CC BY
49
УДК 517.95
О НЕКОТОРЫХ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА
С.Г. Пятков, А.Г. Боричевская
В настоящей работе рассмотрены вопросы корректности некоторых обратных задач для математических моделей, возникающих при описании процессов тепломассо-переноса. По данным первой начально-краевой задачи и условию Неймана на боковой поверхности цилиндра (таким образом, на боковой поверхности цилиндра заданы данные Коши) восстанавливаются решение параболического уравнения второго порядка и коэффициент этого уравнения, принадлежащий ядру некоторого дифференциального уравнения первого порядка и характеризующий параметры среды. Неизвестный коэффициент может в том числе входить и в главную часть дифференциального оператора. Решение уравнения ищется в пространствах Соболева с достаточно большим показателем суммируемости, а неизвестный коэффициент в классе непрерывных функций. Показано, что локально по времени задача имеет единственное устойчивое решение.
Ключевые слова: обратная задача; тепломассоперенос; краевая задача; параболическое уравнение; корректность; диффузия.
где О - ограниченная область в пространстве Мп (и > 2) с границей Г & = Г х (0,Т) и Ь (г = 0,1) - операторы второго порядка по переменным Х1,Х2, ...,хп. Уравнение (1) дополняется начальными условиями
где и - внешняя единичная нормаль к Г. Условие (4) также может быть заменено на условие
ВИДс1
где Ъ = (61,62,, Ьп) - гладкое векторное поле в такое, что для некоторой постоянной 6о > 0 выполняется неравенство
Введение
В работе рассматривается параболическое уравнение
Пі — Ь0и — дЬ1и = /, (х,і) Є Q = С х (0, Т),
(1)
и\і=0 = ио(х),
(2)
краевыми условиями
и\в = ф(х,і)
(3)
и данными переопределения
(4)
П
1(и)\я = ф(х,і), 1(и) = ^2 Ьі(х,і)иХі + Ьо(х,і)и.
(5)
і=1
П
\ У, Ьі(х,і)ні\> ёо У(х,і) Є Б.
і=1
Ясно, что при подходящих условиях на вектор & и функцию Ьо задачи (1)-(4) и (1)-(3), (5) эквивалентны. Мы рассматриваем обратную задачу об определении вместе с решением и уравнения (1), удовлетворяющего условиям (2), (3), (5) неизвестной функции д(х,1), которая удовлетворяет дополнительному условию 1(д) = 0 в О. Подобные постановки в том или ином виде имеются в литературе (см., например, [1]). Фактически это условие означает, что функция д не зависит от одной из переменных. Соответствующие математические модели возникают при описании процессов тепломассопереноса, диффузионных процессов, процессов фильтрации и во многих других областях (см., например, [2, 3]). Задачи с условиями переопределения, заданными не на границе цилиндра, а на некоторых внутренних многообразиях (в частности, на плоскостях, пересекающих О), рассматривались в работах Белова Ю.Я., Аниконова Ю.Е. и ряда других авторов (см. [4-7] и имеющуюся там библиографию). Довольно подробно обратные задачи с данными Коши на боковой поверхности цилиндра были рассмотрены в случае п = 1 (см. [8]. Ряд результатов по обратным задачам с данными Коши на боковой поверхности цилиндра изложен в монографиях [9, 10], где в основном рассматривается случай п = 1, и неизвестные коэффициенты или правая часть зависят лишь от пространственных переменных. Мы также сошлемся на монографии [12, 13], где можно найти библиографию и ряд результатов, посвященных параболическим обратным задачам. Цель настоящей работы - получить теоремы существования и единственности решений (и, д) задачи (1)—(3), (5) в пространствах Соболева. Результаты были анонсированы в [14].
1. Определения и основные результаты
Мы используем пространства Лебега Ьр(О) и пространства Ск(О), состоящие из функций, имеющих в области О все производные до порядка к включительно, непрерывные в О и допускающие непрерывное продолжение на замыкание О. Обозначения для пространств Соболева Ш£(О) являются стандартными (см. [15, 16]). Символ В*р(О) обозначает пространство Бесова. Для данного интервала Ь = (0,Т), положим О = О х Ь и ШрГ (О) = Ьр (Ь; Ш^(О)) П Ьр (О; (Ь)), соответственно, ШрГ (5) = Ьр (Ь; ^р(Г)) П Ьр (Г; (Ь)). Ана-
логично определяем анизотропные пространства Гельдера и Бесова (см. [15, 16]). Считаем, что область П ограничен а и д П € С2. Мы говорим, что Г = дО € Св (в > 1), если для каждой точки хо € Г существует касательная плоскость и окрестность и этой точки со следующими свойствами: в локальной системе координат у, полученной из исходной после вращения и переноса начала координат так, что ось уп направлена по нормали к Г в хо, для некоторых постоянных д,т > 0 имеем
и П О = {у € Мп : у € Вг,ш(у') < уп < ш(у') + д}, у' = (уь .. .,Уп-г),
и П (Мп \ О) = {у € Мп : ш(у') - д < уп < ш(у')},
Г П и = {у € Мп : у € В~г, уп = ш(у')}, ш € Св(В),
где Вг = {у1 : \у' \ < т} и без ограничения общности считаем, что Мт < д/4, где М - постоянная Липшица функции ш в Вг. Если условие Г € С2 выполнено, то норма в пространстве (Г) (или в пространстве Врр(Г)) (в < 2) может быть определена следующим образом (см. [15]). Пусть {и^ }т=1 открытое покрытие Г областями вида и из вышеприведенного определения и {ф^ }т=1 - соответствующее бесконечно дифференцируемое разбиение единицы. Для каждого ] можем определить преобразование г' = у', гп = уп-ш(у') выпрямляющее границу у
т 1/р 1М1^(Г) = (^ Ф и(х(у(г , 0)))\\РШ£(БГ)) > г = (г1,г2,...,гп-1).
з=1 Р
Нормы, отвечающие различным наборам {и^}т=1 и покрытиям границы {ф^ }Л=1, эквивалентны. Здесь символ Шр может быть заменен на символ Врр. Отметим, что преобразования координат х ^ у ^ г в каждой из областей Uj, вообще говоря, различны. Обозначим т1 = О х (0,7) Б1 = дС х (0,7). Относительно данных предполагаем, что
2_2 ________________ 2__________1 1__—
ио,1(ио) € Вррр(О), ф € С2’\Б), ф € ВРгРр’ 2р(Б), (6),
где здесь и далее считаем, что р > п + 2. Это условие гарантирует, что любая функция и € Шр’1^) принадлежит на самом деле классу С 1+в>(1+в')/‘2(т) для некоторого в > 0 (см. лемму 3.3 гл. 2 в [16].
Запишем условия согласования в виде
ио|г = ф(х, 0), 1(ио)\г = ф(х, 0). (7)
Считаем, что
П
Ьг € С2,1 (т) (г = 0,1,... ,п), < 0, Ьо > 61 > 0 (8)
г=1
для всех (х, ^ € т И НвКОТОрОЙ ПОСТОЯННОЙ 61 > 0. Пусть
/ (х,г) € Ьр ^), 1(/) € Ьр ^), / |5 € С (Б). (9)
Выражение 1(/) здесь понимается в смысле теории обобщенных функций. Пусть Ьо,Ь1 имеЮТ вид
п
Ьги = ^ ак^ иХ1Х5 + ак щн + а% и (к = 0,1). гj=1
Относительно коэффициентов операторов Ьо,Ь1 предполагаем, что
а% € &), ак, ак € Ш^), акг ^, ак ^ € С (Б). (10)
При выполнении условий (6)—(10) существует функция Ф € Шр’1^) : 1(Ф) € Шр’1(т) и Ф|ь=о = ио, Ф|^ = ф, 1(Ф)|^ = ф- Существование такой функцпп Ф вытекает из стандартных теорем о продолжении (см., например, теорему 7.6 в [18]). Можно показать, используя представление (20) ниже и наши условия, что ЬоФ^, ^Ф^ € С (Б). Функция Ф определяется не единственным образом. Мы дополнительно предположим, что можно построить функцию Ф
|Ь1Ф| > 62 > 0 (11)
для всех (х, ^ € Б и некоторой постоянной 62 > 0. Для справедливости основной теоремы достаточно, чтобы неравенство (11) выполнялось лишь локально по времени, т.е. для всех (х,1) € Б1 для некоторого 7 > 0. Мы предположили выполнение (11) на всей границе Б лишь для удобства использования. Определим функцию до € С(т) как решение задачи (см. лемму 3 ниже)
1(до) = 0, -до|s = (/ - фь + LоФ)/LlФ|s.
Мы будем предполагать, что оператор Ь = Ьо + доЬ1 эллиптичен, т.е. существует постоянная 63 > 0 :
п
^ (ао + до а1 )&^ > 6з|£|2, У(х,г) € т, € Кп. (12)
г^=1
Сформулируем основные результаты.
Теорема 1. Пусть р > п + 2, и выполнены условия (6)—(12). Тогда, найдется такое 7о > 0, что на промежутке времени [0,7о\ существует единственное решение (и,д) задачи (1)-(3), (5) такое, что
и € Ш2’\т10), 1(и) € Ш2’1(ОТ0), д € С О0), 1(д) = 0.
2. Доказательство основных результатов
Вначале мы приведем некоторые вспомогательные утверждения.
Лемма 1. Пусть Ь € Ьр(О). Если р > тах(д, (п + 2)/2) (д € (1, ж)), то
1_п + 2
\Ы\ьд (ф) < СТ 2р \\и\\№21 ),
I/ р > тах(д, п + 2), то
1 /2— (п + 2)
\\Ь^и\\ьр(от) < СТ ' 2р \\и\\ш21{дт).
Постоянная с> 0 не зависит от т < Т и и € Ш2’1(От).
Доказательство этой леммы содержится в доказательстве теоремы 9.1 гл. 4 в [16].
Лемма 2. Пусть выполнены условия (8), (12) ир> п + 2. Тогда для д € ЬР(О1) (7 € (0,Т])
существует единственное решение и € Шр’ (О1) задачи
щ - Ьи = д, (13)
и^=о = 0, ^и)^' = 0, (14)
удовлетворяющее оценке
Ии\жр,1(07) < СНд11ьрО), (15)
где постоянная с не зависит от 7. Если функция, 1(д) определена (в смысле теории обобщенных функций) и 1(д) € Ьр(О1) то решение задачи (12), (13) обладает свойством
1(и) € Шр’ (О1) и удовлетворяет оценке
11и\жр,1(О7) + \\1(и)\\щ2,1(о^) < С(11д11ьр(О~г) + Н1(д)11ьр(О^)). (16)
Доказательство этой леммы может быть найдено в работе [17].
Лемма 3. Пуст ь фо € С (Б), и выполнены условия (8). Тогда, существует решение задачи 1(и) = 0, и^ = фо из пространства С (О), удовлетворяющее оценке
Ни11с(о) < С\фо\с(О).
К сожалению, мы не нашли прямой ссылки на этот результат. Однако, это утверждение может быть получено, например, с помощью метода е-регуляризации, априорной оценки из леммы, вытекающей из принципа максимума, и некоторых дополнительных рассуждений.
и
указанного в теореме 1 класса. Сделаем замену переменных и = V + Ф, д = до + д1, где
Ф
(см. построение функции до). Получим, что функция V есть решение задачи
VI - Lоv - (до + д1)(Ь^ + Ь1Ф) = / - Фь + ЬоФ,
ИЛИ
у* - Ьу - д\{Ь\у + ЬгФ) = / - Ф* + ЬоФ + доЬіФ = д, (17)
у\г=о = 0, 1(у)\я = 0, (18)
у\я = 0, (19)
где Ь = Ьо + ЦоЬ\. Поскольку Г Є С2, существует конечное покрытие {и} границы Г областями Ц- из определения гладкости границы. Фиксируем і и рассмотрим одну из областей и = Ц-. Перейдем к локальной системе координат у и затем произведем выпрямление границы Хп = Уп — ш(у'), Хг = у*. Оператор I запишется в виде:
п
1(у) = ^ ЬгПуі + ЬоП
г иу
г=1
И ЗсіТбМ В ВИД6
1(V) = У а (г)^^х1 + ао(г^, ап(г) = Ъ,п(у(г)) -^Ь^у^ш^.
г=1 г=1
При гп = 0 имеем
п
^(г)^ + ш2)-1^ = | ^ Ьгпг(х(у(г', 0)))| > 6о > 0.
г=1
Можем записать
1 п- 1
Vzn = аПг\(1(,и) -^1 аг(г),и^ - ао(г),и).
ап(г) г=1
Находя выражение для операторов Ьг (к = 0,1) в перемениых г и заменяя производную vZn, получим представление
п- 1 п- 1 п- 1
Ьгv = у vzizj +2У вкпд^.1(^ + вкпп1т) + У вкvzi + вкК^ + $v, (20)
г^=1 г=1 г=1
ГД6
Еп к
• ; = ак пп
впп(г, 0) = (^= ? ' (х(у(г , 0))). (21)
(1^ г=1 Ьг пг)
Из представления видно, что коэффициенты впп не зависят от систем ко ординат у, г в данной точке на Г. Полагая (х,1) € Б и используя вышеприведенные представления операторов, из (17) получим
-вппК^))^ - д1(впл(1№) + Ь1Ф) ^ = д^,
где впп = впп + довпп > 0. По построению д^ (х, 0) = 0 и д € С (Б) (в силу условий на данные). Таким образом,
ЪЬ = -, 1+, = А(д>У). (22)
(вПпККу)) + ьіф)
Мы имеем, что I(V) € Шр2’1(О). В силу теорем вложения (см. лемму 3.3 гл. 2 в [16])
1(и) € Св’в/2(О) для некоторого в > 0 и тем более непрерывна. На уравнение (22) можно
смотреть как на операторное уравнение для определения функции д^ € С (Б). Оператор А сопоставляет д1 |s = ф решение задачи 1(д1) = 0, д^ = ф (см. лемму 3) и затем функцию А(д1), где V = v(д1) решение задачи
VI - Lv - д1(Ь^ + ЬоФ) = д, (23)
1^ь=о = 0,1^ = 0. (24)
Перепишем (22) несколько В другом виде. Представим V В виде V = Vl + V2, где Vl есть
д1 = 0.
^)2ь - LV2 - д1(Ь^1 + Ь^2 + Ь1Ф) = 0, (25)
| ь=о = 0,l(v2)|s = 0. (26)
Положим д^ = д1- Уравнение (22) перепишется в виде
1 _ д + впп(1Ш))) + впп1(1^2))
д РПп1(1(у2)) + вПп1(1(у1)) + Ь1ф
8 = А(д1), (27)
ГД6 ПрсіВсіЯ ЧсіСТЬ ПрбДСТШЗИМсі В ВИД6
д + вппЩ(у\))
А(д ) = до\з + Аг(д ), до = -
Б
Фиксируем 7 € (0,Т\. Найдется Го > 0 такое, что при ||д1||с(Щ) < го оператор Ь + д1Ь1 эллиптичен в О1 для каждого 7 < Т, и соответственно для задачи
V2t - LV2 - д1Ь^2 = /о, V2Іt=0 = 0, 1^2)^ = 0
справедливо утверждение леммы 2 и соответствующие оценки из этой леммы. Без ограни-
д1
\\д1\\с{ф) < Го и от 7 € (0,Т\. Таким образом, имеем равномерные оценки
\ш2’10) < СИ/о11ьр(О1) (28)
\\1^2)\\ш21(01) < с(\\/о\\ьрО) + \1(/о)\ьрО)),
где с - постоянная, не зависящая от 7 < Т и д1 : Цд1 Пс(О^) < Го. Тогда задача (25), (26) имеет единственное решение, удовлетворяющее оценке
1^2 \ Жр’1(0^) + \\1('и2)\\-мг2’1(07) < С1\\д1\\с(0П) < С1Го. (29)
При получении последней оценки используем условия на коэффициенты и лемму 1 (заменяя параметр т величиной Т). Пусть Г1 = го/с, где с - постоянная из оценки леммы 3. Поскольку до ^ (х, 0) = 0и 1(1^))(х, 0) = 0 (отметим, что I^) € С 1+в>(1+в)/2(О1)) для некоторого в > 0
по лемме 3.3 гл. 2 в [16]), существует постоянная 7о > 0 : У7 < 7о
s\\с(&у) < Г1/‘2.
Возьмем 7 < 7о. Покажем, что найдется 7 < 7о такое, что оператор А переводит шар
Б1 = {д1 : \д1\с^) < Г\\ в себя и является в нем сжимающим. Имеем
А ( и = (_ д + вппЮУ)) + вппЮУ)) _ \
1{д} ^ в1ппЩ^1)) + ви(1Ы) + Ь1Ф 90)
= (1(1Ы)(впп(д + впп 1(1^1)) - впп(Ь1Ф + вппЩЫ)))
+ пкк^)) + ^гЖпЩп^ + Ь1Ф)-1)
во > 0
\\в1пп1(1^2Шс(^) < 7в0 c(г0), ^п-аКК^Шс^) < С7в0 .
Тогда существует постоянная 71 < 7о : У 7 < 71
Ь1Ф + вппЮЫ) + в^ЩЫ)^ |, Ь1Ф + в'ппЮЫ)^ 52, у (х,1) € Б.
Тогда можем записать оценку ||А1(д1)||с(^) < 7вС1(го) и, следовательно, для самого опера-А
\\А(д1)\\с(Щ < 7вС1(Го) + у, У 7 < 71.
Выберем 72 < 71 : У 7 < 72 \А(д1)\с(^1) < г1 и таким образом, оператор А переводит шар Б7 в Б7. То, что оператор А является сжимающим в этом шаре быть может при несколько меньшем параметре 72, проверяется совершено аналогично. Таким образом, применяя теорему о неподвижной точке, получим, что найдется 72 < 7о < Т и функция д1 € С (О12) такие, что на промежутке времени [0, 72] выполнено уравнение (22). Найдем далее функцию V2 как решение задачи (25), (26) и далее восстановим функцию V = Vl + V2■ В силу леммы 2, функция V принадлежит указанному в условии теоремы классу. Покажем, что построенная функция V удовлетворяет условию (19). Функция V есть решение задачи (25), (26) где функция д^ есть решение (22), причем ||д1 Пс(О^) < Го- Построим покрытие границы областями {и?}Л=1 из определения гладкости границы и соответствующее разбиение единицы {ф?}Л=1-Построим также функции ф? € Со^(и?) такие, что ф? (х) = 1 для всех х принадлежащих виррф^ Функции ф? мы используем в определении нормы в пространстве Шр’1(Б). В каждой из областей и? мы перейдем к системе ко ординат г, выпрямляя гра ницу Г. Используя представление (20) в уравнении (17) на Г и равенство (22), придем к уравнению
п- 1 п- 1
^ - У в? ^ -У в^к - во^ ^ - Ь°^ = 0 г € Бг,
г?=1 г=1
где V? = ч](г', 0,Ь), £ < 72, в? = в°? + дв}р вг = во + двЪ во = во + дво- По построению, оператор Ь° эллиптичен в = Бг х (0,7) 7 < 72. Отметим, что следы функций vt, vZiZj при гп = 0 принимаются в пространстве Ьр и, более того, v(z,, 0) € Шр’1(Бг). Положим Бд = дБг х (0, 7). Возьмем 7 < 72. Функции и? = ф?V? есть решения задач
и? - Ьои? = -(Ь°ф?V? - ф?L0vj), и?|S'Y = 0, и?(г', 0) = 0.
Следовательно, как вытекает из общих результатов о разрешимости параболических задач и?
К\\ш2\01) < С\\(Ь°ф?^ - ф?Ь°^Шр(02),
причем можем считать, что постоянная с справа не зависит от 7. Используя лемму 1, оценим правую часть через CiW^jvj\\w2,1(qi)7^0 для некоторого во > 0- Таким образом, получим оценку
m m
У \\uj HwjPcqY ) - сЛв°У, W^iv HwjPq )■ j=i j=i
Левая часть здесь есть эквивалентная норма функции v\s в пространстве Wp’l(S7). Очевидно, что правая часть также оценивается через Сз^во ||v\s||w2,1(S7) Таким образом, можем записать оценку
|v\S]\w2’1(Sy) — C3Y 0 |v\S]\w2’1(Sy)■
Отсюда, выбрав достаточно малое 73 — 72, получим, что v|sy3 = 0. Повторяя рассуждения на промежутках [73, 273] и т.д. получим, что v\sy2 = 0. Таким образом, мы доказали, что функции v есть решение задачи (17)-(19). Тогда функция u = v + Ф есть решение исходной задачи (1)—(3), (5). Единственность решений задачи вытекает из вышеприведенных рассуждений (равно как и оценка устойчивости).
Работа поддержана грантом РФФИ №12-01-00260а,.
Литература
1. Кожанов, А.И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи. / А.И. Кожанов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2004. - Т. 414, № 4.
- С. 722-744.
2. Трянин, А.П. Определение коэффициентов теплообмена на входе в пористое тело и внутри него из решения обратной задачи / А.П. Трянин // Инженерно-физич. журн. -1987. - Т. 52, № 3. - С. 469-475.
3. Shidrar, A. An Inverse Heat Conduction Problem / A. Shidrar // South. Asien Bull, of Math.
- 2002. - V. 26. - P. 503-507.
4. Belov, Ya.Ya. Inverse Problems for Parabolic Equations / Ya.Ya. Belov. - Utrecht: VSP, 2002. - 211 p.
5. Pyatkov, S.G. On Some Classes of Inverse Problems for Parabolic and Elliptic Equations / S.G. Pyatkov, B.N. Tsybikov // J. К vol. Equat. - 2011. - V. 11, № 1. - P. 155-186.
6. Pyatkov, S.G. On Some Classes of Inverse Problems for Parabolic Equations / S.G. Pyatkov // J. Inv. Ill-Posed problems. - 2011. - V. 18, № 8. - P. 917-934.
7. Pyatkov, S.G., Samkov, M.L. On Some Classes of Coefficient Inverse Problems for Parabolic Systems of Equations / S.G. Pyatkov, M.L. Samkov // Sib Adv. in Math. - 2012. - V. 22, № 4. - P. 287-302.
8. Ivanchov, M. Inverse Problems for Equation of Parabolic Type / M. Ivanchov. - Lviv: WNTL Publishers, 2003. -240 p.
9. Isakov, V. Inverse Problems for Partial Differential Equations / V. Isakov. - Berlin: Springer-Verlag, 2006. - 346 p.
10. Ramm, A.G. Inverse Problems. Mathematical and Analytical Techniques with Applications to Engineering / A.G. Ramma. - Boston: Springer Science, Business Media, Inc., 2005. -442 p.
11. Isakov, V. Inverse Source Problems / V. Isakov. - Providence, Rhode Island: AMS, 1990. -193 p.
12. Prilepko, A.I. Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics / A.I. Prilepko,
D.G. Orlovsky, I.A. Vasin. - N.Y.: Marcel Dekker, Inc., 1999. - 709 p.
13. Kabanikhin, S.I. Inverse and Ill-Posed Problems / S.I. Kabanikhin. - Berlin; Boston: De Gruyter, 2012. - 459 p.
14. Боричевская, А.Г. Об одной обратной задаче для параболического уравнения с данными Коши на боковой поверхности цилиндра / А.Г. Боричевская. - Тр. междунар. конф. «Дифференцпадьные уравнения и смежные проблемы:». Стерлитамак, 2013. -Уфа: Изд-во БашГУ, 2013. - С. 52-57.
15. Triebel, Н. Interpolation Theory. Function Spaces. Differential Operators / H. Triebel. -Berlin: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1978. - 528 p.
16. Ладыженская, О.А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа /
О.А. Ладыженская, В.А. Солонников, Н.Н. Уральцева. - М.: Наука, 1967. - 736 с.
17. Pyatkov, S.G. Об одной обратной задаче для параболического уравнения с данными Коши на боковой поверхности цилиндра / S.G. Pyatkov, A.G. Borichevskaya // Неклассические уравнения математической физики. - Новосибирск: Ин-т математики им. Соболева, 2012. - С. 187-196.
18. Grisvard, P. Equations Differentialles Abstraites / P. Grisvard // Ann. Scient. Ec. Norm. Super. - 1969. 4e-series. - V. 2. - P. 311-395.
Сергей Григорьевич Пятков, доктор физико-математических наук, профессор, кафедра «Высшая математика», Югорский государственный университет (г. Ханты-Мансийск, Российская Федерация), [email protected].
Альбина Генадьевна Боричевская, аспирант, кафедра «Высшая математика», Югорский государственный университет (г. Ханты-Мансийск, Российская Федерация), [email protected].
Bulletin of the South Ural State University. Series «Mathematical Modelling, Programming & Computer Software:»,
2013, vol. 6, no. 4, pp. 63-72.
MSC 35R130, 35K10, 35K57, 35Q35
Some Inverse Problems for Mathematical Models of Heat and Mass Transfer
S.G. Pyatkov, Yugra State University, Khanty-Mansiisk, Russian Federation, [email protected],
A.G. Borichevskaya, Yugra State University, Khanty-Mansiisk, Russian Federation, [email protected]
In the article we consider well-posedness questions of inverse problems for mathematical models of heat and mass transfer. We recover a solution of a parabolic equation of the second order and a coefficient in this equation characterizing parameters of a medium and belonging to the kernel of a differential operator of the first order with the use of data of the first boundary value problem and the additional Neumann condition on the lateral boundary of a cylinder (thereby we have the Cauchy data on the lateral boundary of a cylinder). An unknown coefficient can occur in the main part of the equation. A solution is sought in a Sobolev space with sufficiently large summability exponent and an unknown coefficient in the class of continuous functions. The problem is shown to have a unique stable solution locally in time.
Keywords: inverse problem; heat and mass transfer; boundary value problem; parabolic equation; well-posedness; diffusion.
References
1. Kozhanov A.I. Nonlinear Loaded Equations and Inverse Problems. Zhurn. Vychisl. Matern. і Matern. Phiziki [Computational Mathematics and Mathematical Physics], 2004, vol. 414, no. 4, pp. 722-744.
2. Tryanin A.P. Determination of Heat-Transfer Coefficients at the Inlet into a Porous Body and Inside it by Solving the Inverse Problem. Inzhenerno-Fizichecheski Zhurnal, 1987. vol. 52, no. 3, pp. 469-475.
3. Shidrar A. An Inverse Heat Conduction Problem. South. Asien Bull, of Math., 2002, vol. 26, pp. 503-507.
4. Belov Ya.Ya. Inverse Problems for Parabolic Equations. Utrecht, VSP, 2002. 211 p.
5. Pyatkov S.G., Tsybikov B.N. On some classes of inverse problems for parabolic and elliptic equations. J. Evol. Equat., 2011, vol. 11, no. 1, pp. 155-186.
6. Pyatkov S.G. On Some Classes of Inverse Problems for Parabolic Equations. J. Inv. Ill-Posed problems, 2011, vol. 18, no. 8, pp. 917-934.
7. Pyatkov S.G., Samkov M.L. On Some Classes of Coefficient Inverse Problems for Parabolic Systems of Equations. Sib Adv. in Math., 2012, vol. 22, no. 4, pp. 287-302.
8. Ivanchov M. Inverse Problems for Equation of Parabolic Type. Lviv, WNTL Publishers, 2003. 240 p.
9. Isakov V. Inverse Problems for Partial Differential Equations. Berlin, Springer-Verlag, 2006. 346 p.
10. Ramm A.G. Inverse Problems. Mathematical and Analytical Techniques with Applications to Engineering. Boston, Springer Science, Business Media, Inc., 2005. 442 p.
11. Isakov V. Inverse Source Problems. Providence, Rhode Island, AMS, 1990. 193 p.
12. Prilepko A.I., Orlovsky D.G., Vasin, I.A. Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics. N.Y., Marcel Dekker, Inc., 1999. 709 p.
13. Kabanikhin S.I. Inverse and Ill-Posed Problems. Berlin, Boston, De Gruyter, 2012. 459 p.
14. Borichevskaya, A.G. On an Inverse Problem for a Parabolic Equation with the Cauchy Data on the Lateral Boundary of a Cylinder [Ob odnoi obratnoi zadache dlya parabolicheskogo uravneniya s dannymi Koshi na bokovoi poverkhnosti tsilindraj. Proceedings of the international conference ^Differential Equations and Related Problems». Sterlitamak, 2013. pp. 52-57.
15. Triebel H. Interpolation Theory. Function Spaces. Differential Operators. Berlin, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1978. 528 p.
16. Ladyzhenskaya O.A., Sollonnikov V.A., Ural’tseva N.N. Lineinye і kvazilineinye uravneniya parabollicheskogo tipa [Linear and Quasilinear Equations of Parabolic Type], Moscow, Nauka, 1967, 736 p.
17. Pyatkov S.G., Borichevskaya A.G. On an Inverse Problem for a Parabolic Equation with the Cauchy Data on the Lateral Boundary of a Cylinder [Ob odnoi obratnoi zadache dlya parabolicheskogo uravneniya s dannymi Koshi na bokovoi poverkhnosti tsilindraj. Neklassicheskie Uravneniya Matematicheskoi Fiziki [Nonclassical Equations of Mathematical Physics], Novosibirsk, Sobolev Institute of Mathematics, 2012, pp. 187-196.
18. Grisvard, P. Equations Differentialles Abstraites. Ann. Scient. Ec. Norm,. Super., 1969, series 4, vol. 2, pp. 311-395.
Поступила в редакцию 2 августа 2013 г.
