2

ц — (—) С°Ь

цж

\

Но функция ((ц) является разностью выпуклой вверх и выпуклой вниз функций, а потому из геометрических соображений следует, что на интервале (0,1) она не может иметь более двух нулей, и мы пришли к противоречию. Это значит, что на интервале (0,1) неравенство (26) выполняется, а следовательно, имеет место (25).

Если 1 < ц < 2, то из условий ((1) = ('(1) = 0 и ((ц) > 0 следует ((ц) > 0.

Рассмотрим случай б) пН > ж. В этом случае имеем

а2 пН У 2

ж

пН \

ж — 2

| (1 — соб г)Сг + 21 Сг

ж У

2ж 4 4nh 2ж

■ н---(nh -ж) = ■

ж — 2 ж — 2 ж — 2 ж — 2

или, полагая снова 2nh = ж/и (2 < / < да), имеем

„ 2жи 2ж 2ж . , ч

л> (и-1), (26)

ж — 2 ж — 2 ж — 2

или, снова введя вспомогательную функцию

2ж

^(л) = /---(/ -1), (2 < /л < да),

ж-2 будем иметь:

d№ = о//-1 —^ЖГ- = -Ж . /1 - 2) > 0, (2 < / < да), ж - 2 ж — 2

Следовательно, неравенство для значений / е [2, да) выполняется, а это эквивалентно неравенству

(24) при nh > ж, чем и завершаем доказательство теоремы 3.

Следствие 2. Пусть выполнены условия теоремы 3. Тогда для любого п е N имеет место следующее равенство

sup{| Ся (f) |: f е Г(r)(Qm ;Ф)} = ■ {^ ф[ ^j}" (27)

Доказательство. В самом деле, учитывая, что

1 1

cn(f) = j" л( x)f (x)T«(x)dx = j" л( x)[f(x)—vi(f, xWn(x)dx -1 -1

и используя неравенство Коши-Буняковского и соотношение (19), получаем

sup{| a„(f) |: f е W(Т,Ф)} < sup{||f — ^ (f)^ : f е W(T,Ф)} =

Для получения оценки снизу рассмотрим функцию

-2 г I 2n ж

m

Из доказательства второй части теоремы 3 следует, что функция / е (т'п+1. Поэтому функция / является элементом класса Ж(г)( Оот;Ф) и, следовательно, справедливо следующее неравенство

sup{| a (f) |: f e W( r)(Qm ;Ф)} a (f2) 1=

Требуемое равенство (27) получаем после сопоставления неравенств (28) и (29). Следствие 2 доказано.

Поступило 05.11.2013 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Фарайдунов О.К. Об оценке погрешности квадратурной формулы Эрмита-Чебышёва. - ДАН РТ, 2013, т.56, 10, с. 47-56.

2. Абилов В.А., Абилова Ф.В. Об одной квадратурной формуле. - ЖВМ и МФ, 2002, т.42, 4, с.451-458.

3. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. - М.: Наука, 1969, 500 с.

4. Тухлиев К. Точные верхние грани отклонения некоторых классов функций от их частных сумм ряда Фурье - Чебышёва в пространстве L2. I - Изв. АН РТ. Отд. физ.-мат., хим., геол. и техн. н.,

2013, №4(153), с. 53-46.

5. Тихомиров В.М. - Некоторые вопросы теории приближений. - М.: МГУ, 1976, 325 с.

6. Pinkus A. «-Widths in Approximation Theory. - Berlin: Springer - Verlag, 1985, 292 p.

7. Шабозов М.Ш., Вакарчук С.Б. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами и точных значениях поперечников функциональных классов в L2. - Analysis Mathematica, 2012, v.38, pp.147-159.

8. Тухлиев К. Точные верхние грани отклонения некоторых классов функций от их частных сумм ряда Фурье-Чебышёва в пространстве L2. II - Изв. АН РТ. Отд. физ.-мат., хим., геол. и техн. н.,

2014, №1(154), с. 22-32.

О.К.Фарайдунов

ОИДИ НАЗДИККУНЙ БО ЁРИИ СУММА^ОИ ФУРЬЕ-ЧЕБЫШЁВ ДАР Li^ ВА ЦИМАТИ ЦУТР^ОИ БАЪЗЕ СИНФИ ФУНКСИЯ^О

Донишго^и миллии Тоцикистон

Дар фазой гилбертии L2 Д—1,1], функсиях,ои бо квадрат суммиронидашавандаи f бо

вазни Чебышёв /л(x) = 1 / л/1 — x2, нобаробарих,ои аники намуди Ч,ексон-Стечкин, ки вобаста-гии наздиккунии бсхгарипи Enl(f)2ß-n фупксияхои / аз руи зсрфазохои 'Рп - биссраьзогихои алгебравии дарачаашон < n — 1 ва модули бефосилагии умумикардашудаи тартиби m -ум Clm(T>r f\()2 а -ро. ки дар ип но V оператори дифференсиалии тартиби дуюм аст, нишон меди-

анд, ёфта шуданд. Барои баъзе синфи функсияхо, ки ба воситаи модули бефосилагии нишондо-дашуда муайян карда мешаванд, кимати аники n -к;утрх,о дар фазои L2 л х,исоб карда шудааст.

Калима^ои калиди: наздиккунии беутарин - бисёраъзогщои Чебышёв - модули бефосилагии уму-микардашуда - коэффисиентуои Фурйе-Чебышёв - n -цутр^о.

O.Q.Faraydunov

ON APPROXIMATION BY FOURIER-CHEBYSHEV SUMS IN Lv AND THE VALUE OF WIDTHS OF SOME CLASSES FUNCTIONS

Tajik National University In the Hilbert space L2 [—1,1], square-integrable functions f with the Chebyshev of weight

/(x) = 1 /л/Г—X2 , we obtain exact inequalities of Jackson - Stechkin linked to the best approximation En_j( f )2 л of f subspace of Pn - algebraic polynomials degree < n — 1 is a generalized modulus of continuity of the m th order Qm (Dr f, t)2 , where D - some second order differential operator. For certain classes of functions which are defined by the specified moduli of continuity, the exact values of n -widths in the space L2 are calculated.

Key words: best approximation - Chebyshev polynomials - generalized modulus of continuity m-th order -Fourier-Chebyshev coefficient - n-widths.