CC BY
46
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И ТО м VI 19 7 5
№ 6
УДК 629.735.33.015.4-977
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ТЕМПЕРАТУРНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В ПОДКРЕПЛЕННЫХ ПЛАСТИНАХ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Г. И. Сидоров
Приводится решение плоской задачи о температурных напряжениях в неравномерно нагретой прямоугольной пластине, подкрепленной ребрами жесткости. Считается, что ребра работают на растяжение (сжатие) и изгиб в плоскости пластины. Задача решена в перемещениях методом конечных элементов. Для минимизации потенциальной энергии использован метод сопряженных градиентов. Приведены примеры расчетов.
Рассмотрим задачу о температурных напряжениях в подкрепленной пластине при неравномерном распределении температуры в срединной плоскости пластины и по длине подкрепляющих ребер. По толщине пластины и по сечению ребер температура равномерна. Внешние нагрузки отсутствуют.
Предполагаем, что пластина и ребра устойчивости не теряют, и имеет место плоское напряженное состояние. Будем считать, что ребра обладают жесткостью на растяжение (сжатие) и на изгиб в плоскости пластины. Материалы пластины и ребер могут быть различными с зависящими от температуры механическими характеристиками.
Поставленную задачу будем решать в перемещениях методом конечных элементов.
Элемент пластины. В качестве конечного элемента пластины используем прямоугольный элемент (фиг. 1) с 32 степенями свободы,
который может рассматриваться как частный случай элемента цилиндрической оболочки, предложенного в [5]. Компоненты вектора перемещений в плоскости такого элемента аппроксимируются следующими выражениями:
и(х;у) = Н*(х, у) и; )
®(*. У) = Ь*(х, y)v, )
где
» — {«„ аахХ, ЬиуХ, аЬи х, и2, и4,
16X1
• V ={г>„ аъхХ, Ьъ х, аЬя) х, г>2,. .г>8, ..г>4,.. .
16X1 1
есть векторы обобщенных перемещений узлов элемента; ик, ихк, иук, ихук) г>й, юхк, уук, ъхук — перемещения и их частные производные, отмеченные индексами х и у, в &-м узле;
Ь(х, у) = { Н1(х)Н1(у), Нв(х)Нх(у), М,(х)Н3(у), Я3(х)Н3(у),
1X16
И2(х)Н1(у), Н^х)Нх(у), Н2 (х)Н3(у), Нь(х)Нг{у), Нх{х)Н2(у), Нш (х)Нг(у), Нх(х)Н4(у), Н3{х)НА(у), Нг(х)Н2(у), Н4(х)Н^(у)\
Н2(х)НАу), НАх)Щ(у)}
есть транспонированный вектор-столбец аппроксимирующих функций, компонентами которого являются произведения кубических полиномов вида
Я, (х) = ~ (2х3 - Зал:2 + а3); (л) = (— 2л3 4 3ах2)-,
н* (*)=4г (■**_ 2ах'2+а*хУ' м=^ (-*3 ~ал^-
При замене л на у и а на 6 получатся аналогичные выражения для направления у. Звездочка означает операцию транспонирования.
Следует отметить, что используемая аппроксимация перемещений обеспечивает непрерывность перемещений и деформаций вдоль границ между элементами.
Распределение Ь = аТ, где а — коэффициент линейного температурного расширения материала и Т — приращение температуры, в плоскости элемента аппроксимируем по квадратичному закону выражением
• t(x, у)^Ь*{х, y)t, (2)
где
t = £2> • • •» Ц*
9X1
есть вектор значений а Т в точках 1—9 элемента пластины (фиг. 1, б);
ь*(х, МлОМ-У). М-*)6!»», М-*)М.у)> М*)62.Су),
1x9
%(*) е2Су), 01 (л) е3 (у), е2 (*) 03Су). ез (*) езСу)} .
есть транспонированный вектор-столбец аппроксимирующих функций, компонентами которого являются произведения полиномов вида
6' М = 1а (2х* ~ Ъах + а^’
1
(•*) = (— 4** + 4аХ)>
вз(х) = -^-(2 х2 — ах).
При замене х на у и а на Ь получатся аналогичные выражения для направления у.
Энергия деформации нагретого элемента изотропной пластины толщиной к определяется выражением [1]
а Ь .
^пл = 11 (е* + £У + 2'^£у + '-2^- т^) ах с1у -
о о
а Ь а Ь
- т^т /1 а7>* + + ~т~11 (аГ)2 ахйУ' (3)
0 0 оо
где е*, еу, ^ — деформации; Е — модуль упругости; V — коэффициент Пуассона. '
Предполагается, что Е зависит от средней температуры эле-
а Ь
мента Тс? = § §Т йхйу и в пределах элемента не меняется.
о о
Последний интеграл в (3) в дальнейшем опустим как величину постоянную, не зависящую от деформаций. Подставив известные соотношения между перемещениями и деформациями '
ди ди ди , дv
дх ’ ~у ду ' ду дх
в выражение (3), после интегрирования с учетом (1) и (2) получим
иш = -^-х* Их— х* f,
где
X
32x1
н:ь А-і;
есть вектор эффективной нагрузки элемента пластины;
ка Іі®и*
Л =
32X32
к°
есть матрица жесткости элемента пластины.
Матрица к и вектор / определяются выражениями вида:
№
16X16
«К» 1 - 0 0
О О
Ша Ь дН дН* , 1 —» дк дк* \ . .
' ^7 "а* + — ~дт ~зу )ахс1У’
а ь *1. дН
16x1 о о
Элемент подкрепляющего ребра. В качестве элемента ребра используем стержень постоянного поперечного сечения, обладающего жесткостью на растяжение (сжатие) и на изгиб в плоскости
пластины.
Предположим, что элемент ребра соединен (по нейтральной оси) с элементом пластины по краю_у = 0 (см. фиг. 1). Тогда
перемещения нейтральной оси элемента ребра в плоскости пла-
стины, согласно (1), будут иметь вид
и(1(х) = Н*0(х)и0, v0{x) = hl{x)vй, (4)
где
И0= {«1, ««ЛГ1, «2, аих2}*,
4X1
v0^{v^,avxUvг,avx2}*,
. 4X1
( А0 = {^1 (*), Нз (•*)> Н2(х), Я4 (х)}*.
4X1
Распределение ^0 = аГ по длине элемента ребра аппроксимируем по квадратичному закону выражением
/0(л:) = 0о (л:)*о, (5)
где = {^01> *02, ^оз}* — вектор значений аГ в точках 1—3 элемента ребра (фиг. 1, бу,
6о(х)={01(х), 62(х-), 63(*)}.
Энергия деформации нагретого элемента ребра с учетом гипотезы плоских сечений определяется выражением [1]
(6)
где /•"— площадь поперечного сечения; /г — момент инерции относительно оси г.
Здесь предполагается, что Ер зависит от средней температуры
а
элемента Тср = —^Тйх и в пределах элемента не меняется,
о
После подстановки (4) и (5) в выражение (6) и интегрирования получим
Ур ~2~ -^Р ^р ^р ^Р /р>
где
г(и)
х _ГМ. , _(/? 5, I Й, 1о
8X1 ' ^0 > 8X1
есть вектор эффективной нагрузки элемента ребра;
—
8X8
есть матрица жесткости элемента ребра.
Матрица Лр и вектор /р определяются выражениями вида:
4X4 о
Ь^-Р 1 ('<?!*?
КР ср 1г ] дх2 0*3 ахи
4x4
а
п =£рН(‘^еи*к-
4X1 У ’
Минимизация потенциальной энергии. Потенциальную энергию конструкции в рассматриваемом случае можно представить в виде:
П = ±-Х* КХ — Х*Р,
где X — вектор обобщенных узловых перемещений; К — полная матрица жесткости и Р— вектор эффективной нагрузки конструкции.
Для минимизации потенциальной энергии П используем метод сопряженных градиентов [2, 3]. Будем производись операции минимизации с масштабированными величинами [4].
П(К) = 1_ у*КУ—
где I ¥ = 0'Х, К = ОКй, Р^ИР,
й — диагональная матрица преобразования с элементами
с!и = —^=, /ги — диагональные элементы матрицы К. Заметим, что
' У^и ,
при таком преобразовании все диагональные элементы матрицы К будут равны единице.
На фиг. 2 приведен пример решения задачи с масштабированием и без масштабирования, из которого видно, что масштабирование оказывает очень сильное влияние на сходимость метода сопряженных градиентов. В этом примере через ЦЛ'Ц обозначено
отношение
|*»| | Хп
где |ХЙ| = V{Х& Хк) — норма вектора &-й итера-
ции, \Хп\=У{Хп, Хп)— норма вектора решения.
Основными операциями метода сопряженных градиентов являются вычисление произведений матрицы К на векторы и вычисление градиента АП = /СК — /\ Эти операции можно провести поэлементно, не прибегая к вычислению полной матрицы ^[4]. Все интегралы в матрицах жесткостей и векторах эффективных нагрузок берутся в явном виде. Напряжения в срединной плоскости пластины вычисляем по формулам:
У
г=И^ + ,£~(1 + ,>“п
= -пЦ£ + ’£-<1 + ’>“7'
'ху
I ди
дх)
2(1 + м) \ду
По описанному алгоритму составлена программа на алгоритмическом языке ФОРТРАН для ЭЦВМ БЭСМ-6.
Примеры расчетов. В качестве первого примера рассмотрена равномерно нагретая пластина с двумя одинаковыми продольными
ребрами и свободными попереч-
Закрепление
<х.Т=сап5і
-Свободный край
ными кромками (фиг. 3) при постоянном перепаде аТ между пластиной и ребрами. В данном при-
Число степеней свободы, п=81
11X11
1,0
0,5
і гС масштабирование м
и —7—
И Без масштабирования І І I
10 20 30
Фиг. 2
40 50
мере ребра предполагались работающими только на растяжение (сжатие), •») = ^^.= 2 и v = 0,3. Вследствие симметрии рассматривалась только четвертая часть пластины с граничными условиями
ду да
и**=0=дх-------=®1у-о =
их\х=0
дУ\у=о
= 0.
Эта часть пластины разбивалась прямоугольной сеткой на 25 равных элементов и имела 242 степени свободы. Время решения задачи на ЭЦВМ БЭСМ-6 составило 395 с. В таблице приведены
результаты расчета ах = - по изложенной методике в сравне-
нии с результатами решения этой же задачи в напряжениях методом конечных разностей [3], когда на всю пластину была нанесена
прямоугольная сетка 50X50. Видно, что совпадение результатов удовлетворительное. Исключение составляет угловая точка g, что объясняется наличием особенности в этой точке.
Сечение с—Ь Сечение е—й Сечение *-/
из [3] из [3] из [3]
—0,7635 —0,7634 —0,8929 -0,9014 -0,9132 0
—0,4924 -0,4924 -0,1451 -0,1504 —0,0866 0
—0,2567 —0,2566 -0,0192 -0,0190 -0,0226 0
—0,0912 —0,0910 0,0044 0,0053 -0,0060 0
0,0016 0,0017 0,0116 0,0124 —0,0024 0
0,0310 0,0310 0,0134 0,0142 -0,0018 0
В качестве второго примера рассмотрена пластина, подкрепленная одинаковыми ребрами так, как показано на фиг. 4, и под-
верженная на участке
а
~2~
Фиг. 4
а
’
ному
— а Тп
неравномер-нагреву по закону аТ= 1 — 36-^2 )• В направле-
нии х температура не менялась. В расчете были приняты т]г=: Ека '
— 2, і =
Ер
ви з = 4,63-10-4
ЕЬа3 ’ и ч = 0. Ввиду симметрии рассматривалась одна четвертая часть пластины с теми же граничными условиями, что и в первом примере. Эта часть пластины разбивалась прямоугольной сеткой на 24 одинаковых элемента и имела 234 степени свободы. Время решения задачи на ЭЦВМ БЭСМ-6составило416с.
Сечение й-е
Сечение Ь-е
-10-0,8-0,6-0,4-0,2 0 0,2 бх
------ребра работают на растятение (сжатие) и изгиб
-----ребра работают только на растяжение (сжатие)
------неподкрепменная пластина
Фиг. 5
На фиг. 5 приведены результаты расчета, показывающие, что из-гибная жесткость ребер оказывает заметное влияние на напряжен-йое состояние пластины вблизи ребер.
ЛИТЕРАТУРА
1. Боли Б., У э й н е р Дж. Теория температурных напряжений. М., „Мир*, 1964.
2. Воеводин В. В. Численные методы алгебры. М., .Наука*,
1966.
3. Ж е ж е р я А. И., 3 а м у л а Г. Н., Молчанов И. Н., Шевалдин В. Н. К определению температурных напряжений в подкрепленных пластинах методом конечных разностей. „Ученые записки ЦАРИ* т. III, № 4, '1972.
4. Fox R<. L.f £ tan ton Е. L., Developments in structural analysis by direct energy minimization*, A1AA Journ, vol. 6 N 6, 1968.
5. Bogner r. K., Fox R. L. and Schmit L. A, A cylindrical shell discrete element, A1AA Journ., vol. 5, N 4, 1967.
Рукопись поступила IjVII 1974 г.
6—Ученые записки ЦАГИ № 6
