CC BY
75
60. Гольденблат И. И., Бажанов В. Л., Ко иное В. А. Длительная прочность в машиностроении. М.: Машиностроение, 1977. 248 с. .
61. Киселев А. В. Влияние вида напряженного состояния на разрушение и ползучесть// Физика и электроника твердого тела. Ижевск, 1976. Вып. 1. С. 33—41.
62. Чижик А. А., Петреня Ю. К. Разрушение вследствие ползучести и механизмы микроразрушения/ДДАН СССР. 1987. Т. 297. № 6. С. 1331 —1333.
63. Качанов Л. М. Основы механики разрушения. М.: Наука, 1974. С. 312.
64. Наместникова И. В., Шестериков С. А. Векторное представление параметра повреж-денности/'/Деформирование и разрушение твердых тел. М.: МГУ, 1985. С. 43—52.
65. Шестериков С. А., Локощенко А. М. Ползучесть и длительная прочность металлов// Итоги науки и техники]. Механика деформируемого твердого тела. М.: ВИНИТИ,
1980. Вып” 13. С. 104.
66. Наместникова И. В., Шестериков С. А, Применение векторной характеристики поврежденности к расчету на прочность диска толстостенной трубы в условиях ползу-чести//Деформировакие и разрушение твердых тел. М.: МГУ, 1985. С. 53—67.
УДК 539. 3
Н. Н. СТОЛЯРОВ
УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ
ГИБКИХ ОБОЛОЧЕК И ПЛАСТИН ПЕРЕМЕННОЙ ЖЕСТКОСТИ
Предлагается математическая модель упругопластического деформирования гибких пластин и оболочек при простом и сложном нагружении. Модель позволяет едино-образно исследовать деформирование на основе деформационной теории пластичности, теории течения с трансляционно-изотропным упрочнением и теории двуХ' звенных процессов А. А. Ильюшина |"1](.
Разработан математический аппарат решения начально-краевых двумерных задач механики упругопластического дефорлшрования, основанный на развитии методов и алгоритмов и широком использовании их модификаций. В теорию расчета гибких упругопластических оболочек вводятся новые эффективные методы вычислительной математики: двухступенчатый, метод Р. П. Федоренко, итерационный метод с чебы-шевским ускорением [2-6):
Дано решение новых задач, связанных с определением напряженно-деформированного состояния, исследование двухпараметрического нагружения. Впервые на основе теории двухзвенных процессов и экспериментально-вычислительного метода СН—ЭВМ
А. А. Ильюшина разработана методика расчета пластин и оболочек при сложном нагружении [7—//].
Пре дложены и реализованы алгоритмы решения задач упругопластической устойчивости пластин и оболочек при поперечном, продольном и комбинированном нагружениях с использованием различных теорий пластичности \12—13].
Впервые дается постановка и решение ряда задач оптимизации упругопластических пластин и оболочек в геометрически нелинейной постановке. Предлагается алгоритм решения задач оптимизации пластин и оболочек, основанный на использовании методов теории планирования экстремальных экспериментов [14—16] <
Постановка задач
1. Объектом исследования являются гибкие упругопластические прямоугольные пластинки и пологие оболочки двоякой кривизны со сторонами 2а, 2в и толщиной Л, нагруженные поперечной р(х, у) и продольными р 1, р2 нагрузками. Пластины и оболочки могут находиться под действием рав/номерно распределенных, местных, полосовых, ¿ооредоточенных нагрузок. Рассматриваются однопараметрические и двухпараметрические нагружения. Исследуется деформирование пластин и оболочек при циклических знакопеременных нагружениях.
Рассматриваются пластины и оболочки, по кромкам которых реализуются в любых комбинациях граничные условия шарнирного опира-
имя и скользящей заделки. Исследовано деформирование оболочек с неподвижно закрепленными кромками, при этом граничные условия неподвижного шарнира и неподвижной заделки могут быть заданы в любом сочетании по кромкам.
Исследуются изотропные неоднородные пластины и оболочки переменной жесткости и кривизны: толщина 1г(х1 у), кривизны к\(х,у), к 2 (х, у), модуль упругости Е(х,у,г), коэффициент Пуассона V (х, у, г), предел текучести являются некоторыми функциями координат. Рассматриваются однослойные и многослойные оболочки.
Используя пятимерные девиаторные пространства А. А. Ильюшина, вводят в рассмотрение векторы напряжений а, деформаций Э, деформаций срединной поверхности Эс, изменения кривизн срединной поверхности х. Для пластин и оболочек введем трехмерные подпространства этих пространств с ортонормированным базисом (7Ь /2, /3) [ 1 ] -
На основании постулата изотропии А. А. Ильюшина общая форма связи вектора напряжений о с вектором деформаций 3 имеет вид [1]
¿о = Л7/Э—(Л'-Р) -20 о, (1.1)
где N и Р — функционалы по длине дуги траектории деформаций от кривизны этой траектории. Среднее напряжение во связано со средней деформацией в о линейной зависимостью
с1оо = 3**0. (1.2)
Используя основные соотношения теории течения с трансляционноизотропным упрочнением и предполагая справедливость гипотезы единой кривой, получим
с1а=.\!с1Э—(\’-Р)^- , (1.3)
где /¥ = 26' Р = Ек Е'’ — —2 с1°и
где А ¿и, И ]+£а//2С » £ * з ч
ст* = а—5, а% 5 — вектор активных напряжений, вектор остаточных микронапряжений. Представляя (1.3) в координатной форме, зависимость между с1в и с!Э запишем в матричном виде
¿СУ = АйЭ3 (1.4)
где йо=(с1ои с1с2, ^сгз), с1Э=(с1Э] с1 Э2, аЭ3) —векторы приращений напряжений и деформаций, А — симметричная матрица с элементами
а,7 = Л/6,7— (Лг—Р) -рт- , ». / = Ь 2, 3. (1.5)
Полагая в (1.5) о* = о, получим связь между а и Э для теории течения с изотропным упрочнением. В деформационной теории пластичности при вычислении а,;}- следует положить о"" = а, а материальные функции взять в виде
Соотношения теории двухзвенных процессов представим в виде
da = Ald3—(A1—Bl)
Э°с1Э
э°
(1.6)
-Ц-Д5, ß, = P+4|-AS, N — N(AS), Р = Р(Ь0, 0, AS),
Л, = Л/ +
где Ы, Р — материальные функции, 0 — угол излома траектории деформаций, Э° — модуль вектора Э в точке излома траектории деформации. Зависимость (1.6) преобразуется к виду (1.4), где
= Л!«//— (Л, —Äj)
Э,°-Э у° Э0 2
(1.7)
Выразим компоненты векторов da и d3 через компоненты тензора напряжений do\u йвчъ doi2 и тензора деформаций den, ¿622, ¿612, учитывая (1.2):
(1.8)
da и ¿Єн
da 22 ¿Є 22
da i2 ¿Єі2
flll «12 ¿*13
где Л = #21 0-22 а2;
Азі Я32 а33
симметричная матрица,
элементы которой вычисляются в соответствии с выбранной теорией пластичности (1.5), (1.7), Е — единичная матрица, и — числовые матрицы
V4- 0 0 1 3 3 0
F, = і V~2 Т/2 0 , ^2 = 1 3 3 0
0 0 у 2* 0 0 0
Деформации слоя, отстоящего на расстоянии 2 от срединной поверхности, имеют вид
8ц — Є1+2ХЦ, 822“ Є2 + 2Х22, ?12 = 7°12 + УС\2~^ 12,
(1.9)
где 8ь 82, 7С12 — деформации срединной поверхности, хп, Х22, X— изменения кривизны срединной поверхности. Используя теорию пологих оболочек и положив параметры Ляме А\ = А2= 1, получим выражение? деформаций срединной поверхности через перемещения и, у, ш:
81 =
■ kl W +
du
~дГ
Ус12= 2ес12 =
2
du
ду
Х22 :
/ dw Ч2
82 =
+
dv
дх
d2w
ду
dw dw
дх *12 =
ду ’
---k2W + ■
Хп =
1
/ dw ) 2 ' / >
2 ' д(/
02Ш
дх2
¿Ы//’ (1Л0)
Зависимость (1.10) определяет геометрически нелинейную поста-
нове ку задачи.
Вводя обозначение
B=[FX (E-F2)+AFl-F2
1
3/г
и подставляя (1.9) в (1.8), получим
dan | de. і dxu
da22 і = В ■ de 2 + B-2 с/х 22
dan 1 deci2 dxi2
(їді)
Приращения усилий и моментов находятся интегрированием (1.11) по координате г в пределах от г= —до г = к2:
й, а,
dTij = | daijdz, dMij = f doijzdz,
-A, -A,
di = c(°>£/e + c(I)dx, dM = c^de + c^dx.
І = 1, 2,
(1.12)
(1.13)
dru сШи de i dxn
dT = dT 22 II 43 dAÍ22 II СО 43 de 2 o* II dx 22
dr12 dM, 2 deci2 dx 12
c(m) —
C(m>u
C(OT)21
C(m)31
C<"012 C<“>18
C(m)32 c(m)33
c¿* = J bikzmdz, m = 0,1, 2, —/її
¿, k = 1,2, 3.
Элементы матриц с(т) являются функционалами от решения. Матричные уравнения (1.13) позволяют выразить приращения усилий и моментов через приращения деформаций и кривизн срединной поверхности оболочки.
В теории пологих оболочек используется два вида систем разрешающих уравнений: в перемещениях, когда основными неизвестными являются йщ йи, йхю, и в смешанном виде, записанном относительно функций усилий dФ и прогиба йхю.
Введя функцию усилий
Т\ 1 = d(£)yyi d Т22 ~ ^Фхху &Т 12 ~ с(Фх
*>ху,
d®
СІФуу
С1ФХХ
lí/ф X у
m матричного уравнения находим вектор приращений деформаций de и вектор dM:
¿е==[с(0)]-1^ф_[с(0)]-1.с(1)с(к;
dM = сО> [с<°>] ~^Ф+{cW—[с(°>] ■~lc^}d%. (1.14)
Используя вариационный принцип Лагранжа и геометрически нелинейную теорию оболочек, запишем систему уравнений равновесия в приращениях
дх
4-
d2dMn дх2
d2dw
+ 2
ду дхду
, í л ddT22 , ddTi2 , f _л
+ Ь=°, -а— + -w- + hs-0,
І (92ЛІ22!
+
Ат±
Ri
Л. -дти. + Tu th'dxs 41 /?2 U <3*2 ^
дщц + + ^22+2-^m2-M/>+f3, = °’
' (1.15)
где i?i, R2 — радиусы кривизны оболочки; dw — приращение прогиба; fis, /2s, f3s — невязки уравнений равновесия на шаге s по параметру прослеживания равновесных состояний; dp — приращение параметра нагрузки.
Уравнения (1.10), (1.13), (1.15) образуют разрешающую систему в перемещениях, в которой неизвестными функциями являются dur dv, dw.
Из вариационного принципа получаем разрешающую систему уравнений в смешанном виде в приращениях:
cPdei ___9 d2decj2 ,__d2de2 +____]__ d2dw , 1 d2dw ___
dy2 ôxdy dx2 R] dy2 ' R2 dx2
0 д2ш d2àw , d2w d2dw , d2w d2dw , r _^
— dxdy 1 ~dif dx2 ~l~ ':ls ~~ ’
дЧМи , r, <52<Ш12 , д2<Ш22 , 1 дЧФ , 1
+ 2 -f —+
dx2 dxd# 1 $î/2 1 di/2 R 2 dx2
d2w d2d<$) , д2Ф d2day , d2ay d2d<^> . а2Ф d2dw
_L_
_L __________4
I ?n,ï 1 /9//2 r)v2 ‘
дх2 д#2 ду2 dx2 ‘ дг/2 дх2 1 дх2 д*/2
0 <32ш д2^Ф 0 д2Ф d2dw А г п /1 1 а*
—. 2——------ —----------2 —-г-^-— ——д ~Ь ар + /25 = 0. (1.1 о)
oxdy dxdy дхду охду
Уравнения (1.10), (1.14) дополняют систему (1.16).
Таким образом, получены две системы разрешающих уравнений: в перемещениях и в смешанной форме, которые позволяют по единому алгоритму исследовать нелинейное поведение гибких пластин и оболочек на основе теории пластического течения, деформационной и теории двухзвенных процессов. Каждая из систем разрешающих уравнений дополняется граничными условиями.
2. Ввиду дифференциальной связи между напряжениями и деформациями в теориях пластического течения, двухзвенных процессов для исследования деформирования гибких оболочек необходимо использование шаговых методов. Эти методы позволяют последовательно прослеживать историю нагружения.
Исходная система нелинейных уравнений линеаризуется на шаге по параметру нагружения. В результате приходим к линейной относительно приращений системе, коэффициенты которой определяются по решению, найденному на предыдущем шаге. На каждом шаге эти коэффициенты пересчитываются вновь. Интервал изменения параметра нагружения разбивается на ряд малых шагов.
Обозначим через Г вектор искомых функций:
Г= (Ы, V, W, 81, 82, 812, Т\и ^22, Т12, Мц, М22, ^12).
Определив искомые функции Г* на 5-том шаге при представим:
их на 5 + 1 для в веде
Г<н-1 = ГsJгdTs,
где ¿/Г* —искомые приращения функции Г «а шаге Д/5 по «времени».
Для решения задачи »необходимо задать начальные условия: значение функции Г при / — 0. Таким образом, имеем начально-краевую задачу.
Для решения этой задачи применялись метод конечных разностей или вариационные методы. От системы дифференциальных уравнений
(1.10), (1.13), (1.15) переходим к системе алгебраических уравнений, которая в операторной форме имеет в<ид
Ф'{Уз)Ау8 + Ь'{у8)Ауз = Арз—[А(у8)—рз],
У 8+1 = у5+:Ау5, (2.1)
где Ф'(у8) — упругопластический оператор теории оболочек переменной жесткости, 1/(*/5) — оператор, связанный с геометрической нелинейностью.
Обозначим г3=А(у8)—р3, где г8— невязка при р = /?6. Для оболочек из упругого материала оператор Ф'^) — линейный: Ф'Л = Ф' (у?). При г5 = 0 имеем метод приращений [17], при г5 = А(у8)—р3 (2.1) определяет самокорректирующий метод [18]. При г8 = А(ук8)—Рз имеем модифицированный метод Ньютона—Канторовича, в котором операторы Ф' (#<?), Ь'(у3) в процессе к итераций на этапе 5+1 не меняются. Эти операторы пересчитываются один раз на каждом этапе нагружения я.
Эффективность алгоритма в значительной степени зависит от метода решения линеаризованной системы (2.1). Учитывая, что упругопластический оператор Ф'(Уб) имеет громоздкий вид, целесообразно (2.1) решать итерационным методом.
Итерационный процесс строится в виде
В + [ф'(уа) + Ь'(ув)]Ау*а = Др—/•*<*>. (2.2)
Сходимость процесса (2.2) определяется выбором оператора В и итерационного параметра у.
Легко заметить, что в случае
я=ф'Ы+1/Ы
решение (2.2) находится за одну итерацию при у=1. Из этого следует, что высокая эффективность метода обеспечивается «близостью» В к Ф' (у8) +Ь' (у3). Алгоритм реализован для двух типов оператора: В = ф'л — линейный оператор теории пологих оболочек и В — = Ф'л-\-и (у8).
Исследование упругопластического деформирования оболочек связано со значительными трудностями, которые, в основном, возникают вследствие того, что практически задачи являются трехмерными: Необходимо, введя пространственную сетку, в каждом ее узле проследить развитие упругопластического процесса. На различных этапах деформирования в узле может реализоваться процесс активного нагружения, разгрузки вторичных пластических деформаций, повторного нагружения. Для определения приращений усилий и моментов необходимо на каждом шаге по параметру нагружения проводить численное интегрирование по толщине оболочки.
Для решения нелинейных задач теории оболочек при совместном учете двух нелинейностей: физической (нелинейно-упругие деф01рмацин, деформации пластичности) и геометрической (большие перемещения), используется метод конечных разнастей. Применение этого метода к нелинейным задачам теории оболочек при учете различных осложняющих факторов (переменность толщины, кривизны, неоднородность материала, нагружение по малой/площадке) часто приводит к'болышш, системам разностных уравнений. Решение таких систем представляет значительные трудности. Преодоление их возможно путем применения, современных методов вычислительной математики и мощных ЭВМ.
Для решения нелинейных систем разностных уравнений разработаны три алгоритма: первый алгоритм основан на использовании двухступенчатого метода [4—6], второй — на сочетании метода общей итерации М. С. Корнипшна с другими методами [7, 8], третий — на сочетании ¡методов приращений с двухступенчатым методом [9, 13]. В двухступенчатом итерационном методе используется метод переменных направлений в коммутативном случае в качестве внутреннего итерационного процесса. Каждому из этих алгоритмов соответствует несколько программ для ЭВМ. Так, второй алгоритм реализуется в четырех различных программах в зависимости от того сочетания методов, которое используется. Построены численные реализации различных модификаций двухступенчатого метода.
Разработанные алгоритмы и созданные программы позволили производить расчет напряженного и деформированного состояния пластинок и оболочек при различных граничных условиях и нагружениях с высокой точностью. Во многих случаях решались нелинейные системы с числом неизвестных порядка 2000, а нелинейности носили довольно существенный характер, приводя к значениям максимального прогиба порядка четырех—пяти толщин оболочки.
Решение нелинейных систем проводилось для ряда возрастающих значений параметра нагружения. При этом для построения нулевых приближений при определенном значении параметра нагружения использовалась экстраполяция.
Рассмотрим применение двухступенчатого метода для решения геометрически нелинейной системы уравнений, представленных в раз* ностном виде. Системы разностных уравнений после исключения неизвестных в контурных и законтурных точках можно записать в операторном виде
где для системы в перемещениях йк={йіУ х/ЄЙй} — вектор размерности ЗЫну VI, о>о)); \Ын — число точек в сеточной области іін;
Ьн = Ь і/г + І2/г — квадратная матрица размерности ЗЛ^; Ьщ — разностный аналог упругого оператора; ¿2/г — разностный аналог оператора геометрической нелинейности; ^ — известный вектор.
На линейном пространстве Я функций, определенных на £1н, введем скалярное произведение
Основным гильбертовым пространством Нн будет служить пространство сеточных векторов-функций йл = й, определенных на £2нУ со скалярным произведением
Еніїн — //г,
(2.3)
X і £—- О /і
и — и 2
Введем в рассмотрение оператор
Лл =
~®ік2-А2
Аз, ?!
Л4А2, + А \ + МЕ
(2.4)
где X — параметр удлиненности оболочки;
I—$0
, Оо — коэффи-
циент Пуассона; А2Ь Д2, Д2Ь Д22 — разностные аналоги дифференци-д2и д2и
альных операторов ^
(+^2'0,о)+^2 (^2+^1^2'0’о) ] с соответствующими граничными условиями
* _ * | Л А ^ А А О > д А О 1
Аз, П — Аз, у Аз, х', Аз, .^ = 1 А"1
М = 0,75[Ы2(Ы2 +
, Аз, у— А22 +
" Вх ' " т '
В ни = В2 и 2
Вз - 113
9 ч у —* ^ I 2
Оператор АЛ является самосопряженным и положительно определенным.
Двухступенчатый итерационный метод решения системы (2.3) имеет вид
Вн (йип+1 — йлл) = —ун {Енйн — Ь), (2.5)
В{ = АХ{Е-Тт1)~\
В2 = А2(Е-Тт2)~\ (2.6)
^ Вз = Къ{Е-Ттз)-\
где Е — тождественный оператор в пространстве Нн, Ттк — оператор сокращения погрешности за гпк итераций в методе переменных направлений при решении уравнения
(к= 1,2,3). (2.7)
Алгоритм реализации метода (2.5) следующий:
1) по известному йпп вычисляется
g= У1г{Енй%—/) ^ (ёь£2, £з);
2) для решения системы (2.7), распадающейся на три отдельные системы относительно ип+\ ип+\ тп+\ применяется метод переменных направлений с начальными приближениями, равными нулю;
3) Шк-ные итерации в методе переменных направлений совпадают с икп+х—ипк, к= 1,2,3. Метод переменных направлений брался в форме
(Я+т«1**, 3АМк, н) (£+т(2Ч, 5А<2>*, н) ~ (Ак, к'
хк. 5(1)+т*, И2)
ёк) > 1, 2, 3,
(2.8)
т(2)к, з — оптимальные
где 5 — жхмер внутренней итерации, т(1)к, параметры Вакспресса [19], вычисляемые исходя из границ спектров операторов А(1)к,ь и А(2)*, н,
* А к, Н — А(1)й, Н + А(2)^, н •>
где А(1Ь,н и А(2)*,/г — одномерные разностные операторы, действующие по X и У соответственно. Спектр одномерных разностных операторов Аи А(2)к,ь принадлежит отрезкам [Л(1)*, Л(2)*], [Я(2)*, Х(2)*], где ,
ЯО^А^СД2!) + 0,5М, Л,о>3 = Я.4Я(Д21) + 0,5М,
^2>з = ЧА22) +0,5 М, Х<2)3=Л(Д22) +0,5 М.
Здесь Я(Д2а>) и %{А2к) — наименьшее и наибольшее собственное число
оператора при соответствующих граничных условиях, определяемые отдельно € помощью подпрограмм. Обычно принималось т\ = т2 = $, исходя из того, что такое число внутренних итераций подсказывалось опытом решения линейных задач, а параметр уп брался постоянным и находился экспериментально, поскольку теоретические константы, связанные с условием монотонности и условием Липшица для Ьиу также были неизвестны.
В теорию расчета оболочек впервые введен итерационный метод Федоренко [3], который использовался в сочетании с другими методами для решения нелинейных задач. Рассмотрим алгоритм реализации метода на примере решения краевой задачи для бигармонического уравнения. Систему разностных уравнений запишем в операторном виде
ДДдо = /. (2.9)
При решении (2.9) методом простой итерации
' о;**1 = хи* +у{ААха)—1) (2.10)
имеем медленно сходящийся процесс, сходимость которого неравномерна на разных гармониках. Так, при 7 = —, где К — наибольшее
х
собственное значение разностного бигармонического оператора, эффективно погашаются высокочастотные составляющие невязки.
/*=ДДо;» —/. (2.11)
Низкочастотные составляющие невязки гь при этом убывают незначительно, что существенно замедляет сходимость. Задавшись исходным приближением до0, проводим некоторое число простых итераций (2.10) с у=--акА, где а выбирается так, чтобы погасить высокочастотные составляющие невязки. В результате на используемой сетке невязка становится гладкой функцией. Представим решение системы (2.9) в виде
до = доп'—до, (2.12)
где до* — полученное в процессе итераций приближение, до — погрешность.
Используя (2.1/1), (2.12), получим
г* =,ДД(до + до)—/\ (2.13)*
С учетом (2.9) из (2.13)
ДД ,*до = г\ до|г =0, (2.14)
где г^ — известная сеточная функция, Г — контур пластин.
Задача (2.13) определения поправки до проще исходной задачи (2.9), так как известно, что до — гладкая функция. Вследствие этого для определения до из (2.14) можно приближенно рассматривать такую же задачу на сетке вдвое крупней, которая при четных N1 .и N2 (числа разбиений по X, У) является подсеткой основной сетки:
ДД2л1Р = Д, 1^11=0,
(2.15)
где Я = г в узлах вспомогательной сетки, совпадающих с узлами основной. Найти Ш на сетке с шагом, большим шага основной сетки, легче, так как такая сетка имеет меньше узлов и сходимость итераций на ней лучше. Кроме того, простые итерации на вспомогательной сетке проводим с у*=16у, что ведет к более быстрому погашению низкочастотной составляющей. Решение задачи (2.15) обозначим через Ш*. Используя функцию XV*, линейным интерполированием получаем функцию определенную на основной сетке. Затем исправляем функцию
й)*> = Хй)ь — шк
Использование вспомогательной сетки позволяет существенно уменьшить низкочастотную составляющую невязки. Однако функция с точки зрения нормы невязки хуже : ||г№ II > ||г?> ||. Это объясняется внесением при интерполяции погрешности, которая носит негладкий характер, и Р состоит в основном из негладких собственных функций. Поэтому, проделав несколько итераций (2.10) на исходной сетке, получаем существенное уменьшение невязки. Для ускорения сходимости итерационного процесса целесообразно применение нескольких вспомогательных сеток.
3. При весьма общих предположениях о характере нагружения, граничных условиях, параметрах геометрии проведено исследование упругопластического деформирования гибких пластин и оболочек при использовании различных теорий пластичности [7—11].
По результатам решения краевых задач анализируются распределения напряжений, прогибов, зон пластичности, разгрузки, вторичных пластических деформаций. Для характерных точек пластин и оболочек строятся траектории напряжений и деформаций.
Напряженное и деформированное состояние упругопластических оболочек анализируется в сравнении с гибкими упругими оболочками. Исследуется влияние величины упрочнения в диаграмме деформирования на упругопластическое поведение, а также влияние стрелы подъема оболочки на развитие зон активного нагружения.
Для пластин и оболочек из циклически идеального и циклически разупрочняемого материала изучены особенности утругопластического деформирования при сложных знакопеременных и циклических программах нагружения.
Дается анализ напряженно-деформированного состояния гибких упругопластических слоистых оболочек и пластин. Исследуется влияние жесткости слоев, расположения их относительно срединной поверхности на упругопластическое поведение пластин и оболочек.
Разработан метод решения задач сложного нагружения пластин и оболочек на основе теории двухзвенных процессов А. А. Ильюшина. Построенный алгоритм использует сочетание методов СН—ЭВМ, конечных разностей, самокорректирующего метода приращений и двуступенчатого [ 10, 11].
На основе теории двухзвенных процессов проведена систематизация экспериментального материала по исследованию свойств связи напряжений и деформаций на двухзвенных траекториях. Анализ материальных функций Р, N в зависимости от величины модуля вектора деформации 50, угла излома ©, Дя, проведенный на основе имеющихся в литературе экспериментальных данных деформирования по двухзвен-72
ным траекториям для сталей 38ХА, 45, ЗОХГСА и сплава Д16-Т, показывает, что для перечисленных материалов функция N почти не зависит от 50 и 0, а Р существенно зависит от ©.
На основе экспериментальных данных построены аппроксимации для материальных функций.
Для исследования вычислительных аспектов метода СН—ЭВМ и его сходимости применяются теоретический эксперимент, в котором натурные испытания образцов на СН заменяются расчетами по некоторому частному варианту теории пластичности, который считается истинным. Исследована сходимость метода в зависимости от шага по параметру нагружения, величины касательного модуля, граничных условий закрепления кромок пластин. Установлена особенность сходимости метода, состоящая в том, что на второй итерации (первая итерация — упругое решение) имеет место существенное приближение к пошаговому решению по теории течения.
Методика расчета сложного нагружения пластин и оболочек построена по типу метода СН—ЭВМ в варианте теоретического эксперимента, когда за основу берутся соотношения теории двухзвенных процессов. На первой итерации метода СН—ЭВМ расчет производится по теории пластического течения для всех значений параметра нагружения. По результатам первой итерации вычисляются угол излома траектории 0, модуль вектора деформаций ¿о в точке излома, определяются значения напряжений, деформаций, перемещений во всех узлах сетки в момент омены характера нагружения. Эти значения используются в качестве начальных условий на второй и последующих итерациях по методу СН—ЭВМ. На каждой итерации СН—ЭВМ материальные функции N. Р вычисляются по 50, 0, которые найдены на предыдущей итерации. Для узлов сетки, находящихся в упругой области и перешедших в пластическую при движении по второму звену траектории, фиксируется вектор деформаций Э] в момент выхода в пластичность. Вектор Э] используется для вычисления 50, 0; для таких узлов Д$= |Э—Зі).
В качестве примера рассмотрено двухпараметрическое нагружение квадратных защемленных гибких пластины (Л=1, к\ =/г2—0, к/Ь = = 0,05) и панели (к— 1, ¿і = 0. к2=\0, 1г/Ь = 0,05). Нагружение осуществляется комбинацией продольной р\ и поперечной р нагрузок. На первом этапе прикладывается равномерно распределенная по двум противоположным кромкам сжимающая нагрузка р\, которая возрастает от р1==0 до /?і = 0,56. На втором этапе при постоянном значении Рі = 0,56 действует равномерно распределенная по всей площади поперечная нагрузка, возрастающая до значения интенсивности р—10,2 (пластина) или р = 11,7 (оболочка). В качестве обобщенного параметра нагрузки выбиралась величина
где для пластин p\k = 0,56, рь = 10,2, а для панели рхк = 0,56, pk= 11,7. Решение по теории двухзвенных процессов приводит к большим значениям прогибов, чем по теории течения. При /?Н = У"2 разница по прогибам в центре составляет около 11% для пластин и около 30°/о, для оболочки. Для пластин максимальные различия в напряжениях в
зонах активного нагружения по двум теориям пластичности составляет около 12%.
Установлено, что траектории деформаций близки к двухзвенным. Углы излома траекторий деформаций, получаемых по теории двухзвенных процессов, больше соответствующих углов по теории течения.
Зоны больших углов излома 6О°<0<9О° примыкают к областям разгрузки на верхней поверхности пластины. Анализ показал, что наибольшее различие в напряжениях по двум теориям пластичности имеет место в зонах больших углов излома траекторий. Для панели решения по теории течения и по теории двухзвенных процессов отличаются й большей степени, чем для пластины. Это можно объяснить тем, что зоны с большими углами излома в панели более обширны. Проведенные расчеты показали что на второй и третьей итерациях метода СН—ЭВМ углы излома отличаются незначительно.
4. Предложены новые алгоритмы и задачи ¡исследования выпучивания и закритического поведения гибких пластин и оболочек при продольном, поперечном и комбинированном нагружении.
Особенностью задач упругопластической устойчивости является нелинейность докритического состояния, обусловленная учетом больших прогибов и нелинейностью связи между напряжениями и деформациями. Вследствие этого возникают трудности, связанные с тем, что неизвестно основное состояние, при котором впервые возникают смежные формы равновесия.
Учитывая эти особенности, в работе использовали подход, основанный на численном решении исходной нелинейной системы дифференциальных уравнений и построении кривых зависимости нагрузки от характерного перемещения. Такой подход позволяет определить критические нагрузки и исследовать закритическое поведение [12, 13]. При применении этого подхода важно выбрать такой параметр нагружения, который монотонно изменяется на всем режиме критического деформирования. Для пологих оболочек на прямоугольном плане, нагруженных внешним давлением, целесообразно за основной параметр брать прогиб в центре.
Построен алгоритм прохождения предельных точек в задачах выпучивания и исследования закритического поведения гибких упругопластических оболочек.
Предлагается основанный на двухступенчатом методе алгоритм решения задач устойчивости пластин и оболочек. Итерационный алгоритм выгодно отличается от существующих тем, что позволяет находить наименьшее собственное значение без предварительного определения наибольшего.
Рассмотрим алгоритм на примере решения задачи устойчивости прямоугольной пластины со сторонами 2а, 2в1 толщиной к и безразмерными параметрами
г * ,, _ У 7 - Ь ,,, - ^ V - V -
- —г—, У-------а, -, до------------г— , Л/!---—, Л/2 -
Ь ' а ’ 1г 11 ЕЬ? ’ ^ Екъ
ЛГ лЫЬ2
^12 = “'раз—; м = —г
Дифференциальное уравнение устойчивости имеет вид
~1~2~(Т”уо~2}''' 2 Я 2 ДО л- л- у у ~Ь ^ у у у у ] = ДО** + уу-\-2'КП\2'Ш Ху-\ ,
(4.1)
где Е — модуль упругости,
Л/1 N2 N,2
П\ = —7---------, По = “у"" - , ^12
Я, ’ “ /ч ’ X! 7
по контуру пластины действуют сжимающие силы N\, N2 и сила N12, вызывающая сдвиг. Краевые условия имеют вид
1Ю\V =0, Дояг, = 0, ДОля1|г1=0, (4.2)
где п — направление нормали к Г, Г = Г1 + IV Г} или Г2 могут быть
тождественно равны нулю.
Систему разностных уравнений после исключения т-ь в контурных и законтурных точках запишем в операторном виде
Ь}гУУ = Х\М}'1&, (4.3)
где Ьн = Ь*н>0 и Мн = М-:н>0 положительно определенные и самосо-
пряженные операторы в эвклидовом пространстве Ня=Н,
(и, и) + /11 л.
Для любой функции ШфО определим функционал |1(^) (отношение Релея):
(Ьн, и, и)
!*(“) = -ШПГТО'
и вектор невязки
ч (и) = Еи—¡11 (и) - Ми
и поставим задачу определения наименьшего собственного значения Х\. Введем в рассмотрение оператор
Ль = 0» (Х4№$ххх ^ у у у у )’ ^0 ~ ” 12(1 —л^Г2)
с граничными условиями (4.2).
Двухступенчатый метод решения (4.1) имеет вид
Вн(тп+1—хюп) = —уп{Е]гхюп—\лпМн1Юп), (4.4)
где Вн = Ан(Е—7т)“1, Е — тождественный оператор, Тт — оператор сокращения погрешности за т итераций в методе переменных направлений при решении уравнения
Аии = g, (4.5)
\\Тт\\ = 1.
Оператор В самосопряжен и положителен в Я. Л/г и Вн эквивалентны по спектру с константами эквивалентности 1—¿7 и 1+у. Из этого следует
5 о (1—/¡)Вн^С 1 с}) Вн,
где 6о, б| — константы эквивалентности операторов Ан и Ен: 8оАн<^н<.6\Аь.
В проведенных расчетах использовалось фиксированное
Уп = У= -вГп1^), а=1+1>Л Алгоритм реализации метода (4.4) следующий:
1) задаемся гладкой функцией, удовлетворяющей граничным условиям, И ПреДСТаВЛЯем ее В ВИДе СеТОЧНОЙ фуНКЦИИ
2) нормируем эту функцию
3) вычисляем приближение к собственному значению
, (Lhw(n\ w(n>)
Суммирование проводится по всем внутриконтурным узлам сетки;
4) по известному w(n) вычисляется
5) для решения (4.5) применяется метод переменных направлений с начальными приближениями, равными нулю;
6) т-ная итерация в методе переменных направлений совпадает с
И) —
Метод переменных направлений брался в форме
где 5 — номер внутренней итерации; %(1)s, t(2)s — оптимальные параметры Вакспресса, вычисляемые исходя из границ спектров операторов Al, И и Á2, h\
7) вычисляем —•w^n)Jrv{m) и производим сравнение на выход
из итерационного цикла ||g'||<e.
Если 1Н>е, то вычисления повторяются начиная с п. 2.
Проведено исследование устойчивости оболочек из нелинейноупругого материала. Анализируется влияние на значения критических нагрузок, напряжения, прогиб условий закрепления кромок, характера нагружения, параметров геометрии оболочки. Расчет оболочек с разными граничными условиями с учетом и без учета физической нелинейности показал, что степень влияния нелинейности на величину критических нагрузок слабо зависит от условий закрепления кромок.
Анализ показывает, что физическая нелинейность существенно снижает величину критической нагрузки ,и с увеличением параметра k2 это влияние заметно увеличивается. Построенные траектории напряжений и деформаций в характерных точках оболочек показали сложность процессов нагружения, имеющих место на критических и закритичес-ких режимах деформирования.
Устанавливаются значения параметра кривизны, при которых возникает явление хлопка цилиндрической панели по несимметричной форме при симметричных граничных условиях и симметричном нагружении. Нагрузка хлопка зависит от того, будет ли несимметричная форма потери устойчивости характерной для панели с данными геометрическими параметрами и граничными условиями. Если несиммет-фичная форма потери устойчивости наступает раньше симметричной, то малая несимметрия в нагрузке позволяет обнаружить эту форму потери устойчивости и с некоторой погрешностью найти соответствующую ей величину критической нагрузки. Определены величины критической нагрузки симметричной и несимметричной формы потери устойчивости.
g= —y(LhwW—\¿n)wW), llg1l=y/ii/¿2-S g2i,k\
(E+\msAi,h) (E+x^sA2,h)
(A hVs—g),
Исследуются устойчивость и закритическое поведение упругих ,и упругопластических сжатых прямоугольных пластин постоянной и переменной толщины. Проведено сравнение результатов, полученных по деформационной теории пластичности и по теории течения. Анализируется распределение зон пластичности, разгрузки, вторичных пластических деформаций.
Решения по теории течения приводят к большим по сравнению с деформационной теорией значениям критических нагрузок. Пластические деформации приводят к снижению критической нагрузки. Так, учет упругопластических деформаций в защемленных пластинах приводит к уменьшению критических нагрузок при одноосном и двухосном сжатии примерно на 30 и 10% соответственно.
5. Дается математическая формулировка задачи оптимизации пластин и оболочек, излагается постановка задачи минимума веса, равнопрочности и наибольшей жесткости изотропных тонких пластин и пологих оболочек переменной толщины.
Разработаны алгоритмы проектирования оптимальных в смысле равнопрочности, по весу и жесткости пластин и пологих оболочек с учетом конструктивных ограничений.
Впервые дается решение ряда задач оптимизации упругопластических пластин и оболочек в геометрически нелинейной постановке.
Задача оптимального проектирования сводится к задаче нелинейного программирования большой размерности. Многопараметричность и двумерность оптимизируемого объекта порождают ряд трудностей в получении решения.
Процесс оптимизации организуется как поэтапное улучшение начального проекта. При этом на каждом этапе решается нелинейная краевая задача. Эффективность оптимизации в существенной мере зависит от метода и алгоритма решения краевой задачи. Использовался (метод конечных разностей в сочетании с методом матричной прогонки и двухступенчатым.
Предлагается алгоритм оптимизации, основанный на использовании интегрального (критерия качества, метода штрафных функций и планирования экстремальных экспериментов. В качестве управляющей функции бралась толщина.
Решены новые задачи оптимизации упругопластических прямоугольных в плане пластин и пологих оболочек в геометрически нелинейной постановке. Задачи решены для различных видов нагружения и при разных закреплениях краев оболочки. Показано, что в задачах оптимизации пластин -и оболочек по равнопрочности и весу во многих случаях необходимо учитывать геометрическую и физическую нелинейности, т. к. в результате оптимизации прогибы существенно возрастают. Учет упругонластических деформаций позволяет получить дополнительное снижение веса.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Ильюшин А. А. Пластичность. Основы общей математической теории М- АН СССР
1963. 272 с. ’
2. Столяров Н. И., Рябов А. А. К решению задач изгиба пластин методом Ричардсона с чебышевским ускорением//Математическая физика: Межвуз. (межвед.) тематич. сб. трудов. Куйбышев, 1976. С. 89—96.
3. Столяров Н. Н., Неронов Л. В. Решение краевых задач теории пластин релаксационным методом Ф е д е р е н к о / / Ч и с л е н н ы е методы решения задач теории упругости и пластичности: Материалы IV Всесоюз. конф. Новосибирск: СОАН СССР, 1976. Ч. II.
С. 105—113. .
4. Дьяконов Е. Г., Столяров H. Н. О реализации эффективных итерационных методов для разностных статических задач теории пластин и оболочек//Численные методы решения задач теории упругости и пластичности: Материалы V Всесоюз. конф. Новосибирск, 1978. Ч. II. С. 55—75.
5. Дьяконов Е. Г., Столяров H. Н. Расчет на прочность труб переменной толщины на основе теории пологих оболочек//Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1978. Т. 9. №6. С. 47—62.
6. Дьяконов Е. Г., Столяров H. Н. О решении нелинейных статических задач теории пластин и оболочек//Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1979. Т. 10. №5. С. 39—62.
7|. Столяров H. П., Неронов Л. В. Большие прогибы упругопластических неоднородных пластин и пологих оболочек переменной жесткости//Тр. семинара по теории оболочек. Казань: КФТИ КФ АН СССР, 1977. Вып. 9. С. 48—56.
8. Столяров H. Н., Неронов Л. В. Упругопластический изгиб гибких пологих оболочек переменной кривизны и жесткости//Прикладная теория упругости: Межвуз. науч. сб. Саратов: Сарат. политехи, ин-т, 1980. С. 20—27.
9. Стшяров H. Н. Несимметричные задачи упругопластического изгиба пологих оболочек и пластин переменной жесткости//Прочность и устойчивость оболочек: Тр. семинара. Казань: КФТИ КФ АН СССР, 1980. Вып. 13. С. 47—58.
10. Столяров H. Н., Тарасов А. П. Единообразное представление и аппроксимация экспериментальных данных по связи напряжений и деформаций на двухзвенных траек-ториях//Прочность и надежность конструкций: Межвуз. сб. науч. тр. Куйбышев,
1981. С. 111 — 127.
11. Столяров H. Н., Васин Р. А. Исследование прочности пластин и оболочек на
основе метода СН—ЭВМ//Повышение долговечности и надежности машин и приборов: Тез. докл. Всесоюз. науч.-техн. конф. Куйбышев, 1981. С. 348—349.
12. Столяров H. Н., Пестровский Г. М. Устойчивость и большие прогибы длинных упругопластических панелей переменной жесткости и кривизны//Прикл. механ. Киев, 1980. T. XVI. Вып. 3. С'. 56—59.
13. Столяров H. Н., Рябов А. А. Устойчивость и закритическое поведение прямо-
угольных пластин переменной толщины//Исследования по теории оболочек: Тр. семинара. Вып. 15. Казань: КФТИ КФАН СССР, 1982. С. 135—145.
14. Корнишин М. С., Столяров H. Н. Об одном алгоритме расчета пластин и оболо-
чек, близких к равнопрочным//Труды семинара по теории оболочек. Казань: КФТИ АН СССР, 1975. Вып. 6. С. 187—195.
15. Корнишин М. С., Александров М. А., Столяров H. Н. К расчету близких к равнопрочным гибких пластин и пологих оболочек численным методом//Чиаленные методы решения задач теории упругости и пластичности: Материалы IV Всесоюз. конф. Новосибирск: СО АН СССР, 1976. Ч. II. С. 69—76.
16. Столяров H. Н., Пестровский Г. М. Об одном алгоритме решения задач оптимизации пластин и оболочек//Исследования по теории оболочек: Тр. семинара. Вып. 15. Казань: КФТИ КФ АН СССР, 1982. С. 127—134.
17. Петров В. В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластин и оболочек. Саратов: Сарат. ун-т, 1975. 173 с.
18. Стриклин, Хейслер, Реземанн. Оценка процедур для анализа геометрически не-
линейных конструкций с нелинейным поведением материала/УРакет. техн. и космонавтика. 1973. JVb 3. С. 63—72. #
19. Wachspress Е. L. Iterative solution of elliptic diffusion equations of reactor physics. New York, 1966. P. 31—42.
УДК 539.4
В. П. РАДЧЕНКО, Е. В. ПАНФЕРОВА
СТРУКТУРНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ МЕТАЛЛОВ В ОДНООСНОМ СЛУЧАЕ
С позиций механики микронеоднородных сред при помощи математической структурной модели описана диаграмма упругопластического деформирования, включая уча* сток неустойчивого деформирования. Проанализирована кинетика полей микронапряжений, соответствующих различным характерным точкам диаграммы. Выполнена экспериментальная проверка предложенной методики. Наблюдается хорошее соответствие расчетных и экспериментальных данных.
