О наилучшем приближение периодических функций и значение поперечников множеств в L2 Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ___________________________________2011, том 54, №2______________________________

МАТЕМАТИКА

УДК 517.5

С.С.Хоразмшоев

О НАИЛУЧШЕМ ПРИБЛИЖЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ И ЗНАЧЕНИЕ ПОПЕРЕЧНИКОВ МНОЖЕСТВ В Ь2

Таджикский технический университет им. академика М.Осими

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 10.11.2010 г.)

Для класса дифференцируемых периодических функций, задаваемых обобщнными модулями непрерывности т-го порядка Ои)( / ;/) и удовлетворяющих условию

п

Л/р

< Ф(А),

где тє1Я,гє11+,0<р<2, к > 0, Ф(7) - произвольная непрерывная возрастающая функция такая, что Ф(0) = 0, вычислены точные значения различных п-поперечников.

Ключевые слова: наилучшее полиномиальное приближение - экстремальная аппроксимационная характеристика - обобщенный модуль непрерывности - п-поперечники.

1. Пусть N - множество натуральных чисел; : = П ^ {01. Обозначим

L2 := L2[0,27t] -

о

< оо

а через 1^2 (Гє М) - множество 2п -периодических функций /єі2, у которых производные (г — 1) -го порядка /(г абсолютно непрерывны, а производные /0 ) є Л2. Пусть Тп , - подпространство тригонометрических полиномов порядка <п — 1. Хорошо известны свойства минимальности частичных сумм

Sn-\ М = ~ + X akcos kx + bk sin fa

п-1

к= 1

ряда Фурье функции (х), которое состоит в том, что наилучшее приближение функции / е Л2 посредством полиномов

fc=l

Адрес для корреспонденции: Хоразмшоев Саидджобир Саиднасиллоевич, 734042, Республика Таджикистан, г.Душанбе, просп.ак.Раджабовых, 10, E-mail: [email protected]

о

и-1

9G

реализуется частичной суммой (/; х):

00

Ч|/-^ч(/)1Н1>;

к=п

'У аЦ 'у 'У

где рк =ак+Ьк,к = п,п +1,....

Модуль непрерывности т -го порядка функций / е Л2 обозначим через

®и(/»0 = 8ир Д"/(-) :|А|<* ,

(1)

где

В работах [1,2] отмечено, что для оценки наилучших приближений 2п -периодических функций _/ е Ь2, наряду с величиной (1), используют следующую усредненную характеристику гладкости

Используя обобщенный модуль непрерывности (2), можно решить ряд экстремальных задач теории полиномиального приближения в £2 [1-3].

В этом сообщении мы вводим в рассмотрение следующую экстремальную аппроксимацион-ную характеристику

где е М, /'ё2+, \! г < р <2 и к> О - произвольное число.

Отметим, что аппроксимационные характеристики вида (3), для модулей непрерывности (1), рассмотрены в работах [4,5].

Теорема 1. Пусть т,п еМ, г ей+, \! г < р <2 и к - произвольное число, удовлетворяющее

условию 0 < к < л / п. Тогда имеют место равенства

(3)

%п,

тр/2

-Ур

сИ.

Доказательство. Известно, что если /еХ2 и

к=1

- ряд Фурье функции /(х), то

1-

к=1 V

\ т

(4)

где РЇ =<%+%, к^-

Воспользуясь неравенством [4]

>1 СО

\ЪМ)?

р/2

Л/р

(р(і)Л

>

СО І 'I

Е |іЛ(0ґ>0>*

\2/^Л

1/2

к=п V о

, 0 < р < 2, /г > 0,

соотношением (4) и схемой рассуждения, приведенной при доказательстве теоремы 1 работы [4], получаем

V/р

.о У

>2тПпг

к / \тр/2 \^Р

40

и? у

сіі

■Е„М%

или что то же

2т/2пг-ЕпМ)

п

<

Я1-

81ПИҐ

Ы

х тр/2

\-v_p

сіі

(5)

Из (5), с учетом определения величины (3), получаем оценку сверху

т,п,г,р

ПІ у

трі2

Л

(6)

Чтобы получить оценку снизу, заметим, ЧТО ДЛЯ функции У(/) = БШИ/е £2 , имеют место равенства

£,-.(Л) = 1. п„(Л,Г>;0 = 2"'2нГ

и, согласно определению величины (3), получаем

/ . \ т/2

' $,тпі

пі

А

о

о

о

о

2 т,2пг.ЕпМо)

X

т,п,г,р

(к)>

п

\тМ'\1уи

N1 /р

Я1-

х тр!2

(к

(7)

Утверждение теоремы 1 следует из неравенств (6) и (7).

Следствие. В утверждении теоремы 1 при любом 0 < к < п / п справедливы равенства

X

т,п,г,р

(к) = -

2 п2

п/2

(пк) -2(1-соъпИ)

(8)

Отметим, что равенство (8) ранее другим путем получено в [3].

2. Через Ьп(Ш1 Л2), с!"(т, Л2), с!п(Ш'1, Л2), дп(т,Ь2) и Пп(ЭД1, Л2) обозначим соответственно бернштейновский, гельфандовский, колмогоровский, линейный и проекционный п -поперечники некоторого выпуклого центрально-симметричного компакта ШТ в пространстве Ь2.

Указанные п -поперечники связаны соотношениями [6]:

М?011-2) < с1"(т, I.,) < с1п(т1/.2) = дп(т,Ь2) = П„(Ш1,/.2).

Полагаем также Еп_1(ЯЯ) := : / е Ш1}.

Пусть т е Ы, гей+, 0 < р <2 — класс функций / е 1^, для которых при любом

к е (0, оо) выполнено неравенство

п

и аналогично ^1й(фХ теЫ, г е2+, 0 < р <2 — класс функций / е /I,'*, для которых при любом к е (0, оо) выполняется неравенство

П

\тц/1г\1)л< фчн),

где Ф(7), > > 0 - произвольная непрерывная возрастающая функция такая, что Ф(0) = 0.

Следуя работе [1], через Л обозначим величину аргумента хе(0,со) функции х / х, при котором она достигает своего наименьшего значения. Очевидно, что I, есть наименьший из положительных корней уравнения х = tgx (4.49 < /г < 4.51). При этом полагаем

V X )

п 51111 Х л / . 1 511111

:={1--,если0<х<^; 1-,еслих<^}.

х '

Имеет место следующая

о

о

0

Теорема 2. Пусть т, /гєМ, гє2+, 1 / г < р <2 и 0 < Ь< л / п. Тогда справедливы равен-

ства

К «І* Л) = 4., (КЬ. 4) = ,) =

= 2 ""V"'

К1--;'

ч тр/2

-Ур

Л

где \(-) - любой из вышеперечисленных к -поперечников.

Доказательство. Оценку сверху для проекционного п -поперечника получаем из неравенства (5), согласно которой, для любой функции /(х) є IVЛ имеем

п2„(IV!;;' !,)<£,.,«:>,л)^

<2и і

й / • , \ тр/2

ътМ

-1/.Р

сі!

= 2 п

/2~ГН

пк / • ,

К1-"

\ тр/2

і -і/.?

Л

(9)

С целью получения оценки снизу бернштейновского п -поперечника, введем в рассмотрение (2/7 +1) -мерный шар полиномов Гя еТпп12

сІЄІ

В2п+, =

тр/2

і -1/р

Л

и покажем его принадлежность классу л.

В самом деле, легко доказать, что для любого полинома Тп (л) е 7^ при любом И е (0, л / /?] справедливо неравенство [1]:

81ПИҐ

V ПІ ;

\ /И

п;,(Г«,0й2

Из неравенства (10) сразу получаем

N 1 / Г) /

8Іпиґл

(10)

\іацґ-\і)Л

)Р (т(г)

“т

.о У

Л17-?

< 2тПпг

Мі-

40

СІІ

<1,

откуда следует, что ®2я+1 *— ^т ], а • По известной теореме о поперечнике шара получаем оценку сни-

зу

0

2

2/ 2 п\ 2п+1'> 2

Л) =

= 2~mnrfr+~

If"

ч тр/2

, -Ур

dt

(11)

Сравнивая неравенства (9) и (11), приходим к утверждению теоремы 2.

Теорема 3. Пусть \/г <р<2. Если для любых / е(0,оо) мажоранта Ф удовле-

творяет условию

dr\ Ml-

sin m

.mp/2

m )

(12)

то справедливы равенства

=КЖ1.„, 4)=ЕПЖ^)=

-2-т‘гп"'

Я1-

sin^

t У

тр/2

-Ур

dt > Ф(я / п),

где \(/) ~ любой из перечисленных выше поперечников. При этом, множество мажорант, удовлетворяющих условию (12), не пусто.

Заметим, что мажорантой, удовлетворяющей условию (12), является, например, функция

ф0(t):=ta/p, где а := я7 Jrj 1-

sinr

ч тр/2

dr.

*

Поступило 10.11.2010 г.

ЛИТЕРАТУРА

8. Vakarchuk S.B., Zabutna V.I. - East J. Approx., 2008, v.14, 4, pp.411-421.

9. Вакарчук С.Б. - Мат. заметки, 2005, т.78, 5, с.792-796.

10. Шабозов М.Ш., Хоразмшоев С.С. - ДАН РТ, 2010, т.53, 9, с.661-665.

11. Шабозов М.Ш. - Мат. заметки, 2010, т.87, 4, с.616-623.

12. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. - ДАН России, 2010, т.435, 2, с.1-4.

13. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. - М.: МГУ, 1976, 325 с.

о

0

С.С.Хоразмшоев

ДАР БОРАИ НАЗДИККУНИИ ФУНКСИЯ^ОИ ДАВРЙ ВА ЦИМАТИ ЦУТР^ОИ МАМУЪ^О ДАР L

Донишго^и техникии Тоцикистон ба номи академик М.Осими

Барои синфи функсиях,ои даврие, ки ба воситаи модули бефосилагии умумикардашудаи тартиби т -уми Q.m(f;t) дода шуда, шарти

\\1р

<Ф (И)

- ро каноат мекунанд, ки дар и и но т е N, г е Z+, Ф(7) - ихтиёри функсияи бефосилаи афзун-шаванда буда, барояш Ф(0) = 0 аст, кимати аник;и п-ку грхои гуногун хисоб карда шудааст.

Калима^ои калиди: наздиккунии беутарини полиномиали - характеристикаи экстремали - модули бефосилагии умумикардашуда - н-цутр^о.

S.S.Khorazmshoev

THE BEST APPROXIMATION OF PERIODICAL FUNCTIONS AND VALUE OF WIDTHS OF SETS IN L

M.Osimi Tajik Technical University In the article for periodical functions, defined by the generalized modulus of continuity of m -order Q,„ (./';/) and satisfy the conditions of

ri

\i/p

< Ф(А),

were m e N, reZ, 0(7) - Is arbitrary increasing function, for which 0(0) = 0, the exact value of different «-widths are calculated.

Key words: best polynomial approximation - extremal characteristic - generalized modulus of continuity -n-widths.

о