CC BY
39
4. Дьяконов Е. Г., Столяров H. Н. О реализации эффективных итерационных методов для разностных статических задач теории пластин и оболочек//Численные методы решения задач теории упругости и пластичности: Материалы V Всесоюз. конф. Новосибирск, 1978. Ч. II. С. 55—75.
5. Дьяконов Е. Г., Столяров H. Н. Расчет на прочность труб переменной толщины на основе теории пологих оболочек//Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1978. Т. 9. №6. С. 47—62.
6. Дьяконов Е. Г., Столяров H. Н. О решении нелинейных статических задач теории пластин и оболочек//Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1979. Т. 10. №5. С. 39—62.
7|. Столяров H. Н., Неронов Л. В. Большие прогибы упругопластических неоднородных пластин и пологих оболочек переменной жесткости//Тр. семинара по теории оболочек. Казань: КФТИ КФ АН СССР, 1977. Вып. 9. С. 48—56.
8. Столяров H. Н., Неронов Л. В. Упругопластический изгиб гибких пологих оболочек переменной кривизны и жесткости//Прикладная теория упругости: Межвуз. науч. сб. Саратов: Сарат. политехи, ин-т, 1980. С. 20—27.
9. Стшяров H. Н. Несимметричные задачи упругопластического изгиба пологих оболочек и пластин переменной жесткости//Прочность и устойчивость оболочек: Тр. семинара. Казань: КФТИ КФ АН СССР, 1980. Вып. 13. С. 47—58.
10. Столяров H. Н., Тарасов А. П. Единообразное представление и аппроксимация экспериментальных данных по связи напряжений и деформаций на двухзвенных траек-ториях//Прочность и надежность конструкций: Межвуз. сб. науч. тр. Куйбышев, 1981. С. 111 — 127.
11. Столяров H. Н., Васин Р. А. Исследование прочности пластин и оболочек на
основе метода СН—ЭВМ//Повышение долговечности и надежности машин и приборов: Тез. докл. Всесоюз. науч.-техн. конф. Куйбышев, 1981. С. 348—349.
12. Столяров H. Н., Пестровский Г. М. Устойчивость и большие прогибы длинных упругопластических панелей переменной жесткости и кривизны//Прикл. механ. Киев, 1980. T. XVI. Вып. 3. С'. 56—59.
13. Столяров H. Н., Рябов А. А. Устойчивость и закритическое поведение прямо-
угольных пластин переменной толщины//Исследования по теории оболочек: Тр. семинара. Вып. 15. Казань: КФТИ КФАН СССР, 1982. С. 135—145.
14. Корнишин М. С., Столяров H. Н. Об одном алгоритме расчета пластин и оболо-
чек, близких к равнопрочным//Труды семинара по теории оболочек. Казань: КФТИ АН СССР, 1975. Вып. 6. С. 187—195.
15. Корнишин М. С., Александров М. А., Столяров H. Н. К расчету близких к равнопрочным гибких пластин и пологих оболочек численным методом//Чиаленные методы решения задач теории упругости и пластичности: Материалы IV Всесоюз. конф. Новосибирск: СО АН СССР, 1976. Ч. II. С. 69—76.
16. Столяров H. Н., Пестровский Г. М. Об одном алгоритме решения задач оптимизации пластин и оболочек//Исследования по теории оболочек: Тр. семинара. Вып. 15. Казань: КФТИ КФ АН СССР, 1982. С. 127—134.
17. Петров В. В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластин и оболочек. Саратов: Сарат. ун-т, 1975. 173 с.
18. Стриклин, Хейслер, Реземанн. Оценка процедур для анализа геометрически не-
линейных конструкций с нелинейным поведением материала/УРакет. техн. и космонавтика. 1973. JVb 3. С. 63—72. #
19. Wachspress Е. L. Iterative solution of elliptic diffusion equations of reactor physics. New York, 1966. P. 31—42.
УДК 539.4
В. П. РАДЧЕНКО, Е. В. ПАНФЕРОВА
СТРУКТУРНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ МЕТАЛЛОВ В ОДНООСНОМ СЛУЧАЕ
С позиций механики микронеоднородных сред при помощи математической структурной модели описана диаграмма упругопластического деформирования, включая уча* сток неустойчивого деформирования. Проанализирована кинетика полей микронапряжений, соответствующих различным характерным точкам диаграммы. Выполнена экспериментальная проверка предложенной методики. Наблюдается хорошее соответствие расчетных и экспериментальных данных.
Хорошо известно, что многие промышленные и природные поли-кристаллические материалы даже малого объема с точ]ки зрения механики микронеоднородных сред представляют сложную статически неопределимую систему случайно ориентируемых кристаллических зерен. Общепризнанным является факт временного вл/ияния процессов неупругого деформирования и накопления рассредоточенных по объему материала микроповреждений, которые обуславливают ряд нелинейных эффектов, описать которые с феноменологических позиций довольно трудно. Поэтому в теории ползучести и пластичности наряду с феноменологическими теориями, устанавливающими связь между макроскопическими свойствами материала, возникает необходимость в рассмотрении математических моделей микромеханизма деформирования и разрушения материала с целью более полного описания его поведения при термомеханических воздействиях. Это дает представление о том, каким образом формируются макроскопические характеристики материала, и позволяет более обоснованно выбрать подходящий вариант феноменологической теории. Для этой цели используют структурные математические модели среды, учитывающие неравномерность развития необратимых деформаций и представляющие собой совокупность некоторых гипотетических локальных элементов, наделенных свойствами упругости, пластичности и ползучести. Основные принципы построения таких математических моделей, отражающих важнейшие закономерности упругопластического деформирования и ползучести, даны, например, в работах [1, 2].
Целью настоящей работы является попытка развития такого подхода для описания процесса упругопластического одноосного деформирования и разрушения металлов, включая описание стадии неустойчивого (заиритического) деформирования. Для решения поставленной задачи используется структурная модель, предложенная в работе [3].
Полукристаллический материал моделируется системой хаотически ориентируемых однородных стержней одинаковой длины, работающих на растяжение-сжатие. Каждый локальный элемент этой системы (стержень) наделяется простейшими деформационными свойствами: линейной упругостью и идеальной пластичностью, которые, ПО-ВИДИМО|Му, являются основными микромеханизмами упругопластической деформации [4—6]. В таком случае задача одноосного деформирования образца сводится к изучению поведения стержневой конструкции (рис. 1), а деформация элементарного стержня представится в виде [3]
8 i = ei + epi. (1)
Здесь ei = Oi/EM — упругая деформация (Ем — микромодуль Юнга); е-р — пластическая деформация, где i — номер стержня; ст/ — микронапряжение в элементарном стержне.
Ориентация стержня задается углами 0 -и ф (см. рис. 1), где ©—угол
- - -I—
1 ( 1 4 — 1 Ш ы
Iя" С
Рис- I. Схематическое изображение структурной модели при одноосном растяжении
между стержнем И ОСЬЮ ОХ, ф — угол между проекцией стержня на
плоскость 0X2 и ось ОУ (О<0< ^ ; 0<ф<2д).
Обозначим через а = а(0, ф) — напряжение, возникающее в стержне (микронапряжение);; 8 = 8 (0, ф) — деформацию стержня (микродеформацию); <Ох>, <оу>, <Ог> — приложенные к образцу макронапряжения; <8*>, <8г/>, <Ег> — ПрОДОЛЬНуЮ И ПОПереЧНЫС МЭК-родеформации образца сооответственно.
В [3] были получены уравнения равновесия
<ах> = —-—] со82@5т@с1@ \ а(■©, ф)йф; (2)
* л о о
т. ¡2 2т.
[ зт30^0 [ а(0, ф) |соБ2ф|¿г/ф = 0;
о о
%¡2 21-
[ зт30^0] а(0, ф) |з1п2ф!^ф = 0 (3)
о о ‘
и уравнения совместности деформации
е(0, ф)= <е*>со520 + <гу>$т2&, (4)
где <е*>, <гу> — макродеформации образца (<гу> = <гг> в силу симметрии задачи).
Для установления связи между микро- и макродеформацией введена гипотеза однородности деформации по объему в виде
<8л> = 8(0, ф);
<£у> ~ <8г> — 8 ( , 0) =8 (—(5)
Используя предел пропорциональности апр на диаграмме упругопластического деформирования в [3], получили зависимость для атм = ЗаПр--и установили связь между макромодулем <Е> и микромодулем: 3£м = <Е>.
Рассмотрим кинетику деформирования и разрушения металлов на основании структурной модели (2) — (5), представленную на рис.
2, а—е, которые соответствуют различным возрастающим значениям ер.
а. Диаграмма микронапряжений соответствует упругому состоянию, когда |а(0) | <атм(О<0< —£—)•
б. В этом случае часть стержней при О<0<о:1 достигла предела текучести: а(0)=аТм. Таким образом, имеем две зоны: упругопластического растяжения (0<©<а1) и упругого состояния (а1<0<я/2).
в. Этот случай соответствует состоянию, когда микронапряжение
сжатия в локальном элементе при 0 = — достигло микропредела
текучести сжатия, то есть а (я/2) =—аТм. Здесь наряду с зоной упругопластического растяжения появилась зона упругопластического сжатия.
г. По мере увеличения ер в процессе упругопластического деформирования происходит развитие упругопластических зон растяжения а(0)=сгтм (О<0<а1) и сжатия а(0) =—а™ (а2<6<л/2).
80
5 к і в\ О/м 2
Оу м \
о ' \**| к {■' Л!
$1 и \| \ 1
о
бтк
Рис. 2. Диаграммы упругопластического деформирования материала
— упругопласти-
д. Этот случай соответствует состоянию материала, когда одни наиболее нагруженные (растянутые) локальные элементы при О<0<а3 уже разрушились, другие — упругопластически растянуты (сс3<в<<%!), третьи (сс1<@<а2) — находятся в упругом состоянии,
а оставшиеся локальные элементы при аг<0<—отчески сжаты. В качестве критерия разрушения локального элемента использовался деформационный критерий разрушения, т. е. считалось, что каждый локальный элемент разрушался при выполнении условия ер (6) =е*р, где е*Р соответствует точке локального экстремума на диаграмме упругопластического деформирования образца (рис. 3).
е. Эта схема иллюстрирует дальнейший ход процесса микроразрушения образца, когда начинают разрушаться пластически сжатые стержни при достижении пластической деформацией в локальном элементе значений ер(в)
~ОГ—г.
С,
каждую
—е'р. из схем,
Рис. 3. Диаграмма уп*
ругопластического деформирования образца
Опишем математически представленных на рис. 2.
Для случая а система уравнений получается из уравнений (2) — (5) и закона Гука и имеет вид
| а(©) =3<ох> (соб2©---------^—эт2©);
I е<©)= а (©)/£*. (6)
Рассмотрим состояние образца в случае б, для которого микронапряжения о(@)=0тм (0<@<а1) и ог(©) удовлетворяют упругому распределению при а1<@<я/2.
Из уравнения совместности при 0 = а1 имеем
е(об1) = <8*>С052Сб1 + <8у>81п2аь
С использованием закона Гука последнее равенство принимает вид
о( , 0)
= <8А'>со52а1 Н— --------5-------$т2аи
и £
откуда
<8л->= ('^м—а {п/2, 0)з1п2а1). (7)
Подставляя (7) в (4) и используя закон Гука, получим
о(0) = -ст™~°Щ 0) 5.1п!.0С1_соз2е+0 ( , 0) эт20. (8)
4 7 соБ2а1 ■ у 2 ’ 7 4 7
Учитывая распределение а(0) для данного случая и (8), уравнения равновесия приводятся к виду
‘ <ох> = 2 [ <7тмСО8205Ш0С?0 + У—-?1 х
1 о а, С0^а’
тг
X со540зт0^0+ ] а( —0—, О)со5205т3©б/0];
а, -
ОГтм5т30£?0+ I —^-™Та 5111 .К‘-СО520$1п30й?0 +
о н 003 а'
+ Т ( -4-, О)5т50с?0 = О. (9)
«I •
После интегрирования (9) получаем систему уравнений <ах> = — [5отм—2соэ3а1 (отм—сг (—0))];
5<Ттм—бсоэа^сТтм—сг (—, 0))+со$3а1((хТм—о 0)) = 0. (10)
л
Неизвестными в (10) являются <Ох>) о&1, а(—— , 0),т. е. три неизвестных, а уравнений — два. Однако в процессе упругопластического нагружения при феноменологическом подходе известна скорость нагружения <8лг> (в некоторых случаях — скорость <Ох>) , поэтому одну из величин в (10) можно задавать и решать (10) относительно двух других. Задавая, например, аь из первого уравнения (10) определяет-зх
ся ст(—2—,0) и далее из второго — < *>.
Рассмотрим состояние, соответствующее схеме на рис. 2, в. Здесь ог(в)=<Хтм (О<0<а*1), сг(0) = —атм (0=-----------|—) и а(0) соответствует
упругому состоянию при а*1<©<—. Аналогично предыдущему
случаю из уравнений равновесия и уравнения совместности при
0 = a*i получим систему уравнений
<ах>= ■ 2а™- [5-4соз3аГ];
5 + 2cos3ai*—10cosai* = 0; (11)
<'■>=
Из второго уравнения системы (11) можно определить значение угла а*ь что позволяет найти <0*> и <ех>. В частности, распределение поля микронапряжений в упругой области а*1<в<я/!2 имеет вид
0(@) = ^(t+sm^) COS20—OTMsin2©. (12)
4 ’ cos2ai* v 7
Аналогично можно получить ¡математические модели для остальных случаев. Для схемы, соответствующей рис. 2, г, имеем систему
i ^ ^ _ оТм sin2ai + sin2a2.
-- --
<еу> =
Е cos2oc2 — cos2ai? °™ _£?s2oíi + cos2a2,
Е cos?a2 — cos2ai1
I <o*>= ■—Гг?—5^—----------¿-r- [5(cos2a2—cos2aj)— (13)
15(cos2a2 — cos2ai) L ■
—4(cos5a2—cos5ai)]; 2aTM[2(cos5a2—cos5ai) — 10(cos3a2—cos3ai) + + 5(cos2a2—cos2ai)]¡/15(cos2a2—cos2ai) — 0.
Для схемы, представленной на рис. 2, <3, систехма имеет вид
/ < ^ ____________2от
ах 15(cos2a2— eos 2о
—4 (cos5oc2—cos5oci)];
Отм [4 (cos5a2—cos5ai) —20 (cos3a2—cos3ai) —5(cos2a2 —
| —cos2ai)- (cos3a3—3cosa3) ]/15(cos2a2—cos2ai) =0; (14),
. . oTM sin2ai -f sin2a2
<Ex> -------=r *
[5cos3a3(cos2oí2—oos2ai) —
ai)
~ cos2a2 — cos2ai’
" ъ- — Отм C.QS2«! + cos2a2>
E eos 2oí2 — cos2ar
v e*P= <ex>cos2a3+ <ey>sin2a3, а схемы на рис. 2, е\
{ е*Р= <e*>cos2a3 + <e!/>sin2a3;
= <e*>cos2ai + <ei/>sin2ai;
h '
0™ = <e.Y>cos2a2+ <ea>sin2a2;
E
-e*P = <e*>cos2a4+ <e,,>sin2a4;
<<Ух>= ---r-r~[5(cos3a4 + cos3a3) (cos2a2 —
l5(cos2a2 — cos2ai) L x 7 '
—cos2ai) — 4(cos5a2—cos5ai)];
Otm [4(cos5a2—cos5ai) —20(oos3a2—cos3ai) —
—5(cos2a2—cos2<xi) (cos^s + cos^) +
^ +15(cos2a2—cos2ai) (cosa3 + cosa4)]/15(cos2a2—cos2ai)=0. (15)
Следует отметить, что исходной информацией для определения всех параметров предложенной структурной модели являются предел пропорциональности апр, макромодуль Юнга <Е> и величина пластической деформации, соответствующая точке экстремума диаграммы упругопластического деформирования. В качестве иллюстрации на рис. 4 приведена расчетная диаграмма уцругопластичес-кого деформирования (пунктирная линия) для сплава ЭИ 698 при Т = 750°С. Как видно, наРис. 4. Кривые мгновен- блюдается хорошее соответствие расчетных
сплаваД6^ЭИ698В3при ТД= и экспериментальных (сплошная линия) сплава ^ 750оС; п И данных.
_______ _ эксперименталь- Из ВЫШСИЗЛОЖеННОГО МОЖНО СДелаТЬ СЛе-
иые данные; -------------ДуЮЩИе ВЫВОДЫ.
расчетные данные J ^
1. Предложенная модель позволяет с позиций статики расчетным путем прогнозировать диаграмму упругопластического деформирования металлов, включая участок неустойчивого деформирования.
2. Показано, что участок неустойчивого деформирования связан с появлением и развитием зон микроразрушения локальных элементов, что с феноменологических позиций соответствует интенсивному накоплению поврежденное™, уменьшению истинной площади поперечного сечения образца (пластическому разрыхлению материала), резкому увеличению значения истинного напряжения и одновременно уменьшению номинального напряжения при увеличении значения еР.
3. Предложенная модель может быть использована в качестве математического моделирующего комплекса процесса упругопластического деформирования, накопления поврежденности и разрушения металлов с целью построения адекватных феноменологических моделей указанных процессов.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Новожилов В. В., Кадашевич Ю. И. Микронапряжение в конструкционных материалах. Л.: Машиностроение (Ленинград, отд-ние), 1990. 223 с.
2. Гохфельд Д. А., Садаков О. С. Пластичность и ползучесть элементов конструкций при повторном нагружении. М.: ¡Машиностроение, 1984. 256 с.
3. Радченко В. П., Кузьмин С. В. Обоснование уравнений ползучести материалов с помощью структурной модели стержневого типа. Теоретико-экспериментальный метод исследования ползучести в конструкциях: Сб. науч. тр. Куйбышев: КПтИ, 1984. 196с.
4. Розенберг В. М. Основы жаропрочности металлических материалов. М.: Металлургия, 1973. 328 с.
5. Weng G. J. Aplisically consistent method for the predictions of creep behavior of metals//Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1979. № 4. P. 800—804.
6. Besseling J. F. Plasticity and creep theory in engineering mechanics//Top. Appl. Continuum. Mech. Wien—New-York, 1974. P. 115—135.
