К определению температурных напряжений в подкрепленных пластинах методом конечных разностей Текст научной статьи по специальности «Математика»

________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И

Т о м III 197 2

М 4

УДК 629.735.33.015.4-977

К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ТЕМПЕРАТУРНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В ПОДКРЕПЛЕННЫХ ПЛАСТИНАХ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ

А. И. Жежеря, Г. Н. Замула, И. Н. Молчанов, В. Н. Шевалдин

Задача расчета термоупругих напряжений в изотропных, орто-тропных и конструктивно-анизотропных прямоугольных пластинах, закрепленных по краям на гибких в плоскости пластины ребрах, описывается линейным дифференциальным уравнением с переменными коэффициентами четвертого порядка при заданных значениях неизвестной функции и линейных комбинаций ее первой и второй нормальной производной на контуре. К решению задачи применен метод конечных разностей с использованием построенных явных и неявных экономичных итерационных схем. Для случая постоянных коэффициентов уравнений даны примеры расчета, оценка точности различных схем и времени решения на ЭЦВМ.

Рассмотрим температурные напряжения в плоскости изотропной, ортотропной или конструктивно-анизотропной неравномерно нагретой прямоугольной пластины, закрепленной по краям на упругих абсолютно гибких в плоскости пластины ребрах. Соотношения упругости, уравнения равновесия и соотношения связи между деформациями и перемещениями пластины с учетом зависимости механических свойств от температуры принимаем в виде

еАГ= + А/у + Тх, 8у = ^ + УУу 4- Ту, Тлгу — ^ху Мху\ (1)

дЫ. дЫхч дЫ„ дДГ

~Ж' + ~ду~ ==0, -фГ + -£Г==0: (2>

_ди _ дУ _дУ ди

** дх ' ** ~ ду ’ 1ху ~ ~дх + ду ' ( '

где х, у — координаты, и, V — перемещения, &х, еу) уху — деформации в плоскости приведения пластины; Л^, А^у, Ыху— усилия; К(Х’У)> 8у(Х>У)> .*Ху(х>У)> Тх(х,У), Ту(х,у) — переменные

100

погонные жесткостные характеристики и температурные расширения пластины. После введения функции усилий ср {х,у) по формулам

N = *1. N =-**-

ду2 * у дх2 ’ дхду’

(4)

уравнения (1)—(3) преобразуются к дифференциальному уравнению четвертого порядка с переменными коэффициентами:

д2 д2 у

дх2 ”у дх2 "г дх2 ду2 ^ дхду 2 дхду ду2 дх2 ^

д2 д2<р д2 д2 <р д2

і 8., ■ -V о- + ^2 '3^2 "Ь 2 -

ьяу д2<

д2 д2 ср с[у2 ^ ду2

д2 Т„ д2 Тг

дх2

ду2

(5)

Граничные условия для уравнения (5) на краях л;=0, а; _у=0, Ь пластины получаются из условий совместности деформаций пластины и ребер и уравнений равновесия ребер

д2 ср

ду2

х=0, а

д2 ср дх2

ь4!і + 8..-їі+Г,

ду2

д^ ср ■» *-дхду ^ ^ + ' д3у>

*=о &у

; д2? _і_ 71 у <?я2 ^

дхду

д2ср

дхду 8 <***

*=а Лу д2 «р

дх2

г,

у —0

д2 ср

дх1

д2 ср

дхду

у = Ь

дх

У-о. ь

х = 0

= 0,

Ж

ЕР і

•0^1 ,

і [>>=о, * — 0;

л/2

ЕР,

ТГ7

Л/г Iу=о, * =0,

У = 0 Л^з | х=0, а

ЕРо

+ Т3

<*ЛЛ -Г,

у=* £/%

4 I *=о, а

+ а*3, = 0;

+ а^4 > = 0,

(6)

где Л^(.у), Л^ОО, Мз(х), Л^4(х) — продольные усилия в ребрах; ЕР1{у), ЕР2(у), ЕР3(х), Ер±(х), а^(у), а(2(у), а(3(х), а^4(^—переменные жесткости на растяжение—сжатие и температурные удлинения ребер.

Решение задачи (5), (6) не единственно относительно функции усилий ср, но имеет единственным образом определяемые вторые производные—усилия (4) и деформации (1). Одним из решений

уравнений (5), (6) является однозначно определяемая функция: 9(х,У), удовлетворяющая уравнению (5) е граничными условиями

9 | * = 0, 0=9 |у = 0, Ь „ д'1 ср 1 <?9

~дх‘' ~ ~дх

ч (?2 ср . 1 дер

у д*2 . д29

ду2 д2 у

' ду2

ЕР2 дх

1 <?9

■Щ“ду

1 <?9

* II о II Я — Т У о 11 Н

— х—а — Т 1 У х — а

со II о II >> — Т 1 X II .. о

II о II 4* — т 1 X у=Ь

£Р4 ду

причем усилия в ребрах выражаются формулами

(?9

(7)

1 дх

N.

х=0

дх

* ду

дев

>- = 0

(8)

Математически задача (5), (7) описывает также задачу об изгибе и изгибных температурных напряжениях в неравномерно нагретой прямоугольной пластине [1] с соответствующим (7) упругим закреплением и нагружением краев. В частных случаях защемления кромок (ЕРк = оо, &=1, 2, 3, 4) либо свободных кромок (ЕРЬ = 0) граничные условия (7) соответствуют заданию функции 9 и соответственно второй и первой нормальной производной от 9 на контуре пластины и аналогичны условиям шарнирного опира-ния или заделки в задаче изгиба.

Для случая изотропной пластины постоянной толщины при постоянных механических свойствах в соотношениях (1)—(7) нужно* положить

х * _ 1 » _ * 5! 2(1 + V)

**- У — ~ЁА> х’у~ Ек

и задача (5), (7) приводится к виду

V* У,<р = -£АУ,«*;

| у=о, ь = 0;

= ЕН{рЛ1

Ту = о.і,

д29

' д2 9'

дх2

[ду* д2 9 ду2

+

+

?1 *=0, а

Ек д<? \

ЕЕ дх )

Ек д?

ЕР2 дх

Ек ду \

ЕР ду)

Ек д? \

ЕР4 ду)

*=о,

лг = 0

= Ек (а.і2

а*)|

" | х=а\

х-0

у= О

= Ек (а/3 — а£) \у=о,

і

= Ек (а/4— 0.І) \у-ь.,

у = ь

(9>

где V2 — оператор Лапласа; Ег V— модуль упругости и коэффициент Пуассона материала пластины; Л— толщина; аЬ(х,у)— среднее по толщине температурное расширение пластины.

К решению задачи (5), (7) применим метод конечных разностей, для чего введем сетку *= [х1 — (I — 1) А], У] = (/--1)А2,

1 = 0, 1, ..., (Л^! 4-2), 7 = 0, 1, ..., (Л^2 + 2), Лч = а/А^1, Л2 = &/М,}, соответствующую области, расширенной по сравнению с пластиной на шаг сетки во всех направлениях. На внутренней сетке

°>а = {•*<■ = (* - 1) Л1 - З'у = (/ — 1)К 1 = 2,..., М1; у=2,..., N2,

, , Л, = а (12=~Ь[Щ поставим в соответствие уравнению (5) разностное уравнение

•*:У

ху

:: ; + (V ^хх)уу + «у у)уу = /,

а краевым условиям (7) — разностные условия ’ м/, у | /-1, л^1+1 = Мг, /1у—1, лм-г = 0

(10)

(И)

при /= 1, 2,...,(уУ2 + 1),4= 1, 2,...,(УУ1 + 1);

: . 'Гу1, у I ; = 1;

' 1

V 3 ихх “Ь их |

1

г= 1

■----<Х^2 / ^уг. / | г=ЛГ, + 1,

<=N,+1

Хх1'1иуу~~Ш\1а})

ьхии-у +

/=1

---а$9 I Т х1, У I ]' = 1 >

®*4 / — Т’д:/, У | У = ЛЛа+1

(12)

У=Л/,+1

при /==2,...,ЛГ2, г = 2,...,Л/,, где ы — соответствующая 9 сеточная функция, .

и^щ,1 = и(х^у)у, /=/и = -^(Ту)-х-(Тх)-у-Тх!, } — ТХ(х1, у})\ Туц ~ Ту (Х(, _у;); ЬУ(% I = (ДС|, у^\

У — V (•*•<» У;)’ 8*уЛ:У — ^ху (ХР У])'* ^Х1, ) ~ {*1, У)У,

ЕРкГ-=ЕР*(У])’ лЬ; = а*к(У^ Ь = \, 2;

ЕР П1 ~ ЕР к (•*/)’> °^ы ~ а^к (•*;)> к = Ъ, 4;

иг+1. / Щ;-1 ___ Щ, у Ыг_], у

»*=»АУ“------------~ ’ и*-и*.и-- А- -

1

«у = I =

/+1 — у

< К

Й-“Я; =

■ир--2 (я, + «з;).

С учетом (11) условия (12) можно записать в виде

ЬУ 2/*! Я/7, оЛц—Туу,]

Ио, / == Мг, у —5--------- ---------Ь

V , 1

1

2Ла Я/7) 2кг ВР1

К 1

2Л-1 з а/2 у 7>1+1,у

и Л'!+2,/ = ИЛ'1, / ---5---------------------—-(-

^+_1_

И\ ' 2й2^3 а^з / — ТХ1' I

л! 1 2Л3^з 1г1+2кьЕР3 _К, ________1_

„ „ 2А2^4 г а/4,^7’лл,<+1

***» #а+2 — #£, Л^а ^

В, 1 1 8„ . 1

г.2 ~Г

(13)

Равенства (13) дают возможность при записи уравнений (10) в точках сетки а>к, ближайших к контуру пластины (околоконтур-ный слой), исключить законтурные точки, после чего разностная задача (10)—(12) представляет собой систему (Л^ — 1)(№2 — 1) линейных алгебраических уравнений Ли=/, где А, /—матрица и правые части системы разностных уравнений (10), записанных с учетом (11), (13). Задача (10)—(12) при достаточной гладкости

коэффициентов 8*> 81*> 8Л-У> 8у> ЕР {к — \, 2, 3, 4) и решения ср аппроксимируют дифференциальную задачу (5), (7) с порядком О (Л2), и решение разностной задачи сходится к решению дифференциальной задачи [3]. Матрица А симметрична, положительно определена и ее собственные значения Хг[г=1, 2,...,{Ы1 — 1)(Л/2 —1)] ограничены сверху и снизу 8<ХГ < Д.

К решению разностной задачи далее применяем явные и неявные итерационные схемы [2]. В явном двухшаговом методе после задания произвольных начальных приближений на нулевой и первой итерациях «(0), и(1) последующие приближения вычисляются по формуле

„»И)= + (*=1,2, 3,...),' (14)

в которой ■ге>(*)=/—Ли(А) — невязка и параметры -с, х подсчиты-

1 8 -)- Д

ваются по формулам х = —=:, х = —^— .

Этот итерационный процесс сходится к решению задачи (10) — (12) со скоростью геометрической прогрессии, знаменатель которой р = (УД — /8)/(УД + |/8), и требует асимптотически при /ц = Л2 — = к -* 0 О (1/А2) итераций [2], [3]. В двухступенчатом неявном двухшаговом методе переменных направлений вычисление и(А+1) производится по формуле (14), в которой под нужно понимать приближенное решение вспомогательной системы разностных уравнений

#да = (#! + &2) да = т-ххх + т-ууЪ =/- Ла(*\

^•//=1.^+1= ^'.///=1.^+1 =0;

(15)

щ) |(=1 = 0; (даь + да» ) | ,_л,1+1 = 0;

(^_у _ ^ } |у=1 = о , (да-у + да. ) = 0;

а параметры т, х подсчитываются по формулам

__________1 Ж(1 -д) + Н(1+д)

УМНП—д2) ' 4 ’

где М, Н—постоянные энергетической эквивалентности Л и Я [2], [4]. Параметр д задается произвольно либо выбирается из условия минимума числа арифметических операций [4] в пределах 0<<?*<1.

Отличие неявного одношагового метода переменных направлений от двухшагового состоит в том, что после задания начального приближнния ф) вместо формулы (14) используется формула

и(*+1) = и(*) + тда(*) {к= 1, 2, 3,...), (16)

где т — итерационный параметр;

2

М(1-д) + Н(\+д) '

Для решения вспомогательной задачи (15) используется экономичный итерационный процесс переменных направлений, аналогичный методу Писмена—Рэкфорда с оптимальным набором параметров по Жордану [2], [4], при начальном приближении да^^О. Для этого на строках у = 2, 3,..., Ы2 одним из прямых методов, например методом квадратного корня [5], решаем уравнения

да( 2)_да(«) (л+т)

----------—---------1- . /

0,5х^>

(»Т)

= 0-

(=1,^+1 \ .

(”+ т) ("+т))

XX X I

<•= 1

=0;

(17)

да

п+

4)-4'+4))

1=ъ+1

= о,

затем на столбцах 1 = 2, 3,..., М, решаем уравнения

0,5тг ' ■уу-уу *-сдг*

</1)1/=1.Лт.+1 = 0, (<+1)-<+1)У|/ = 1=0,

(ЧГ-Ч"+Чи,и=о.

Здесь п = 1, 2, ..., — количество внутренних итераций, пред— 14 4

ставляющее собой ближайшее к t = —Ип—1п-гт целое число,

у К

х1л) = 2 (/' + й<в„) / (А' + и>„), 4П) = 2 (/' - £«>„)/(А' — (Вл) — ускоряющие сходимость процесса итерационные параметры;

ь/ _ А.'(81-81.+ 2яМ1) 2 + г(Д! —Д2)

81-И2 ; 5 7 Д1 + Д2 ’

Й'(Д, + Д2) — (»! -к 8а) г=2 (», + «,)(*■'- 4.) + *'(А, + 4,)(»,-*Л <еСЛ" 4|_1г' ' 2’ е=°>:

*•. —_________1 ; . „ - 2 ■ (Д> - ^ « ■

1 т + Ут (т + 2) ’ (81 + 8г) (Д1 + дь) ’

2(д')«р[1 + (?'ы. _ т2 г!, _(*т

' (1+2?')[1+(?')*] ’ 4 16

; Е= (* = *', 1....*72};

8Ь 8а, Дх, Д2 — нижние и верхние границы собственных значений матриц /?!, /?2. получаемых подобно матрице А из /?,, /?2 при краевых условиях (17) и (18). Неявные методы переменных направлений сходятся со скоростью геометрической прогрессии, знаменатель которой р = []/7/(1 + д) — “|/^Л<Г(1—д))\[/Н{\^-д)-\-УМ (\— д)\ в случае двухшагового метода и р = [Н(\ + <7)—М(1—д)]![Н(\ -+-^) + + М(\ — д)\ в случае одношагового метода, и требуют асимптотически О (1п 1/А) итераций [2], [4].

Для случая постоянных коэффициентов 8Л) 8^, 8^.у, 8у, ЕРк (&=1, 2, 3, 4) вычислительные схемы рассмотренных методов были реализованы в виде программ для ЭЦВМ. Выход из итераций (14),

(16) осуществлялся по выполнению условия тах|/—Ли(*> | О, начальные приближения для и принимались равными нулю, параметры М, Н, 8, Д, 8Ь 82, Д], Д2 подсчитывались по формулам

М — т!п {8 8^.}, Н^=. шах {8у,-8,} + 8,

ху

и- I

165у

Н\

■ з!п4

16 (28, + 8„) _

2Ы,} 1 Н\к\

+ -^81П^

Аа

2ДГ,

эпг

\2Ыг

2М2) +

п\

16 соэ4

2М,

+

16(28,4-8^) ------------- сое2

Н\к\

1 +

28у ЕРи, К

2Л^1

2М

+

+

+ — л|

16 СОЗ4

2А5

■16

-ггвт4

П\

н\

2Ыг

16 соэ4

-1- ■

2ог ЕР3,4 Л,

8, *= вШ4

ТТ

2Л^

АЗ

+

2М

1 + -

Д2----------Г4

16 сое4

2М

+

1 +

А?

£У71,2 = тт {^Т^,, ЕР2}\ ЕР3'4 = тт{ЕР3, ЕР^.

Последние получены в результате применения основной теоремы работы [6] к матрицам А, /?ь /?2, представленным в виде сумм соответствующих матриц при защемленных кромках пластины (ЕРь — оо, &=1, 2, 3, 4) и диагональных матриц, оценки собствен* ных значений которых известны [3].

На фиг. 1 и 2 приведены результаты численного решения задачи (9) для пластины с двумя одинаковыми продольными ребрами (ЕР1~ЕР2 = ЕР) и свободными поперечными кромками

(.ЕРа = ЕР, = 0) при а/Ь =1,7) = ^ = 2, = Ы2 = N=50, е=10-4,

<7 = 0,4. Данные фиг. 1 соответствует пластине, неравномерно на-

Х> X

гретой по закону оЛ = 8ДаГ [

при отсутствии перепадов

между краями пластины и ребрами (а^ — а<? | *=0 = а*2 — а£| .*•=<* = 0), фиг. 2—равномерно нагретой пластине, имеющей перепад Да£ между краями и ребрами (а^— аг?|лг=0 = а£2 — а£ |ЛГ=а = Да£). Там же пунктирными кривыми нанесены результаты численного решения этих задач при других граничных условиях на поперечных кромках, соответствующих

ЕР% = ЕР 4 = оо, а(г1 у=о = Д*4 — а* | у_г, =0,

(19)

при которых, следуя [1], можно получить аналитическое решение в виде

(,*У

<р

Ека?

= Д <хТ

За4

2 а4

5&4

96а4

где

*Ь11Г—12

8«П

У

16аДаТ

Ь?я

<4+т<

сЬ

В„ =

ьк

ь&

сЬЬ +А

2 4

1

сЬ

тга

~~Ь~

Как видим, замена граничных условий на свободных кромках пластины условиями вида (19) не допустима. Различие численного и аналитического (при сохранении 11 членов ряда) решения составляет по напряжениям не более 1,2% для первой задачи и достигает 10,4% вблизи углов пластины для второй задачи, что объяс-

няется наличием во втором случае особенностей в углах. Полученная при варьировании шага сетки оценка относительной погрешности численного решения по принципу Рунге дала соответственно 1,1 и 1,1% по функции усилий и 1,2 и 3,7% по напряжениям, при этом экспериментально установлено, что порядок сходимости применяемой разностной схемы равен двум.

Сравнительная характеристика рассмотренных итерационных методов при решении второй задачи в системе АЛГОЛ—БЭСМ-6 приведена в таблице. Наиболее экономичным методом является

Метод Объем памяти ЭЦВМ Число итераций на машине Время счета [сек]

Явный двухшаговый метод 2 т 1357 6150

Неявный двухшаговый метод переменных направлений 4 № 68 311

Неявный одношаговый метод переменных направлений зт 96 428

неявный двухшаговый метод переменных направлений. Было проведено экспериментальное исследование времени решения этим методом в зависимости от величины параметра <7. На фиг. 3 кружками показано время счета, крестиками — общее число внутренних итераций при решении первой задачи. Оптимальная, обеспечивающая минимум машинного времени величина равна примерно 0,225 и соответствует четырем внутренним итерациям на одну внешнюю ? = 4. Эти результаты хорошо согласуются с расчетом по формуле, оценивающей снизу число внутренних итераций, необходимых для уменьшения начальной погрешности 1/е раз

п = Г

1п —

е

1п ——

Р =

-У%У\

— я

+ я -я + я

(20)

в которой V подсчитывалось точно (сплошные кривые фиг. 3) и

- 1 4 4

приближенно £'^£=^2‘1п — 1п—(пунктирная кривая).

Таким образом, неявные экономичные итерационные схемы весьма эффективны и по сравнению с явными приводят к значительному уменьшению времени счета при некотором увеличении объема памяти ЭЦВМ.

1. Ог и балов П. В., Грибанов В. Ф., Термоустойчивость пластин и оболочек. М., Изд. МГУ, 1968.

2. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. М., .Наука”, 1971.

3. Молчанов И. Н. О численных методах решения самосопряженных эллиптических дифференциальных уравнений четвертого порядка с переменными коэффициентами. В сб. .Численный анализ*, вып. 1. Киев, Изд, АН УССР, 1970,

4. Молчанов И. Н., Жежеря А. Й. Об одном зкономичноім методе для численного решения эллиптического дифференциального уравнения в частных производных четвертого порядка. В сб. „Численный анализ", вып. I. Киев, Изд. АН УССР, 1971.

. 5. Візнюк Г. У. Про один метод розв’язування бігармонічного

рівняння. ДАН УРСР, сер, А, № 4, 1968.

бі. Ли дек и й В. Б. О собственных значениях суммы и произведения симметричных матриц. ДАН СССР, т. ЬХХУ, № 6, 1950.

Рукопись поступила 131X 1971