CC BY
17
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2016, том 59, №11-12_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
А.М.Маликов
СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ НА ВСЕЙ ОСИ И ЗНАЧЕНИЯ ПОПЕРЕЧНИКОВ
Худжандский государственный университет им. Б.Гафурова
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 10.03.2015 г.)
Для некоторых классов функций, задаваемых усреднёнными значениями обобщённых модулей непрерывности т-го порядка, определяемых дифференциальными операторами второго порядка, вычислены точные значения различных п-поперечников.
Ключевые слова: наилучшее приближение, дифференциальный оператор, обобщённый модуль непрерывности, п-поперечник.
1. Настоящая работа является продолжением исследований, начатых в [1]. Поэтому по ходу изложения мы будем без дополнительных разъяснений использовать терминологию и обозначения из [1]. Напомним, что в теореме 1 из [1] доказано, что если ге^ (п>г), то при любом
И е (0,1] справедливо равенство
>/2Ч,А ,(,f )2,,
<г) l-iT-^)
f еД
1/р
mp +1
[1 -(1 -h2)(n r)/2]
mp+1
, 0<p <2,n > r. (1)
Используя равенство (1), в следующем пункте для некоторых классов функций, естественно вытекающих из (1), вычислим точные значения целой серии п -поперечников.
2. Для формулировки последующих результатов напомним необходимые понятия и определения. Пусть Л' = { / :|| / ||2/,< 1 { - единичный шар в пространстве Ь2р; Ли с: Ь2р - п -мерное
подпространство; Лп с Ь2 - подпространство коразмерности п ; & : Ь2р^Лп - непрерывный
линейный оператор ; : Ь2р ^ Ли - непрерывный оператор линейного проектирования; N -
выпуклое центрально-симметричное подмножество из Ь2р. Величины
К(N1,4, р) = вир{8ир{^ > 0: еБ ^Лп+1 с N1}: Лп+, с Ь%Д
Адрес для корреспонденции: Маликов Абдумумин Маликович. 735700, Республика Таджикистан, г.Худжанд, ул. Мавлонбекова, 1, Худжандский государственный университет. E-mail: [email protected]
d"(m,L2p) = inf{inf{||/|^:/б91пЛ"}:Л,с L2p}, d„(K,L2J = inf{sup{inf{|| f-q> <p e Лй} : / e 91} : A„ c= L2p}, Sn(%L2p) = inf{inf{sup{|| f-Cf ||2p: / e 01}: CL2p с: Л }: A„ c= L2J,
Пn(%L2p) = inf{inf{sup{|| / -¿f / e 91}: ¿LXp c= Лй} : Л„ c= Z2p}
называют соответственно бернштейновским, гельфандовским, колмогоровским, линейным, проекционным n -поперечниками подмножества N в пространстве L2p. Известно [2, 3], что в гильбертовом пространстве между n -поперечниками имеют место соотношения
bn(N,L2p) < dn(N,L2p) < dn(N,L2p) = 5n(N,L2p) = n(N,L2p).
'2, p! n \
2 p
2 p
(2)
Пусть /ze(0,l), 0<p<2, /и,йёМ, reZ+. Обозначим через W2p(<5)m,h) класс функций
f е L(2r^ , у которых производные г -го порядка f1 r) при n > r удовлетворяют условию
( r )
2, p
(n-r)]co:(f\t)2pt(l-t2yr-ldt
N1/p
< 1.
Справедлива следующая
Теорема 1. Пусть т,п<Е N, r e Z+, 0<p<2, 0<h<l. Тогда
\ {w%(a>M,hy,Lj) = En_x (w;;pp(com,h)-L2,p)
mp +1
72ч7 j[ i - (i - h2)( n-r )/2 ]mp+1
2 ,P
1/P
(3)
где
En^\p :=sup{E„_1^_f)2,p: f е N},
a (•) - любой из вышеперечисленных n -поперечников. В частности, из (3) при р = \/ т, шеМ, И = ^2/ (n — r), п> г, г е Z+ получаем
1И-Г
Л ^ J J
= Е.
п-1
Ж,
,1/m
2 ,р
0)„
П~ Y
>m-r/2
1 -11 -
n - r
( n-r )/2
•\m-rl 2
.(I-«-)"
p
-2 m
2m
Доказательство. Используя экстремальное равенство (3), определение класса (<а>т,И) и соотношения между п -поперечниками (2), получаем оценки сверху
<
'2 ,р
<
тр +1
1/р
Ф^г 1Г1 -(1 - И2)'
(п-г )/2
тр+1
(4)
Для получения оценок снизу на множестве рассмотрим шар:
ГУ*__
, 1 : =
р е V :|| р II < ■
гп ' п И гп N2,р
тр +1
у/ р
и покажем, что имеет место включение 8п+1 (¿)т,Ь). Используя формулы (7) из [1] и
вытекающее из (1) в [1] равенство [4]
/(")( х) = Ъь (/-г ( х)
к=г
для произвольного полинома ри (х) = СН ¡: (х) с £*+1, имеем
, 1/2
0)„
-к=г
«^/247 -(1 - (1 -12)(п-г)/2)"
I р,
п \\2,р ■
(5)
Затем возведём обе части неравенства (5) в степень р , умножая на функцию (п - г)^(1 - ^2)(п г)/2 1, интегрируя полученное таким образом неравенство по переменной от ^ = 0 до ^ = И и учитывая, что рп е , получаем
( и
N1/р
(п - г)\а>рт{Р(п \^2А1 -Пп-Г)12-1Л < ^2X7II р
\ 0
п \\2,р '
'и V'р
1(1 - (1 - ¿2)(п-г)/2 )трё (1 - (1 - г2)(п-г)/2) <
1/p
-1/p
<
mp +1
mp +1
1 -(1 - h2)
(n-r )/2
mp+1
1 -(1 - hf)
(n-r )/2
mp+1
= 1.
Следовательно, шар 5'й+1 с . Таким образом, согласно определению бернштейновского
п -поперечника и неравенства (2), имеем
>
>
mp +1
1/p
^ 1Г1 -(1 - h2)
(n-r)/2 '
mp+1
(6)
Требуемые равенства (3) получаем из сопоставления оценок сверху (4) и снизу (6). Теорема 1 доказана.
В задачах теории приближений часто возникает сопутствующая экстремальная задача вычисления точных верхних граней модулей коэффициентов Фурье, соответствующих различным разложениям функций для изучения скорости сходимости или структурные свойства классов функций. В [5,6] этот вопрос изучается для заданных дифференциальных периодических функций, а в [7] для некоторых классов функций из (К). В работе В.А.Абилова [8] изучается поведение
коэффициентов ряда Фурье-Эрмита непрерывных функций. Для введённых в этой статье классов функций данный вопрос также представляет определенный интерес.
Теорема 2. Пусть т,йеМ, 0<р<2, 0<й<1 и п>г. Тогда справедливо
равенство
mp +1
1/p
Ф7^ |Г1 -(1 - h2)
(n-r )/2
mp+1
(7)
Доказательство. Следуя [7], с учётом ортонормированности системы полиномов Эрмита на
2
всей оси Ж с весом р(х) = е х . для произвольной функции / е (сот, И) запишем
К (f )1=
Jе-f(t)Hn(t)dt = Jе-x\f(t) -Sn-1 (f,t)]Hn(t)dt
к к
<
где £и_/) - частная сумма п -го порядка ряда Фурье-Эрмита функций / . Применяя неравенство Коши-Буняковского к правой части неравенства (8), будем иметь
\слтт-8п_ш^р-\\нп 1р=еп_х (л2р. (9)
Учитывая второе равенство в (3), из неравенства (9) получаем
*ир{| СП(Л [■ / е Щ£(&Я,К)} *
тр +1
1/р
ф^г |Г1 -(1 - к2 )'
(п-г)/2'
тр+1
(10)
Для получения оценки снизу величины, стоящей в левой части (10), введём в рассмотрение функцию
9 (X)- н (
тр +1
1/р
ф^г -(1 - к2 )
(п-г)/2"
тр+1
очевидно являющуюся элементом шара £*+1, введённого в ходе доказательства теоремы 1, а потому в силу включения с Ж2р (со, к) функция д е Ж2р (со, к) . Следовательно,
*ир{| СП(Л |: / е 1Г£(3Я,К)} >\ сп(д) \=
тр +1
1/р
Ф^пг ¡п-(1 - к2)
(п-г)/2'
тр+1
(11)
Из неравенств (10) и (11) получаем равенство (7), чем и завершаем доказательство теоремы 2. Из теоремы 2 вытекает
Следствие. Пусть выполнены все условия теоремы 2. Тогда при р = 1 / т. М, к = ^2/ (п — г) , п> г справедливо равенство
т
5ир5ирЩ: |сп(Л |: /еЖ^т(с5т,р/(п-г))\
иеМ у '
= 2т-г/2 (1 - 1 )-2т.
Поступило 10.03.2015 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Тухлиев К., Маликов А.М. О приближении функций в среднем на всей оси алгебраическими полиномами с весом Чебышёва-Эрмита. - ДАН РТ, 2016, т.59, №7-8, c.282-289
2. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. - М.: МГУ, 1976, 304 с.
3. Pinkus A. n-Widths in Approximation Theory. - Berlin: Springer-Verlag. Heidelberg - New York -Tokyo, 1985, 287 p.
4. Рафальсон С.З. О приближении функций в среднем суммами Фурье-Эрмита. - Изв. вузов. Математика, 1968, 7, с.78-84.
5. Шабозов М.Ш., Вакарчук С.Б. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами и точных значениях поперечников функциональных классов в L2 - Analysis Mathematica, 2012, т.38, 2, с.154-165.
6. Вакарчук С.Б., Шабозов М.Ш., Забутная В.И. Структурные характеристики функций из L2 и точные значения поперечников некоторых функциональных классов. - Укр.матем.вюник, 2014, т.11. №3, с.417-441.
7. Вакарчук С.Б. Приближение функций в среднем на вещественной оси алгебраическими полиномами с весом Чебышева-Эрмита и поперечники функциональных классов. -Матем.заметки, 2014, т.95, №5, с.666-684.
8. Абилов В.А. О коэффициентов ряда Фурье-Эрмита непрерывных функций. - Изв. вузов. Математика, 1969, №12, с.3-8.
А.М.Маликов
МАЙЛКУНИИ ФУНКСИЩО БА БИСЁРАЪЗОГИ МИЁНАКВАДРАТЙ ДАР
ТАМОМИ ТИРИ АДАДЙ ВА ЦУТР^О
Донишго^и давлатии Хуцанд ба номи Б.Г.Гафуров
Барои баъзе синфи функсиядо, ки бо ёрии киматдои миёнакардашуда модули бефосилагии умумикардашудаи тартиби m -уми ба воситаи оператори дифференсиалии тартиби дуюм муайян карда мешавад, кимати аники n -кутрдои гуногун х,исоб карда шудааст. Калима^ои калиди: наздиккунии беутарин, оператори дифференсиали, модули бефосилагии умумикардашуда, n -цутр^о.
A.M.Malikov
MEAN SQUARE POLYNOMIAL APPROXIMATION OF FUNCTIONS ON THE REAL LINE AND THE VALUE OF THE WIDTHS
B.G.Gafurov KhugandState University
For some classes functions defined by the average values of generalized moduli of continuity of the m-th order, determined by differential operators of the second order to calculate the exact values of the various n-widths.
Key words: best approximation, differential operator, generalized modulus continuity, n-widths.
