CC BY
60
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ___________________________________2011, том 54, №2______________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
С.С.Хоразмшоев
О НАИЛУЧШЕМ ПРИБЛИЖЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ И ЗНАЧЕНИЕ ПОПЕРЕЧНИКОВ МНОЖЕСТВ В Ь2
Таджикский технический университет им. академика М.Осими
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 10.11.2010 г.)
Для класса дифференцируемых периодических функций, задаваемых обобщнными модулями непрерывности т-го порядка Ои)( / ;/) и удовлетворяющих условию
п
Л/р
< Ф(А),
где тє1Я,гє11+,0<р<2, к > 0, Ф(7) - произвольная непрерывная возрастающая функция такая, что Ф(0) = 0, вычислены точные значения различных п-поперечников.
Ключевые слова: наилучшее полиномиальное приближение - экстремальная аппроксимационная характеристика - обобщенный модуль непрерывности - п-поперечники.
1. Пусть N - множество натуральных чисел; : = П ^ {01. Обозначим
L2 := L2[0,27t] -
о
< оо
а через 1^2 (Гє М) - множество 2п -периодических функций /єі2, у которых производные (г — 1) -го порядка /(г абсолютно непрерывны, а производные /0 ) є Л2. Пусть Тп , - подпространство тригонометрических полиномов порядка <п — 1. Хорошо известны свойства минимальности частичных сумм
Sn-\ М = ~ + X akcos kx + bk sin fa
п-1
к= 1
ряда Фурье функции (х), которое состоит в том, что наилучшее приближение функции / е Л2 посредством полиномов
fc=l
Адрес для корреспонденции: Хоразмшоев Саидджобир Саиднасиллоевич, 734042, Республика Таджикистан, г.Душанбе, просп.ак.Раджабовых, 10, E-mail: khsaid_1974@mail.ru
о
и-1
9G
реализуется частичной суммой (/; х):
00
Ч|/-^ч(/)1Н1>;
к=п
'У аЦ 'у 'У
где рк =ак+Ьк,к = п,п +1,....
Модуль непрерывности т -го порядка функций / е Л2 обозначим через
®и(/»0 = 8ир Д"/(-) :|А|<* ,
(1)
где
В работах [1,2] отмечено, что для оценки наилучших приближений 2п -периодических функций _/ е Ь2, наряду с величиной (1), используют следующую усредненную характеристику гладкости
Используя обобщенный модуль непрерывности (2), можно решить ряд экстремальных задач теории полиномиального приближения в £2 [1-3].
В этом сообщении мы вводим в рассмотрение следующую экстремальную аппроксимацион-ную характеристику
где е М, /'ё2+, \! г < р <2 и к> О - произвольное число.
Отметим, что аппроксимационные характеристики вида (3), для модулей непрерывности (1), рассмотрены в работах [4,5].
Теорема 1. Пусть т,п еМ, г ей+, \! г < р <2 и к - произвольное число, удовлетворяющее
условию 0 < к < л / п. Тогда имеют место равенства
(3)
%п,
тр/2
-Ур
сИ.
Доказательство. Известно, что если /еХ2 и
к=1
- ряд Фурье функции /(х), то
1-
к=1 V
\ т
(4)
где РЇ =<%+%, к^-
Воспользуясь неравенством [4]
>1 СО
\ЪМ)?
р/2
Л/р
(р(і)Л
>
СО І 'I
Е |іЛ(0ґ>0>*
\2/^Л
1/2
к=п V о
, 0 < р < 2, /г > 0,
соотношением (4) и схемой рассуждения, приведенной при доказательстве теоремы 1 работы [4], получаем
V/р
.о У
>2тПпг
к / \тр/2 \^Р
40
и? у
сіі
■Е„М%
или что то же
2т/2пг-ЕпМ)
п
<
Я1-
81ПИҐ
Ы
х тр/2
\-v_p
сіі
(5)
Из (5), с учетом определения величины (3), получаем оценку сверху
т,п,г,р
ПІ у
трі2
Л
(6)
Чтобы получить оценку снизу, заметим, ЧТО ДЛЯ функции У(/) = БШИ/е £2 , имеют место равенства
£,-.(Л) = 1. п„(Л,Г>;0 = 2"'2нГ
и, согласно определению величины (3), получаем
/ . \ т/2
' $,тпі
пі
А
о
о
о
о
2 т,2пг.ЕпМо)
X
т,п,г,р
(к)>
п
\тМ'\1уи
N1 /р
Я1-
х тр!2
(к
(7)
Утверждение теоремы 1 следует из неравенств (6) и (7).
Следствие. В утверждении теоремы 1 при любом 0 < к < п / п справедливы равенства
X
т,п,г,р
(к) = -
2 п2
п/2
(пк) -2(1-соъпИ)
(8)
Отметим, что равенство (8) ранее другим путем получено в [3].
2. Через Ьп(Ш1 Л2), с!"(т, Л2), с!п(Ш'1, Л2), дп(т,Ь2) и Пп(ЭД1, Л2) обозначим соответственно бернштейновский, гельфандовский, колмогоровский, линейный и проекционный п -поперечники некоторого выпуклого центрально-симметричного компакта ШТ в пространстве Ь2.
Указанные п -поперечники связаны соотношениями [6]:
М?011-2) < с1"(т, I.,) < с1п(т1/.2) = дп(т,Ь2) = П„(Ш1,/.2).
Полагаем также Еп_1(ЯЯ) := : / е Ш1}.
Пусть т е Ы, гей+, 0 < р <2 — класс функций / е 1^, для которых при любом
к е (0, оо) выполнено неравенство
п
и аналогично ^1й(фХ теЫ, г е2+, 0 < р <2 — класс функций / е /I,'*, для которых при любом к е (0, оо) выполняется неравенство
П
\тц/1г\1)л< фчн),
где Ф(7), > > 0 - произвольная непрерывная возрастающая функция такая, что Ф(0) = 0.
Следуя работе [1], через Л обозначим величину аргумента хе(0,со) функции х / х, при котором она достигает своего наименьшего значения. Очевидно, что I, есть наименьший из положительных корней уравнения х = tgx (4.49 < /г < 4.51). При этом полагаем
V X )
п 51111 Х л / . 1 511111
:={1--,если0<х<^; 1-,еслих<^}.
х '
Имеет место следующая
о
о
0
Теорема 2. Пусть т, /гєМ, гє2+, 1 / г < р <2 и 0 < Ь< л / п. Тогда справедливы равен-
ства
К «І* Л) = 4., (КЬ. 4) = ,) =
= 2 ""V"'
К1--;'
ч тр/2
-Ур
Л
где \(-) - любой из вышеперечисленных к -поперечников.
Доказательство. Оценку сверху для проекционного п -поперечника получаем из неравенства (5), согласно которой, для любой функции /(х) є IVЛ имеем
п2„(IV!;;' !,)<£,.,«:>,л)^
<2и і
й / • , \ тр/2
ътМ
-1/.Р
сі!
= 2 п
/2~ГН
пк / • ,
К1-"
\ тр/2
і -і/.?
Л
(9)
С целью получения оценки снизу бернштейновского п -поперечника, введем в рассмотрение (2/7 +1) -мерный шар полиномов Гя еТпп12
сІЄІ
В2п+, =
тр/2
і -1/р
Л
и покажем его принадлежность классу л.
В самом деле, легко доказать, что для любого полинома Тп (л) е 7^ при любом И е (0, л / /?] справедливо неравенство [1]:
81ПИҐ
V ПІ ;
\ /И
п;,(Г«,0й2
Из неравенства (10) сразу получаем
N 1 / Г) /
8Іпиґл
(10)
\іацґ-\і)Л
)Р (т(г)
“т
.о У
Л17-?
< 2тПпг
Мі-
40
СІІ
<1,
откуда следует, что ®2я+1 *— ^т ], а • По известной теореме о поперечнике шара получаем оценку сни-
зу
0
2
2/ 2 п\ 2п+1'> 2
Л) =
= 2~mnrfr+~
If"
ч тр/2
, -Ур
dt
(11)
Сравнивая неравенства (9) и (11), приходим к утверждению теоремы 2.
Теорема 3. Пусть \/г <р<2. Если для любых / е(0,оо) мажоранта Ф удовле-
творяет условию
dr\ Ml-
sin m
.mp/2
m )
(12)
то справедливы равенства
=КЖ1.„, 4)=ЕПЖ^)=
-2-т‘гп"'
Я1-
sin^
t У
тр/2
-Ур
dt > Ф(я / п),
где \(/) ~ любой из перечисленных выше поперечников. При этом, множество мажорант, удовлетворяющих условию (12), не пусто.
Заметим, что мажорантой, удовлетворяющей условию (12), является, например, функция
ф0(t):=ta/p, где а := я7 Jrj 1-
sinr
ч тр/2
dr.
*
Поступило 10.11.2010 г.
ЛИТЕРАТУРА
8. Vakarchuk S.B., Zabutna V.I. - East J. Approx., 2008, v.14, 4, pp.411-421.
9. Вакарчук С.Б. - Мат. заметки, 2005, т.78, 5, с.792-796.
10. Шабозов М.Ш., Хоразмшоев С.С. - ДАН РТ, 2010, т.53, 9, с.661-665.
11. Шабозов М.Ш. - Мат. заметки, 2010, т.87, 4, с.616-623.
12. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. - ДАН России, 2010, т.435, 2, с.1-4.
13. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. - М.: МГУ, 1976, 325 с.
о
0
С.С.Хоразмшоев
ДАР БОРАИ НАЗДИККУНИИ ФУНКСИЯ^ОИ ДАВРЙ ВА ЦИМАТИ ЦУТР^ОИ МАМУЪ^О ДАР L
Донишго^и техникии Тоцикистон ба номи академик М.Осими
Барои синфи функсиях,ои даврие, ки ба воситаи модули бефосилагии умумикардашудаи тартиби т -уми Q.m(f;t) дода шуда, шарти
\\1р
<Ф (И)
- ро каноат мекунанд, ки дар и и но т е N, г е Z+, Ф(7) - ихтиёри функсияи бефосилаи афзун-шаванда буда, барояш Ф(0) = 0 аст, кимати аник;и п-ку грхои гуногун хисоб карда шудааст.
Калима^ои калиди: наздиккунии беутарини полиномиали - характеристикаи экстремали - модули бефосилагии умумикардашуда - н-цутр^о.
S.S.Khorazmshoev
THE BEST APPROXIMATION OF PERIODICAL FUNCTIONS AND VALUE OF WIDTHS OF SETS IN L
M.Osimi Tajik Technical University In the article for periodical functions, defined by the generalized modulus of continuity of m -order Q,„ (./';/) and satisfy the conditions of
ri
\i/p
< Ф(А),
were m e N, reZ, 0(7) - Is arbitrary increasing function, for which 0(0) = 0, the exact value of different «-widths are calculated.
Key words: best polynomial approximation - extremal characteristic - generalized modulus of continuity -n-widths.
о
