CC BY
28
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2015, том 58, №4_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
С.С.Хоразмшоев
ТОЧНОЕ НЕРАВЕНСТВО ТИПА ДЖЕКСОНА-СТЕЧКИНА И ЗНАЧЕНИЯ ПОПЕРЕЧНИКОВ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ В Ь2
Таджикский технический университет имени акад. М.Осими
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 15.10.2014 г.)
В работе вычислены точные значения всех известных поперечников для некоторых классов функций, определяемых обобщенными модулями непрерывности т-го порядка 0.т г-тые производные которых мажорируются функциями, удовлетворяющими определенным ограничениям.
Ключевые слова: наилучшее полиномиальное приближение - обобщённый модуль непрерывности т-го порядка - мажоранта - п-поперечники.
Пусть =: [0,2ж] - пространство суммируемых с квадратом по Лебегу вещественных 2ж -периодических функций /, имеющих конечную норму
( 1 2 л У/2
< да.
2л
-\\/ (x)\2 dx УЖ 0 У
Символом обозначим подпространство тригонометрических полиномов
а n—1
Tn—1 (x) + S (ak COS kx + Pk sln kx)
2 k=1
порядка, не превосходящего n — 1. Хорошо известно, что для произвольной функции f е L2, имеющей разложение в ряд Фурье
1 "
fix)-- а0 (/) + ^ (ак (/) cos kx + bk(f)sinkx), 2 к=1
величина её наилучшего полиномиального приближения элементами подпространства Tn-i равна En—i(f) ■= En—i(f)2 = inf (I f — Tn—ill :Tn—i(x) е T^—i) =
1/2
\\f—s—i(f я A^pKf)!
где
Адрес для корреспонденции: Хоразмшоев Саидджобир Саиднасиллоевич. 734042, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр. ак.Раджабовых, 10. E-mail: skhorazmshoev@mail.ru
п—1
(/,х) = 2 К(/)0055 кх+ьк (/) 81П кх]
к=1
- есть частная сумма порядка п — 1 ряда Фурье функции /, а рр = а\ (/) + Ър (/) (к > п). Величина
(/, г) := вир^АГ (/•)( :\И\< г)
называется модулем непрерывности т -го (т е И) порядка функции /е12, где
(1)
аГ (/, х) = 2 (—1)
т
г—к
к =0
v к
/ (х + кИ)
есть конечная разность т -го порядка функции / е в точке х с шагом И.
Через = Ь2\ геХ будем обозначать множество 2ж -периодических функций
/ е , у которых производные (г — 1) -го порядка /(г—11) абсолютно непрерывны, а производные г -го порядка /(г) е .
В последние годы при оптимизации констант в неравенствах Джексона-Стечкина используют различные модификации модуля непрерывности (см., например, [1-9]). Например, при решении экстремальных задач теории приближения функций / е иногда удобнее использовать следующую эквивалентную величине (1) характеристику гладкости
а
N ' ' 11/2
(/02 =Ь|-Л|а-т/(0|Ц.t>0.
(2)
где к = (Ь1,к2,...,кт),А^=А{ = /(• + А,)-/(•), )=\т (см., например, [4], [8]). Ис-
пользуя величину (2) в качестве характеристики гладкости, вводим в рассмотрение аппроксимацион-ную характеристику следующего вида
2-/2 • пГЕп—г(/)
К-,п,г(И) = §иР , . ч т/2 .
/(г) ^еотг 2 И
(3)
/ е12
( г )
VИ о
| (И — г )а-/т (/( г ), г) ёг
Имеет место следующее утверждение
Теорема 1. Пусть га,/геН, г е и к е М Тогда имеет место следующее равенство
ЛИ) =
| 281(пИ) ( 2б1п(«И / 2) «И ^ пИ
-т/2
где
г
&(г) = | х"1 б1п хёх
интегральный синус.
о
Доказательство. В самом деле, если f е É^) и
2 со
fix)-- а0 if) + ^ (ак if) cos kx + bk if) sin кх)
2 k=\
- ряд Фурье функции f (x), то непосредственным вычислением получим
sin ktt
œ
Q2m ( f( r), t ) = 2 m ^ k 2rp¡ Il
k=1
kt
где р1 = р1 (/) = а\ (/) + (/), к е N. В [7] нами доказано, что для произвольной / е /;2' ) и любых т,пеМ имеет место неравенство
e— <î>k ^^^ЧЕ—))"""(/"' ; t). (5)
k =n
kt v n-1 '' 2и2
Умножая обе части неравенства (5) на функцию h — t, затем проинтегрировав левую и правую части
полученного неравенства по переменной t в пределах от 0 до h и пользуясь определением интегрального синуса, запишем
EUf ), m—±4 г ]2+
k=n kh к=п у kh )
1 '
+Ens m (f ) - ^mrr ■ J (h -1 )02/m ( f(r ) ; t ) dt. (6)
Воспользуясь тем фактом, что функция Si(x) / x является невозрастающей на [0,да), получим [5]
Г Si(kh) , 1 Si(nh) max\ ——-:k >n \ = ——-,0<nh< ж, I kh J nh
а также использованием равенства
f sin x nh 1 2 sin(nh / 2)
sup ^-: — < x < да > = •
л 2 J nh
из неравенства (6) запишем
2Si(nh) 4sin2(nh / 2)
E2-i(f ) <
nh nh
1 h
< E„2-12/m (f )-irmT J (h -1)^2/m (f(r); t)dt. (7)
n h 0
Из (7) вытекает, что
2m/2 • nrEn_l{f)
( о h \m/1
j (h -1 )Qm/m (f(r); t) dt
<
| 2Si(nh) (2sin(nh / 2) nh ^ nh
-m/2
откуда с учтом определения величины (3) получаем оценку сверху
, 2Si(nh) (2sin(nh / 2)
r(h) < 1--y^ + l--
nh ^ nh
-m/2
(8)
Чтобы установить равенство (4), достаточно рассмотреть функцию f (x) = cos nx e Z^), для которой
e„-i(f0) = i, : (f r); t ) = 2mn2r |1
sin nt nt
Откуда с учётом формулы (3) имеем следующую оценку снизу
2m/2 • П • En_i(f0)
0<nt <л.
-(h) >
^ j (h -1^ (fo(r), t) dt
\h 0
ч m/2
2Si(nh) ( 2sin(nh / 2) ~ nh v nh
-m/2
(9)
Требуемое равенство (4) получаем из сравнения неравенства (8) и (9), чем и завершаем доказательство теоремы 1.
Напомним необходимые понятия и определения, нужные нам в дальнейшем для формулировки других результатов.
Пусть N - некоторое выпуклое центрально-симметричное подмножество из . Через
Ъ (91, ), ёп (-, ), ё (91, ), (-, ) и Пи (N ) обозначим соответственно бернштейнов-
ский, гельфандовский, колмогоровский, линейный и проекционный п -поперечники множества из пространства £2 (см., например, [10] и [11]). Также полагаем
Е„ ^) := вир(Е„_,(/): / е N1}.
Непрерывную возрастающую на полусегменте [0, да) функцию Ф(г) такую, что Ф(0) = 0, будем называть мажорантой. Для произвольной /иеМ, /" е X и // > 0 введём в рассмотрение следующий класс функций:
ч m/2
f h
wmr)(Qm,Ф) := ] f e L(r): $ j (h -t)^ (f(r),t)dt < O(h) [.
V o J
m
Следуя работе [5], обозначим через U величину аргумента функции sin t /1, при котором эта функция достигает на полусегменте [0,да) своего наименьшего значения. Очевидно, что t„ есть минимальный положительный корень уравнения t = tgt, 4,49 < t„ < 4,51. Положим
Í, sin t 1 I sin t л sin t. I 1--I := 1--, если 0 < t < t„; 1--, если t > t. k
v t J* [ t t* J
Основным результатом статьи является следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть m,n,r е N и функция Ф удовлетворяет условию
С ч Л m/2
Ф№ .> í ж2 1 „
ф(ж/ n) [ж2 -2ж£/(ж) + 4J
m/2
1 -» + Í2sin(nh/2)11 , если 0<h<ж/n,
nh V nh J I
~ л m/2
, 2ж 2ж 2ж£/(ж) - 4 I
1--+ —т-т---k , если h > ж / n.
nh nh nh |
Тогда справедливы равенства
Г2я (КГ , h); ¿2 W^ ÍK T , h); ¿2 1 =
где уп (•) - любой из п -поперечников, рассмотренных выше. Множество мажорант, удовлетворяющих ограничению (10), не пусто.
Поступило 22.10.2014 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Черных Н.И. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами в Ь2. - Матем. заметки, 1967, т.2, №2, с. 513-522.
2. Тайков Л.В. Неравенства, содержащие наилучшие приближения и модуль непрерывности функций из Ь2. - Матем. заметки, 1976, т. 20, №3, с. 433-438.
3. Шалаев В.В. О поперечниках в Ь2 классов дифференцируемых функций, определяемых модулями непрерывности высших порядков. - Укр. матем. журнал, 1991, т. 43, №1, с. 125-129.
4. Вакарчук С.Б. Точные константы в неравенствах типа Джексона и точные значения поперечников функциональных классов из Ь2. - Матем. заметки, 2005, т. 78, №5, с. 792-796.
5. Вакарчук С.Б., Забутная В.И. Точное неравенство типа Джексона-Стечкина в Ь2 и поперечники функциональных классов. - Матем. заметки, 2009, т.86, №3, с.328-336.
6. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. Наилучшие полиномиальные приближения в L2 некоторых классов 2п-периодических функций и точные значения их поперечников. - Матем. заметки, 2011, т.90, №5, с.764-775.
7. Шабозов М.Ш., Хоразмшоев С.С. Наилучшее полиномиальное приближения дифференцируемых периодических функций и значения поперечников классов функций, задаваемых обобщенными модулями непрерывности в L2. - Изв. АН РТ. Отд. физ.-мат., хим., геол. и техн. н. 2011, (142), №1, с.7-19.
8. Шабозов М.Ш., Вакарчук С.Б., Забутная В.И. Точные неравенства типа Джексона-Стечкина для периодических функций в L2 и значения поперечников классов функций. - ДАН России, 2013, т.451, №6, с.625-628.
9. Langarshoev M.R. Sharp inequality of jackson-Stechkin type and widths of functional classesin the space L2. - Eurasian Mathematical Journal, 2014, V.5, Number 1, pp. 122-134.
10. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. - М: МГУ, 1976.
11. Pinkus A. n-Widths in Approximation Theory - Berlin: Springer-Verlag, Heidelberg, New York, Tokyo, 1985,252 p.
С.С.Хоразмшоев
НОБАРОБАРИИ АНИЦИ ТИППИ ЧЕКСОН-СТЕЧКИН ВА ЦИМАТИ ЦУТР^ОИ СИНФИ ФУНКСИЯ^О ДАР Li
Донишго^и техникии Тоцикистон ба номи М.Осими
Дар макола кимати аники хдмаи кугрх,ои маълум барои баъзе синфи функсияхо, ки ба воситаи модули умумикардашудаи бефосилаи тартиби m -уми х,осилаи тартиби r -умашон бо функсиях,ои шарти муайянро каноаткунанда мажориронидаанд, х,исоб карда шудаанд. Калима^ои калиди: наздиккунии полиномалии беутарин - модули бефосилагии умумикардашудаи тартиби m -ум - мажоранта - n -цутр^о.
S.S.Khorazmshoev
SHARP INEQUALITIES JACKSON-STECHKIN TYPE AND THE VALUES OF WIDTHS OF CLASSES OF FUNCTIONS IN L2
M. Osimi Tajik Technical University In this paper we calculate the exact values of the all known widths for some classes of functions defined by generalized modulus continuity of the m-th order Qm, r-the derivatives which are dominated by functions satisfying certain restrictions.
Key words: best polynomial approximation - generalized modulus of continuity of m-th order - majorant -n-widths.
