О приближении функций в среднем на всей оси алгебраическими полиномами с весом Чебышёва-Эрмита Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2016, том 59, №7-8_

МАТЕМАТИКА

УДК 517.5

К.Тухлиев, А.М.Маликов

О ПРИБЛИЖЕНИИ ФУНКЦИЙ В СРЕДНЕМ НА ВСЕЙ ОСИ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ПОЛИНОМАМИ С ВЕСОМ ЧЕБЫШЁВА-ЭРМИТА

Худжандский государственный университет им. Б.Гафурова

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 10.03.2015 г.)

В работе рассматривается экстремальная задача о наилучшем приближении функций, суммируемых с квадратом на всей оси алгебраическими полиномами с весом Чебышева-Эрмита. Получены точные неравенства типа Джексона-Стечкина на множествах функций

связывающих величины наилучших приближений сверху через усреднённые значения обобщённых модулей непрерывности m-го порядка, определяемые дифференциальными операторами второго порядка.

Ключевые слова: наилучшее приближение, алгебраический полином, коэффиценты Фурье-Эрмита, обобщенный модуль непрерывности.

2

Пусть Ь2р := (Ж) , где Ж = (—р := р(х) = е - пространство вещественных, суммируемых на всей оси М , с квадратом функций / таких, для которых

( V2

\\/кР= \\ех2\/{х)\2сЬс <00. чк

Очевидно, что пространство Ь2р со скалярным произведением

(/,<?) :=\е-х2/(х)д(х)(Ьс

к

и нормой || /\\ь := ( /, / )' 2 является гильбертовым. Через обозначим подпространство алгебраических полиномов степени не более п ,

ЕпМ\Р := {II /~Рп-1 и Рп-1 е Ч ,}

- величины наилучшего полиномиального приближения функции / е Ь2р элементами подпространства Т)п , . Хорошо известно [1], что любая функция / е Л2/1 разлагается в ряд Фурье по полиномам Эрмита

Адрес для корреспонденции: Тухлиев Камаридин, Маликов Абдумумин Маликович. 735700, Республика Таджикистан, г.Худжанд, ул. Мавлонбекова, 1, Худжандский государственный университет. E-mail: [email protected]; [email protected]

ад

/ ( х) = Б* (/ Н (х), (1)

к=0

где

Нк(х) := (-1)к2-к/2(к!)-1/2^1/4ех2 (е~х2),

Г 2

ск(Л = \е-х /{х)Нк{х)сЬс

- коэффициенты Фурье-Эрмита функции / е Ь2р , а равенство в (1) понимается в смысле

сходимости в Д

2>Р

Если через /, х) = ^^ с^. (У)Н (х) обозначить частичную сумму (п — 1) -го порядка ряда (1) функции / е Ь2р , то

, 1/2

ЕпМ\Р =11 / - 5пМ) 1к„= \рКЛ | • (2)

Рассмотрим оператор усреднения для функции / е Ь2р :

Т(У; х) = ^ \/(хл/Т—Т2 + Ту)е~у2ёу, \Т\< 1, (3)

для которой в смысле сходимости в Ь2р справедливо равенство [1]

ад

Т (/; х) = XС (/ )(1 - Т2)к/2Нк (х). (4)

к=0

Следуя [2], образуем аналоги конечных разностей следующими равенствами Д;(/,х) := Т(/,х) — /(х) = (Т — Е)/(х), АГ(/,х) := А](К-1(/,•),х) = (Т -Е)т /(х) =

т т ^ ,

= Х(-1)т-к т Тк (/, х), (5)

к=0

V к У

где т = 2,3,..., Т^ := Т/(Тк *), Т/ := Т, Т° = Е, Е - единичный оператор в пространстве . Учитывая равенства (1) и (4) и воспользовавшись первым равенством (5), запишем

ад

А1(/,х) = ^(/)((1 - т2)к/2 - 1)т Нк(х).

к=0

Применяя последовательно последнее равенство, получаем

А" (/, х) = ]ГСк (/) ((1-Т 2)к /2-1)т Нк (х),

к=1

откуда, используя равенство Парсеваля, имеем

IIАГСЛ*) ¿(1 -(1 -/2Г)2" с2(/).

(6)

¿=1

С.Б.Вакарчук [2] для произвольной функции / е Д ввёл в рассмотрение следующий обобщённый модуль непрерывности т -го порядка

:=8ир{||АГ(/,0||22,:и|<4 =

¿с2(/ ) (1 - (1 -У)к/2 )2т

а=1 „

(7)

Пусть ¿2р := /^'.(К) (г ей, =Ь2р) - множество функций / <=Ь2р, у которых производные

порядка /(г 1)1 абсолютно непрерывны на любом конечном интервале, а производные г -го порядка принадлежат пространству Ь2 . Всюду далее, ради краткости, полагаем

оспг=п(п — \)---(п — г + \), п>г,

С.Б.Вакарчук [2] доказал следующую общую теорему

Теорема А. Пусть т,иеМ, г е > /"), 0 < /г < 1, (/?( / ) > 0 - суммируемая на отрезке [0, П] не эквивалентная нулю функция. Тогда справедливо равенство

Бир

• Еп_1(/)

2,р _

N1/р

п

|[ 1 - (1 - Т 2)(п-г )/2 ]тр <р(т )йг

N-1/р

(8)

В частности, в (8) при (р = 1,р = \1 т, гаеК, г = 0, к = / (п + 2) м п^<х> имеет место предельное равенство

_Еп-1(/)г,р_

Нш Бир

%Р

( ^2/(п+2) Л"

(п + 2) | С/, Т\рёг

■ = е .

В данной работе мы из равенства (8) в качестве следствия выведем следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть выполнены все условия теоремы А. Тогда при любом И е (0,1] справедливо равенство

Бир -

(г) !

■ Еп-1 (/\Р

/ ей

Яр

\1/р

тр +1

1/р

птр+1

, 0 < р < 2, п > г.

[1 - (1 - И2)(п-г )/2 ]' В частности, из (9) при к = / (п — г), п > г, и,гёМ получаем

^/2Ч7 • Еп_1(/\р

эир эир __

иеМ ( 4И(п-г)

п>г 1еь2 ,р -

N1/р

(п-г) | со1{1(г)Ахрк\

вир

иеМ п>г

тр +1

1-1-

п - г

(п-г )/2"

тр+1

1/р

_ (тр +1)

1/р

(1 -)'

т+1/р

В свою очередь из равенства (10), при р = \/ т, теК следует равенство

Бир Бир

Еп-1 (/)2,р

( 42/(п-г)

(п-г) |

(1 - ^ )2

(9)

(10)

(11)

Доказательство. В самом деле, положив в равенстве (8) (р(г) — (п - г)г(1 - г2)(п г)/2 1 и

заметив, что

<р(г)Ж — (п — г)г(1 -г 2)( п-г )/2-1йг — й [ 1 -(1 -г 2)( п-г)/2 ],

для стоящего в правой части (8) интеграла получаем

}[1 - (1 - г2)(п-г)/2]трй[1 - (1 - г2)(п-г)/2]

\-1/р

тр +1

1/р

[1 - (1 - И2)(п-г)/2 ]тр+1

, 0 < р < 2, п > г,

т

2

откуда и следует равенство (9). Равенства (10) и (11) получаются непосредственным вычислением. Имеет место также следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть т,иеК, п>г, 0< И. < \. Тогда справедливо равенство

Бир

^^Г • Е п-1 (/)

2,р _

1

/ еД

(г) ( Л П.

2,р

V п о

(12)

В частности, при П = 1 имеем

^"УпгГ ■ Еп-1(/Хр = п - г Г((п - г) /2)

(г) ' 1

/ еД

'2,р

ж

2 п - г +1 Г((п - г +1) / 2)

где Г(а) - гамма-функция Эйлера.

Доказательство. В работе [2] для произвольной функции / е ^ и любом Т е (0,1] доказано неравенство

к=п

Интегрируя полученное неравенство в пределах от Т = 0 до Т = П , получаем

к оэ И

* {ЕШ\РУ'2т | ®Г"СЛО^Л + 1>2(/){(1 -

О о

Поделив обе части последнего соотношения на число П е (0,1] и учитывая, что

( \ Iй

- Г(1 - т2)к/2ёт =- Г(1 - Т2)"/2ж,

и } и I

(13)

шах

к >п

V п о

У п о

приходим к следующему неравенству

I 1 \ ^ п-1 ч./ •'/.р т

V Л 0 У Л 0

откуда сразу получаем

Еп-1С/")2,р <

п ■

1 п

1 -11(1 - Т 2)п/2 ёТ

V П 0

(14)

-т

ад

т

Если / е й2г) , то для /(г) е Ь2р из (14) сразу вытекает

2,Р

неравенство

Еп-гМ(г))2,р <

1 -1 Г(1 - г2)(п-г)/2 йг

и J

И

(15)

и, учитывая, что для произвольной функции / е й2г) справедливо соотношение

/ )2,р <

4

2Г а

.. е ( /(г))

окончательно имеем

Еп-М)2,р <

4

2га

И■

1 -1 Г(1 - г2)(п-г)/2 йг

и J

Отсюда запишем оценку сверху

• Е„-1 (/)

Бир

2,Р

<

/ ей

(г) (л И

%Р

1 И

1 - - Г(1 - г2)(п-г)/2 йг ь *

V И 0

(16)

С целью получения оценки снизу, равной правой части (16), рассмотрим функцию /0 (х) :— Нп (х)(п > г) , очевидно принадлежащую классу й2г) и для которой, как легко проверить

(О,

—1, л( г\х)(х),

получаем оценку снизу

Бир / „

2 ,р

.¡2Га ■ Е .(/), .¡2Га ■ Е .(/)

^ п,г п- '2,р ^ ^ п,г

2,Р _

Vй о

Vй о

1 И

1 -1И(1 - г 2)

( п-г )/2

йг

(17)

т

1

т

1

-т

т

т

Равенство (12) получаем из сопоставления оценки сверху (16) и оценки снизу (17). Теорема 2 доказана.

Отметим, что аналогичные экстремальные задачи для обобщенных модулей непрерывности рассматривались в работах [3, 4].

Поступило 10.03.2015 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Рафальсон С.З. О приближении функций в среднем суммами Фурье-Эрмита. - Изв.вузов. Математика, 1968, №7, с.78-84.

2. Вакарчук С.Б. Приближение функций в среднем на вещественной оси алгебраическими полиномами с весом Чебышева-Эрмита и поперечники функциональных классов. -Матем.заметки, 2014, т.95, №5, с.666-684.

3. Шабозов М.Ш., Тухлиев К. Неравенства Джексона - Стечкина с обобщёнными модулями непрерывности и поперечники некоторых классов функций. - Труды института математики и механики УрО РАН, 2015, т.21, 4, с.315-331.

4. Шабозов М.Ш. Точные верхние грани наилучших приближений суммами Фурье-Бесселя в пространстве Ь2 на отрезке [0,1] со степенным весом и значение поперечников некоторых классов функций. - Известия ТулГУ, 2015, 4, с.93-108.

^.Тухлиев, А.М.Маликов

НАЗДИККУНИИ МИЁНАИ ФУНКСИЩО БА ВОСИТАИ БИСЁРАЪЗОГИХОИ АЛГЕБРАВЙ ДАР ТАМОМИ ТИРИ АДАДЙ БО ВАЗНИ ЧЕБИШЁВ-ЭРМИТ

Донишго^и давлатии Хуцанд ба номи Б.Г.Гафуров

Дар макола масъалаи экстремалии наздиккунии бехтарини функсияхо бо квадрат суммиронидашудаи бисёраъзогихои алгебравии дар тамоми тири ададй бо вазни Чебишёв-Эрмит, дида баромада шудааст. Дар мачмуи фупксияхои Л2Ш) побаробарихои намуди Ч,ексон-

Стечкин, ки бузургии наздиккунии бехтаринро аз боло бо киматхои миёнакардашуда модули бефосилагии умумикардашудаи тартиби т -уми ба воситаи оператори дифференсиалии тартиби дуюм алокаманд мекунад, ёфта шудаанд.

Калима^ои калиди: наздиккунии беутарин, бисёраъзогии алгебраикй, коэффисиентуои Фурйе-Эрмит, модули бефосилагии умумикардашуда.

K.Tukhliev, A.M.Malikov THE APPROXIMATION OF FUNCTION IN THE MEAN AT ALL AXES BY ALGEBRAIC POLYNOMIALS WITH CHEBISHOV-ERMIT'S WEIGHT

B.G.Gafurov KhugandState University

In this article an extremal problem on best approximation of function squared-summable at all axes by algebraic polynomials with Chebishov-Ermit weghts is considered. An exact inequality in the mean of Jackson-Stechkin on the set of functions Z(2r)(M) which colligate the best approximation from above by

average values of modulus continuity of m-th order determined by differential operator of second order are received.

Key words: best approximation, algebraic polynomial, coefficients of the Fourier-Hermite, generalized modulus continuity.