CC BY
17Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2016. Том 23, № 2
УДК 517.95
О НЕКОТОРЫХ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧАХ ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ГРАНИЧНЫХ РЕЖИМОВ М. А. Вержбицкий, С. Г. Пятков
Аннотация. Рассматривается обратная задача об определении вместе с решением начально-краевой задачи для параболического уравнения второго порядка неизвестных функций, входящих в граничное условие. В качестве условий переопределения берутся интегралы от решения с весом. Получена теорема существования и единственности решений этой обратной задачи.
Ключевые слова: обратная задача, параболическое уравнение, краевые и начальные условия, пространство Соболева, теорема существования и единственности, разрешимость.
1. Введение
В работе рассматривается параболическое уравнение
n д n
Lu = ut- ~^—aij(t,x)uXj + ^2<ii(t,x)uXi + ao(t,x)u = /, (1)
• 1 dxi ij = 1 i=1
где x £ G С Rn — ограниченная область с границей Г, t £ (0, T). Положим Q = (0,T) x G, S = (0,T) x Г. Уравнение (1) дополняется краевыми и начальными условиями вида
du I
B(t, x)u\s = — + cr(t, = д, u\t=0 = щ(х), (2)
где
n
du / \ / \
aij{t,x)uXj(t,x)Vi
i,j=1
и v = (vi, v2,... ,vn) — внешняя единичная нормаль к S. Обратная задача состо-
m
ит в нахождении решения u задачи (1), (2) и функции g вида g = ^ qi(t)^i(t, x),
i=1
где функции qi неизвестны, по данным переопределения
j u(x,t)ifk (x) dx = фк (t), к = 1, 2,...,m. (3)
G
Положим q = (qi, q2,. .., qm).
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 15—41—0063).
© 2016 Вержбицкий М. А., Пятков С. Г.
Обратные задачи о нахождении неизвестных граничных режимов, в частности, задачи конвективного теплообмена, являются классическими (см., например, [1-10]). Они возникают в самых различных задачах математической физики: управление процессами теплообмена и проектирование тепловой защиты, диагностика и идентификация теплопередачи в сверхзвуковых гетерогенных потоках, идентификация и моделирование теплопереноса в теплозащитных материалах и покрытиях, моделирование свойств и тепловых режимов многоразовой тепловой защиты аэрокосмических аппаратов, исследование композиционных материалов и т. п. Математические модели, описывающие эти процессы, и соответствующие обратные задачи как в одномерном, так и в многомерном случаях описываются, например, в монографии [1], где основное внимание уделено численным методам решения подобных задач, а также некоторым результатам в виде теорем единственности и оценок устойчивости. Отметим также монографию [2], посвященную, в основном, численным методам решения, где в одномерной ситуации рассматриваются разнообразные постановки обратных задач для параболических уравнений, в том числе и задачи определения граничных режимов. Здесь данные переопределения — значения решения в точках, лежащих внутри пространственной области. Эти задачи изучались и в других постановках в зависимости от типа условий переопределения. Очень часто они некорректны в смысле Адамара, в частности, в тех случаях когда данные переопределения — значения решения в отдельных точках или на поверхностях, лежащих внутри области определения (см. [1]). В данной работе мы рассматриваем задачи с условиями переопределения в виде некоторых интегралов от решения с весом по пространственной области. Отметим, что условия такого вида очень часто используются в литературе и возникают в приложениях. Обратные задачи об определении коэффициентов уравнения или правой части с интегральными условиями переопределения рассматривались в работах [11-17], монографиях [18,19] и некоторых других работах. В частности, теорема существования и единственности обобщенного решения задачи (1)-(3) (из класса и € W2'1(Q)) в случае т = 1 получена в [8], а в [9] аналогичный результат получен для системы тепломассопереноса, состоящей из системы Навье — Стокса и параболического уравнения для концентрации переносимого вещества. В [10] доказана регулярная разрешимость (и € ^з1'2^)) также для случая т =1. Однако условия на данные в [10] более серьезны, чем наши, в частности, имеются и условия на нормы данных (см. [10, теорема 1]). Наши условия на данные проще, и решение уравнения (1) ищется в классе Wpl'2(Q).
2. Вспомогательные результаты
Пусть Е — банахово пространство. Через Ьр(С; Е) (С — область в М") обозначаем пространство сильно измеримых функций, определенных на С, со значениями в Е и конечной нормой У ||и(ж)||_Е||ьр(о) [20]. Также используем пространства Ск(С), состоящие из функций, имеющих в С все производные до порядка к включительно, непрерывные в С и допускающие непрерывное про-
должение на замыкание С. Обозначения для пространств Соболева И7® (С; Е), Wp;(Q; Е) и т. д. стандартны (см. [21,20]). Если Е = М или Е = М", то последнее пространство обозначаем просто через Wp(Q). Аналогично вместо ИГр{С]Е) или Ск{С]Е) используем обозначение И^(С) или Ск{С). Таким образом, включение и £ (или и £ Ск(С)) для данной вектор-функции и = (и-,и2,...,Пк) означает, что каждая из компонент щ принадлежит пространству (или Ск{С)). В этом случае под нормой вектора понимаем сумму норм координат. Для данного интервала J = (0,Т) положим Wp'r«) = \¥^]Ьр{С)) П соответственно И= \¥*(.1;Ьр(Т)) П И^р(Г)). Определения пространств Гёльдера Са'^(8) могут быть найдены, например, в [22]. Все рассматриваемые пространства и коэффициенты уравнения (1) считаем вещественными.
Далее считаем, что О — ограниченная область в М" с границей Г класса
С2 (см. определение, например, в [22, с. 17]). Пусть (и, у) = / и(х)у(х) йх,
о
= (0,7) х О и Б^ = (0,7) х Г.
Будем использовать в пространстве Wp(0,т; Е) (в € (0,1), Е — банахово пространство) норму
т т
ЫМш^Е) = (11^(0,^) + «г)1/Р, №,г= I /
0 0
Если Е = М, то получим обычное пространство Wp(0,т). При в € (1/р, 1] положим WгS(0, т) = {д € WгS(0,т) : д(0) = 0}. Это банахово пространство с нормой || • ||^з(о,т). В нем также можно определить и эквивалентную норму = II «II г т т\ + (<?)?•?-• Эквивалентность вытекает, например, из
Жр(0,т) ^ ^р (0,т) '
леммы 1 в [20, п. 3.2.6]. Аналогично определяем пространства Wp(0,т; Ьр(О)) и Wp'2s(Qт), состоящие из функций у(Ь,х) из Wp(0, т; Ьр(О)) и Wp'2s(Qт) соответственно таких, что у(0, х) = 0. Новые нормы || • ||^(0т-ь (о)), II • Н^ ) определяются естественным образом с использованием вышеприведенной нормы в Wp¡(0,т).
Лемма 1. Пусть в € (1/р, 1) и р € (1, те). Тогда справедливы следующие утверждения.
(1) Пусть д(1) € Wp(0, т) (т € (0,Т]). Тогда д € С([0,т]) после, быть может, изменения на множестве меры нуль. Если д(0) = 0 ид — продолжение нулем функции д при Ь < 0, то справедливы оценки
М^}(-1+т,т) < С-хЫ^^т)' (4)
где постоянная с- не зависит от т € (0, Т] и д.
(2) Произведение д • у функций класса Wp(0, т) (т € (0, Т]) снова принадлежит Wp¡(0, т), а если д € Wp(0, т) и у € Wp(0, т), то ду € Wp(0, т) и справедлива оценка
Ь^^^т) < с2|д|^^(0,т)((у)«,т + ||у||Ь^(0,т)), (5)
где постоянная с2 не зависит от д, V и т € (0, Т].
(3) Если функция v строго отделена от нуля на [0,т], т. е. ¿о = ^ >
*е[о,т ]
0, то отношение д^ функций класса Жр(0,т) (т € (0,Т]) снова принадлежит Жр(0,т) и справедлива оценка
^р (0,т) У^1 №^(0,т), (6)
где постоянная сз не зависит от функции д, но зависит от ¿о и стремится к ж при ¿о ^ 0.
(4) Пусть д(£) € Жря(0,т) (т € (0, Т]), v(t) € %Я(0,Т) и Ф(£,ж) € Жря'2я(5). Тогда gv € Жр (0, т) и дФ € Жр'2я($т) и справедливы оценки
НН^о.т) < с|9|^'(о,т^М^о.Т), (7)
) < ^Ы^о.т)||Ф||^-(5)> (8)
где постоянная с не зависит от т € (0, Т].
Доказательство. Покажем (1). В силу теорем вложения Жр(0,т) с С([0, т]) при в > 1/р (см., например, [20]). Продолжим функцию д нулем на промежуток [-1 + т, 0]. Сделаем замену ¿1 = 4 — т и рассмотрим функцию дх(4) = д(4 + т) € Жр ( —1, 0). Найдется постоянная с, не зависящая от т, такая, что
||д1|ьте(-1,о) < с|д1у^-(-1,о) = с|дУ^?(-1+т,т)• (9)
Далее, используя определение стандартной нормы и тот факт, что д(4) = 0 при 4 € ( — 1 + т, 0), получим неравенство
c
lwf(-i+T,r) < ^Ы^т-тV (10)
где с1 есть постоянная с, умноженная на некоторую постоянную, зависящую только от в,р. Требуемое неравенство вытекает из (9), (10). Докажем (2). Оценим
t t
1М1^(0,т) = IMIlp(0,t) + j j ^t^+f м2 (п)
oo
Имеем
|qv(ti) - qv(t2)| < |q(11) - q(t2)||v(ti)| + |q(t2)||v(ti) - v(t2)|. Оценим второй интеграл в правой части (11):
t t t t
Ф) J J \v(ti)\p |ti_t2|i+sp dtidtz +Ф) J J mt2)\p |ti_t2|i+sp dtidtz
o o o o
t t t t
<- ii iip [ [ ,, ,, , || iip [ [ Htl)-v(t2)\P , ,
<ciNL(o,t) J J \tl-t2\i+sP dhdh+cMll^r) J J \tl-t2\i+sP dt 0 0 0 0
< C3((q>p,t + l|q|lw0,t))(«t + mW0,t)).
Тогда приходим к оценке
||qv||W(0 т) < с4((q)P,T + Ikllwo.T))(«т + ||v|l_(0,t)),
которая и гарантирует включение qv £ Wp(0,T). Получим оценку (5). Имеем
т т
- i^iw.+/ /' tUffi"'«-*» (12)
oo
Второй интеграл в правой части оценивается, как и выше, а для первого интеграла имеем оценку
<
Ьр (0,т) к
Р
Lp(0,т) "V"L^(0,T)■ (13)
Отсюда и из (12) вытекает требуемая оценка (5).
Легко получить, используя определение нормы, что если V £ ) и V
■р
строго отделена от нуля, то £ т). Используя этот факт и утверждение
(2), получим (3).
Покажем (4), например, вторую половину утверждения. Пусть Ф £ ).
Тогда Ф £ ^(0, Т) при п. в. ж £ Г .В силу (2)
"^"^т) ^ (0,т) + НФН^(0,т ) ^ Сб "Ф " ВДТ) \\®\\^(0,т)'
Правая часть здесь интегрируема по Г. Следовательно, и левая часть интегрируема и имеем
11^111 (Г;^(0,т)) ^ С7"Ф"1 (Г;И~(0,Т))\\®\&.(0,т)'
Включение Ф(Ь,х) £ Wps-2s(ST) означает, что Ф £ L^T; Wps(0,r))nL^Q, т; Wp2s(T)).
{ QT
■p
Имеем
I|q(t^(t,x)||Lp(0,T;W-(r)) = Ш|Р||Ф(х^)||*) dt
0
hp ил^ лир
< М\\^(0,т)\\Ф(жМ1р(0,т;^(Г))•
Из последних двух оценок вытекает (8) и вторая половина утверждения.
Приведем используемые ниже условия на данные задачи. Зафиксируем число в = 1/2 — 1/2р.
Условия на коэффициенты:
ау е С([0,Т];И^(С)) ПС(ё;С8+£»([0,Т])), а £ С1/2^0'1^), (14) где г, ] = 1, 2,... , п, £0 £ К — положительное число.
аг £ ^р8(0,Т)), р> 3, г = 0,1,...,п, (15)
p
т
Считаем, что существует постоянная ¿о > 0 такая, что
Е «у^ ¿о|^12, (г,х) е д, ^ е мп. (16)
1,3=1
Условия на данные задачи:
/ е ад), ио(х) е ^р2-2/р(С), (17)
д е И^28^), д(0,ж)|г = £(0,жЫг, (18)
., т. (19)
р
^ е ^(С), Фк е %8-2я(5), А е ^р8+1(0,т), ) е ^(0,Т), к = 1,2,...,т.
Из теоремы 10.4 в [22, гл. 7] вытекает
Теорема 1. Пусть С — ограниченная область с границей класса С2 и выполнены условия (14)—(18). Тогда существует единственное решение и задачи (1), (2) такое, что и е Жр"'2(д). Решение удовлетворят оценке
||и11^2(д) < С(||/\\ьр(я) + ||ио||^р2-2/р(о) + УдУ^р1/2-1/2р'1-1/р(5)).
Как следствие теоремы 1 получается
Теорема 2. Пусть С — ограниченная область с границей класса С2 и выполнены условия (14)—(18), где / = 0 и щ = 0. Пусть 7 е (0, Т]. Тогда на промежутке (0, 7) существует единственное решение и задачи (1), (2) такое, что и е %1,2(д^). Решение удовлетворяет оценке
||и||^2№) < с|д|^р1/2-2/р'1-1/р(5^)'
где постоянная с не зависит от 7 е (0, Т] и д.
Доказательство. Продолжим д нулем при г < 0, и пусть
д(г,х), г е (-1 + 7,7),
д ' д(27-г,х), г е [7,Т + 7].
Очевидно, что д е Жр'2в($), в = 1/2 — 1/2р. Используя теорему 1, построим решение задачи (1), (2), где и0 = 0, / = 0 и д = д такое, что и е ^р1,2(д). По теореме 1 имеем
||и||^1-2№) < с|д|^р1/2-1/2р-1-1/р Оценим правую часть. Имеем по лемме 1
||д||^'2*(£) < |д|^р3'2з((-1+7,1+7)хГ)
< с(||д||^2з((-1+7,7)хГ)) + ||д|ир3-2з((7,1+7)хГ))) < с1||д||^2з(,^).
Здесь использована аддитивность пространств Соболева относительно разбиения области (см. замечание 3 в [20, п. 4.4.1]) и определение соответствующей нормы.
3. Основные результаты
В дополнение к приведенным выше условиям на данные потребуем, чтобы
| В(г)| > ¿о > 0, г € [0,Т], (20)
где В (г) — матрица с элементами = / ^¿(ж)Ф^ (г, ж) ¿Г,
г
J Ио(ж)^(ж) ¿ж = —(0), к = 1, ..., т; (21)
о
(Л) функция В(0, ж)ио(ж)|г принадлежит линейной оболочке функций Ф1(0, ж),..., Фт(0,ж).
Основной результат работы — следующая теорема (как и ранее, в = 1/2 — 1/2р).
Теорема 3. Пусть С — ограниченная область с границей класса С2 и выполнены условия (14)—(17), (19)—(21) и условие (А). Тогда существует единственное решение (и, д) (д = (д1,..., дт)) задачи (1)—(3) такое, что и € Жр'2(ф), <7 € Жр (0, Т). Решение удовлетворят оценке
||и||^-2(<э) + ||д1к*(о,т)
< У/(<) + ||иоУ^2-2/Р(о) + + ||(/,№.
Доказательство. Пусть и € ЭД^1'2^) есть решение задачи (1)-(3), где
т
д =5^ дгФг. В силу условий (20) и (А) найдутся постоянные д»(0), определяемые
г=1
единственным образом, такие, что
т
В(0,ж)ио|г = 53 д»(0)Фг(0,ж).
г=1
Положим
^дг(0)Фг(г,ж) = до (г, ж)
г=1
и обозначим через v € решение задачи (см. теорему 1)
^ = /, = до (г, ж), v|t=о = ио(ж). (22)
Пусть д € Жр(0,Т). По условию Ф^- € Жр,2в(5). Тогда по лемме 1 дг(г)Фг(г, ж) € ) и соответственно д € Сделаем замену и = v + ш. Тогда
функция ш € есть решение задачи
Ьш = 0, = д — до = д, ш|4=о = 0. (23)
Условие (3) преобразуется к виду
J ш^(ж) ¿ж = —& — J v(г, (ж) ¿ж = к = 1, 2, .. ., т. (24) оо
В силу (21) —а(0) = 0 и по крайней мере —а(г) € Жр(0,Т). Ниже покажем, что —а(г) € Жр+8(0,Т). Умножим уравнение в (23) на ^а(ж) и проинтегрируем по области С. Получим (ш4,^а) = (Ьош,^). Здесь
П д П
г,^ =1 г г=1
Используя (23), (24) и интегрирование по частям, получим
/т ,,
стш^а ¿Г +53 /г(гм Фг^А ¿Г, к =1,...,т, /г (г) = дг (г)—дг(0),
г г=1 г
где
/и / п \
УЗ агуШх3- ^Ах + + ао^ ^А ¿ж.
о ¿,¿=1 \г=1 /
Последнее равенство можно записать в виде
т ,, ,,
53^) / Фг^А ¿г = —А(г) — а(ш,^) + / стш^а ¿Г (25)
г=1 г г
или
вда = < = (^1,...,^т)Т, ^ = —А(г) — аш^А¿г, (26)
г
где да = (д1,... ,/т)т. Функция ш, участвующая в (26), есть решение прямой задачи (23). Элементы матрицы В обладают тем свойством, что Ьу € (0, Т), более того, справедлива очевидная оценка
||Ьгу Н^?(о,Т) < ||ФУ (г ;^(о,Т ).
Как отмечено при доказательстве леммы 1, теоремы вложения гарантируют, что Жр(0, Т) с С([0,Т]). Следовательно, без ограничения общности можем считать, что Ьу € С([0,Т]). Используя условие (20), можем записать
да = в-1д = д(да) = д+До(да), (27)
где д = В-1Ф и к-я координата Фа вектора Ф имеет вид Фа (г) = -¿А(г). Это искомое уравнение для нахождения да. Рассмотрим промежуток [0^] С [0,Т]. Оценим ||Яо(д~а)||^«(о г). В силу второго и третьего утверждений леммы 1 элементы обратной матрицы В-1 также принадлежат классу Жр(0,Т). Тогда в силу оценки (7) из леммы 1 получим неравенство
т
йоШУ^о.г) < ^ (И^А^^о.г) +
А=1
J ¿Г г
Оценим каждое из слагаемых, входящих в а(ш,^А):
/П /и \
УЗ агушЖз-^Ах; + 53 агшх; + аош ^А ¿ж. о г,у=1 \г=1 /
(28)
В силу неравенства Минковского, неравенства Гельдера и леммы 1 имеем
11 \ 1/р
О
Отметим, что
^(0,5)
< с/ У^||^(0,5) ^ < <**) ^ (29)
ОО
||Уш||^ ¿ж =
(0,5)
5 5
¿г^ж +
О 0
О 0 0
|Уи(гьж) - Уи(г2,ж)|р 1*1 -¿2|1+8р
¿г1 ¿г2^ж. (30)
Воспользовавшись неравенством
||Уш||1р(О) < ^М^оэММО),
вытекающим из равенства [^р^С), Ьр(С)] 1/2 = ^[(С) [20, теорема 4.3.1], для
-'р^' J 1/2
первого слагаемого в правой части имеем 1
г8
< С2|ш
Ьр )
11/2
1Ьр (0,5;^р2(0))
г2*
1/2
Из формулы Ньютона — Лейбница следует Ц^гт^Ц^ ^¿^ последнее неравенство записывается в виде
< 61/рН^^Н^р(д). Тогда
— Уи;
г8
< С2^1/2р||ш||ж 1
ьР )
(31)
Оценим второе слагаемое в правой части (30). Имеем 5 5
|Уш(гьж) — У^(г2,ж)|р
О00
|г1 — г211+8р
<
5 5
(32)
О00
Далее при п. в. г построим продолжение Рш функции ш из области С на все М" с сохранением класса такое, что Р — линейный оператор, удовлетворяющий оценкам ||Ри||^р2(Кп) < с3||и||^2(О) или ||Ри|Ьр(К") < с3||и||Ьр(О) для всех и е %2(С) или и е Ьр(С) соответственно, где постоянная с не зависит от и. Такой оператор существует, например, это метод Хестенса продолжения функций (см. метод, описанный в лемме 2.9.3 в [20] для полупространства и многократно использованный позднее уже для произвольных областей). Имеем Рш е ^гр1'2((0, 6) х М") и ||Рш||^.1.2((0,5)хК„) < сз||ш||^-1.2(да), где постоянная с не зависит от ш и 6 > 0. Отметим, что Рш(0, ж) = 0. Имеем 5 5
О00
|Уи;(£ьж) - Уш(£2,ж) 1*1 - ¿211+р/2
5 5
<
\УРшЦъх) - УРшЦ2,х)\р
¿г1^г2^ж (33)
5
1
ш
Ьр (дл)
Сделаем замену переменных ^ = 5^, i = 1,2, х = л/бу. Тогда последний интеграл примет вид {Рш{т, у) = Рш(6т, л/бу))
1 1 ~ _
1=III''и - 'Лт1ЛтЛ- {щ
К" о о
Если и € Жр'2((0,1) х Мп), то (см., например, лемму 3.8 в [21] или вложения
I I
перед леммой 7.2 и лемму 7.2 в [23], или теорему 18.4 в [24]) У и £ И/р2' ((0,1) х Мп) и справедлива оценка
Чур2' ((ОД)хИ™) " ((ОД)хК )>
где постоянная С4 не зависит от и. Тогда интеграл в (34) оценивается так:
1 п
I < с4^-р+п/2||Рш||^1.2((о,1)хКп) = c4¿1-p+n/^ I ^Г КРш)у^ Г ¿т^у,
о К" гу = 1
1,2 и (35)
где в Жр'2((0,1) х Мп) используем одну из эквивалентных норм. Возвращаясь к старым переменным (г, ж) и используя вышеприведенную оценку для оператора Р, получим
1 < С5||ш||^1,2(< ) , (36)
где постоянная С5 не зависит от ¿. Из (29)-(36) вытекает оценка
ауш1г^Ах; _ < ^¿1/2р||ш|^1,2(<г), (37)
о ^(о,г)
где постоянная сб не зависит от ¿. Слагаемые вида / агшх; ^а ¿ж в выражении
о
а(ш,<^А) оцениваются точно так же. Слагаемое J = § аош^А ¿ж оценивается
о
проще. В силу леммы 1 имеем
^1 |^?(о,г) < с/||ш|Ц(о,г) ¿ж < с1||ш||^(о,г;ьр(о)), (38)
о
г г г
^Р1 1 .1.1.1 \Ь-12\^р у '
о о о о о
Используя представление
¿2
, ж)
¿1
во втором интеграле и равенство
12
ш(г1,ж) — ш(г2,ж) = у ш4(г,ж) ¿г
t
и;(г,ж) = У шт(т, ж) ¿т
о
в первом, с помощью неравенства Гельдера получим оценку
||ш||^ = ||ш||^ < С211ш^11 г (о^)61/2+1/2р, (40)
'^-(0,5;Ьр(О)) 11 "^(0,5;Ьр(О)) — 211 £|1Ьр(д ) ' У 7
Тогда
а0ш^к ¿ж
^'(0,5)
< с|МЬр(0,5;Ь р(О)) < СзКНьр(д.)б1/2+1/2Р, (41)
где сз — постоянная, не зависящая от 6. Легко увидеть, что в процессе доказательства оценок (31), (36) также получено неравенство
/р(0 5ЛЛ/ 1 (О)) < сб1/2р ||ш || ^1>2 (д. ),
(42)
" " Жр (0,5;Жр (О)) -
где постоянная с не зависит от 6. Действительно, используя определение нормы, получим
5
Жр'(0,5;Жр1(О))
1
—ш
г8
5 5
ш(г1,ж) — ш(г2) ж) |Ж1 (О)
иУ-Р
0 (О) 0 0
(43)
Необходимая оценка первого слагаемого вытекает из оценок (33), (41). Оценка второго интеграла вытекает из оценок (32)-(36), (40).
Оценим последнее слагаемое ^ = || ^ стш^к
Г
Жр (0,5)
. Имеем
Л < с ||ш|Жр (0,5) ¿Г < с1|ш|Жр (0,5;Ьр(Г))
< с211 ш 11 Жр (0,5;Жр (О))
< сз61/2р |М|^,2(д.). (44)
Здесь мы воспользовались неравенством Гельдера, вложением ^[(С) С Ьр(Г) и оценкой (42). Из оценок (28), (37), (41), (44) вытекает, что
|Й0(9а)
< с4б1/2Р|
где постоянная с4 не зависит от 6. По теореме 2
||ш|жр,2(д5) < с||д||Жр-2'(5.). В силу леммы 1 имеет место оценка
т
||д||Жр-2'(5.) < ||®||Жр'(0,5),
(45)
(46)
где постоянная с1 зависит от величин НФ^Н^-р^р^. Тогда из (45), (46) получим оценку
|Я0(Й)|Ц(0,5) < сб61/2^ ||®Цр(0,5) = с5б1/2р
р г=1 р
(47)
Жр (0,5)
где постоянная С5 не зависит от 5 и дО,. Оценка (47) означает, что при 51/2р С5 < 1 оператор До сжимающий и, следовательно, уравнение (27) имеет единственное решение из пространства "^(0,5) при 1/к € "р(0,Т). По условию ф'к € "р(0,Т). Покажем, что
1ок
J «(г,ж)<^ (ж) ¿ж € "р1+8(0,Т)
т. е. / г>4(г, ж)^к(ж) ¿ж € "г^(0,Т). Умножим уравнение в (22) на и проинте-
о
грируем по области С. Получим равенство
/гп „
ст-у^ ¿Г + ^ /,(0П ¿Г + ), к = 1,..., т. (48)
г 1-1 г
Повторяя рассуждения, используемые при оценке нормы ||-йо9а||^ «(о г), но только уже на всем промежутке [0, Т], и вместо этой нормы взяв стандартную норму в пространстве "^(0, 5), можем легко показать, что правая часть в этом равенстве принадлежит пространству "г^(0,Т) и, таким образом, 1ок € "р1+8(0,Т). Тем самым уравнение (27) имеет единственное решение на промежутке [0,5]. Найдем решение ш € "г,1'2(дг) задачи (23). Покажем, что выполнены условия (24). Умножим уравнение в (23) на и проинтегрируем по области С. Используя (22), (23) и интегрирование по частям, получим
/л тт л
ш^к ¿ж = — стш^к ¿Г + / (¿) / ¿Г, к = 1,...,т.
о г 1=1 г
Вектор-функция дО, удовлетворяет системе (25), складывая к-е уравнение которой с полученным равенством и сокращая, придем к равенству
I ¿ж = 1//к, к = 1,. .., т,
о
интегрируя которое по 4 и пользуясь начальным условием, получим (24) на [0, 5].
Покажем далее, что решение продолжимо на весь промежуток [0,Т]. Мы определили вектор-функцию дО, только на [0, 5]. Продолжим найденную вектор-
д!(г), г € (0,5)
функцию д^ нулем при г < 0 и положим дЬ = < . Коор-
[ д!(25 - г), г € [5, Т]
динаты вектора дЬ обозначим через д^,..., д^,. Построенная вектор-функция принадлежит ). Сделаем замену д1 = дО, — дЬ. Построенная вектор-
функция с координатами д1 удовлетворяет системе
т г. т
53д1(г)Ькг = (г) — )+ / стш^к ¿Г — ^ дгь(г)&кг. (49)
г=1 Г ^=1
В силу определения дд правая часть в этом равенстве и соответственно вектор д1 обращаются в нуль на [0, 5]. Пусть шо — решение задачи
т
Ьшо = 0, Вшо|5 = ^дгьФг, шо^=о = 0. (50)
г=1
Тогда функция wi = w — wo есть решение задачи
m
Lwi =0, Bwils = 53Фг' wi|t=o = 0. (51)
i=i
В силу теоремы 1 wi = 0 при t £ [0,5]. Таким образом, задача о продолжении вектор-функции qO. сводится к построению решения системы
m
53qi(t)bki = ^Ífe(t) — ) + / CTWi^k dr, (52)
i=i p
где
/m
CTWo^k dr — q|'(t)bfci,
P i=i
и функция wi — решение задачи (51). Решение системы при t < 5 обращается в нуль. Пришли к той же системе, но нулевые данные Коши у нас уже задаются в точке t = 5 и изменилась правая часть системы, точнее, вектор g. Далее повторяем рассуждения и оценки уже на промежутке [5, 25]. Рассуждения те же самые. Более того, без ограничения общности можем считать, что и все постоянные, возникающие при оценке нормы оператора Ro, те же самые. Таким образом, система (52) разрешима на промежутке [5, 25]. Повторяя рассуждения на [25, 35] и т. д., построим решение на всем [0,T]. Оценка из утверждения теоремы фактически получена в процессе доказательства.
ЛИТЕРАТУРА
1. Алифанов O. M., Артюхов E. A., Ненарокомов A. В. Обратные задачи сложного теплообмена. М.: Янус-К, 2009.
2. Ozisik M. N., Orlando H. A. B. Inverse heat transfer. New York: Taylor & Francis, 2000.
3. Костин А. Б., Прилепко А. И. О некоторых задачах восстановления граничного условия для параболического уравнения. I // Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32, № 1. С. 1319-1328.
4. Борухов В. Т., Корзюк В. И. Применение неклассических краевых задач для восстановления граничных режимов процессов переноса // Вестн. Белорус. ун-та. 1998. Сер. 1. № 3. С. 54-57.
5. Трянин А. П. Определение коэффициентов теплообмена на входе в пористое тело и внутри него из решения обратной задачи // Инж.-физ. журн. 1987. Т. 52, № 3. С. 469-475.
6. Борухов В. Т., Вабищевич П. Н., Корзюк В. И. Сведение одного класса обратных задач теплопроводности к прямым начально-краевым задачам // Инж.-физ. журн. 2000. Т. 73, № 4. С. 742-747.
7. Короткий А. И., Ковтунов Д. А. Реконструкция граничных режимов в обратной задаче тепловой конвекции несжимаемой жидкости // Тр. ИММ ДВО АН. 2006. Т. 12. С. 88-97.
8. Абылкаиров У. У. Обратная задача интегрального наблюдения для общего параболического уравнения // Мат. журн. Алматы. 2003. Т. 3, № 4. С. 5-12.
9. Абылкаиров У. У., Абиев А. А, Айтжанов С. Е. Обратная задача для системы тепловой конвекции // Молодеж. междунар. науч. шк.-конф. «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач». Тез. докл. Новосибирск: ИМ СО РАН, 2009. С. 10-11.
10. Кожанов А. И. Линейные обратные задачи для некоторых классов нелинейных нестационарных уравнений // Сиб. электрон. мат. изв. 2015. Т. 12. С. 264-275.
11. Искендеров А. Д., Ахундов А. Я. Обратная задача для линейной системы параболических уравнений // Докл. АН. 2009. Т. 424, № 4. С. 442-444.
12. Ismailov M. I., Kanca F. The inverse problem of finding the time-dependent coefficient of heat equation from integral overdetermination condition data // Inverse Probl. Sci. Eng. 2012. V. 20, N 24. P. 463-476.
13. Li J., Xu Y. An inverse coefficient problem with nonlinear parabolic equation // J. Appl. Math. Comput. 2010. V. 34. P. 195-206.
14. Kerimov N. B., Ismailov M. I. An inverse coefficient problem for the heat equation in the case of nonlocal boundary conditions // J. Math. Anal. Appl. 2012. V. 396, N 2. P. 546-554.
15. Кожанов А. И. Параболические уравнения с неизвестным коэффициентом, зависящим от времени // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2005. Т. 45, № 12. С. 2168-2184.
16. Пятков С. Г., Сафонов А. Е. Об определении функции источника в математических моделях конвекции-диффузии // Мат. заметки СВФУ. 2014. Т. 21, № 2. С. 117-130.
17. Криксин Ю. А., Плющев С. Н., Самарская Е. А., Тишкин В. Ф. Обратная задача восстановления плотности источника для уравнения конвекции-диффузии // Мат. моделирование. 1995. Т. 7, № 11. С. 95-108.
18. Prilepko A. I., Orlovsky D. G., Vasin I. A. Methods for solving inverse problems in mathematical physics. New York: Marcel Dekker, Inc., 1999.
19. Ivanchov M. Inverse problems for equations of parabolic type. Lviv: VNTL Publ., 2003. (Math. Stud. Monogr. Ser.; V. 10).
20. Трибель Х. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980.
22. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.
21. Denk R., Hieber M., Pruss J. Optimal Lp — Lq-estimates for parabolic boundary value problems with inhomogeneous data // Math. Z. 2007. V. 257, N 1. P. 193-224.
23. Grisvard P. Equations differentielles abstraites // Ann. Sci. Ec. Norm. Super., IV Ser. 1969. V. 2. P. 311-395.
24. Бесов O. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975.
Статья поступила 18 марта 2016 г.
Вержбицкий Марк Андреевич, Пятков Сергей Григорьевич
Югорский гос. университет,
ул. Чехова, 16, Ханты-Мансийск 628012
grandapachi@gmail.com, s_pyatkov@ugrasu.ru, pyatkov@math.nsc.ru
Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2016. Том 23, №2
UDC 517.95
ON SOME INVERSE PROBLEMS OF DETERMINING BOUNDARY REGIMES M. A. Verzhbitskii and S. G. Pyatkov
Abstract: We consider the inverse problem of determining unknown functions occurring in boundary conditions together with the solution to the initial-boundary value problem for a second-order parabolic equation. The overdetermination conditions are integrals of the solution with weight. The existence and uniqueness theorem for solutions to this inverse problem is established.
Keywords: inverse problem, parabolic equation, boundary and initial conditions, Sobolev space, existence and uniqueness theorem, solvability.
REFERENCES
1. Alifanov O. M., Artyukhov E. A., and Nenarokomov A. V., Inverse problems of complicated heat exchange [in Russian], Moscow: Yanus-K (2009).
2. Ozisik M. N. and Orlando H. A. B., Inverse heat transfer, Taylor & Francis, New York (2000).
3. Kostin A. B. and Prilepko A. I., "On some problems of recovering a boundary condition for a parabolic equation, I," Differ. Uravn., 32, No. 1, 1319-1328 (1996).
4. Borukhov V. T. and Korsyuk V. I., "Application of nonclassical boundary value problems for the reconstruction of boundary regimes of transfer processes," Vestn. Beloruss. Gos. Univ., Ser. 1, Fiz. Mat. Inform., No. 3, 54-57 (2000).
5. Tryanin A. P., "Determination of heat-transfer coefficients at the inlet into a porous body and inside it by solving the inverse problem," Inzh.-Fiz. Zh., 52, No. 3, 469-475 (1987).
6. Borukhov V. T., Vabishevich P. N., Korsyuk V. I., "Reduction of a class of inverse heat-conduction problems to direct initial-boundary value problems," J. Eng. Phys. Thermophys., 73, No. 4, 730-734 (2000).
7. Korotkii A. I. and Kovtunov D. A., "Reconstruction of boundary regimes in the inverse problem of thermal convection of an incompressible fluid," Tr. Inst. Mat. Mekh. DVO AN, 12, 88-97 (2006).
8. Abylkairov U. U., "An inverse integral observation problem for a general parabolic equation," Mat. Zh. Almaty, 3, No. 4, 5-12 (2003).
9. Abylkairov U. U., Abiev A. A., and Aitzhanov S. E., "An inverse problem for the heat conduction system," in: Youth Inter. School-Conf. "Theory and numerical methods of solving inverse and ill-posed problems". Abstracts. IM SO RAN, Novosibirsk, pp. 10-11 (2009).
10. Kozhanov A. I., "Linear inverse problems for some classes of nonlinear nonstationary equations," Sib. Elektron. Mat. Izv., 12, 264-275 (2015).
11. Iskenderov A. D. and Akhundov A. Ya., "Inverse problem for a linear system of parabolic equations," Dokl. Math., 79, No. 1, 73-75 (2009).
12. Ismailov M. I. and Kanca F., "Inverse problem of finding the time-dependent coefficient of the heat equation from integral overdetermination condition data," Inverse Probl. Sci. Eng., 20, No. 24, 463-476 (2012).
13. Jing Li and Youjun Xu, "An inverse coefficient problem with nonlinear parabolic equation," J. Appl. Math. Comput., 34, 195-206 (2010).
14. Kerimov N. B. and Ismailov M. I., "An inverse coefficient problem for the heat equation in the case of nonlocal boundary conditions," J. Math. Anal. Appl., 396, No. 2, 546-554 (2012).
© 2016 M. A. Verzhbitskii and S. G. Pyatkov
15. Kozhanov A. I., "Parabolic equations with a time-dependent unknown coefficient," Comput. Math. Math. Phys., 45, No. 12, 2085-2101 (2005).
16. Pyatkov S. G. and Safonov A. E., "On determining the source function in mathematical convection-diffusion models," Mat. Zamet. SVFU, 21, No. 2, 117-130 (2014).
17. Kriksin Yu. A., Plyushchev S. N., Samarskaya E. A., and Tishkin V. F., "An inverse problem of recovering the source density for the convection-diffusion equation," Mat. Model., 7, No. 11, 95-108 (1995).
18. Prilepko A. I., Orlovsky D. G., and Vasin I. A., Methods for solving inverse problems in Mathematical Physics, Marcel Dekker, Inc., New York (1999).
19. Ivanchov M., Inverse problems for equations of parabolic type, VNTL Publ., L'viv (2003) (Math. Stud. Monogr. Ser.; V. 10).
20. Triebel H., Interpolation theory, function spaces, differential operators, Veb Deutscher Verlag Der Wissenschaften, Berlin (1978).
21 Ladyzhenskaya O. A., Solonnikov V. A., and Ural'tseva N. N., Linear and quasi-linear equations of parabolic type, Amer. Math. Soc., Providence, RI, (1968) (Transl. Math. Monogr.; V. 23).
22. Denk R., Hieber M., and Priiss J., "Optimal Lp — Lq-estimates for parabolic boundary value problems with inhomogeneous data," Math. Z., 257, No. 1, 193-224 (2007).
23. Grisvard P., "Equations differentielles abstraites," Ann. Sci. Ec. Norm. Super., IV Ser., 2, 311-395 (1969).
24. Besov O. V., Il'in V. P., and Nikol'skii S. M., Integral representations of functions and embedding theorems, Nauka, Moscow (1975).
Submitted March 18, 2016
Mark Andreevich Verzhbitskii and Sergei Grigor'evich Pyatkov Ugra State University,
Chekhova st., 16, Khanty-Mansiisk 628012, Russia
grandapachi@gmail.com, s_pyatkov@ugrasu.ru, pyatkov@math.nsc.ru
