CC BY
31
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ То м IV 197 3
М 6
УДК 629.735.33.015.4 -977
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕРМОПОЛЗУЧЕСТИ В НАПРЯЖЕНИЯХ
Г. Н. Замула
Приведены уравнения, определяющие плоское напряженное и плоское деформированное состояние неравномерно нагретого тела в условиях ползучести. Для их решения построены двухслойные разностные схемы с использованием быстросходящихся итерационных методов решения разностных уравнений.
1. Пространственное напряженно-деформированное состояние неравномерно нагретого твердого тела в условиях ползучести описывается системой уравнений, включающей в себя уравнения состояния
соотношения связи между деформациями и перемещениями
с соответствующими начальными и граничными условиями [1]. Здесь еф ог/, ы,, (г, У, А = 1, 2, 3) — составляющие тензоров дефор-
маций и напряжений, векторов перемещений и объемных сил в координатах хг = х (і — 1, 2, 3); і — время; а, р, g{x, Т, а, р)—интенсивность напряжений, параметр и функция упрочнения при ползучести; Т(х, г) — температурное поле; Т0 — начальная температура; в(х, Т), ->(х, Т), а(х, Т) — модуль сдвига, коэффициент Пуассона и коэффициент линейного расширения. Осредненное по толщине на-
(1)
(2)
и уравнения равновесия
(3)
напряженное состояние 1о13 =о23 = о33
пряженно-деформированное состояние тонкой пластины—плоское
= =о| —описывает-
ся соотношениями (1) —(3) при г, /, А=1, 2. В этом случае при отсутствии объемных сил (/^ — = 0) и введении функции напря-
жений ч{х,*£) по формулам [2]
■'и-
22 ■
аз у дх% ’
__ Й2 <р
312 а*, а.*3
уравнения равновесия (3) удовлетворяются тождественно. После подстановки соотношений (1) в уравнение совместности деформаций
03 Е»
дх\ dt
дх\ dt
а* є,.
dxt дх2 dt
= 0
приходим к уравнениям плоского напряженного состояния в напряжениях относительно функций <?(х, t), р(х, t):
аз г і /а2 у дх\ dt [2G (1 + ч) ^ dxj
,*£\1
дх\,
+
а»
[«
і
dxldt [2G (1+v) ^д.2 v ад-2
12 * /і \ - а» г /а»? і ff?\i ,
I ax, dx2 dt 1^20 dXi dx3) ^ [« (^2 2 ^ jj
+
aa
дх I
L V dx\ 2 /J ^ дхъ V 2 б dXi dXi J
= -T
dt
(4)
где у2 — оператор Лапласа и
а =
/д2?\2 /а» у \2 ад у а2? о / \2Ц/2
\a^i / \а^2 j ajcf а*2 I дхх dxt J •
В случае плоского деформированного состояния (а13=а23= ’ dt
&si2
dt
■■ 0, = / == а + » возникающего в удаленной от
торцов средней части длинного цилиндрического тела с осью х3, первые соотношения (1) при г, у= 1, 2 преобразуются к виду
“5Г = 4? \ш ("« - V".»)] + х « {“« - т I’» (■+>) + »>»(1 “ 2>)]} +
+ 5,Д‘ + •) -II* (Т - г.)1 - V/ - «„ ж ,
где теперь k=\, 2.
Далее, аналогично предыдущему, получаем уравнения плоского деформированного состояния в напряжениях относительно функций <?(х, *), р(х, /):
аз
дх2
03 г 1 \20
+ 2
"II + —[Л— v)^ - v Jj дх\dt \2G[ дх\ . ,дх\ _
03
4-
дхг дхг dt ^2G 0ЛГ] дх2
02 ( п [ (і V \02
0^
2 /0*|
02 <р '^1 ^Ц]|+2
+
0J?! 0JC2
: — V2(l + v)-|r[a(7'- Т’оМЧ- v2^ + v2g(4
dt + V
1 -f- V 02 tp dxl 02 ф 0xt dx2
i +
+
3
~ys
я (®33 — 4V1 <f) дч dp 2G (1 + m) dt ' dt
и осевых напряжений o33 (x, t) ;
1 0a33 0
S3
(5>
2G(1 +v) dt
— ^(°зз —
— a
где
33 ~St
1 9
rv2(f 02 <0 02
20 (1
r+V)] +
20 (1+v)
(6>
/02 tp \ /02 (p \2 02 <p
\ 0JtT^ J \ 0JC§ / 0Xj
0*f
02 у
0^1 dx2
’ + °зз (О33—v2 <p)
1/2
При этом функции а(^), Р(^), ■;(?) либо заданы (кинематические граничные условия на торцах), либо определяются из интегральных статических условий для осевых напряжений на торцах
§ Ззз &х — ./V, ^^ о83 Х2 йх == Л^, з33 Л] = Л^2,
где 2 — поперечное сечение тела; N(t), Мг {t), УИ2 (/!) —осевая сила и изгибающие моменты на торцах.
Уравнения плоского деформированного состояния подобны уравнениям плоского напряженного состояния с той лишь разни--цей, что в первом случае плоская задача термоползучести, в отличие от соответствующей задачи термоупругости, должна решаться совместно с задачей определения осевых напряжений а33(х, t). Первые члены в первых соотношениях (4), (5) представляют собой обычные дифференциальные операторы плоской задачи теории упругости в напряжениях (2), продифференцированные по времени. Начальные условия для уравнений (4)—(6) имеют вид
9 (х, 0) = <р0 (х), р(х10) = р0 (х), з33 (х, 0) = Ззз0 (*).
(7)
Граничные условия на контуре односвязной свободной пластины (поперечного сечения тела) в напряжениях приводятся обычт ным способом интегрирования по контуру (2) к виду
0ср
=/2 (Xi t),
где п — направление внешней нормали к контуру. 68
2. Построим разностные схемы для плоской задачи термоползучести, ограничившись рассмотрением прямоугольной области 2 = {0<х1-<а, 0<л:2<&}, хотя результаты применимы для произвольной односвязной области, составленной из прямоугольников. В случае линейно вязко-упругого тела при независимости функции g 01 а, р (g = g(x, Т) — тело Максвелла) уравнения (4) и (5) (последние при v = 0,5) приводятся в 2 к следующему обобщенному, в том числе на анизотропный случай, виду:
Здесь б21 = С12, g•2I=g12 и в изотропном случае для плоского напряженного состояния
Для решения задачи (7)—(9) в 2 на интервале времени введем сетку шЛт = щ X «ч, = {*11 = Н1и х2! =/Л2, I = 0, 1, ... , Л^,
/—О, 1, ... , ЛГ2, /г! = о/М. Л2 = Ь/Ы2}, «)х= = Л-с, 6 = 0, 1, ... , N0,
т = ^0/Л^0}, на которой, используя интегро-интерполяционный метод [3], [5], строим разностную схему. Интегрируя уравнение (9) по прямоугольнику (элементу) х1 ,—0,5/ + 0,5Л1, х2)—0,5/г2< •< х2 х2 ] + 0,5 /г2 на интервале времени для внутрен-
них, отстоящих более чем на шаг от сеточной границы 1Л, узлов сетки получаем в обозначениях, принятых в работе [3], уравнение
где и* = м^(^) — аппроксимирующая <р сеточная функция, О^о^!— параметр и
и 622 20(1 + м) ’ ®12 26(1 -И)’ 2О ’ ^22
ёп — — ёУ2) §з = Зё/2, Т1 = Т2 = а(Т Т0),
для плоского деформированного состояния
£12=-£Ц^, ёв = Ц~, Т\ = 7*2 = (1 + V) а (Г Т 0).
(Ви)к+} — (Ви)к
- + а, {Аи)к+Х + (1-а,) (Л«)А =/* , 6 = 0, 1, ... , N0 — 1, и° = ср0, .
Т
(10)
(и<)
Коэффициенты &вр, Лор и фа (<*, р= 1, 2) в (11) выражаются через значения функций в^\х, Т(х, £)], ё<$[х,Т(х, *)], Та{х,Т(х, £)] на элементе, в частности, по формулам
== [■*, Т(х, ty\, (1а§ — ёа$\х,Т (х, £), фа = Та\х,*Г(х, £)"\,
Коэффициенты Ь3, а3 выражаются через значения функций б3 [л:, Т (л:, *)], g3 [л:, Т (х, <)] на прямоугольнике хг 1 -к,Кхх<хи> х2 ] — Ь2 х2 < х2 ], в частности, по формулам
Ьл-
1
4 {СзК Х2, Т(х^ А1э х2% ^)Л“03 [д?і, х2—Л2, Т (х1, х2—Л2, £)]-|-в3 [Хі /ц, х2 Л2, Т (Ху Л], х2 А2, ^)]-^-бз [дС), .х2, Г(хи х2, £)]},
а3 в . з
*8=4-{°«[-*і_’Аі* -*8» Т(Хг—ки Х2, 01 +
~Ь 03 [Хі, х2 Л2, Т (х^, х2 Л2, £)]}, Й3 =... ,
&з = б3 [л:, - 0,5 А„ х2 — 0,5 Л2, — 0,5 Аи х2 — 0,5 Л2, і)], а3 =. . ..
В первом случае соотношения (11) преобразуются к виду
(12)
Л “ .51 Д°‘! “V-) V.+К0* V,)-+
+ + (а’и'-х^А+ '•
Аи= 2 (І^ари- V + ± 2 [(«.и, ; )- ,
в=1\р=1 Р ?;\Х* 4а,{і=1ІЛ “ ?;ХаХ? +
в+р
+ (г* Ч ++(“’"лКЛ;
?*--г
а=1 « а )
во втором приобретают вид, использованный в работе [4]. Для узлов сетки, отстоящих на один шаг от границы (окс^локонтурный слой), получаемое аналогичным образом с учетом второго граничного условия (8) разностное уравнение сохраняет вид (10), с той
разницей, что в первых членах выражений для Ви, Аи в (11), (12)
разностные производные по нормали к контуру и- на /л нужно
Л Л
/з "Ь их
заменить выражениями 2—г--------- при х1 = 0(п=1), х2 = 0(п = 2)
Пп
/а — и-
• X
—- при л:1=-а(л = 1), х2=‘Ь(п = 2). Легко показать, что это
и 2
эквивалентно обычной записи уравнения (10) на околоконтурном слое с введением и исключением законтурных точек согласно второму граничному условию (8), записываемому в виде ,гд= f2 [4].
С учетом и первого граничного условия (8) и|^=/, уравнение (10) приводится на внутренней сетке о)а = <йл— к виду
[(Д + а, хА) и)**1- [(5 + а, тА) а]* л==,0> ^ ^ м°=ср0} (13)
где В, А и /—преобразованные операторы [квадратные матрицы размером (Л^ — 1^г(Л^2 — I)2] В, А и правая часть [вектор размером (Л^ — 1) (Л/2 — 1)] / уравнения (10). Для полученной таким образом двухслойной разностной схемы (13) справедливы при определенных ограничениях следующие утверждения:
— задача (13) аппроксимирует задачу (7)—(9) со вторым порядком аппроксимации по х и первым по £ при 0,5, вторым по Ь при =0,5;
— матрицы А, В при любом к симметричны, положительно определены и энергетически эквивалентны -(! і? < Л < ?2 ^ с независящими от ки Л2, * постоянными энергетической эквивалентности 72 > Ті > 0; .
— достаточное условие устойчивости и сходимости схемы (13), получаемое из общей теории устойчивости разностных схем [3], имеет вид
О! > 0,5---- . (14)
Таким образом, схема (13) при ах >0,5 абсолютно устойчива, при 0<о, <0,5 безусловно устойчива при достаточно малых
х 5і_г~у > в частности, явная схема (а1 = 0) безусловно устой-
чива при
В изотропном случае при использовании формул (12) и постоян* ных по координате х коэффициентах G, v, g имеем А—‘[В, 71=72=Т> где 7 = 2G (1 -(- v) g для плоского деформированного состояния и
„ 2 — ч
Ь = О Т^~ч £ для пл0СК0г0 напряженного состояния, при переменных по х, t коэффициентах можно брать f2 = sup 3Gg. Решение при
xe^h
любом И систем линейных алгебраических уравнений (13) А' и<*+1)=/г с симметричной и положительно определенной матрицей коэффициентов Л'=£*+1+о, тЛ*+1>0, аналогичных разностным уравнениям плоской задачи теории упругости, может быть получено приближенно с точностью е=0(Л2) одним из быстросходящихся итерационных методов [3], [4]. Например, неявный одношаговый метод переменных направлений для прямоугольной области записывается в виде [4]
в, “п±х__ип +лх==/> л = 0, 1,..., ,
аналогичном (13) при 1^ = 0, где В'—матрица вида В, энергетически эквивалентная А’ и обращаемая приближенно с точностью q методом переменных направлений. Указанный итерационный метод является, по существу, явной двухслойной схемой установления для
задачи линейной вязко-упругости с экономичным оператором упругости (С12 = (?3 = 0), причем и* + 1 = Ити„ получается как прибли-
п-»эо *
женное решение задачи установившейся ползучести.
Перейдем теперь к нелинейной задаче (7)—(9), в которой коэффициенты ga р, g3 зависят, наряду с зависимостью от х, Т, от
/д?Ф д-« д-9 \ „
С = С\^"’ Из?' дх, дх-2) ' Ри использовании описаннои выше процедуры приходим к разностной схеме (13), в которой коэффициенты матрицы А зависят от а, а о вычисляется через значения и на сетке «)й. Например, при использовании соотношений (12) полагаем
/ /а — « '
К. „ ■ * и\ 1,)на “л- а~312 •
и т. д., где учитываем условие и|гл =/1. Переход со слоя на сдой в случае явной схемы (^ =0) осуществляется обычным образом, условие устойчивости, сохраняет вид (15). В случае неявной (^#0) схемы получаемая на каждом шаге система нелинейных алгебраических уравнений может быть решена при помощи итераций, в частности* вида.
их,х*’ на границе хг—а
|в*+1 + ^1Ак+х (к*+1)] и*Х\- [в‘ + сц, хАк[ак)\ и*
+ Ак(ик)ик =/й, 5 = 0, 1,
ио+1<
и
(16)
при решении, на каждой итерации систем линейных алгебраических уравнений обычного вида. Аналогичным образом; строятся разностные схемы для решения общих задач (4)—(8).
3. В качестве примера была рассмотрена задача о температурных напряжениях в прямоугольной изотропной пластине постоянной толщины 8, закрепленной по краям на упругих абсолютно гибких в плоскости пластины ребрах [4], при наличии ползучести материала пластины. Задача описывается уравнениями (4) при начальных условиях (7) и граничных условиях
д2 <р дп2
(17)
где ЕР„(х, *), »ЬТр(х, *), —8
д<Р
дп
■ ТУ- (х, £) — жесткость на растя-
жение-сжатие,. температурное удлинение и усилие в ребрах. Закон ползучести принимался в виде g = g(x, Г, о) = Лг(х, Расчеты
велись по схеме (12), (13),, в которой,/, = 0, а,/2 определяется из проинтегрированного по времени второго гранйчрого условия (17), например при х1 — а: . :
Г 1 , , ч 1А+1 Г 1 ^
[0(1+у)Й1 (/а~и^) \ "[0(1+^ (/»-“*,)
5 \*+1 /_6_ \*
ХЁРР/2) ~\ЕРРП) ,
к
[аД Тр,— а(Т-То))11*1^ [*ЬТр - а (Г
То)Г
Решение систем линейных алгебраических уравнений осуществлялось при помощи итерационного неявного двухшагового метода переменных направлений [4]. На фиг. 1 приведены в безразмерном виде некоторые результаты численного решения задачи о релаксации температурных напряжений в „мгновенно11 равномерно нагретой линейно вязко-упругой ([а = 1) пластине с постоянными величинами (3, V, Ах, Д = а (Т — Т0) — аДТр, защемленной по краям 1 = 0, а(ЕРр\Х1=о, а —оо) и свободной по краям х2=0, Ь (ЕРр\х^о ь=0) при а/Ь= 1, Л^ = ЛГ2 = ./'/= 50, 2 =*= Ю_3, <7 =^0,25. В этом случае А = чВ, т■= ЕАХ = 26 (1 + V)Ах и имеется точное решение дифференциальной и разностной задач :
к ;
<Р = 9о М , ик= и°
1 — (1 — ^х) т
X = .
Результаты расчета с различными /V, т,. а = 0; 0,5; 1 подтвердили второй порядок точности разностной схемы по х и первый
по t при 0^0,5, второй по t при а = 0,5. Преимущества симметричной (о1 = 0,5) схемы в точности и времени решения на ЭЦВМ весьма значительны. Одна и та же величина зависящей от т составляющей погрешности численного решения 6,^4% (2%) по а22. достигается при шаге по времени т=0,04 (0,02) при з1==0 и -т=0,5 (0,35) при о1=0,5 при времени счета в системе АЛГОЛ-БЭСМ-6, равном соответственно 145 (280) и 16 (21) минутам.
На фиг. 2 приведены результаты решения задачи при наличии продольных ребер конечной жесткости ЕРр\Л1=0, а = ЕР — 0,5 £8а и нелинейной ползучести материала (^ = 3). Как видим, в этом случае в процессе ползучести в пластине происходит существенное перераспределение температурных напряжений.
- ЛИТЕРАТУРА
1. Работнов Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций. М., .Наука*, 1966.
2. Коваленко А. Д. Основа термоупругости. Киев, „Наукова думка*, 1970.
3. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. М., .Наука*, 1971.
4. Ж еж еря А. И., За мула Г. Н., Молчанов И. Н., Шевалдин В. Н. К определению температурных напряжений в подкрепленных пластинах методом конечных разностей. .Ученые записки ЦАГИ*, т. III, № 4, 1972.
5. Приказчиков В. Г. Интегро-интерполяционный метод построения разностных уравнений в задаче колебаний пластины. .Ученые записки ЦАГИ*, т. IV, № 4, 1973.
Рукопись поступила ЦХП 1972 г.
