CC BY
51
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Том VIII
197 7
№ 5
УДК 629.735.33.015.4-977
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ НЕСТАЦИОНАРНО НАГРЕВАЕМЫХ ПОДКРЕПЛЕННЫХ ПЛАСТИН
Г. Н. Замула, С. Н. Иванов
Изложен метод решения задач устойчивости подкрепленных пластин при нестационарном неравномерном нагреве, основанный на использовании экономичных неявных итерационных схем. Даны примеры расчета.
1. Рассмотрим вначале задачу устойчивости закрепленной по краям неравномерно нагретой прямоугольной пластины под действием поперечной нагрузки <3(хи х2), сжимающих усилий №1(хи х2), Щ(хи х.г) и сдвигающих усилий А'п(хи х2) в ее плоскости. Запишем дифференциальное уравнение изгиба с переменными коэффициентами
й? + /.]21^ = /^ (1) и граничные условия на краях а1 (/=1, 2)} пластины,
= — ф(*1, х2), (2)
— о
Г, и ’ дп*
где
/ \YZ-JLk Л1Ж I , о д2 51 д2Г ■
11 дх* 2 дх^ дх^ дх\ (->х\ дх2 2 дх] дх2
, (Р ? д* \У
дх\ 11 дх2х дх% 1 дх\ ’
г IV/ д I \г * г <ЭГ\ , д /., д¥ д\Р\
¿12 ^ — дх1 дХх + ^2 дх^ I + дх2 ^12 дх1 + Д^2 дх2 | .
1 дх1 дх\
— №(х1} х2)—прогиб, « — направление нормали к границе Г = = 1\ -|-Г2; Ть Г2—температурные члены, равные нулю при по-
стоянной по толщине пластины температуре [1].
Построим разностный аналог задачи (1), (2). Для этого на
сетке {х{ = и~ 1)А,; ¿=1, 2; У = 0,1, М, + 2, к, = а1/М1}у
соответствующей области, расширенной по сравнению с пластиной
на шаг во всех направлениях, уравнениям (1) и (2) поставим в соответствие разностные уравнения:
А,и=/(3> £/|Т1+Т1 = 0, ихп\г~0, и-ХпХп\ъ=-*?. (4>
Здесь ¿/ — сеточная функция, соответствующая и 12 — сово-
купность точек сетки, принадлежащих границам Г]; Г2;
+ ^12;
V, У;, „ + (8, £/;, + (-£ О;, „ . +
+ ~г ^''1 ■’> + '
\ / Х1 х%
я,г и - 4 <"■ У;Л, + т- <*■ иА +
+ № V-, ^ + 4 (ЛГ, и- >,. + 4- (ЛГ, £/„)!,;
Л = — (лг,— (Т*Ъ, х, + *з (в формулах использованы обозначения, принятые в [2]).
Задача (3), (4) аппроксимирует дифференциальную задачу (1),, (2) и решение разностной задачи сходится к решению дифференциальной [3]. Используя равенства (4), можно при записи уравнений (3) исключить законтурные точки. В результате решение разностной задачи (3), (4) сводится к решению системы (М1—1 )(М2—1) линейных алгебраических уравнений
Аг и = Апи А и ^ (5)
При этом симметричный разностный оператор Аг, построенный как указано выше, обладает свойством положительной определенности, если исходный дифференциальный оператор положительно определен [2].
Применим для решения системы уравнений (5) быстросходя-щийся двухступенчатый неявный двухшаговый итерационный процесс, который можно записать в виде [2|
В [Щ + X {Щ иъ] + л, и =/„ (6>
где В— положительно определенный самосопряженный оператор* энергетически эквивалентный оператору А1
At, х — параметры итерационного процесса, связанные с постоянными энергетической эквивалентности следующими зависимостями
„ _ ?1 + ________1
4 ’ '
После задания некоторых начальных приближений на нулевой и первой итерациях м(0) и к(1) последующие приближения вычисляются по формуле
=4А^«)-(2ЛЬ- !)»<»-> + Ш»'« (А=1>2, 3> (7)
в которой — приближенное решение вспомогательной системы разностных уравнений
Я* = ^ X, Ж, Ж, + 'и^х^Ж1=/-А1 им, (8)
получаемое итерационным методом, аналогичным методу Писмана— Рэкфорда с оптимальным набором параметров по Жордану [4]. При этом практически строится оператор В, постоянные энергетической эквивалентности р2 которого с Ах вычисляются через соответствующие величины для /?, Ах и характеристику точности решения задачи (8) [2].
Сходимость итерационного процесса к решению уравнения (5) означает, что можно указать такое к0, что при всех
Ци<*>-и ||<е. (9)
где г-—заданная точность, ||н(А)|| — составная норма [2].
Можно заметить, что уравнение (6), в которое введены инерционные члены и члены с линейным затуханием, описывает процесс изгибных колебаний пластины, протекающий во времени I. Начальные данные и(0), и(1) задают отклоненное от положения равновесия состояние. Если итерации сходятся, т. е. выполняется условие (9), невозмущенное состояние равновесия является асимптотически устойчивым по Ляпунову [5]. Амплитуда колебаний убывает в геометрической прогрессии. Условие (9) или более удобное условие для практической проверки
при достаточно большом числе шагов будет выполнено, если знаменатель прогрессии <7<1,
.. Щ, гу(й+1)-/, ||
Я —■ ПпгЦт-^-тдг-т-11 .
7 *->00 [Ц, £/(й)—/Л
Поэтому для суждения о сходимости процесса, а, следовательно, об устойчивости пластины нет необходимости находить решение, достаточно сделать несколько итераций, чтобы с заданной точностью е2 определить величину ц. При 1 процесс, очевидно, расходится, величина соответствует критическому состоянию
пластины. При этом оптимальность параметров М, х не обязательна, важно только выполнение достаточного условия устойчивости разностной схемы ъВ^-^-А^ что может быть обеспечено на
достаточно мелкой сетке приближенной оценкой р, и (32, как постоянных энергетической эквивалентности операторов В и Ап. Роль оператора В здесь в ускорении процесса определения
2. При нестационарном нагревании пластины, закрепленной на деформируемых ребрах, возникающие температурные перепады в плоскости пластины между пластиной и ребрами с течением времени меняются. Они зависят от размеров и теплофизических характеристик пластины и ребер, от условий нагрева. Кроме того, с изменением температур меняются механические свойства материалов. Все эти факторы влияют на жесткости пластины как в ее плоскости, так и изгибные, на температурные напряжения, возникающие в плоскости пластины, которые в момент времени т = т*, {х0 1* <; ттах) могут вызвать ее потерю устойчивости.
Рассмотрим прямоугольную ортотропную пластину, закрепленную по краям на упругих абсолютно гибких в плоскости пластины ребрах. Для определения значения т* введем промежуточные моменты времени хр (т0 < хр < тшах, /7 = 1, 2, . . . , А/’). Чтобы ответить на вопрос устойчиво ли состояние пластины в момент ту., следует предварительно определить напряжения в ней путем решения уравнения
¿и ? = А7, (Ю)
относительно функции напряжений <р, связанной с усилиями в плас тине по формулам
д2? л/ д2(Р
дх\ ’
<ЬС]
(11)
удовлетворяющей граничным условиям [6]:
? и..=0, а, = о.
8 д2 <р 1 г) 9
) дх2 дх 1
д*<? 1 <Э<р \
ЁРР1 дх 1 J
а^рг ' 7";|.гг=0, = а£рг — Гу | *.=й;,
где 7=2 при / = 1, у = 1 при г = 2, =
<Э2 7-,
(12)
7,, П-
температурные расширения пластины; £7^,-, /^р;, о^рг, а/рг — жесткости на растяжение—сжатие и температурные удлинения ребер, оператор 1п получается из Ьп заменой коэффициентов на 8^ 8"2, 8ц., §12, являющихся упруго-геометрическими характеристиками задачи о плоском напряженном состоянии пластины.
Решение уравнений (10), (12) может быть найдено численным методом, изложенным в начале п. 1, подробное описание его применительно к этой задаче дано в работе [6].
Алгоритм нахождения т* строится следующим образом: для момента времени т0 по заданным температурам и жесткостям решением задачи (10) —(12) определяются усилия А^, Л^, Л^2, далее, согласно описанному в п. 1 алгоритму, устанавливается, устойчиво ли состояние равновесия, затем расчет повторяется для момента т, и т. д. Если в некоторый момент х ! обнаруживается неустойчивость, методом половинного деления может быть уточнена величина т*£[тр1_ь тр1]. В отличие от метода, опубликованного в статье [7], такой подход дает возможность решения задачи при зависимости усилий и жесткостей от обеих координат хи х2 пластины.
3. Рассмотрим некоторые методические примеры. Определим критические усилия для шарнирно опертой квадратной пластины со стороной а= 1, равномерно сжатой в одном направлении (М2 =
= Л^12 = 0). Пусть 8, = 82 = 8(1-|-4р= 1, причем и(°> = и(1) = 0. Точное
решение задачи составляет Л/1 = 4тг2 = 39,478417 [8]. Решение на сетке 20X20 оказалось равным 39,409822, при этом определенная после семи итераций (А, = 7) величина <7=1,000000. На сетке 40X40 получено решение 39,4832, этой величине соответствует <7=1,000176, ¿! = 8. .
На фиг. 1 показано, как меняется параметр <7 от итерации к итерации при нескольких значениях усилия А^,. Зависимость величины <7 от Л/х для этого примера дана на фиг. 2.
Описанным методом решена задача устойчивости той же пластины, подвергнутой действию касательных сил, равномерно распределенных по краям. Приближенное решение, полученное Зей-делем, Л^12 = 92,182105.
Решение задачи на сетке 20 X20 составляет 93,618987, причем <7=1,000000 после десяти итераций. В случае разбиения пластины
сеткой 40X40 элементов получена величина №п = 93,3346 при 4= 1,000001,^ = 11.
Был рассмотрен также реальный случай нагревания изотропной пластины, шарнирно опертой по кромкам *, = 0, 0,15 м,
а2 = 0,13 м) на ребра, одинаковые на противоположных сторонах и имеющие жесткости на растяжение—сжатие ЕГР х = 1,3-Ю-5 кГ, ЕРр2 = 10—& кГ. Нагрев происходит таким образом, что температура пластины меняется со временем по закону, показанному на фиг. 3 сплошной линией. Вследствие теплопроводности материалов происходит прогревание ребер. На фиг. 3 пунктиром показана разность температурных расширений пластины и ребер в течение времени теплового воздействия. Эти величины подсчитывались по методике, изложенной в работе [9]. Считается, что характеристики пластины 81=0,5-10-7 м/кг, 81 = 1 кгм, а=10-5 1/град, V = 0,3 не меняются с течением времени и она прогревается равномерно.
Решение приведенным в данной работе методом проводилось на сетке 20 X 20 элементов при т0 = 0, тшах = 1850 с, хр = /?Дт,
Дт = 50 с, є2 = 10~3 и заняло на ЭЦВМ БЭСМ-6 20 мин. На фиг. 4 приведен график изменения параметра д.
Фиг. 1
и.гр-т Л\
Г-сгГА4 *■ Ьрг ‘1 ^ /А \ к // \\У/ /а4 / / \ V / / \ / / \ / ■ ч>*
100
500
1000 Фиг. 3
1500
Г, с
Фиг. 4
Видно, что выпучивание пластины (?>1) вследствие возникающих температурных напряжений может наблюдаться в промежутке времени 1110—1200 с и 1500 — 1830 с.
ЛИТЕРАТУРА
1. Огибалов П. М., Грибанов В. Ф. Термоустойчивость
пластин и оболочек. М.; Изд. МГУ, 1968.
2. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. М., „Наука“, 1971.
3. Молчанов И. Н. О численных методах решения самосопря-
женных эллиптических дифференциальных уравнений четвертого порядка с переменными коэффициентами. В сб. „Численный анализ“, вып. 1, Киев, Изд. АН УССР, 1970.
4. Ж еже р я А. И. Неявные методы переменных направлений
для решения самосопряженных эллиптических уравнений четвертого порядка. Труды Второй всесоюзной конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности. Новосибирск, 1971.
5. Л я п у н о в А. М. Общая задача об устойчивости движения. М., Гостехиздат, 1950.
6. Жежеря А. И., 3 а м у л а Г. Н., Молчанов И. Н., Ш е-валдин В. Н. К определению температурных напряжений в подкрепленных пластинах методом конечных разностей. „Ученые за-лиски ЦАГИ“, т. III, № 4, 1972.
7. Замула Г. Н. Термоустойчивость пластинчатых систем. „Ученые записки ЦАГИ", т. V, К З, 1974.
8. Тимошенко С. П. Устойчивость упругих систем. М., ГИТТЛ, 1955.
9. Иванов С. Н. Экономичный численный метод расчета температурных полей в тонкостенных цилиндрических конструкциях. ИФЖ, т. XXVIII, № 1, 1975.
Рукопись поступила 241X11 1976 г.
