О нелинейных колебаниях прямоугольных пластин Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер Л. Вып.И.2010

УДК 539.3

О НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЯХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ

ПЛАСТИН1

В.Н. Тарасову В.Ю. Андрюкова

Исследуются линейные и нелинейные колебания прямоугольных пластин. Рассматривается разностная схема для решения динамических уравнений Кармана. Анализируются результаты численных экспериментов, проводится сравнение решений, полученных на основе линейного уравнения колебаний пластин, и решения, полученного путем численного анализа нелинейных уравнений Кармана.

Введение

Трудно назвать такую область техники, в которой не была бы актуальной проблема изучения упругих колебаний. В большинстве случаев для изучения колебаний используются линейные дифференциальные уравнения. Однако, часто необходимо использовать нелинейные уравнения (особенно при изучении колебаний пластин и оболочек). В некоторых задачах теории пластин (а также и оболочек) пользуются теорией жестких пластинок (оболочек), пренебрегающей напряжениями в срединной поверхности (линейная теория); в других задачах учитываются одновременно напряжения в срединной поверхности и напряжения изгиба (нелинейная задача). С точки зрения физики нелинейность колебаний характеризуется ангармоничностью и неизохронностью [1]. Однако, учет влияния нелинейных слагаемых иногда приводит к неожиданным эффектам: например, эффект возврата Ферми-Пасты-Улама

1 Работа выполнена при финансовой поддержке федерального агентства по науке и инновации ГК № 02.740.11.0618

© Тарасов В.Н., Андрюкова В.Ю., 2010.

(ФПУ)( [5]). Влияние напряжений в срединной поверхности на свободные колебания пластин к настоящему времени изучено все еще недостаточно, по-видимому, это связано с трудностями анализа вычислительных экспериментов, хотя сейчас разработаны достаточно эффективные численные методы решения нелинейных уравнений.

Метод конечных разностей для решения нелинейных уравнений колебаний прямоугольных пластин

Известно, что учет напряжений в срединной поверхности в теории пластин приводит к уравнениям Кармана

{БААт = —о— + + о д<2уо д<2(р

^ д£2 дх2 ду2 ду2 дх2 дхду дхду '

— ААо9 = ( д2уо )2 — д2у° д2у°

Е г Удхду' дх2 ду2

(1)

где и] = - прогиб, ср = (р(х^у^) - функция напряжений,

ЕИ3

И = 12(1-^2) ~ Цилиндрическая жесткость пластины, Е - модуль Юнга, у - коэффициент Пуассона, Б = Д/^о? ^о - толщина пластины, х,у

- координаты точек срединной поверхности пластины, £ - время,

д2ии д2ии дд ди^ ^ д^и] д^и]

дх2 ду2 ' дхА ду2дх2 дуА

- операторы Лапласа и бигармонический оператор. Предполагается, что пластина является прямоугольной, т.е. О < х < а, 0 < х < Ь Предположим, что пластина свободно оперта по своим краям и точки срединной поверхности свободно перемещаются в координатной плоскости (х,у). Тогда граничные условия можно записать ( [2]):

«,0г,(М)=Ця,М) = 0, = =

' д2(р(0,у,г) _ д2(р(а,у,1) _ р д2(р(0,у,г) _ д2(р(а,у,г) _ д ду2 ду2 ' <9ж<9?/ дхду '

(2)

(3)

_ д2(р(х,Ь,г) _ 0 <92у?О,0,£) _ д2(р(х,Ь,г) _ 0 дх2 дх2 ' <9ж<9?/ <9ж<9?/

Граничные условия (3) означают отсутствие нормальных и касательных напряжений на краях пластины.

Кроме того, должны быть заданы начальные условия

у, 0) = Цх, у), -—-= у). (4)

Для конечномерной аппроксимации задачи (1) - (3) применим метод сеток. Введем обозначения:

х1 = Иьх, г е 0..М, у 1 = ]ку1 з е 0..ЛГ,

гиф = Цхг, = Ь), Кх = =

Производные аппроксимируем конечноразностными отношениями д/ш2(хи Ь)) ул+- 2и)^к +

дх2 /г2

ду2 Л*

= (5)

= ^(^л), (6)

<9х<9?/ 4кхку

(7)

Для упрощения формул и расчетных схем далее будем считать,что ^х — ^у — ^ (этого всегда можно добиться за счет выбора чисел М и ТУ, при условии, что а и Ь соизмеримы). Тогда сеточный бигармонический оператор будет иметь вид:

ДДги^,* = AAw(xi,yj,tk) = ^ (20^

+ 2(^+1,¿+1,А; + + + Мг-1,.7-1 ,/с + +

+ 0^+2,/с + + + ^-2,/с))- (8)

Поскольку функции прогиба и напряжений зависят также и от времени то неявная разностная схема для системы уравнений (1) — (3) будет иметь вид:

= ь I -4^2-

-л*-х-V-'

(9)

-ДА«;г,,+1 = -р-^-+

+ Л* Х Д2 +

, + 2+ + + ^ х ^

+ + ^г—1,^ — 1,/с+1

2 4Л* Х

х • (Ю)

Уравнения (9) - (10) справедливы при

2 < г < М — 2, 2 < ^ < ТУ — 2, £; > 3. Граничные условия (2) дают равенства

мо,^ = = о, = 2^1 1»м-2,э,к = 0 < < ТУ,

(П)

= = 0, ^,2,/с = 2^,1,/с, Щ,М-2,к = /с, 0 <1< М.

(12)

а граничные условия (3) дают

2(^1^ + = 0, - 2<рМ-1Л,к + фМ-2Л,к = 0, 0 < ^ < ТУ.

(13)

(Pi,0,k - 2^г,1,/с + = 0, + ^N-2,к = О, 0 <1<М.

(14)

+ ^-1,0,/с ~ ^г-1,2,/с ~ = 0, (15)

+ — + = 0, (16) 1 < г < М - 1.

^2,^+1,/с + /с _ ^0,^+1,/с ~ Ц>2Л-1,к ~ 0, (17)

+ + фМ,з-1,к фМ-2Л-1,к фМЛ-1,к ~ 0, (18)

1 < 3 < N - 1.

Граничные условия (15) - (18) не все являются различными. Одни и те же равенства получаются, если в (15) подставить % — 1, а в (17) ] — 1, также (16) при г — М — 1 совпадает с (18) при ] — ТУ — 1, (16) при г — 1 совпадает с (17) при ^ = ТУ — 1, (16) при % — М — 1 совпадает с (17) при ^ = ТУ — 1. Это связано с тем, что функция (р(х,у) из уравнений (1) может быть определена с точностью до произвольной аффинной

функции двух переменных вида (ро(х, у) = а + Ьх + су. Ясно, что можно потребовать выполнение равенств

¥>0,0, к — Ц>М,0,к — = — 0. (19)

Строго говоря, можно написать только любые три равенства из четырех, выполнение же четвертого следует из отсутствия касательных напряжений на кромках пластины.

Начальные условия (4) дают равенства

w

ьз

д = и(хи yj), Wij,2 = Wij, 1 + htv(Xi, yj).

Пусть уже получены значения

<Pij,k, Wijfa i e 0..M, j G 0..7V, к > 2. Введем векторы

Ф(*0 = = г G 0..М, i G 0..7V, к > 2.

Систему уравнений (10) перепишем в виде

- AAwidM1 + = p-ц-+

+ V X Л* +

+ V V

2 4Л* X

X 4Д2

Обозначим через

NLij{Wijjs+1, 4>i,j,k+Ъ wi,j,k, wi,j,k-1)

- правую часть системы уравнений (20), а через

- правую часть системы уравнений (9); (TVL^, TVL^ нелинейные операторы).

Тогда итерационная схема будет иметь вид:

____ио ■ ■

—+ р = <р1^М1; щ^к-т), (21)

н

= ^Мм+ь <Р1чМ1)> (22)

2 < г < М — 2, 2 < ^ < ТУ — 2.

Причем, должны быть выполнены граничные условия (11) - (20), т.е. должны удовлетворять равенствам (11) - (12), а ра-

венствам (13) - (20).

Из особенностей итерационной схемы можно отметить следующее: уравнения (23) решаются относительно неизвестных а из урав-

нений (24) находим затем найденные значения подставляем в

правые части уравнений (23) - (24), т.е. системы линейных уравнений для определения прогиба ии и функции напряжений на каждой

итерации решаются независимо.

Обсуждение результатов.

Если в уравнениях (1) положить (р = 0, то получим линейное уравнение, описывающее поперечные колебания пластины:

Г>ААи> = -р^. (23)

Уравнение (23) может быть решено методом разделения переменных. Его решение представимо в виде ряда

Е/ . / ч / чч . /ттгх\ . /ши/\ .ч

(.Атп 8т(штпЦ + Втпсо8{штпЦ) вт —) эт ) , (24)

тп

В (24) тип пробегают значения от 1 до ос,

-1/2 /гтг2тг2 т2тг2\ ^тп = С0 + ) , (25)

штп ~ частота собственных колебаний, Со = Функции

. ( тттху

V а

-) 8т (ГТ)

являются собственными функциями бигармонического оператора (описывают собственные формы колебаний пластины).

Коэффициенты Атп и Втп определяются равенствами

4

a pb

А — —-

s*-тп

О J О

. ч . /ттгх\ . /птгу\

. . . глх, у) sin - sin —-— axay, (26)

ab /п /п \ a J V b )

4 fa fb r N . fm7rx\ . [птту^

&тп

a&./o J о

, . /ттгх\ . [п'ку\ и{х, у) вт ^-^ вт \ ) ихау. (27)

Для колеблющейся пластины определена полная энергия

и=¡о а {Аи,)2+2 ^' (28)

которая не зависит от времени (закон сохранения энергии). Подставляя (24) в (28), с учетом (25) получим

аб5^/ш27Г2 Ш2ТГ2\2 2 2

и - 4 2 ¿^ 1 й2 + 52 I \ тп ' тп)'

тп ^ '

Таким образом, в линейном случае сохраняется не только полная энергия, но и не происходит перераспределения энергии между модами собственных колебаний, иными словами, пластину можно рассматривать, как бесконечный набор не взаимодейсвующих между собой линейных осциляторов.

Для проведения численных экспериментов были выбраны следующие параметры:

Н0 = 0.2; р = 0.3; Е = 5000; а = 40; 6 = 40; у = 0.3.

Далее решение нелинейной задачи будем обозначать через ¿У(х, ?/,£). В качестве начальных условий было принято

/ ЛХ ~ ^ . / ТП7ГХ \ . / Т17Гу \ , . • ,

ии{х, у, 0) = ии{х, у, 0) = 0.2 йш ^-^ йш ? ио(х, у, 0) = ии{х, у, 0) = 0.

График этой функции представлен на рис. 1(^ = 0) При таких значениях параметров частота и период линейных колебаний равны {тп — 2, п = 2.)

2тг

иотп = 0.38; Т =-= 16.29.

^тп

Поскольку и)(х,у, 0) является собственной функцией линейной задачи, то = со$(итп1)г]и(х,у,0), т.е. прогиб пластины, сохраняет свою форму, изменяется лишь величина этого прогиба.

1= =0

0.2

0.1

0

-0.1

-0.2

с=о,/о

1=8,06

1=7,8

40 40

1=8,19

Иначе ведет себя решение нелинейной задачи. Вначале энергия пластины перераспределяется между несколькими близкими модами ъитп, затем, пройдя целый ряд последовательных стадий, (см. рис.1 I = 6.76, г = 7.8, г = 8.06, г = 8.19, г = 8.84, г = 9.36) пластина при £ = 13 восстанавливается в исходном положении (повернутом на угол а приблизительно при ^ = 26 исходное положение восстанавливается полностью.

Восстановление начального приближения в нелинейных системах впервые наблюдали С. Улам и Д. Паста, ( [5]), которые по предложению физика Э. Ферми, рассматривали ангармоническую цепочку из 32 грузиков, соединенных пружинами с нелинейной характеристикой (упругие силы при растяжении или сжатии пружины имели вид

1=8,84

1=9,36

t=13

Рис. 1: Нелинейная задача.

(к Ах + а(Ах)2) Ах- удлинение пружины). Предполагалось, что энергия первоначального возбуждения распределится по всем гармоникам, и установится термодинамическое равновесие (как говорят физики, произойдет термолизация системы). Но этого не происходило. Процесс колебаний носил периодический (или почти периодический) характер, первоначальное исходное состояние восстанавливалось с точностью до нескольких процентов. Этот эффект в дальнейшем получил название эффекта Ферми-Пасты-Улама.

Важность изучения эффектов, возникающих в нелинейных колебательных системах, подчеркивается также в работах [1] - [4].

Литература

1. Пановко Я. Г. Основы прикладной теории упругих колебаний.// М.: Издательство Машиностроение, 1967. 316 с.

2. Теребушко О. И. Основы теории упругости и пластичности.// М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. 320 с.

3. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем.// М.: Наука, 1967. 984 с.

4. Паймушин В.Н. Проблемы геометрической нелинейности и устойчивости в механике тонких оболочек и прямолинейных стержней.// ПММ Т71, 2007. Вып.5. С.880 - 893.

5. С.Улам. Нерешенные математические задачи.// М.: Наука. 1964. 168 с.

Summary

Tarasov V.N., Andryukova V.Yu. Of nonlinear fluctuations of rectangular plates.

Linear and nonlinear fluctuations of rectangular plates are researched. The difference scheme for solving the dynamic equations of Karman is considered. The results of numerical experiments are analyzed, solutions obtained on the basis of a linear equations of vibrations of plates and the solutions obtained by numerical analysis of nonlinear Karman equations are compared.

Отдел математики КНЦ УрО РАН Сыктывкарский лесной институт

Поступила 05.05.2010