Научная статья на тему 'Об определении функции источника в параболической задаче с данными Коши на части боковой поверхности цилиндра'

Об определении функции источника в параболической задаче с данными Коши на части боковой поверхности цилиндра Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
11
3
Поделиться
Область наук
Ключевые слова
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА / ПАРАБОЛИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА / КРАЕВАЯ ЗАДАЧА / УСЛОВИЕ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕНИЯ

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Пятков Сергей Григорьевич, Боричевская Альбина Генадьевна

Рассматривается обратная задача об определении решения параболического уравнения и неизвестной правой части в этом уравнении. Используются стандартные условия первой или смешанной начально-краевой задачи, дополненные условием Неймана на части боковой поверхности цилиндра. При некоторых условиях на данные задачи доказана разрешимость этой задачи в пространствах Соболева.

On determining a source function in a parabolic problem with the Cauchy data on a part of the lateral surface of a cylinder

We examine an inverse problem on determining a solution to a parabolic equation and an unknown right-hand side in this equation using the conventional conditions of the first or mixed initial-boundary problem supplemented with the Neumann data on a part of the lateral boundary of a cylinder. Under some conditions on the data, we prove the solvability of this problem in the Sobolev spaces.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Текст научной работы на тему «Об определении функции источника в параболической задаче с данными Коши на части боковой поверхности цилиндра»

УДК 517.946

ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ФУНКЦИИ ИСТОЧНИКА

В ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ С ДАННЫМИ КОШИ НА ЧАСТИ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЦИЛИНДРА*)

С, Г, Пятков, А. Г, Боричевская

Введение.

В работе рассматривается параболическое уравнение

щ - Ьи = Цх,г), (х,г) е д = о х(0,Т), (1)

где О — ограниченная область в пространстве М" с границей Г, Б = Г х (0,Т) и

Ьи = ач(х, + ^2, Ых, + с(х, г)и

¿,,7=1 г=1

— эллиптический оператор, т. е. найдется постоянная ^ > 0 такая, что

у^ > ¿о|£|2 для всех (х,г) €

Ь3=1

Считаем, что область О — цилиндр вида О = П х (0, ¿). Положим

Б0 = {(х,*) е д^ : х„ = 0} Б = {(х,*) е дд : х„ = ¿}, Б! = дП х

(0, х (0, Т). Уравнение (1) дополняется начальными условиями

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

и |е=о = и0(х), (2)

Работа выполнена при поддержке РФФИ (код проекта № 12-01Ч)0260а). ©2012 Пятков С. Г., Боричевская А. Г.

данными переопределения

ди

дх" х„=0

'х', £) (х' = (х, Х, • • •, хп_1))

(3)

и краевыми условиями

и^ = ^(х,^, их„ |я2 = ^(х'

(4)

(5)

или

(6)

Мы рассматриваем обратную задачу об определении вместе с решением и

неизвестной функции д(х', £), входящей в правую часть уравнения вида

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Такие обратные задачи и близкие к ним возникают при описании процессов тепломассопереноса, диффузионных процессов, процессов фильтрации и во многих других областях. Задачи с условиями переопределения, заданными не на границе цилиндра, а на некоторых внутренних многообразиях (в частности, на плоскостях, пересекающих О), рассматривались в работах Ю. Я. Белова, Ю. Е. Аниконова и ряда других авторов (см. [1-4] и имеющуюся там библиографию). Довольно подробно обратные задачи с данными Коши на боковой поверхности цилиндра рассмотрены в случае п = 1 (см. [5-11]), причем как в линейном случае, т. е. в задаче об определении функции источника (правой части), так и в нелинейном случае, т. е. в задаче об определении коэффициентов уравнения. В частности, ряд теорем существования и оценок устойчивости в пространствах Гёльдера могут быть найдены в монографии М. Иванчова [5]. В многомерной ситуации оценки устойчивости для решений обратных задач об определении коэффициентов в уравнении по данным (2)—(5) или (2)—(4), (6) вместе с дополнительными условиями интегрального переопределения имеются в [12]. Близкая постановка также исследована в [13]. Теорема существования решений задачи (2)-(4) в пространствах Гёльдера в случае П = М"-1 и й = <х

/ = /о(х, ¿)д(х', г) + / (х, ¿).

приведена в [14]. Ряд результатов по обратным задачам с данными Ко-ши на боковой поверхности цилиндра изложен в [15,16], где в основном

п

вая часть зависят лишь от пространственных переменных. Отметим также работы [17,18], где изложено много результатов, касающихся обратных параболических задач, и имеется достаточно полная библиография. Цель настоящей работы — получить теоремы существования решений (и, д) задач (1)-(5) и (1)-(4), (6) в пространствах Соболева.

§ 1. Определения и основные результаты

Пусть Е — банахово пространство. Через Ьр(О; Е) (О — область в М") обозначается пространство сильно измеримых функций, определенных на О, со значениями в Е и конечной нормой ||||и(х)||е||ьр(о) (см. [19]). Также используем пространства Ск(С;Е), состоящие из функций, имеющих в О все производные до порядка к включительно, О

кание О. Обозначения для пространств Соболева О; Е) стандартны (см. [19]). При нецелых в пространство Соболева ^^^^О Е) совпадает с пространством Бесова (О; Е). Если Е = М или Е = С, то последнее пространство обозначаем просто через Врр(О). Аналогично вместо Шр(С;Е) или Ск(С;Е) используем обозначение Т¥р(С) или Ск(С). Для данного интервала J = (О, Т) положим Q = J х С и д) = Ьр(О)) П О))» соответственно %я'г(Б) =

.7; Ьр(Т)) П Ьр{ ЭД^(Г)). Здесь используются обозначения Г, Б из введения. Аналогично определяем анизотропные пространства Гёль-дера и Бесова (см. [19-21]).

Приведем условия на данные задачи. Считаем,что область Л ограничена и дО е С2. Обозначим Б{ = дП х (0, ¿) х (О, Т), Ой = П х (0, ¿),

д] = Ой х (0,7), д7 = О х (0,7), Б7 = дП х (о,7), д7 = ом 0,7).

Относительно данных предполагаем, что

щ(х) е в1у(С), щ е (г = о, 1), ф е

(7)

В случае, если рассматривается задача (1)-(5), предполагаем, что

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(8)

а в случае задачи (1)-(4), (6) —

(9)

Пусть

3(5 € {0,(1) ■. и0Хп е в2ру(с6), е в^/'1^^). (ю)

Далее фиксируем величину 6. Чтобы упростить изложенное, запишем условия согласования в виде: существует Ф € Ш?'1 (0) такая, что

€ ш?-1 (дй), (11)

и выполнены условия (1)—(5) или соответственно (1)—(4), (6). Приведем условия на данные задачи. Пусть

ЛОМ) € ьж(д), Л(х,*) € ь?(О), ¡0Хп € ьж(дй), Лхп € ьр(дй),

(12)

36!>0: |/о(х',0,*)| > 61 (13)

при почти всех (х', ¿) € Оо- Считаем, что

^„(х'Дг) = а4п(х',0,г) = 0, 1=1,2 ,...,п - 1, (х',г) € о, (14) % ес®, ь»еьго(д), ¿,.7 = 1,2,...,п, сеьГ1(д) (15)

для некоторых г0 > тах(р, п + 2), г\ > тах (р,и

€ ЬГо (дй) (¿,.7 = 1,2, .. ., п), Схп € ЬГ1 (Ой); (16)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

под производными здесь и далее подразумеваются обобщенные производные в смысле Соболева. Сформулируем основной результат.

Теорема 1. Пусть р > 1 и выполнены условия (7)-(16). Тогда существует единственное решение (и, д) задач (1)-(5) н (1)-(4), (6) такое, что

и € Ш?-10, ихп € Ш?-1 (дйо) У60 <6, д € Ьр(О).

§ 2. Доказательство основных результатов

Лемма 1. Найдется постоянная с > 0 такая, что для всех и € Wp((О1) такнх, что и(х, 0) = 0, выполняется неравенство

Ни11ьр(от ^сV/2Ы^р-1 ■

Доказательство. Утверждение вытекает из интерполяционного неравенства

\M\wp(о) < с1М1^|т\\и\\Тр{о)

(см. [19]) и формулы Ньютона — Лейбница.

Лемма 2. Если Ъ € Ьд(<57) прн ц > тах(р, то найдется

постоянная с > 0 такая, что для всех и € ^ (О^, и(х, 0) = 0, выполнено

\\иЪ\\ьр(^) < \\и\\^Д, а = 1-(п+2)/(2ц). (17)

Если а € Ьч(О1) при ц > тах(р, п + 2), то найдется постоянная с > 0 такая, что для всех и € Wp^ {О1), и(х, 0) = 0, выполнено

\^иа\ич№) < с7а\\и\\шр,г , а2 = 1/2 - (п+2)/(2ц). (18)

Доказательство. Оба утверждения доказываются по одной схеме. Поскольку функции, заданные на О, продолжимы на М™ = х (0, то) с сохранением класса (см., например, [19]), без ограничения общности считаем, что О = М™. Докажем первое утверждение, второе доказывается аналогично. В силу неравенства Гёльдера имеем

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

\\иЬ\\ьр(Я-<) < Щ\ьч{Я1)\Н\ь_ЕЗ_{Я1) (Я>Р)-

я—р

Сделав замену у = ж ^/7, г = ¿/7 в последнем интеграле, получим

я — р я—р

г

Поскольку и = / ит{у, г) ¿г, имеем \и\Ьр^^ < с\\ит\\Ьр((у Следова-о

тельно, в Wp^ (О можем использовать эквивалентную норму

,0= / (итГ+ ]Г 1Баи1Р ЗууЗА.

( 1-1=2

В силу теорем вложения (см., например, [21]) имеем оценку

< с||й||о, (19)

я—р

где постоянная с от й не зависит. Сделав замену у = х^у, £ = 7г, преобразуем (19) к неравенству

_п-\- л

\и\\ь_ЕЯ_(д-1) < С7 ||м|| 21

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

д-р

откуда и вытекает утверждение. Оценка (18) получается аналогично.

Лемма 3. Пусть выполнены условия (14), (15) на коэффициенты оператора Ь. Тогда для / € Ьр(д7) (7 € (О, Т], р > 1) существует единственное решение и € ^ (^7) задач (1)-(3), (5) н (1)-(3), (6) с однородными краевыми и начальными условиями в цилиндре и справедлива оценка

и 2,1,

(цт) ^ сУ/Нм^)> (20)

где постоянная с не зависит от 7 € (О, Т]. Если дополнительно выполнено условие (16) для некоторого 6 > 0 и /Хп € то полученное решение обладает свойством иХп € ^ для всех 4 < 6 н справедлива оценка

1К„Н^1(Ц^) < с( 11/х„+ У/ , (21)

где постоянная с не зависит от 7, но, вообще говоря, зависит от параметра ¿о < 6.

Доказательство. Возьмем сначала 7 = Т. Для доказательства будем использовать четные или нечетные продолжения решения относительно плоскостей хп = 0, хп = ¿и сильно упрощенную схему из работы [22]. Пусть

з зу V4 4 / V3 3 )

Построим разбиение единицы {^¿}|=1 на С, ^р^ € С5°(МП), такое, что вирр <рг С М 1 х I - -, - I, вирр х I -, — I,

вирр да С Мп х

хП — <р\(х',хп), <£з(х', 2^ — хп) — <рз(х',хп).

Построим области Ог с границей класса С такие, что область С\ симметрична относительно плоскости хп = 0, область Од симметрична относительно плоскости хп = й и вирру>г П Ог С Сг0 С Ог (г = 1,2,3). Рассмотрим, например, задачу (1)-(5), задача (1), (4), (6) рассматривается аналогично. Продолжим коэффициенты оператора из области О1 П С в область О1 \ О следующим образом: апп, я0^и г, < п — 1, 6г щи г < п и с четным образом по переменной хп (т. е. новый коэффициент ад, в О \ О определяется как аг^х', —хп, £)), агп, ап при г = 1,2, ...,п — 1 нечетным образом по пер еменной хп. В силу (14) получаем, что продолжения коэффициентов аг^ (г, ^ п) непрерывны в области Од. Аналогично продолжим коэффициенты уравнения из области О3 П О в область О3 \ О: коэффициенты а^ (г, < п), апп, 6г (г < п), с четным образом относительно плоскости хп = й (таким образом, новые коэффициенты имеют вид ац (ж', 2<], — хп, ¿), хп £ (с1, а коэффициенты ап, агп (г ^ п — 1) нечетным образом относительно плоскости хп = Имеем задачу

Пусть д € Ьр(д). Продолжим д четным образом при хп < 0 и четным образом относительно плоскости хп = т. е. продолжение д задается при хп < 0 как д(х',хп,£) = д(х ', — хп,£) и при хп > й как д(х', хп,£) = д(х', — хп,4). Продолжение обозначаем тем же символом д(х,£). Пусть ^г(х) € (Мп), ^г(х) = 1 та вирр и вирр ПОг С

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

з

О^. Ищем решение задачи (22), (23) в виде и = ^ -0г(х)иг(х,£), где

Ьри = и — Ьи = /,

(22)

их„ия2 = о, и|е=о = о, и^ = 0.

(23)

продолженное нулем вне Ог0. Поскольку каждая из областей Ог0 имеет границу класса С2, справедливы стандартные результаты о разрешимости (см, например, [21]) и для любых д € Ьр(() существует единственное решение щ(х,Ь) = Д(д) € Wp'1 (О О = Ог0 х (0,Т)). По-

О , О

обладают нужными свойствами четности, в силу теоремы единственности

щ (х , хп, Ь) = и\ (х , хп, Ь), (х , хп) € Од,

из(х',2й — хп,~Ь) = щ(х',хп,~Ь), (х',хп) € О, хп >

Следовательно, и|х„=о = 0 и и|Хп=^ = 0. Для каждой из функции щ (х, Ь) имеем оценку вида

\\wp-1 (((*) ^ с\\^д\\ьр((*) < с\\д\\ьр(■ (25)

и

3 3 3 3

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

+ [Ъ0, фг]Щ = Фгфгд + Фг]Щ

г=1 г=1

3

= иг = д + Щд), (26)

г=1

где [Ь0, фг\V = Ьо(фгV) — фгЬду, а выражение Д(д) — оператор, сопо-

з

ставляющий функции д выражение вида ХЛ^о,Фг] щ. В силу оценки

¿=1

(25) этот оператор непрерывен. Легко получить оценку з з

НВДНЫО) < С1 XI Н^Ни^д) + С11Н1м<Э). г = Т"2!^'

г=1

Чтобы оценить \\щ\\£г((, используем вложение Wp(() С Ьг(О (т ^ (п+г^р^- Поскольку г0 > тах(р,п+ 2), можем выбрать в < 1 такое, что <г: ("+1)р _ Таким образом,

Го — Р (п+1 1 1

3 3

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

11Д(д)\\ьр{( < с1\\щ\^р/>+ с2 \\щ\^((, (27) 1=1 1=1

где в < 1. В силу компактности вложений Wp'1 (ф) С Wp'0(ф) П Wp(ф) (см. [19]) оператор К : Ьр(ф) ^ Ьр(ф) вполне непрерывен. Надо доказать разрешимость уравнения

д + Д(д) = /. (28)

з

Если д — решение (28), то функция ^ — решение задачи (22),

i=l

(23). Покажем единственность решений уравнения (28) и сошлемся на

д

з

с / = 0. Тогда соответствующая функция и = ^ и^ — решение

i=l

задачи (22), (23) с / = 0. Умножив уравнение (22) на р^ получим, что = ui — решение задачи (23), где в правой части стоит выражение — [Ь0, Рг]и- Таким образом, щ = Ь— ([Ьо, р^и). Имеем

з з

где ф7 = С х (0,7). Как при получении оценки (27), используя лемму 1, имеем (в < 1)

< 7Й0(д7) (¿0 > 0).

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Таким образом, если 7^ с < 1, то и = 0 в Ьр(ф7). Продолжая рассуждения в ф^7 = Сх (7, 27), получим и = 0 в ф^7 и т. д. Оценка (20) легко вытекает из вышеприведенных рассуждений. Оценка (21) получается, если использовать рассуждения, основанные на лемме 4.6 в [21]. Строим четное продолжение решения и оцениваем в конечную разность по переменной ж„:

Д^и = (и(ж + Л.е„) — и(ж))/^ (е„ = (0, 0,..., 0,1)).

Оценка для этой функции влечет нужную оценку (21).

и

(4), (6) из указанного в теореме 1 класса. Сделаем замену неизвестной функции и = V + Ф, где функция Ф взята из условия (11). Получим, что V — решение задачи

уг — Ьъ = /0я(х ',г)+д(х,г), д = Ь — Ф г + ЬФ, (29)

0, = 0, к = 0. (30)

хп

—аппУхпхЛ х ',0,г) = 1о(х', 0, Ь)ц(х ',г) + д(х',0,г),

откуда

/ / апп'°хпхп

д{х'г)~ Мх'лг) /„(*', о, *)' (31)

Функция V представима в виде суммы V = щ + щ, где щ, VI — решения следующих задач:

vQг — ^о = д{х, г), voхп |х„=о = 0, vo = 0, vQ |г=о = 0, (32)

v1 г — , г), V! |г=о = 0, v1 хп |х„=о = 0, v1= 0. (33)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Тогда равенство (31) перепишется в виде

= _аппу * +

, , к{х', , ] , , , (34)

_ д(х ,0,1) _ 0'ппЩхпхп(х ,0,1)

90 ~ /<,(*', о,Мх',о,г)

или в виде ц = до + Д(ц), где Щц) — оператор, сопоставляющий ц € Ьр{01) функцию

Щц) = — {агт{х',0,1^ х„х„(х' ,0,*))./Ь{х' ,0,1)

и VI — решение задачи (33). Очевидно, что оператор Щц) линеен. Функция VI обладает свойствами, указанными в лемме 3. Оценим \\Ьр((7 < Т):

\\ьр{(2) < с\Кх„х„(х\0,г)\\ьЛ(

71 ■

В силу леммы 3 имеем %Хп е Wp'1 (ф^V < ^о)- В частности, ХпХп е ьр(д]) и %хпхп е Ьр(ф^) для всех ¿о < Следовательно, определен след %ХпХп(ж', 0,4) е Ьр(® силу теорем вложения [19]

1К Х„Х„ (У СМ) Уь^ д7) < с|К Х„Х„ Уь^о (с,0))

< с1 ЬХ„ Уь^о^ (в0 > 1/р-

Фиксируем ^ < Применяя интерполяционные неравенства и используя лемму 3, получим

Ь ХпУьр(0^(СО) ^ ^ХпС?'1(д7о)ЬХп^"д7,) < с2ЬХ„ (д70)ЬХ^^;^У

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

< ^У"((У/0Х„Уьте(дг)^^(д7) + У/Уь^(д)^^(д7))

< с5УдУ^д7)У(35)

или

ЦД(д)Уьр(д7) < ^У"(ЦдУьр(д7), 0 = (1 + *о)/2. (36)

Таким образом, применима теорема о неподвижной точке, и, значит, уравнение (34) имеет единственное решение д из при < 1

< \ п ' л 1 ^ж'^ * ^7,

(постоянная се от 7 те зависит). Положим д(ж', г) = <

10, 4 > 7.

Тогда оператор Д(д) можем записать в виде Д(д) = Д(д — д) + Д(д). Положим д — д = д\. Имеем уравнение

9! = ДЫ + до + й® — д. (37)

Поскольку по доказанному оператор Д сжимающий на (0,7) и Д(д) — д + до = 0 на ' то ^ = 0 ПРи ^ < 7- Тогда и Д(д1) = 0 при 4 < 7. Соответствующая функция % — решение задачи (33), где д = ^ = д—9 также обращается в нуль при 4 < 7. Как и ранее, имеем оценку

УДЫНмд^) < сеУЬНыд^)

(в классе функций д1, равных нулю при 4 < 7). Без ограничения общ-

с

участвовала в оценке (36). Действительно, Ны<Ж) ^ Ъ ЬХп|1М„ + ^(С,))

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

где в = Ц^1. Однако, поскольку у\Хп = 0 при £ ^ 7, имеем

Хп 11)-^) < УЬ^Нь^) .

Таким образом,

НДЫНь^7) ^ ^УНйII и^7)•

В силу выбора С67-5" < 1. Тем самым уравнение (37) имеет единственное решение. Сделав обратную замену д — д = д1, получим, что уравнение (34) имеет единственное решение на промежутке [0, 27]. Повторяя рассуждения на промежутке [0,37] и т. д., докажем существование решения уравнения (34) и его единственность. Функцию восстановим как решение задачи (33), используя уже известную функцию д € фо.) Покажем, что функция V = «о + «1 удовлетворяет условию = 0. В этом случае пара и, д (и = V + Ф) будет решением исходной задачи (1)-(4), (6). Действительно, полагая в (29), что жп = 0, получим «4 — Ь'« — /о(ж',0,г)д + д(ж'

Г' П- + П-, (38)

ь V = я^- г^х,- + с« + Мж* •

¿,,7=1 ¿=1

п-1

Слагаемые ^ «^¿ж^ б^^ обращаются в 0 при ж„=0в силу усло-¿=1

вия гЖn= 0. Функция д удовлетворяет уравнению (31). Таким образом,

—апп«х„жп = /о (ж' ,0,г)д + д(ж',0,г). (39)

Вычитая (38) и (39), получим

ж',0,£) — !/«(ж',0,г) = 0, «(ж',0,*) € ^р'1(ф0), «|4=0 = 0, «|впх(0т = 0. В силу единственности ф решений параболических задач «(ж', 0,£) = 0. Доказательство существования решений задачи (1)-(5) осуществляется по той же самой схеме.

ЛИТЕРАТУРА

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1. Belov Yu. Ya. Inverse problems for parabolic equations. Utrecht: VSP, 2002.

2. Anikonov Yu. E., Belov Yu. Ya. Determining of two unknown coefficients of parabolic type equation //J. Inverse Ill-Posed Probl. 2001. V. 9, N 5. P. 469-488.

3. Pvatkov S. G., Tsybikov B. N. On some classes of inverse problems for parabolic and elliptic equations // J. Evol. Equ. 2011. V. 11, N 1. P. 155-186.

4. Pvatkov S. G. On some classes of inverse problems for parabolic equations // J.' Inverse Ill-Posed Probl. 2011. V. 18, N 8. P. 917-934.

5. Ivanchov M. Inverse problems for equation of parabolic type. L'viv: VNTL Publ., 2003. (Math. Stud. Monogr. Ser.; V. 10.)

6. Саяхов Ф. Л., Смирнов Г. П., Фатыхок М. А. Некоторые задачи теплопроводности и акустическое взаимодействие с электромагнитными диэлектриками // Инж.-физ. журн. 1981. Т. 41, № 5. С. 916-921.

7. Dinb Nbo Нао. A non-characteristic Cauchy problem for linear parabolic equations and related inverse problems: I. Solvability. Inverse problems // Inverse Probl. 1994. V. 10. P. 295-315.

8. He Guo-qiang, Meng Ze-bong. A Newton type iterative method for heat-conduction inverse problems // Appl. Math. Mech. 2007. V. 28, N 2. P. 531-539.

9. Sbidrar A. An inverse heat conduction problem // South. Asian Bull. Math. 2002. V. 26. P. 503-507.

10. Шишко H. П. Обратная задача для параболического уравнения // Мат. заметки. 1981. Т. 29,№ 1. С. 55-62.

11. Гольдман Н. Л. Единственность и свойства сопряженных задач для одного класса параболических уравнений с данными Коши // Вычисл. методы и программирование. 2007. Т. 8. С. 184-194.

12. Iskenderov A. D., Akbundov A. Ya. Inverse problem for a linear system of parabolic equations // Dokl. Mat. 2009. V. 79, N 1. P. 73-75.

13. Cboulli M., Yamamoto M. Conditional stability in determining a heat source //J. Inverse Ill-Posed Probl. 2004. V. 12, N 3. P. 233-243.

15. Isakov V. Inverse problems for partial differential equations. Berlin: Springer-Verl., 2006.

14. isakov V. Inverse source problems. Providence: AMS, 1990. (Math. Surv. Monogr.;

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

V. 34.)

16. Ramm A. G. Inverse problems. Mathematical and analytical techniques with applications to engineering. Boston: Springer Sci., Business Media, Inc., 2005.

17. Kozbanov A. I. Composite type equations and inverse problems. Utrecht: VSP, 1999.

18. Prilepko A. I, Orlovskv D. G., Vasin I. A. Methods for solving inverse problems in mathematical physics. New York: Marcel Dekker Inc., 1999.

19. Трибель X. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980.

20. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975.

21. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

22. Агранович М. С., Вишик М. И. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида // Успехи мат. наук. 1964. Т. XIX, вып. 3. С. 53-161.

г. Ханты-Мансийск

10 февраля 2012 г.