Большие прогибы прямоугольных подкрепленных пластин в условиях нестационарного нагрева Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м X

19 7 9

№ 4

УДК 629.735.33.015.4-97.002.23

БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПОДКРЕПЛЕННЫХ ПЛАСТИН В УСЛОВИЯХ НЕСТАЦИОНАРНОГО НАГРЕВА

С. Н. Иванов

На основе метода конечных разностей решена нелинейная задача, описывающая большие прогибы анизотропных пластин, опертых на ребра при нестационарном неравномерном нагреве. Даны примеры расчета.

Рассмотрим одну из расчетных моделей, описывающую большие прогибы прямоугольной в плане подкрепленной панели, опертой по краям на ребра. Панель представляется как пластинка ширины аъ длины а2 — изотропная, ортотропная или конструктивно-анизотропная. Она греется неравномерно как в срединной плоскости, так и по толщине. Ребра считаются упругими при растяжении или сжатии и могут свободно изгибаться лишь в плоскости пластины. Их температуры являются переменными по длине. Прочностные характеристики материалов пластины и ребер зависят от температур. Решение задачи относительно функции напряжений и, [хи х2) и прогибов и2(хи х2) при заданном температурном поле сводится к интегрированию системы нелинейных уравнений

а + Р

= (О

а, р=1 01

а + Р

с граничными условиями [1]

= + (хя = 0, а.; а, [3 = 1, 2; а ф р), (2)

где

и =

йя =

¡И,

. р=

и.

а/„ — Т]

р ' 13

-7-3.(1-6)

Р (и2, «г)

ур(«1» и2)

7; =

V" -А, / дг ^"г

/»(И,, И2)= 2( V дХ

а, Р = 1 аф

Ти Т2а

2*„/а. - 1/Я/> О О 1

й2 Ы! ды2

^Ср = Л"5.™ , = (х, пг = 1, 2)—матрицы второго порядка, в которых отличными от нулей могут быть лишь элементы на главных диагоналях, представляющие собой жесткости пластины в ее плоскости и изгибные жесткости, причем Кар=ЛГра, Хар = *р«,

бь = 1 0 е = 1 0

0 1 . * о 1-е , с 0 е

6 — параметр, принимающий значение 1, если соответствующий край защемлен, и значение 0, если шарнирно оперт; ЕРр, -—переменные по длине жесткости на растяжение — сжатие и температурная деформация ребра, расположенного на соответствующей условию (2) границе; Ти, 7а, — температурные члены, учитывающие изменение температур в плоскости пластины и по толщине [2]. Заметим, что нелинейные члены р («2, и2), р (иъ и2), записанные в виде (3), имеют дивергентную форму [3].

К решению сформулированной задачи применим метод конечных разностей. Для этого на сетке шй= {х' = (_/'— 1) Л,-; ¿= 1, 2; ) = 0, 1, ..., М1 + 2; Аг = соответствующей области, расши-

ренной во всех направлениях на шаг сетки, уравнения (1), (2) аппроксимируем разностными

л1(У)-ё1(К)=0, (4)

у-о, 6 кКаУХаХа+ЪсСлУк=<19, л:а=0, а.; а, р — 1, (о)

где

Аг{У)= 2 (Л* ^ 2 [Кз^ ],

а, 3=1 о, р=1 г г у

п + Р

2

0(Г)=^Р(У)- 2 <Т,уХаХа,

а, р=1

а^р

У— сеточная функция, соответствующая и, Я, (У), аппроксимирует Р(£/) в точках х/ сетки, причем все производные в (3) вычисляются по значениям функции У в узлах сетки по формулам численного дифференцирования [4], так что порядок аппроксимации во внутренних точках сетки равен трем, в граничных — двум. Задача (4), (5) при достаточной гладкости коэффициентов аппроксимирует дифференциальную задачу (1), (2) с порядком о(А2).

Используя равенства (5), йожно при записи уравнений (4) исключить законтурные точки, после чего решение разностной задачи сводится к решению системы 2(М1—\)(М2—1) нелинейных алгебраических уравнений

А (К)-5(К) = 0.

Более подробно эта система может быть записана в виде А1(у1) — о1 (у2, у2) — О,

А2(у2)-02(уи у2) = 0, ] (6)

где Л,, Л2 — положительно определенные симметричные матрицы.

Для решения системы (6) применим метод последовательных приближений в форме

АЛ = а!(у1~1, УгЛ (7)

А2у\ = ОНу1 У$Л к = 1,2,..., (8)

где у°— некоторое начальное приближение.

При этом на(£-|-1)-й итерации и у2+х определяются решением систем по (уИ, — 1)(Л/2 —1) линейных алгебраических уравнений, что может быть сделано, например, использованием быстро-сходящегося двухступенчатого неявного трехслойного итерационного процесса [5]. Применительно к решению каждой из линейных задач типа (7), (8) этот метод описан в работе [1]. В качестве начальных приближений на нулевой и первой итерациях ук'°, ук> 1 служат значения, полученные по окончании —1)-го шага, последующие приближения вычисляются по формуле

* -- . "-(2^4-1) у^-'Ч-2А

у1 — нгдг«*,- -

т— 1,2,...; / = 1,2,

б.

разностных уравнений

в которой vki т — приближенное решение вспомогательных систем

-А1 уЧ-т, /=1,2.

Каждый из операторов В? строится при решении разностной задачи

Я, VI-т = (г* т)- Л[ + («?■т)- л = О) - Л ^т , /=1,2,

VI

V* = 0, bkK*.V* х + 8fCaV*a=0, (xtt = 0, a«; а = 1,2),

QL 'Ч Л

в результате итерационного процесса переменных направлений, аналогично методу Писмена — Рэкфорда с оптимальным набором параметров по Жордану [6].

Параметры y.¡ в (9) подсчитываются по формулам

д í __\__.._ Та С — 41) + Ti2 (1 + 4i)

' — '--7.-Т~ ' ' 4 '

I7 Til Т/а (1 — 9;)

в которых q¡ величина, принимающая значения в пределах 0<^<1; Та- Т/2 — постоянные энергетической эквивалентности операторов R¡ и Л,.

Окончание итераций (9) осуществляется при достижении зада-ной точности

И4гу?-ш-</?||<г?;

здесь [] || — составная норма [4].

Алгоритм определения прогибов и напряжений в случае нестационарного теплового воздействия строится следующим образом: вводятся промежуточные моменты времени тл (0-<т„ < тшах> я = 0, 1, . . п!), для момента -0 по заданным температурам и же-сткостям решением задачи (1), (2) при У° = 0 определяются прогибы и2 и функция напряжений «,, по ней вычисляются усилия в пластине

1 " дх\ ' " dx¡ ' 12 ~ дх.дх,

и ребрах

Л'ребр = ^ 1 — ^J «ри х» = 0, а*.

Далее расчет повторяется для ti>t0 при соответствующих этому моменту температурах и жесткостях, в качестве начального значения Y принимается значение, найденное на предыдущем этапе и т. д.

Для проверки работы предложенного алгоритма использован метод пробных функций [5], для чего функция напряжений и прогиб задавались в виде

М[ = х, х2 (x¡— 1)(х2—1), и2 = 0,1 sin 2-х, sin 3~х2, (10)

считалось а1 = а2=1, К\\ = 2, /Сп = 5, = К]1 = Ки=:0>

*i2 = *?2 = 1, на всех четырех кромках 6 = 0, EFp=\. Путем подстановки и, и и2 в уравнение (1) и граничные условия (2) находились выражения для соответствующих правых частей

о

- у

— У ,'Р = 8-]-36л4 ( — ¿¿о + 0)01 eos2 2^! cos23~x,),

0.79 = 1 дх*

аф?

2х„

а, р = 1

«■Í-P

Р = 233л4 и2 + 2-2 [2х, (х1 — 1) и, + 9х2 (х2—1) и2 +

+6 (2Х] — 1) (2А'2 — 1) соек*! созЗтсх,],

гЛр— Тп — Ъх2(хо — \) при а:, = 0,1, — Ти — 3х1 (х, — 1) при х2 = 0,1.

В представленной постановке задача описывает большие прогибы квадратной анизотропной пластинки неравномерно нагретой как в своей плоскости, так и по толщине, шарнирно-опертой по кромкам на ребра, неравномерно нагретые по длине. При численном решении по правым частям определялись функции у1 и

у2 при заданном начальном значении К° = 0. Пластинка разбивалась сеткой 40X40 элементов, принималось <? = 0,26, е* = 10_3, г* =

= (ОД)*-1 • Ю-2. Расчеты проводились на ЭВМ БЭСМ-6 с помощью программы, составленной на языке АЛГОЛ. Оказалось, что уже после

двух последовательных приближений (& = 2) разностное решение достаточно близко к точному. В таблице приведены точные значения и и величины V в некоторых точках пластины, полученные после двух итераций, выполненных за 5,15 мин. Погрешность решения во всех точках сетки не превышала 0,7%. Дальнейшие расчеты не привели к существенному уменьшению погрешности.

"1 У\ и2 У-2

х, =0,3 х2 = 0,2 0,033600 0,033565 0,090451 0,091059

хг = 0.9 Хо = 0,2 0,014400 0,014384 —0.055902 -0,056277

X! =0,6 х2 — 0,4 0,057600 0,057553 0,034549 0,034782

х, = 0,2 лг2 = 0,5 0,040000 0,039958 -0,095106 —0,095746

Решена также практическая задача о температурном выпучивании прямоугольной пластины толщины 1,5 мм со сторонами а1 = 0,122 м, д, = 0,675 м шарнирно-опертой по краям на ребра попарно одинаковые на противоположных сторонах, жесткости ребер: ЕРр\Х1=0,а, = 1,09-10е Н, ЕРр\х-0, «. = 8,35-106 Н.

Предполагалось, что пластина греется равномерно в своей плоскости по заданной программе, температура ребер также меняется с течением времени, она определялась как средняя по сечению при расчете температурных полей по методике, изложенной в работе [7]. На рис. 1 показано как меняются со временем величины аЬр— Т13 при л*, = 0, а, и х2 — 0, а2, определяющие в задаче внешнее тепловое воздействие. Изменение механических характеристик материала с температурой не учитывалось.

р Тц

/

7 .а. г р'Тц

1 !

о 200 юо т,с

Рис. 1

Было проведено предварительное исследование устойчивости пластинки с помощью метода и программы, описанных в работе [8]. Расчеты, выполненные в предположениях, сформулированных выше, показали, что потеря устойчивости пластинки на ребрах возникает на 385 с.

г

Хг=0,0675м

о.тчм

0,0615м

Г,С 0,061м 0,2015м

«г. j

О

Рис. 5

Нг

-27ян!м

мм

= 0,061 м

Рис. 4

Рис. 3

При исследовании прогибов пластинки неравномерность температур по толщине учитывалась следующим образом: по максимальному темпу нагрева и теплофизическим характеристикам материала с помощью формул регулярного теплового режима второго рода оценивался перепад температур по толщине и затем параметр Г2а = 0,4Н, который считался не зависящим от координат и времени.

Решение задачи (1), (2) проводилось на сетке 20X60 элементов при <7 = 0,26, sf=£2=10-3. Шаг Д- = тл+1—хп был выбран равным 50 с. Проводилась оценка необходимого числа итераций при решении системы (7), (8). Расчеты велись для & = 3 и 5 при каждом значении времени хп. Оказалось, что при k = 5 уточнения решения практически не происходит, время решения всей задачи на ЭВМ при k — Ъ равно 40 мин.

Прогибы пластины в различные моменты времени для сечения х1—а1/2 приведены на рис. 2. На рис. 3 даны прогибы в сечениях jc2 = 67,5 мм, 135 мм, 202,5 мм в момент х = 500 с, и на рис. 4 показано как они изменяются с течением времени. Обращает на себя внимание резкое возрастание величины и2 вблизи массивных ребер при приближении к критическому состоянию. Решение имеет характер краевого эффекта: пластина становится волнообразной с быстро затухающей амплитудой при удалении от краев х2 = = 0, а2, в центральной части пластинки прогиб меняется слабо. На рис. 5 приведены эпюры усилий на 500 с. Полученные результаты показывают, что в окрестности ребер лг2 = 0, а2 температурные усилия Nt достигают значения —185 кН/м, но с удалением от ребер быстро уменьшаются. Усилия в направлении х2 в сечении х2 — а2\2 практически постоянны по ширине пластинки и равны —24,57 кН/м. Оценка по формулам для бесконечно длинной пластинки, опертой на два ребра [2] дает N2 = —27,7 кН/м.

ЛИТЕРАТУРА

1. Же же р я А. И., За мула Г. Н., Молчанов И. Н., Шевалдин В. Н. К определению температурных напряжений в подкрепленных пластинах методом конечных разностей. „Ученые записки ЦАГИ", т. 3, № 4, 1972.

2. Огибалов П. М., Грибанов В. Ф. Термоустойчивость пластин и оболочек. М., Изд. МГУ, 1968.

3. Дьяконов Е. Г. Вопросы численного решения некоторых нелинейных задач теории упругости и пластичности. Труды второй Всесоюзной конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности. Новосибирск, 1971.

4. Бе резин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений, т. 1. М., „Наука", 1966.

5. Самарский А. А. Теория разностных схем. М., „Наука",

1977.

6. Жежеря А. И. Неявные методы переменных направлений для решения самосопряженных эллиптических уравнений четвертого порядка. Труды второй Всесоюзной конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности. Новосибирск, 1971.

7. Иванов С. Н. Экономичный численный метод расчета температурных полей в тонкостенных цилиндрических конструкциях. ИФЖ, т. XXVIII, № 1, 1975.

8. За мул а Г. Н., Иванов С. Н. Применение метода конечных разностей в задачах устойчивости нестационарно нагреваемых подкрепленных пластин.

Рукопись поступила 2о\1 1978 г.