Об определении функции источника в параболической задаче с данными Коши на части боковой поверхности цилиндра Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.946

ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ФУНКЦИИ ИСТОЧНИКА

В ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ С ДАННЫМИ КОШИ НА ЧАСТИ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЦИЛИНДРА*)

С, Г, Пятков, А. Г, Боричевская

Введение.

В работе рассматривается параболическое уравнение

щ - Ьи = Цх,г), (х,г) е д = о х(0,Т), (1)

где О — ограниченная область в пространстве М" с границей Г, Б = Г х (0,Т) и

Ьи = ач(х, + ^2, Ых, + с(х, г)и

¿,,7=1 г=1

— эллиптический оператор, т. е. найдется постоянная ^ > 0 такая, что

у^ > ¿о|£|2 для всех (х,г) €

Ь3=1

Считаем, что область О — цилиндр вида О = П х (0, ¿). Положим

Б0 = {(х,*) е д^ : х„ = 0} Б = {(х,*) е дд : х„ = ¿}, Б! = дП х

(0, х (0, Т). Уравнение (1) дополняется начальными условиями

и |е=о = и0(х), (2)

Работа выполнена при поддержке РФФИ (код проекта № 12-01Ч)0260а). ©2012 Пятков С. Г., Боричевская А. Г.

данными переопределения

ди

дх" х„=0

'х', £) (х' = (х, Х, • • •, хп_1))

(3)

и краевыми условиями

и^ = ^(х,^, их„ |я2 = ^(х'

(4)

(5)

или

(6)

Мы рассматриваем обратную задачу об определении вместе с решением и

неизвестной функции д(х', £), входящей в правую часть уравнения вида

Такие обратные задачи и близкие к ним возникают при описании процессов тепломассопереноса, диффузионных процессов, процессов фильтрации и во многих других областях. Задачи с условиями переопределения, заданными не на границе цилиндра, а на некоторых внутренних многообразиях (в частности, на плоскостях, пересекающих О), рассматривались в работах Ю. Я. Белова, Ю. Е. Аниконова и ряда других авторов (см. [1-4] и имеющуюся там библиографию). Довольно подробно обратные задачи с данными Коши на боковой поверхности цилиндра рассмотрены в случае п = 1 (см. [5-11]), причем как в линейном случае, т. е. в задаче об определении функции источника (правой части), так и в нелинейном случае, т. е. в задаче об определении коэффициентов уравнения. В частности, ряд теорем существования и оценок устойчивости в пространствах Гёльдера могут быть найдены в монографии М. Иванчова [5]. В многомерной ситуации оценки устойчивости для решений обратных задач об определении коэффициентов в уравнении по данным (2)—(5) или (2)—(4), (6) вместе с дополнительными условиями интегрального переопределения имеются в [12]. Близкая постановка также исследована в [13]. Теорема существования решений задачи (2)-(4) в пространствах Гёльдера в случае П = М"-1 и й = <х

/ = /о(х, ¿)д(х', г) + / (х, ¿).

приведена в [14]. Ряд результатов по обратным задачам с данными Ко-ши на боковой поверхности цилиндра изложен в [15,16], где в основном

п

вая часть зависят лишь от пространственных переменных. Отметим также работы [17,18], где изложено много результатов, касающихся обратных параболических задач, и имеется достаточно полная библиография. Цель настоящей работы — получить теоремы существования решений (и, д) задач (1)-(5) и (1)-(4), (6) в пространствах Соболева.

§ 1. Определения и основные результаты

Пусть Е — банахово пространство. Через Ьр(О; Е) (О — область в М") обозначается пространство сильно измеримых функций, определенных на О, со значениями в Е и конечной нормой ||||и(х)||е||ьр(о) (см. [19]). Также используем пространства Ск(С;Е), состоящие из функций, имеющих в О все производные до порядка к включительно, О

кание О. Обозначения для пространств Соболева О; Е) стандартны (см. [19]). При нецелых в пространство Соболева ^^^^О Е) совпадает с пространством Бесова (О; Е). Если Е = М или Е = С, то последнее пространство обозначаем просто через Врр(О). Аналогично вместо Шр(С;Е) или Ск(С;Е) используем обозначение Т¥р(С) или Ск(С). Для данного интервала J = (О, Т) положим Q = J х С и д) = Ьр(О)) П О))» соответственно %я'г(Б) =

.7; Ьр(Т)) П Ьр{ ЭД^(Г)). Здесь используются обозначения Г, Б из введения. Аналогично определяем анизотропные пространства Гёль-дера и Бесова (см. [19-21]).

Приведем условия на данные задачи. Считаем,что область Л ограничена и дО е С2. Обозначим Б{ = дП х (0, ¿) х (О, Т), Ой = П х (0, ¿),

д] = Ой х (0,7), д7 = О х (0,7), Б7 = дП х (о,7), д7 = ом 0,7).

Относительно данных предполагаем, что

щ(х) е в1у(С), щ е (г = о, 1), ф е

(7)

В случае, если рассматривается задача (1)-(5), предполагаем, что

(8)

а в случае задачи (1)-(4), (6) —

(9)

Пусть

3(5 € {0,(1) ■. и0Хп е в2ру(с6), е в^/'1^^). (ю)

Далее фиксируем величину 6. Чтобы упростить изложенное, запишем условия согласования в виде: существует Ф € Ш?'1 (0) такая, что

€ ш?-1 (дй), (11)

и выполнены условия (1)—(5) или соответственно (1)—(4), (6). Приведем условия на данные задачи. Пусть

ЛОМ) € ьж(д), Л(х,*) € ь?(О), ¡0Хп € ьж(дй), Лхп € ьр(дй),

(12)

36!>0: |/о(х',0,*)| > 61 (13)

при почти всех (х', ¿) € Оо- Считаем, что

^„(х'Дг) = а4п(х',0,г) = 0, 1=1,2 ,...,п - 1, (х',г) € о, (14) % ес®, ь»еьго(д), ¿,.7 = 1,2,...,п, сеьГ1(д) (15)

для некоторых г0 > тах(р, п + 2), г\ > тах (р,и

€ ЬГо (дй) (¿,.7 = 1,2, .. ., п), Схп € ЬГ1 (Ой); (16)

под производными здесь и далее подразумеваются обобщенные производные в смысле Соболева. Сформулируем основной результат.

Теорема 1. Пусть р > 1 и выполнены условия (7)-(16). Тогда существует единственное решение (и, д) задач (1)-(5) н (1)-(4), (6) такое, что

и € Ш?-10, ихп € Ш?-1 (дйо) У60 <6, д € Ьр(О).

§ 2. Доказательство основных результатов

Лемма 1. Найдется постоянная с > 0 такая, что для всех и € Wp((О1) такнх, что и(х, 0) = 0, выполняется неравенство

Ни11ьр(от ^сV/2Ы^р-1 ■

Доказательство. Утверждение вытекает из интерполяционного неравенства

\M\wp(о) < с1М1^|т\\и\\Тр{о)

(см. [19]) и формулы Ньютона — Лейбница.

Лемма 2. Если Ъ € Ьд(<57) прн ц > тах(р, то найдется

постоянная с > 0 такая, что для всех и € ^ (О^, и(х, 0) = 0, выполнено

\\иЪ\\ьр(^) < \\и\\^Д, а = 1-(п+2)/(2ц). (17)

Если а € Ьч(О1) при ц > тах(р, п + 2), то найдется постоянная с > 0 такая, что для всех и € Wp^ {О1), и(х, 0) = 0, выполнено

\^иа\ич№) < с7а\\и\\шр,г , а2 = 1/2 - (п+2)/(2ц). (18)

Доказательство. Оба утверждения доказываются по одной схеме. Поскольку функции, заданные на О, продолжимы на М™ = х (0, то) с сохранением класса (см., например, [19]), без ограничения общности считаем, что О = М™. Докажем первое утверждение, второе доказывается аналогично. В силу неравенства Гёльдера имеем

\\иЬ\\ьр(Я-<) < Щ\ьч{Я1)\Н\ь_ЕЗ_{Я1) (Я>Р)-

я—р

Сделав замену у = ж ^/7, г = ¿/7 в последнем интеграле, получим

я — р я—р

г

Поскольку и = / ит{у, г) ¿г, имеем \и\Ьр^^ < с\\ит\\Ьр((у Следова-о

тельно, в Wp^ (О можем использовать эквивалентную норму

,0= / (итГ+ ]Г 1Баи1Р ЗууЗА.

( 1-1=2

В силу теорем вложения (см., например, [21]) имеем оценку

< с||й||о, (19)

я—р

где постоянная с от й не зависит. Сделав замену у = х^у, £ = 7г, преобразуем (19) к неравенству

_п-\- л

\и\\ь_ЕЯ_(д-1) < С7 ||м|| 21

д-р

откуда и вытекает утверждение. Оценка (18) получается аналогично.

Лемма 3. Пусть выполнены условия (14), (15) на коэффициенты оператора Ь. Тогда для / € Ьр(д7) (7 € (О, Т], р > 1) существует единственное решение и € ^ (^7) задач (1)-(3), (5) н (1)-(3), (6) с однородными краевыми и начальными условиями в цилиндре и справедлива оценка

и 2,1,

(цт) ^ сУ/Нм^)> (20)

где постоянная с не зависит от 7 € (О, Т]. Если дополнительно выполнено условие (16) для некоторого 6 > 0 и /Хп € то полученное решение обладает свойством иХп € ^ для всех 4 < 6 н справедлива оценка

1К„Н^1(Ц^) < с( 11/х„+ У/ , (21)

где постоянная с не зависит от 7, но, вообще говоря, зависит от параметра ¿о < 6.

Доказательство. Возьмем сначала 7 = Т. Для доказательства будем использовать четные или нечетные продолжения решения относительно плоскостей хп = 0, хп = ¿и сильно упрощенную схему из работы [22]. Пусть

з зу V4 4 / V3 3 )

Построим разбиение единицы {^¿}|=1 на С, ^р^ € С5°(МП), такое, что вирр <рг С М 1 х I - -, - I, вирр х I -, — I,

вирр да С Мп х

хП — <р\(х',хп), <£з(х', 2^ — хп) — <рз(х',хп).

Построим области Ог с границей класса С такие, что область С\ симметрична относительно плоскости хп = 0, область Од симметрична относительно плоскости хп = й и вирру>г П Ог С Сг0 С Ог (г = 1,2,3). Рассмотрим, например, задачу (1)-(5), задача (1), (4), (6) рассматривается аналогично. Продолжим коэффициенты оператора из области О1 П С в область О1 \ О следующим образом: апп, я0^и г, < п — 1, 6г щи г < п и с четным образом по переменной хп (т. е. новый коэффициент ад, в О \ О определяется как аг^х', —хп, £)), агп, ап при г = 1,2, ...,п — 1 нечетным образом по пер еменной хп. В силу (14) получаем, что продолжения коэффициентов аг^ (г, ^ п) непрерывны в области Од. Аналогично продолжим коэффициенты уравнения из области О3 П О в область О3 \ О: коэффициенты а^ (г, < п), апп, 6г (г < п), с четным образом относительно плоскости хп = й (таким образом, новые коэффициенты имеют вид ац (ж', 2<], — хп, ¿), хп £ (с1, а коэффициенты ап, агп (г ^ п — 1) нечетным образом относительно плоскости хп = Имеем задачу

Пусть д € Ьр(д). Продолжим д четным образом при хп < 0 и четным образом относительно плоскости хп = т. е. продолжение д задается при хп < 0 как д(х',хп,£) = д(х ', — хп,£) и при хп > й как д(х', хп,£) = д(х', — хп,4). Продолжение обозначаем тем же символом д(х,£). Пусть ^г(х) € (Мп), ^г(х) = 1 та вирр и вирр ПОг С

з

О^. Ищем решение задачи (22), (23) в виде и = ^ -0г(х)иг(х,£), где

Ьри = и — Ьи = /,

(22)

их„ия2 = о, и|е=о = о, и^ = 0.

(23)

продолженное нулем вне Ог0. Поскольку каждая из областей Ог0 имеет границу класса С2, справедливы стандартные результаты о разрешимости (см, например, [21]) и для любых д € Ьр(() существует единственное решение щ(х,Ь) = Д(д) € Wp'1 (О О = Ог0 х (0,Т)). По-

О , О

обладают нужными свойствами четности, в силу теоремы единственности

щ (х , хп, Ь) = и\ (х , хп, Ь), (х , хп) € Од,

из(х',2й — хп,~Ь) = щ(х',хп,~Ь), (х',хп) € О, хп >

Следовательно, и|х„=о = 0 и и|Хп=^ = 0. Для каждой из функции щ (х, Ь) имеем оценку вида

\\wp-1 (((*) ^ с\\^д\\ьр((*) < с\\д\\ьр(■ (25)

и

3 3 3 3

+ [Ъ0, фг]Щ = Фгфгд + Фг]Щ

г=1 г=1

3

= иг = д + Щд), (26)

г=1

где [Ь0, фг\V = Ьо(фгV) — фгЬду, а выражение Д(д) — оператор, сопо-

з

ставляющий функции д выражение вида ХЛ^о,Фг] щ. В силу оценки

¿=1

(25) этот оператор непрерывен. Легко получить оценку з з

НВДНЫО) < С1 XI Н^Ни^д) + С11Н1м<Э). г = Т"2!^'

г=1

Чтобы оценить \\щ\\£г((, используем вложение Wp(() С Ьг(О (т ^ (п+г^р^- Поскольку г0 > тах(р,п+ 2), можем выбрать в < 1 такое, что <г: ("+1)р _ Таким образом,

Го — Р (п+1 1 1

3 3

11Д(д)\\ьр{( < с1\\щ\^р/>+ с2 \\щ\^((, (27) 1=1 1=1

где в < 1. В силу компактности вложений Wp'1 (ф) С Wp'0(ф) П Wp(ф) (см. [19]) оператор К : Ьр(ф) ^ Ьр(ф) вполне непрерывен. Надо доказать разрешимость уравнения

д + Д(д) = /. (28)

з

Если д — решение (28), то функция ^ — решение задачи (22),

i=l

(23). Покажем единственность решений уравнения (28) и сошлемся на

д

з

с / = 0. Тогда соответствующая функция и = ^ и^ — решение

i=l

задачи (22), (23) с / = 0. Умножив уравнение (22) на р^ получим, что = ui — решение задачи (23), где в правой части стоит выражение — [Ь0, Рг]и- Таким образом, щ = Ь— ([Ьо, р^и). Имеем

з з

где ф7 = С х (0,7). Как при получении оценки (27), используя лемму 1, имеем (в < 1)

< 7Й0(д7) (¿0 > 0).

Таким образом, если 7^ с < 1, то и = 0 в Ьр(ф7). Продолжая рассуждения в ф^7 = Сх (7, 27), получим и = 0 в ф^7 и т. д. Оценка (20) легко вытекает из вышеприведенных рассуждений. Оценка (21) получается, если использовать рассуждения, основанные на лемме 4.6 в [21]. Строим четное продолжение решения и оцениваем в конечную разность по переменной ж„:

Д^и = (и(ж + Л.е„) — и(ж))/^ (е„ = (0, 0,..., 0,1)).

Оценка для этой функции влечет нужную оценку (21).

и

(4), (6) из указанного в теореме 1 класса. Сделаем замену неизвестной функции и = V + Ф, где функция Ф взята из условия (11). Получим, что V — решение задачи

уг — Ьъ = /0я(х ',г)+д(х,г), д = Ь — Ф г + ЬФ, (29)

0, = 0, к = 0. (30)

хп

—аппУхпхЛ х ',0,г) = 1о(х', 0, Ь)ц(х ',г) + д(х',0,г),

откуда

/ / апп'°хпхп

д{х'г)~ Мх'лг) /„(*', о, *)' (31)

Функция V представима в виде суммы V = щ + щ, где щ, VI — решения следующих задач:

vQг — ^о = д{х, г), voхп |х„=о = 0, vo = 0, vQ |г=о = 0, (32)

v1 г — , г), V! |г=о = 0, v1 хп |х„=о = 0, v1= 0. (33)

Тогда равенство (31) перепишется в виде

= _аппу * +

, , к{х', , ] , , , (34)

_ д(х ,0,1) _ 0'ппЩхпхп(х ,0,1)

90 ~ /<,(*', о,Мх',о,г)

или в виде ц = до + Д(ц), где Щц) — оператор, сопоставляющий ц € Ьр{01) функцию

Щц) = — {агт{х',0,1^ х„х„(х' ,0,*))./Ь{х' ,0,1)

и VI — решение задачи (33). Очевидно, что оператор Щц) линеен. Функция VI обладает свойствами, указанными в лемме 3. Оценим \\Ьр((7 < Т):

\\ьр{(2) < с\Кх„х„(х\0,г)\\ьЛ(

71 ■

В силу леммы 3 имеем %Хп е Wp'1 (ф^V < ^о)- В частности, ХпХп е ьр(д]) и %хпхп е Ьр(ф^) для всех ¿о < Следовательно, определен след %ХпХп(ж', 0,4) е Ьр(® силу теорем вложения [19]

1К Х„Х„ (У СМ) Уь^ д7) < с|К Х„Х„ Уь^о (с,0))

< с1 ЬХ„ Уь^о^ (в0 > 1/р-

Фиксируем ^ < Применяя интерполяционные неравенства и используя лемму 3, получим

Ь ХпУьр(0^(СО) ^ ^ХпС?'1(д7о)ЬХп^"д7,) < с2ЬХ„ (д70)ЬХ^^;^У

< ^У"((У/0Х„Уьте(дг)^^(д7) + У/Уь^(д)^^(д7))

< с5УдУ^д7)У(35)

или

ЦД(д)Уьр(д7) < ^У"(ЦдУьр(д7), 0 = (1 + *о)/2. (36)

Таким образом, применима теорема о неподвижной точке, и, значит, уравнение (34) имеет единственное решение д из при < 1

< \ п ' л 1 ^ж'^ * ^7,

(постоянная се от 7 те зависит). Положим д(ж', г) = <

10, 4 > 7.

Тогда оператор Д(д) можем записать в виде Д(д) = Д(д — д) + Д(д). Положим д — д = д\. Имеем уравнение

9! = ДЫ + до + й® — д. (37)

Поскольку по доказанному оператор Д сжимающий на (0,7) и Д(д) — д + до = 0 на ' то ^ = 0 ПРи ^ < 7- Тогда и Д(д1) = 0 при 4 < 7. Соответствующая функция % — решение задачи (33), где д = ^ = д—9 также обращается в нуль при 4 < 7. Как и ранее, имеем оценку

УДЫНмд^) < сеУЬНыд^)

(в классе функций д1, равных нулю при 4 < 7). Без ограничения общ-

с

участвовала в оценке (36). Действительно, Ны<Ж) ^ Ъ ЬХп|1М„ + ^(С,))

где в = Ц^1. Однако, поскольку у\Хп = 0 при £ ^ 7, имеем

Хп 11)-^) < УЬ^Нь^) .

Таким образом,

НДЫНь^7) ^ ^УНйII и^7)•

В силу выбора С67-5" < 1. Тем самым уравнение (37) имеет единственное решение. Сделав обратную замену д — д = д1, получим, что уравнение (34) имеет единственное решение на промежутке [0, 27]. Повторяя рассуждения на промежутке [0,37] и т. д., докажем существование решения уравнения (34) и его единственность. Функцию восстановим как решение задачи (33), используя уже известную функцию д € фо.) Покажем, что функция V = «о + «1 удовлетворяет условию = 0. В этом случае пара и, д (и = V + Ф) будет решением исходной задачи (1)-(4), (6). Действительно, полагая в (29), что жп = 0, получим «4 — Ь'« — /о(ж',0,г)д + д(ж'

Г' П- + П-, (38)

ь V = я^- г^х,- + с« + Мж* •

¿,,7=1 ¿=1

п-1

Слагаемые ^ «^¿ж^ б^^ обращаются в 0 при ж„=0в силу усло-¿=1

вия гЖn= 0. Функция д удовлетворяет уравнению (31). Таким образом,

—апп«х„жп = /о (ж' ,0,г)д + д(ж',0,г). (39)

Вычитая (38) и (39), получим

ж',0,£) — !/«(ж',0,г) = 0, «(ж',0,*) € ^р'1(ф0), «|4=0 = 0, «|впх(0т = 0. В силу единственности ф решений параболических задач «(ж', 0,£) = 0. Доказательство существования решений задачи (1)-(5) осуществляется по той же самой схеме.

ЛИТЕРАТУРА

1. Belov Yu. Ya. Inverse problems for parabolic equations. Utrecht: VSP, 2002.

2. Anikonov Yu. E., Belov Yu. Ya. Determining of two unknown coefficients of parabolic type equation //J. Inverse Ill-Posed Probl. 2001. V. 9, N 5. P. 469-488.

3. Pvatkov S. G., Tsybikov B. N. On some classes of inverse problems for parabolic and elliptic equations // J. Evol. Equ. 2011. V. 11, N 1. P. 155-186.

4. Pvatkov S. G. On some classes of inverse problems for parabolic equations // J.' Inverse Ill-Posed Probl. 2011. V. 18, N 8. P. 917-934.

5. Ivanchov M. Inverse problems for equation of parabolic type. L'viv: VNTL Publ., 2003. (Math. Stud. Monogr. Ser.; V. 10.)

6. Саяхов Ф. Л., Смирнов Г. П., Фатыхок М. А. Некоторые задачи теплопроводности и акустическое взаимодействие с электромагнитными диэлектриками // Инж.-физ. журн. 1981. Т. 41, № 5. С. 916-921.

7. Dinb Nbo Нао. A non-characteristic Cauchy problem for linear parabolic equations and related inverse problems: I. Solvability. Inverse problems // Inverse Probl. 1994. V. 10. P. 295-315.

8. He Guo-qiang, Meng Ze-bong. A Newton type iterative method for heat-conduction inverse problems // Appl. Math. Mech. 2007. V. 28, N 2. P. 531-539.

9. Sbidrar A. An inverse heat conduction problem // South. Asian Bull. Math. 2002. V. 26. P. 503-507.

10. Шишко H. П. Обратная задача для параболического уравнения // Мат. заметки. 1981. Т. 29,№ 1. С. 55-62.

11. Гольдман Н. Л. Единственность и свойства сопряженных задач для одного класса параболических уравнений с данными Коши // Вычисл. методы и программирование. 2007. Т. 8. С. 184-194.

12. Iskenderov A. D., Akbundov A. Ya. Inverse problem for a linear system of parabolic equations // Dokl. Mat. 2009. V. 79, N 1. P. 73-75.

13. Cboulli M., Yamamoto M. Conditional stability in determining a heat source //J. Inverse Ill-Posed Probl. 2004. V. 12, N 3. P. 233-243.

15. Isakov V. Inverse problems for partial differential equations. Berlin: Springer-Verl., 2006.

14. isakov V. Inverse source problems. Providence: AMS, 1990. (Math. Surv. Monogr.;

V. 34.)

16. Ramm A. G. Inverse problems. Mathematical and analytical techniques with applications to engineering. Boston: Springer Sci., Business Media, Inc., 2005.

17. Kozbanov A. I. Composite type equations and inverse problems. Utrecht: VSP, 1999.

18. Prilepko A. I, Orlovskv D. G., Vasin I. A. Methods for solving inverse problems in mathematical physics. New York: Marcel Dekker Inc., 1999.

19. Трибель X. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980.

20. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975.

21. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

22. Агранович М. С., Вишик М. И. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида // Успехи мат. наук. 1964. Т. XIX, вып. 3. С. 53-161.

г. Ханты-Мансийск

10 февраля 2012 г.